黑龙江省北安二中七年级下学期数学阶段测试（人教版七年级下册第10章）

**基本信息** 人教版七年级下册第10章二元一次方程组单元卷，以《孙子算经》《算法统宗》等传统文化情境和纸箱加工、利润计算等实际问题为载体，原创题占比高，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|方程组应用、解法、参数问题|结合三角尺几何情境与古代数学名题，如用《孙子算经》绳量木问题考查建模| |填空题|4/12|方程解、同解问题、二元一次方程定义|通过方程组解迁移考查参数，如含绝对值的二元一次方程定义辨析| |解答题|5/52|解方程组、新定义运算、实际应用|原创新定义运算题（※和*⊗运算），纸箱加工与利润问题综合考查模型意识，贴合核心素养中运算能力与应用意识要求|

黑龙江省北安二中2025-2026学年度七年级下数学阶段测试（人教版七年级下册第10章） 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．解：设木长为x，绳子长 y， 根据题意，得：， 故选：A． 2．解：根据题意可列方程组为：． 故选：A． 3．解：根据图示可得：． 故选：B． 4．解：， ①+②，得 2x＝14k， ∴x＝7k， 把x＝7k代入①，得 7k+y＝5k， ∴y＝﹣2k， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解， ∴2×7k+3×（﹣2k）＝6， 解得k， 故选：A． 5．解：， ①+②，得3x﹣3y＝6， 两边都除以3得：x﹣y＝2， 故选：B． 6．解：方程组， ①﹣②得：2x+2y＝4﹣m，即x+y， ∵x与y互为相反数， ∴x+y＝0， ∴0， 解得：m＝4． 故选：C． 7．解：关键条件可利用第二、三个方程消去y，再求解关于x，z的二元一次方程组， 故选：B． 8．解：设购买篮球x个，排球y个， 根据题意可得120x+90y＝1200， 则y， ∵x、y均为正整数， ∴x＝1、y＝12；x＝4、y＝8；x＝7、y＝4． ∴购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有3种， 故选：B． 9．解：∵[x]表示不超过x的最大整数，由方程组得出x是整数， 即 ∴2y﹣[y]＝2， 当y＝2时，x＝1满足方程组得出x+y＝3， 当y＝1.5时，x＝2满足方程组得出x+y＝3.5， 故选：C． 10．解：根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，可得出方程为x+5＝y；又根据第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，可得出方程为x﹣5，那么方程组是． 故选：A． 11．解：由条件可知， ∴7﹣2y一定是5的倍数， ∴当x＝1时，， 解得y＝1，满足题意， 当x＝2时，， 解得，不符合题意， ∴二元一次方程3x+y＝7的正整数解为，一组， 故选：A． 12．解：， 由②得， 把代入①得， 整理得， 当a＝2时，方程组无解； 当a≠2时，方程组有唯一解； 如果y＝0，则，解得a＝0， 观察四种说法，①②错误，③④正确， 故选：C． 二．填空题（共4小题） 13．解：把x＝2代入方程得：4+y＝6， 解得：y＝2， 故答案为：2． 14．解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于m、n的二元一次方程组的解为：， ∴， 故答案为：． 15．解：∵（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程， ∴|m﹣2|＝1且m﹣3≠0， 解得m＝1， 故答案为：1． 16．解：根据题意可得3a﹣2b＝﹣2， ∴3a﹣2b+2026＝﹣2+2026＝2024． 故答案为：2024． 三．解答题（共5小题） 17．解：（1）， 把①代入②，得﹣x+3x＝5， 解得：x＝1， 把x＝1代入①，得y＝3， ∴原方程组的解为； （2） 由①×2﹣②得：5y＝10， 解得：y＝2， 把y＝2代入①得：x+2×2＝4， 解得：x＝0， ∴原方程组的解为． 18．解： （1）∵3※（-2）=5，∴，把m=2代入得，n=; （2）∵3※2＝9，2※1＝1， ∴根据题中的新定义化简得：， 解得：， ∴7※1＝（﹣1）×7+3×12＝﹣7+3＝﹣4， ∴原式＝（﹣4）※2＝（﹣1）×（﹣4）+3×22＝4+12＝16． 19．解：（1）由题意，∵3*2＝﹣1，2⊗1＝4， ∴． ∴． （2）由题意，∵x*y+x⊗y＝10， ∴ax+by+ax﹣by＝10． ∴2ax＝10． 又∵a＝1， ∴x＝5． （3）由题意，方程组可化为， ∴． 又∵x﹣y＝6， ∴4+3m﹣m+2＝6． ∴m＝0． （4）由题意，∵方程组可化为，而方程组可化为， 即， 又方程组的解为， ∴． ∴． ∴方程组的解为． 20．（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用完． （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个， 根据题意得：， ∴n＝64． ∵n、a为正整数， ∴a为5的倍数， 又∵150＜a＜171， ∴满足条件的a为：155，160，165，170． 答：在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170． 21．解：（1）设买水果篮售价x元，坚果礼盒售价y元，依题意得： ， 解得， 答：每个水果篮售价600元，坚果礼盒售价400元； （2）设计划每个水果篮应打a折出售，依题意得： ， 解得：a＝5， 答：计划每个水果篮应打5折出售． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年05月20日138的初中数学反向细目表组卷 题号 难度 知识点 分值 一、选择题 1 较易 二元一次方程组的应用 3 2 较易 由实际问题抽象出二元一次方程组 3 3 较易 由实际问题抽象出二元一次方程组 3 4 较易 二元一次方程组的解 3 5 较易 解二元一次方程组 3 6 较易 二元一次方程组的解 3 7 中档 解三元一次方程组 3 8 较易 二元一次方程的应用 3 9 中档 解二元一次方程组 3 10 较易 由实际问题抽象出二元一次方程组 3 11 中档 解二元一次方程 3 12 中档 解二元一次方程组 3 二、填空题 13 中档 二元一次方程的解 3 14 中档 二元一次方程组的解 3 15 易 二元一次方程的定义 3 16 易 二元一次方程的解 3 三、解答题 17 较易 解二元一次方程组 8 18 中档 解二元一次方程组 14 19 中档 二元一次方程组的解 10 20 较难 二元一次方程组的应用 10 21 较易 二元一次方程组的应用 10 $ 黑龙江省北安二中2025-2026学年度七年级下数学阶段测试（人教版七年级下册第10章） 一．选择题（共12小题，每题3分） 1．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是y﹣x＝4.5，则符合题意的另一个方程是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，将三角尺的直角顶点放在直线上，设∠1的度数为x，∠2的度数为y，若∠1比∠2的4倍还大10°，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 3．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 5．已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6 6．若满足方程组的x与y互为相反数，则m的值为（　　） A．2 B．﹣5 C．4 D．﹣7 7．运用加减法解方程组较简单的方法是（　　） A．先消去x，再解 B．先消去y，再解 C．先消去x，再解 D．三个方程相加得8x﹣2y+4z＝11再解 8．为了奖励疫情期间线上学习表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在两种球类都购买且资金恰好用尽的情况下，购买方案有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 9．设[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]＝2，[3]＝3，[﹣1.2]＝﹣2，若x，y满足，那么x+y的值是（　　） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 10．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 11．已知5x+2y＝7，则正整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当a＝2时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则a＝0．其中正确的说法有（　　） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 二．填空题（共4小题，每题3分） 13．在二元一次方程2x+y＝6中，当x＝2时，y的值是 　 　 ． 14．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，那么关于 m、n的二元一次方程组 的解为 　 　 ． 15．（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝　 　 ． 16．若是二元一次方程ax+by＝﹣2的一个解，则3a﹣2b+2026的值为　 　 ． 三．解答题（共5小题，共52分） （原创题）17．（8分）解下列方程组： （1）； （2）． （原创题）18．（10分）若规定x※y＝mx+ny2， （1）求3※（-2）=5，m=2时，n的值； （2）若3※2＝9，2※1＝1，求（7※1）※2的值． 19．（14分）对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4． （1）求a，b的值； （2）若x*y+x⊗y＝10，求x的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝6，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 20．（10分）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150＜a＜171，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 21．（10分）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为300元．每盒坚果礼盒的成本为250元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多200元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多． （1）求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； （2）该水果店第一批购进了200个水果篮和100盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利15000元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $