专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学讲义以费马点模型为核心，通过“模型来源-真题现模型-提炼模型-拓展运用”的逻辑递进结构构建知识体系，用框架图呈现基本模型与加权模型的结论、证明及适用条件，清晰梳理转化思想与旋转构造法的重难点。 讲义亮点在于分层例题设计，如菱形中AG+BG+CG最小值（基础）、正方形内加权费马点计算（提升），培养几何直观与推理能力。配套变式练习及解题步骤解析，基础生可掌握构造方法，优秀生能深化模型拓展，教师可据此实施精准分层教学，提升复习效率。

专题06. 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.费马点模型 4 模型2.加权费马点模型 9 14 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ （25-26九年级上·广西南宁·月考）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点A、B、C距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴ 点可看成是线段绕A点逆时针旋转而得的定点，为定长． ∴当B、P、、C′四点在同一直线上时，最小． (1)观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． (2)【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点P，，，连接，若．求的最小值； (3)【拓展应用】已知正方形内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． （25-26八年级上·江苏苏州·期中）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． (4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 模型1.费马点模型 例1（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B． C． D． 例2（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 例3（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______． 例4（2025·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________． 例5（2025·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________． 模型2.加权费马点模型 例1（24-25八年级下·河南·月考）阅读下面材料，并解决问题： (1)思维指引 如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； (2)知识迁移 如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度； (3)方法推广 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值． 例2（24-25九年级下·全国·二轮复习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 例3（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积． 例4（2025九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值． 例5（2025九年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，是边的中点，以为边在右侧作等边，为矩形内部一动点，连接、、，则的最小值是________． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，点E、G、H分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点M为上的动点，过M作于P，于Q，点F为边上一动点，连接，已知，，则的最小值为_________． 4．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知长方形中，，点为上的一点，且，点为上的动点，将沿折叠得到，点为的中点，点，点分别为上两个动点，且，连接，则的最小值是__________ ． 5．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____． 6．（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在正方形中，，点P在边上，且，点Q是的中点，点M是正方形内部一点，连接，则的最小值为_____________． 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，，将线段绕着点旋转到，连接，点为矩形内一个动点，连接、、，则的最小值是________． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，在平行四边形中，，．连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点P在点的左侧）在线段上运动，，连、，则的最小值为__________． 9．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在平行四边形中，，，连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接，，则的最小值为______． 10．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)①当M点在何处时，的值最小； ②当M点在何处时， 的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 11．（25-26九年级下·陕西商洛·期中）【问题探究】 (1)如图①，点A、B在直线的两侧，在直线上找一点P，使得最小； (2)如图②，在中，点P是内一点，且．把绕点B顺时针旋转60°得到，求证此时的和最小． (3)如图③是某高新开发区的一个准备建造成公园的地块，已知米，米，米，米，．为了美观，要在边下方取一点Q，且点Q必须满足，现在要在五边形地块内部修一个游客服务中心P，并且使得游客服务中心P到点B、C、Q的距离和最小，请求出的最小值． 12．（24-25九年级下·重庆万州·期中）如图，在等腰中，，，点为边上的动点．将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，若，，求旋转后到的距离； (2)如图2，连接、，若为的中点，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，，请直接写出的长． 13．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 14．（2024·贵州贵阳·一模）如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，，连接．某班同学在探究，，之间的数量关系的过程中，发现通过旋转可将这些分散的线段集中到同一条线段上． (1)将绕点A顺时针旋转得到（如图②），此时G，B，F三点共线． ①的度数为； ②若，，求的长． (2)如图③，在等边中，点E为三角形内部一点，当点E在何处时，最小，请画出图形，并直接写出此时的度数． 15．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，点为边上一点． (1)如图1，若于点，，求的长； (2)如图2，已知，延长至点，以、为边作，连接、，若于点，求证：； (3)如图3，已知，将沿直线翻折，点落在点，在线段上求一点，使得的值最小，请直接写出最小值． 16．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，中，，点为边上一点．    (1)如图1，若于点，，．求的长； (2)如图2，已知，，延长至点，以线段和线段为边作，连接、，若于点．求证：； (3)如图3，已知，，将沿直线翻折，使点落点处．在线段上求一点，使得的值最小．直接写出的最小值．（参考公式：） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06. 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.费马点模型 4 模型2.加权费马点模型 9 14 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ （25-26九年级上·广西南宁·月考）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点A、B、C距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴ 点可看成是线段绕A点逆时针旋转而得的定点，为定长． ∴当B、P、、C′四点在同一直线上时，最小． (1)观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． (2)【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点P，，，连接，若．求的最小值； (3)【拓展应用】已知正方形内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由旋转得，即可求解； （2）同理将绕B点逆时针旋转得到，当C、P、、四点在同一直线上时，最小，此时，由等边三角形的性质及直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，即可求解； （3）绕B点逆时针旋转得到，过作交的延长线于E，同理可得，设正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵B、P、、四点在同一直线上， ∴， ， 由旋转得：， ∴， ∴； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕B点逆时针旋转得到， 由旋转的性质得是等边三角形，则，， ∴, ∴当C、P、、四点在同一直线上时，最小， 此时， 由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∴， 在中 ， 故最小值为； （3）解：如图，将绕B点逆时针旋转得到，过作交的延长线于E， ∴当C、P、、四点在同一直线上时，最小， 此时， 由旋转得：， ∴， 设正方形的边长为，则有， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 故正方形的边长为2． （25-26八年级上·江苏苏州·期中）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． (4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 【答案】(1)150°； (2)见详解； (3)； (4)． 【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可； （2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可； （3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可； （4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可． 【详解】（1）解：连结PP′， ∵≌， ∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60° ∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°， ∴△APP′为等边三角形， ,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°， 在△P′PC中，PC=5， ， ∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°， ∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°， ∴∠APB=∠AP′C=150°， 故答案为150°； （2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′， ∵△APB≌△AB′P′， ∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP， ∵， ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∴点P在CB′上， ∴过的费马点． （3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′， ∴△APB≌△AP′B′， ∴AP′=AP，AB′=AB， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°， ∵ ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∵，，， ∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC= ∴BB′=AB=2， ∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°， ∴在Rt△CBB′中，B′C= ∴最小=CB′=； （4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F， ∴△BCE≌△CE′B′， ∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′， ∵∠ECE′=∠BCB′=60°， ∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形， ∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°， ∵， ∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=2，∠ABC=90°， ∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°， ∵B′F⊥AF， ∴BF=，BF=， ∴AF=AB+BF=2+， ∴AB′=， ∴最小=AB′=． 【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键． 1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 模型1.费马点模型 例1（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图， ∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴△BFG是等边三角形． ∴BF=BG=FG，． ∴AG+BG+CG=FE+GF+CG． 根据“两点之间线段最短”， ∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBH=180°-120°=60°， ∴∠BEH=30°， ∵BC=4， ∴BE=4， ∴BH=2，EH=2，在Rt△EHC中， ∵EH2+HC2=EC2， ∴EC=4． ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴EF=BF=FG， ∴EF=CE=， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 例2（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将绕点顺时针旋转得到，得到是解题的关键． 例3（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______． 【答案】 【分析】将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将转化为，此时当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E； ∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD， ∴△PCF、△ACD是等边三角形， ∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC= ∴， ∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长； ∵，∠CAD=， ∴∠EAD=， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，将三条线段的长转化到一条直线上． 例4（2025·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________． 【答案】 【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论． 【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN， ∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°， ∴△BQN是等边三角形， ∴BQ=QN， ∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN， ∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小， 此时，如图2，连接MC ∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM， ∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM， ∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形， ∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM， ∵BM=CM，AB=AC， ∴AM垂直平分BC， ∵AD⊥BC，∠BQD=60°， ∴BD=QD， ∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2， ∴x=， ∴x=3+， ∴PD=3+． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题． 例5（2025·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示， 则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP=PP′， ∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC， ∵PP′+P′B′+PC≥CB′， ∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值， 即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值， ∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2， ∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=， ∴CB′=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 模型2.加权费马点模型 例1（24-25八年级下·河南·月考）阅读下面材料，并解决问题： (1)思维指引 如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； (2)知识迁移 如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度； (3)方法推广 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由全等三角形和旋转的性质可得为等边三角形，即得， ，进而由勾股定理的逆定理可得，进而可得，即可求解； （）把绕点逆时针旋转得到，可证，得到，再根据等腰直角三角形和旋转的性质可得，进而利用勾股定理求出的长即可求解； （）在内部任取一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质可得，可知当四点共线时，取最小值，最小值为，过点作的垂线交延长线于点，分别求出和的长，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， 由旋转得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， 故答案为：； （2）解：如图②，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转得，，，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图③，在内部任取一点，连接， 将绕点顺时针旋转得到， 由旋转得，，，， ， ∴， ∴， ∴当四点共线时，取最小值，最小值为， 如图，过点作的垂线交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 例2（24-25九年级下·全国·二轮复习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【分析】如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，当点共线时，取得最小，最小为的值，如图所示，过点作延长线于点，在中，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，点是的中点， ∴，且， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点， ∵点是的中点， ∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握等边三角形，旋转的性质，费马点求最短线段的方法是解题的关键． 例3（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作，根据等腰直角三角形的性质与判定，得到，，在中，应用勾股定理，求出的长，根据平行四边形的性质得到的长，根据等腰直角三角形的性质与判定，即可求解， （2）连接，，根据全等三角形的性质与判定得到，，，结合旋转的性质得到，，根据平行四边形的判定得到，，根据平行四边形的性质得到的长度，即可求解， （3）将绕点顺时针旋转，得到，由旋转的性质可得，根据两点之间线段最短，得到，当在线段上时取得最小值，作， 根据等腰直角三角形的判定与性质，得到，在中，应用勾股定理得到，，，，由，得到， 在中，得到，在中，得到，，根据，即可求解， 本题考查了，平行四边形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过旋转得到． 【详解】（1）解：过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：， （2）解：连接，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， （3）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∴，当在线段上时取得最小值， 延长与延长线交于点，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，，，， ∵，即：，解得：， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 例4（2025九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值． 【答案】 【分析】延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，．先证明，可得，再证明，可得：，从而得到，计算出的长度即可． 【详解】解：延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，． ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解费马点问题，利用相似构造与，根据系数将图形扩大或缩小构建图形是解决问题的关键． 例5（2025九年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值 【答案】 【分析】将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A，将△A扩大倍，得到△，当点B、P、、在同一直线上时，=最短，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A，将△A扩大，相似比为倍，得到△，则，，， 过点P作PE⊥A于E， ∴AE=， ∴E=A-AE=， ∴P=， 当点B、P、、在同一直线上时，=最短，此时=B， ∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，， ∴． ∴=B= 【点睛】 此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全等的性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形． 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接，求得，，推出，当共线时，最小，然后用勾股定理算得即可． 【详解】解：连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵菱形的边长为2， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是对角线上一动点，，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，是边的中点，以为边在右侧作等边，为矩形内部一动点，连接、、，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接、、，作于点，于点，交的延长线于点，延长交于点，可证明和均为等边三角形，当四点依次共线时，取得最小值，即为，再结合矩形和等边三角形的性质，运用勾股定理，求出的值，再证明四边形、为矩形，运用性质求出的值，最后运用勾股定理即可求解出的值． 【详解】如图，将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接、、，作于点，于点，交的延长线于点，延长交于点， ∴，，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴当四点依次共线时，取得最小值，即为， ∵在矩形中， ∴，，， ∵是边的中点， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，点E、G、H分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点M为上的动点，过M作于P，于Q，点F为边上一动点，连接，已知，，则的最小值为_________． 【答案】/15.6 【分析】利用矩形的性质结合中点的性质得出，，利用勾股定理求得的长度，从而求得的面积，再利用求得，从而得出的最小值为的最小值，当最小时，最小，而最小值为，并最终求得结果． 【详解】解：∵点E，G，H分别为矩形的边，，的中点， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴的最小值为的最小值， 即当最小时，最小， ∵最小值为， ∴的最小值为． 4．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知长方形中，，点为上的一点，且，点为上的动点，将沿折叠得到，点为的中点，点，点分别为上两个动点，且，连接，则的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，过点作，使，过作于点，连接，则，四边形是平行四边形，四边形是矩形，，由勾股定理得，根据，得的最小值为，即得的最小值是． 【详解】解：长方形中，， ，点为的中点， ∴， 作点关于的对称点，过点作，使，过作于点，连接，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，由折叠知，， ∴的最小值为， ∴的最小值是． 5．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，正方形性质及等边三角形判定与性质．将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，证明是，的垂直平分线，再求出，即可得到答案． 【详解】解：将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，如图： 由旋转可知，，，，，，，，，，， ∴，，，都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵，， ∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∵，， ∴是，的垂直平分线， ∴，， ∴，，四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 6．（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在正方形中，，点P在边上，且，点Q是的中点，点M是正方形内部一点，连接，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，勾股定理；将绕，点C逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质，可将转化为，利用是等腰直角三角形可将转化为，所以，最小值即为线段的长，最后利用勾股定理求出即可. 【详解】解：如图所示，将绕，点C逆时针旋转得到，连接，则， 又， 是等腰直角三角形， ， 当四点共线时，有最小值，最小值即为线段的长， ∵在正方形中，，为的中点， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，，将线段绕着点旋转到，连接，点为矩形内一个动点，连接、、，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查最值问题，综合运用了旋转的性质，等边三角形的性质，矩形的性质以及勾股定理等知识点，熟练掌握及运用其性质是做题的关键．先通过构造等边三角形及矩形，根据“费马点模型”可得，当，，，四点共线时，有最小值，最小值是的长，通过作辅助线利用勾股定理，经过推理运算，分别求出和的值即可． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转易得，和均为等边三角形， ，，，． 根据“费马点模型”可得， 当，，，四点共线时，有最小值，最小值是的长． 如图，作垂直于的延长线于点， ． 在矩形中，，， ，，． ． ， ． ， ． 如图，作于点，作于点， ． ，， ． 将线段绕着点旋转到， 是等边三角形． ，， ， ， ， ， ． 如图，过点作于点， ． ， 四边形为矩形， ，， ． 在中， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，在平行四边形中，，．连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点P在点的左侧）在线段上运动，，连、，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】取的中点G,连接，则，，取的中点M，连接，设与的交点为F，故点G，M关于直线对称；连接，过点N作于点T，连接，连，则,故，当B，P，M三点共线时，取得最小值，最小值为，计算即可，本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式求最值，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形不等式求最值是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴,， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图所示，取的中点G,连接， 则，， ∴，， 取的中点M，连接，设与的交点为F， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故点G，M关于直线对称； 连接， ∴， 过点N作于点T，连接， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 连， 则, 故， 当B，P，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 过点M作于点H， 则, ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在平行四边形中，，，连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接，由平行四边形的性质和含直角三角形三边关系可得：，利用勾股定理可得，再利用含直角三角形三边关系可得：，，进而可得，求得：，再证四边形是平行四边形，得出，再证明，得出，根据，可得出：当点在线段上时，的最小值为，即的最小值为，即可求得的最小值． 【详解】解：在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵线段（点在点的左侧）在线段上运动， ∴， ∴当点在线段上时，的最小值为， ∴的最小值为， ∵，， ∴最小值为：， 即最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造平行四边形和全等三角形是解题的关键． 10．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)①当M点在何处时，的值最小； ②当M点在何处时， 的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①M点落在的中点时，的值最小；②当M点位于与的交点处时，的值最小，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质可得，，，即可求证； （2）①根据“两点之间线段最短”，即可求解；②连接，， 根据，得，根据，，得是等边三角形．得．当M点位于上时，， 的值最小； （3）过E点作交的延长线于F，则，设正方形的边长为x，则，，在中，根据勾股定理可得x的值，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵将BM绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴． （2）解：①连接交于点O，当M点落在O点时， A、M、C三点共线，的值最小， ∵四边形为正方形， ∴点O为的中点 即当M点落在的中点时，A、M、C三点共线， ②当M点位于与的交点处时，的值最小．理由如下： 连接，， 由（1）知，， ∴，， ∵将BM绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形． ∴． ∴， ∴当M点位于与的交点处时，的值最小； （3）解：过E点作交的延长线于F， 根据题意得：，， 在中，， 设正方形的边长为x，则， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，且， ∴， 解得，（负值舍去）， 即正方形的边长为． 【点睛】本题考查正方形和等边三角形．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形性质，是解题的关键． 11．（25-26九年级下·陕西商洛·期中）【问题探究】 (1)如图①，点A、B在直线的两侧，在直线上找一点P，使得最小； (2)如图②，在中，点P是内一点，且．把绕点B顺时针旋转60°得到，求证此时的和最小． (3)如图③是某高新开发区的一个准备建造成公园的地块，已知米，米，米，米，．为了美观，要在边下方取一点Q，且点Q必须满足，现在要在五边形地块内部修一个游客服务中心P，并且使得游客服务中心P到点B、C、Q的距离和最小，请求出的最小值． 【答案】(1)画图见解析； (2)证明见解析； (3)的最小值为米． 【分析】（1）两点之间线段最短，即可求解； （2）连接，通过旋转的性质可得为等边三角形，； （3）结合（2）中的结论，可得当点在的内部，且时，，此时最小，为，再根据点的条件，确定的轨迹，确定最小值的情况，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）两点之间线段最短，连接交于一点，可使最小， 故由图，点即为所求． （2）如图， 连接，由旋转的性质可知，，，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ∴四点共线， 又∵ ∴ 由两点之间线段最短可知，直线最短且长度等于和的最小值， （3）如图， 将四边形补全为矩形，连接、，将以为旋转中心，顺时针旋转得到， 由（2）可知，当点在的内部，且时， ，此时最小，为， ∴的最小值，即为的最小值 由题意可知，点在的下方，且，可知点在某一圆弧上，且圆弧所对的圆心角为，则以为边向上构造等边三角形， 由题意可知，米，米 又∵ ∴米 ∴，，米 ∴三点共线， 连接，交于点，此时最小，为， 作，，可得米 米， 米， 由勾股定理可得：米 米 的最小值为米． 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，涉及了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆的有关性质以及含30°直角三角形的性质等，解题的关键是理解题意，并灵活运用相关基础知识进行求解． 12．（24-25九年级下·重庆万州·期中）如图，在等腰中，，，点为边上的动点．将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，若，，求旋转后到的距离； (2)如图2，连接、，若为的中点，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理得出，进而得出，根据旋转的性质得出是等腰直角三角形，进而根据勾股定理，即可求解； （2）延长交于点，根据中位线的性质得出，证明得出，则即可得证； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，当点，点，点，点共线时，值最小，证明是等边三角形，是等边三角形，进而得出，根据，可得，即可得出，进而求得的长，根据旋转的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵等腰中，，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴，即旋转后到的距离为； （2）解：如图2，延长交于点， 由（1）可得 ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵，即 ∴， 又∵为的中点， ∴是的中位线 ∴ ∵将绕点逆时针旋转得到． ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴，即； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，值最小， 此时，如图，连接， 将绕点顺时针旋转得到， ，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ，， 垂直平分， ，， ， ，，， ， ， ， ， 根据旋转的性质可得：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 13．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)6 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解． （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2）， 与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形， ， 点为菱形对角线的交点， 点为的中点， 连接，， 为的中位线， ，也为的中位线， 则，， ； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ， ， 为等边三角形， ， ， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ， ， 又， ， ， 点为中点， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ， ， ， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形， ， 由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点， ，则， 过点（点），且， 可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点， 此时， 作图，如下： 作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键． 14．（2024·贵州贵阳·一模）如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，，连接．某班同学在探究，，之间的数量关系的过程中，发现通过旋转可将这些分散的线段集中到同一条线段上． (1)将绕点A顺时针旋转得到（如图②），此时G，B，F三点共线． ①的度数为； ②若，，求的长． (2)如图③，在等边中，点E为三角形内部一点，当点E在何处时，最小，请画出图形，并直接写出此时的度数． 【答案】(1)①；② (2)画图见解析； 【分析】（1）①根据旋转的性质得出，再根据求出结果即可； ②证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可； （2）将绕点B逆时针旋转得到，连接，证明为等腰直角三角形，得出，证明，根据当、、E、C四个点共线时，最小，得出最小，根据等腰三角形的性质得出． 【详解】（1）解：①∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴； ②∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到，此时G，B，F三点共线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． （2）解：将绕点B逆时针旋转得到，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴当、、E、C四个点共线时，最小，即最小， 根据旋转可知：， ∵等边中， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 15．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，点为边上一点． (1)如图1，若于点，，求的长； (2)如图2，已知，延长至点，以、为边作，连接、，若于点，求证：； (3)如图3，已知，将沿直线翻折，点落在点，在线段上求一点，使得的值最小，请直接写出最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，再根据，进行计算即可得到答案； （2）在线段上取一点，使，证明得到，，再证明得到，即可得证； （3）由折叠的性质可得，，将绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，连接，则，则当、、、四点在一条直线上时，的值最小，最小值为，作交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，从而得到，最后再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，在线段上取一点，使， 于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在中，，，将沿直线翻折，使点落点处， ，， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，，，， ， 连接，则， 当、、、四点在一条直线上时，的值最小，最小值为的长度， 作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、含30度角直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 16．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，中，，点为边上一点．    (1)如图1，若于点，，．求的长； (2)如图2，已知，，延长至点，以线段和线段为边作，连接、，若于点．求证：； (3)如图3，已知，，将沿直线翻折，使点落点处．在线段上求一点，使得的值最小．直接写出的最小值．（参考公式：） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，再根据，进行计算即可得到答案； （2）在线段上取一点，使，证明得到，，再证明得到，即可得证； （3）由折叠的性质可得，，将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质可得，，，，连接，则，则当、、、四点在一条直线上时，的值最小，为，作交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，从而得到，最后再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，在线段上取一点，使， 于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：在中，，，将沿直线翻折，使点落点处， ，， 如图，将绕点逆时针旋转得到， 则，，，， ， 连接，则， 当、、、四点在一条直线上时，的值最小，为， 作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、含30度角直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $