反比例函数与一次函数的综合求面积2026年中考数学二轮专题提高训练

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数综合求面积，通过15道题分层设计，从基础计算到动态探究，构建“概念理解-运算应用-创新探究”路径，发展几何直观、推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|函数表达式求解、静态面积计算|如第1-3题，用待定系数法求k值，直接应用三角形面积公式，强化运算能力| |综合应用|动态点存在性、面积倍数关系|如第4-8题，含动点坐标探究、面积比例问题，需分类讨论，培养推理意识| |探究拓展|规律探究、跨知识整合|如第9-15题，涉及旋转、等和点等，如第13题探究面积定值，发展创新意识与应用能力|

反比例函数与一次函数的综合-求面积 2026年中考数学二轮专题提高训练 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2． (1)求、的值； (2)求的面积． 2．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求函数的表达式； (2)点C是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，求C点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 5．如图，动点在函数的图象，过点分别作轴和轴的平行线交反比例函数的图象于点、，作直线，设直线表达式为． (1)若点的坐标为， ①求直线的函数解析式； ②连接、，求的面积； (2)连接、，试探究点在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，B两点，点C是一次函数的图象与y轴的交点 (1)求一次函数的表达式和点B的坐标． (2)根据图象直接写出不等式的解集． (3)连接，，若点P是y轴上一点，连接，，若的面积是的面积的，求点P的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与双曲线（k是常数）和轴相交于点和点，且点的纵坐标为3．点在双曲线上，其横坐标为． (1)求双曲线对应的函数表达式； (2)不等式的解集为_____； (3)当的面积与面积相等时，求点的坐标； (4)连结．将绕点顺时针旋转得到，连结，当与直线有交点时，直接写出的取值范围． 8．如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值． 9．如图，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点在点的下方，过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，求点的坐标． 10．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，连接交双曲线另一支于点．已知点的坐标为，分别过作轴于、轴与，连接，过作直线． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点在双曲线上移动，其它条件不变，和的面积会改变吗？如果不会改变，请直接写出它们的面积；如果会改变，请说明理由． 11．如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数图象经过点，一次函数的图象经过点、． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)观察图象，写出在第四项限内使得成立的自变量的取值范围； (3)若点是反比例函数图象上的一点，且的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标． 12．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 13．如图，点在函数的图像上，过点作轴和轴的平行线分别交函数的图像于点，，直线与坐标轴的交点为，． (1)设点横坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______．（用含字母的式子表示） (2)当点P在函数的图像上运动时，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由． (3)请直接写出与满足的数量关系． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)若动点是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，，，，若的面积等于的面积的三分之一，则点的横坐标为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，D是反比例函数图象上的一个动点，过点向轴作垂线与一次函数图象交于点，其中点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标； (3)若P是x轴上的一个动点，连接，当与相似时，求点D的纵坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《反比例函数与一次函数的综合-求面积2026年中考数学二轮专题提高训练》参考答案 1．(1)4；6 (2)6 【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值； （2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象轴交于点， ∴，OB=4， ∴一次函数解析式为， 设点C（m，n）， ∵的面积是2． ∴，解得：m=1， ∵点C在一次函数图象上， ∴， ∴点C（1，6）， 把点C（1，6）代入得：k=6； （2）当y=0时，，解得：x=-2， ∴点A（-2，0）， ∴OA=2， ∴． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键． 2．(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，正确求出一次函数和反比例函数解析式是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据函数图像找到一次函数的图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）求出点坐标，根据、、三点坐标求出的面积，再得到的面积，设，利用三角形面积求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 反比例函数表达式为， 在中，当时，，， ∴ 把，代入，得， ， 一次函数表达式为； （2）解：由函数图象可知，当时，一次函数的图像在反比例函数图像上方， ∴关于的不等式的解集为； （3）解：在中，当时，则得，， 点的坐标为， ， ， 设，则，得 ∴， ， 解得：或， 故或． 3．(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）点，在一次函数上，求出的值，待定系数法求出的表达式即可； （2）的面积等于的面积，得到点到直线的距离等于点到直线的距离，根据平行线间的距离处处相等，将直线向上或向下平移1个单位，得到直线，直线与双曲线在第一象限的交点即为点，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵的面积等于的面积， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∵， 时， ∴将直线向上或向下平移1个单位，得到直线，直线与双曲线在第一象限的交点即为点，如图： ∵， ∴，， 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 综上：点的坐标为：或． 4．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标． （1）利用待定系数法求出，再求得点P的坐标为，利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）根据，求出的面积，再根据的面积是面积的一半，构建方程求得的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵点P的纵坐标为3，且点P也在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点P的坐标为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，不等式的解集为：或； （3）解：令，， ∴点的坐标为， ∴， 由题意得，即， ∴， ∴点的坐标为或． 5．(1)①；② (2)的面积是定值，定值为 【分析】本题考查点的坐标，一次函数和反比例函数的综合，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． （1）①根据点的坐标即可求出，． 再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；②延长交轴于点，延长交轴于点，易证四边形是矩形，根据反比例函数k的几何意义可得，由①可求，根据即可求解； （2）延长与轴交于点，设，则表示出，，，，，利用即可求出的面积是定值，定值为． 【详解】（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴， ∴，， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴． 把、的坐标都代入中，得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为：； ②延长交轴于点，延长交轴于点， ∵轴，轴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B，点C在反比例函数的图象上，点M在反比例函数的图象上， ∴， 由①知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的面积是定值． 延长与轴交于点， 设，则，，， ∴，，，，， ∴ ． ∴的面积是定值，定值为． 6．(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入之中得点，再将点代入之中得，由此可得一次函数的表达式；解方程组可得点的坐标； （2）根据点，，结合函数的图象可得出不等式的解集； （3）过点作轴于，过点作轴于，则，，再求出，则，进而，则的面积是4，设，分两种情况讨论如下：①当点在点的上方时，则点，根据得，由此解出，进而可得点的坐标；②当点在点的上方时，则点，同理得，进而可得点的坐标，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ∴， 点， 一次函数的图象经过点， ， 解得：， 一次函数的表达式为：， 解方程组，得，， 点的坐标为， 故一次函数的表达式为，点； （2）解：一次函数与反比例函数的图象交于，， 不等式的解集为：或； （3）解：过点作轴于，过点作轴于，如图1所示： 点，点， ，， 对于，当时，， 一次函数与轴的交点的坐标为， ， ， 的面积是的面积的， 的面积是4， 设， 分两种情况讨论如下： ①当点在点的上方时，则，如图2所示： 点的坐标为， ， ， 解得：， 点的坐标为； ②当点在点的下方时，则，如图2所示： 点的坐标为， 同理：， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，及反比例函数与一次函数的交点坐标，理解反比例函数与一次函数的性质是解决问题的关键． 7．(1)； (2)或； (3)或或或； (4)或． 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据待定系数法求出的值即可； （2）先求出直线与双曲线的两个交点的横坐标，再结合图象找出直线在双曲线上方部分对应的自变量取值范围即可； （3）过点作直线，则直线，由平行线间距离相等可知，直线与双曲线的交点为点，联立直线和双曲线，求出交点；在轴上截取，过点作直线，同理求出交点即可； （4）讨论两个临界点：①当点在第一象限双曲线的图象上，点在直线上时，设，过点作轴于点，过点作延长线于点，证明，得到，，从而得到点的坐标，求出的值；②当点在第三象限双曲线和直线的交点上时，此时，即可求解． 【详解】（1）解：点在直线的图象上，且纵坐标为3， 则，解得：， ， 点在双曲线的图象上， ， 双曲线对应的函数表达式为； （2）解：联立，整理得：， 解得：，， 即直线与双曲线的两个交点的横坐标分别为和， 由图象可知，当或时，直线在双曲线上方， 即不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：的面积与面积相等， 点到直线的距离等于点到直线的距离， 如图，过点作直线，则直线， 平行线间距离相等， 直线与双曲线的交点为点， 联立，整理得：， 解得：， 点的坐标为或； 如图，在轴上截取，过点作直线， 令，则， ， ， ， 直线， 联立，整理得：， 解得：， 点的坐标为或； 综上可知，点的坐标为或或或； （4）解：由旋转的性质可知，，， ①当点在第一象限双曲线的图象上，点在直线上时， 设， 过点作轴于点，过点作延长线于点，则，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在直线上， ， 解得：， 则当时， 与直线有交点，   ②当点在第三象限双曲线和直线的交点上时，此时， 则当时， 与直线有交点， 综上可知，与直线有交点时，的取值范围为或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 8．(1)， (2)点，面积的最小值为 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式，掌握反比例函数与一次函数的交点坐标的计算方法是正确解答的前提，根据坐标得出相应线段的长是计算面积的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出，解方程即可求得N的坐标，然后把M、N的坐标代入，进一步求得一次函数的解析式； （2）求出与直线平行且在第三象限内与反比例函数有唯一公共点的坐标即为点P的坐标，此时面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图， ∵反比例函数过点， ， 反比例函数的解析式为， 设， ， ， 四边形的面积为， 四边形的面积为， ， 解得，舍去， ， 一次函数的图象经过点、， ，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：与直线平行，且在第三象限与反比例函数有唯一公共点时，的面积最小， 设与直线平行的直线的关系式为，当与在第三象限有唯一公共点时， 方程有唯一解， 即有两个相等的实数根， ， 解得或舍去， 与直线平行的直线的关系式为， 方程的解为， 经检验，是原方程的解， 当时，， 点， 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，交轴于点，延长交于点， 由题意得， ，，，， ， ， 答：点，面积的最小值为． 9．(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数综合运用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （）用待定系数法即可求解； （）根据题意得到，进而得到，过点作轴于点，过点作轴于点，易得，易证，由相似的性质得到，即可解答． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线的表达式得，， 解得， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴， ∴， 将代入反比例函数表达式得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：点在下方，的面积是面积的倍， 则， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴． 10．(1)直线表达式为，反比例函数的表达式为； (2)不会改变，的面积是，的面积是． 【分析】（）待定系数法求出表达式和反比例函数的表达式即可； （）作轴，垂足为，根据反比例函数的性质可得出，即可； 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）设反比例函数为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点， 根据反比例函数的性质得与关于对称，轴与，得，， 设直线表达式为经过， ∴，解得， ∴直线表达式为； （2）不会改变，理由： 作轴，垂足为， ∵， ∴， 根据中心对称性质可得：关于原点对称， ∴根据平行线间的距离相等，， ∵， ∴， ∴的面积是，的面积是． 11．(1)反比例函数为，一次函数为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据数形结合即可得解； （3）根据，构造方程，，分别代入反比例函数的解析式即可得解。 【详解】（1）解：四边形是正方形，，， ∴，， 的图象经过点， ，即 ∴反比例函数为， 经过点、， ， 解得 一次函数为 （2）解：一次函数为中，令，得， ∴与轴的交点为， ∵， ∴由图可得，在第四项限内时，函数在一次函数的下方，且在第四象限， ∴在第四项限内使得成立的自变量的取值范围：； （3）解：设点的坐标为， ，点的坐标为，， 解得 当时，； 当时， 点的坐标为或 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解一次函数和反比例函数，一次函数与反比例函数的综合，求函数值，利用图形求不等式的解集，熟练掌握一次函数与反比例函数的综合利用是解题的关键。 12．(1)，； (2)或； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； 将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数； 根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 13．(1)；； (2)不发生改变， (3) 【分析】（1）由条件可先求得点坐标，从而可求得点纵坐标，再代入可求得点与点的坐标； （2）设出点坐标，从而可表示出、的坐标，则可表示出和的长，可求得的面积； （3）可证明，利用（2）中和的长可表示出，可得到，继而证明，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵点横坐标为，点在函数的图像上，点，在函数的图像上， ∴点的纵坐标为， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；；； （2）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积不发生变化，的面积为； （3）． 理由：如图，延长交轴于点，延长交轴于点， ∵轴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题为反比例函数的综合应用，考查了函数图像上点的坐标特征，平行线的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识．（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中用表示出、的长是解题的关键，在（3）构造全等三角形是解题的关键． 14．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由反比例函数解析式求出点、的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）根据图象即可求得； （3）先求得的面积，设点的坐标为，，则，用表示出的面积，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：点与点在反比例函数的图象上， ， ， ，， 一次函数的图象经过点、， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）观察图象可知，不等式的解集为或； （3）在直线中，令，则， ， ， 设点的坐标为，，则，如图，连接，，，， ，点到直线的距离为， 的面积等于的面积的三分之一， 的面积， 整理得：或， 解得：或， 又 或， 点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型． 15．(1) (2) (3)，， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质； （1）先把代入求出一次函数解析式，再求出交点，最后代入反比例函数解析式即可． （2）当的面积等于面积的2倍时即可得到，表示出、坐标，再计算即可； （3）表示出、、坐标，根据与相似计算即可，注意分情况讨论． 【详解】（1）把代入得到， 解得， ∴一次函数解析式为， ∴ 把代入得到， ∴， 把代入得到， ∴反比例函数的表达式为； （2）如图， ∵过点向轴作垂线与一次函数图象交于点， ∴设，则点纵坐标为， ∴，解得 ∴， ∵的面积等于面积的2倍 ∴， ∴， 解得， ∴ （3）设，由（2）可得，，其中 当时，当轴时，此时， ∴， ∴ 当时，，此时 解得 ∴， ∴， 当时，，此时 解得 ∴， ∴， 同理，当轴时，此时， ∴， ∴ 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，作于，于，则 ∴ 此时， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 解得 ∴， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，， ∴， 解得 ∴， ∴， 综上所述，当与相似时，求点D的纵坐标为，，． ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $