2026年中考数学模拟试卷【冲刺预测试卷•贵州专用】

**基本信息** 2026年中考数学冲刺预测试卷，以南极探测、机器狗速度、多彩贵州灯会等真实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，注重数学眼光（抽象、几何直观）、思维（运算、推理）与语言（模型、数据）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|实数运算、相交线、矩形性质、全等判定、统计众数|结合南极探测（第1题）、运动鞋销售（第9题）考查基础概念| |填空题|4/16|无理数比较、概率、新定义运算、四边形计算|融入国产工具（第14题）、创新定义（第15题）| |解答题|9/98|二元一次方程组、统计图表、函数建模（机器狗）、几何证明（菱形）、二次函数应用（炮弹轨迹）|以机器狗速度（21题）、炮弹轨迹（24题）设计综合问题，考查模型意识与推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考冲刺预测试卷 数 学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．国际科考队通过冰钻钻透南极冰盖，派遣水下机器人对冰下湖进行探测，机器人从冰层下表面先向下潜至湖面以下740米，随后为调整观测角度，上浮120米，此时机器人所处的位置为（   ） A．湖面以下520米 B．湖面以下620米 C．湖面以下740米 D．湖面以下860米 2．如果，那么，则“”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．将实数，，，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是（   ） A． B． C． D．0 5．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D．2 6．若分式的值为0，则实数x的值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 7．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 8．如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 9．江津万达某品牌店，新进一批新款男士运动鞋，试销一周的情况如下： 码号（码） 38 39 40 41 42 43 件数（双） 2 4 7 18 5 1 你认为该店确定进货量时，应多进多少码的鞋子（   ） A．39 B．40 C．41 D．42 10．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D，使点D到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 11．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 12．已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 13．比较大小：4____（填“”“”或“”）． 14．2026年中国国产工具已形成规模化落地态势，张老师的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“秘塔”，若张老师从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“豆包”的概率是_____． 15．定义，例如．则的结果为___________ 16．如图，在四边形中，，点E在边上，连接，，，．若，则的长度为_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）按要求完成下列计算： (1)计算：； (2)在①，②，③中任选2个方程组成二元一次方程组，并求出方程组的解． 18．（12分）小聪、小明参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测试．根据他们集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)这5期的集训共有多少天？ (2)哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？ (3)根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，简要说说你的想法． 19．（10分）某景区文创店新购进A、B两款纪念品，某两天这两款纪念品的销售情况如下： 第一天：售出A款纪念品20件，B款纪念品10件，总计收入2800元； 第二天：售出A款纪念品15件，B款纪念品20件，总计收入3350元． (1)求这两款纪念品的单价； (2)A款纪念品的成本为45元/件，B款纪念品的成本为50元/件，若该文创店当天购进这两款纪念品共50件，其中A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的，求该文创店当天销售完这两款纪念品获得的最大利润． 20．（10分）如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 21．（10分）综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 22．（10分）某兴趣小组为了测量多彩贵州新春灯会中“多彩贵州吉祥蛇”的高度，测量方案与数据如表： 项目课题 测量“多彩贵州吉祥蛇”的高度 测量工具 拍摄三角支架为，标杆为为，测角仪． 测量情况 情况一 情况二 测量方案示意图 说明 ， ，，D，E，F在同一条直线，A，B，C在同一直线上 数据 ， (1)求“多彩贵州吉祥蛇”的高度； (2)求支架到标杆的水平距离的长度（精确到）．（参考数据：，，） 23．（12分）如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E． (1)写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线） (2)求证：； (3)若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）． 24．（12分）炮弹飞行的高低远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，在忽略空气阻力、炮口与地面的高度等其他因素的前提下，发射的炮弹在飞行过程中距发射点的竖直高度（单位：百米）与水平距离（单位：百米）近似满足二次函数关系．某科研机构选择在一座小山前对新研制的火炮进行测试，如图，小山位于火炮正前方．山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米．（图中各点在同一平面内，火炮与山脚、居民区在同一水平线上，火炮底座高度忽略不计） (1)在某次测试中发现，当炮弹飞行的水平距离为12时，达到的最大高度为2.88；若以炮口为坐标原点，以火炮和山脚所在水平线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，则山顶的坐标是______，炮弹飞行轨迹的顶点坐标是______． (2)在（1）的条件下，请通过计算说明炮弹能否越过山顶； (3)通过调整发射角度改变炮弹飞行轨迹，设调整后炮弹的运行轨迹为抛物线（，，为常数，且），已知炮弹的最大杀伤半径为2百米，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点处有居民区；若要求炮弹落点在山顶和居民区之间（既要越过山顶，又不影响居民区），求的取值范围． 25．（12分）某公司设计太阳能板联动系统．如图，支架与固定连接，整体（即）可绕点A旋转．系统启动后，支架绕点A逆时针旋转到达的位置，形成了菱形． 【结构判断】 （1）如图1，的形状是______． 【驱动连杆角度设计】 （2）如图2，在菱形中，驱动电机安装在点P（位于对角线上），带动连杆绕点P逆时针旋转，使点D的对应点Q恰好落在的延长线上．求此时连杆在旋转过程中转过的角度． 【系统性能优化】 （3）在（2）的条件下，若太阳能板长度，求驱动电机所在点P带动连杆运动时，所覆盖区域面积的最大值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考冲刺预测试卷 数学（答案版） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A D B B A D A C B C D 二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．. 14．． 15．． 16．． 三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题10分，18题12分，19题-22每题10分，23-25题每题12分。 17．（10分） 【详解】（1）解： ．（5分） （2）解：选①和②解答如下： ， ②-①得：， 将代入①得，解得：， 所以该方程组的解为． 选①和③解答如下： ， ①+③得：，解得 将代入①得，解得：， 所以该方程组的解为． 选②和③解答如下： ， ②+③得：，解得 将代入②得，解得：， 所以该方程组的解为．（10分） 18．（12分） 【详解】（1）∵（天）． ∴这5期的集训共有55天．（4分） （2）由折线统计图可得第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多， 进步了（秒）， ∴第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了0.2秒．（8分） （3）个人测试成绩与很多因素有关，如集训时间不是越长越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下降；集训的时间为10天或14天时，成绩最好等．（言之有理即可）（10分） 19．（10分） 【详解】（1）解：设A款纪念品的单价为元，B款纪念品的单价为元． 根据题意，得 解得 答：A款纪念品的单价为90元，B款纪念品的单价为100元．（5分） （2）解：设销售A款纪念品件，则销售B款纪念品件． 根据题意，得，解得． 设文创店每天销售完这两款纪念品获得的总利润为元． 根据题意，得． ， 的值随值的增大而减小． 又，且为正整数， 当时，取得最大值，最大值为． 答：该文创店当天销售完这两款纪念品获得的最大利润为2455元．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形．（5分） （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴ 6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96．（10分） 21．（10分） 【详解】解：任务1：由图象知是的反比例函数， 设，把代入，得 该函数表达式为；（5分） 任务2：当时，；而当时，， （秒）． 机器狗完成任务所用的最短时间为198秒．（10分） 22．（10分） 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， 中，， 故．（5分） （2）解：过点F作于点，于点， 则四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴，． ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 故水平距离．（10分） 23．（12分） 【详解】（1）解：， 故答案为：；（答案不唯一）（4分） （2）证明：如图，连接，交于点. 平分. ， ， ， . . ， 是的直径. . 是的切线. ， ， .（8分） （3）解：连接. . . ， ∴. ， ， . ∴. ∴.（12分） 24．（12分） 【详解】（1）解：由山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米可得山顶的坐标， 由当炮弹飞行的水平距离为12时，达到的最大高度为2.88可得炮弹飞行轨迹的顶点坐标， 故答案为：；（4分） （2）解：炮弹飞行的水平距离是12百米时，达到最大高度是2.88百米， 设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为： ， 代入得， ， ； 山顶距炮口的水平距离为5百米， 当时，， 炮弹不能够越过山丘；（8分） （3）解：设抛物线解析式为：，抛物线经过原点，开口向下， 所以抛物线解析式为：； 要越过山顶， 当时，，即， ①． 根据题意，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点处有居民区，则居民区在处， ∵炮弹的最大杀伤半径为2百米， 且需不影响居民区， 当时，，即； ② 由①②得：， 解得：；（12分） 25．（12分） 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∵绕点A逆时针旋转到达的位置， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 故答案为：等边三角形；（4分） （2）如图，连接， ∵菱形， ∴，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， 设， ∴， ， ∴， ∴；（12分） （3）作于点，于点，连接，如图， ∵菱形， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由（2）得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即， 设等边的边长为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当取得最小值时，即最小时，面积有最大值， 当时，最小，此时是等边的高， ∴， ∴， ∴所覆盖区域面积的最大值为．（12分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考冲刺预测试卷 数 学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．国际科考队通过冰钻钻透南极冰盖，派遣水下机器人对冰下湖进行探测，机器人从冰层下表面先向下潜至湖面以下740米，随后为调整观测角度，上浮120米，此时机器人所处的位置为（   ） A．湖面以下520米 B．湖面以下620米 C．湖面以下740米 D．湖面以下860米 【答案】B 【详解】解：，故此时机器人所处的位置为湖面以下620米． 2．如果，那么，则“”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变”即可求解． 【详解】解：∵ ，， 根据不等式的性质，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴ ， 因此□中应填． 3．如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 4．将实数，，，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据数轴的性质，数轴上左边的点对应的数小于右边的点对应的数，因此找出四个数中最小的数即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∵ 数轴上数越小对应的点位置越靠左， ∴ 对应的点在最左边． 5．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查提公因式法分解因式，需确定各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数． 【详解】解：∵ ， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 6．若分式的值为0，则实数x的值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得， 当时，，满足条件， ∴实数的值为2． 故选：A． 7．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ． 8．如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】由边角边证明可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴. 9．江津万达某品牌店，新进一批新款男士运动鞋，试销一周的情况如下： 码号（码） 38 39 40 41 42 43 件数（双） 2 4 7 18 5 1 你认为该店确定进货量时，应多进多少码的鞋子（   ） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】C 【详解】解：∵ 41码的销售件数为18双，高于其他码号的件数（38码2双、39码4双、40码7双、42码5双、43码1双）， ∴ 41码是众数，应多进41码的鞋子． 故选C． 10．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D，使点D到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：该作图痕迹表明，此时点D到、的距离不相等，不符合题意； 对于选项B：该作图痕迹表明平分，且点D在上，根据角平分线的性质可知，点D到、的距离相等，符合题意； 对于选项C：该作图痕迹表明虚线为的中垂线，点D为该中垂线与的交点，此时点D到、的距离不相等，不符合题意； 对于选项D：该作图痕迹表明于点D，此时点D到、的距离不相等，不符合题意； 故选：B． 11．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和圆周角定理．连接，根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据同弧所对的圆周角相等求出的度数． 【详解】解：连接， ，， ． ， ． 故选：C． 12．已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据题意可以求得两函数图象的交点A的坐标，从而可以判断①；根据点A的坐标可以判断②；根据点B的横坐标可以分别求出点B、C的坐标，从而可以得到的值，从而可以判断③；根据函数图象可以判断④． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， 将代入，得， ∴两函数图象的交点A的坐标为，故①正确； 由图象可知，当时，，故②错误； 将代入得，， 将代入得，， ∴，故③正确； 由图象可知，当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小，故④正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 13．比较大小：4____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】两个正数比较大小，平方大的数更大，将两数平方后即可比较大小． 【详解】解：， ， ， ． 14．2026年中国国产工具已形成规模化落地态势，张老师的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“秘塔”，若张老师从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“豆包”的概率是_____． 【答案】 【详解】解：由题意得：张老师从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“豆包”的概率是． 15．定义，例如．则的结果为___________ 【答案】 【分析】本题考查自定义运算，代数式运算，准确理解并代入新运算公式是解题关键． 根据新定义运算规则，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：根据定义， ， 则， 则． 故答案为：． 16．如图，在四边形中，，点E在边上，连接，，，．若，则的长度为_______． 【答案】 【分析】延长和交于点，证明是等腰直角三角形，得出，证明是等腰直角三角形，得出，设，则，，在中，勾股定理求出，则，过点作于点，在中，解直角三角形表示出，在中，解直角三角形表示出，结合，，列方程求出x，即可求解． 【详解】解：延长和交于点， ， ， 在中， ， ， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ， ， 在中，， ， 过点作于点， 在中，， ， 在中，， ， ， 又， ， ∴， ∴， ， ． 三、解答题（本大题共9小题，满分98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）按要求完成下列计算： (1)计算：； (2)在①，②，③中任选2个方程组成二元一次方程组，并求出方程组的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先利用绝对值、零次幂、二次根式的性质化简，然后再计算即可； （2）任选2个组成方程组，再运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：选①和②解答如下： ， ②-①得：， 将代入①得，解得：， 所以该方程组的解为． 选①和③解答如下： ， ①+③得：，解得 将代入①得，解得：， 所以该方程组的解为． 选②和③解答如下： ， ②+③得：，解得 将代入②得，解得：， 所以该方程组的解为． 18．（12分）小聪、小明参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测试．根据他们集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)这5期的集训共有多少天？ (2)哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？ (3)根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，简要说说你的想法． 【答案】(1)55天 (2)第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了0.2秒 (3)个人测试成绩与很多因素有关，如集训时间不是越长越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下降；集训的时间为10天或14天时，成绩最好等．（言之有理即可） 【分析】（1）根据图中的信息可知这5期的集训各有多少天，求出它们的和即可； （2）由折线统计图可得第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步时间可由折线统计图计算； （3）根据图中的信心和题意，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可． 【详解】（1）∵（天）． ∴这5期的集训共有55天． （2）由折线统计图可得第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多， 进步了（秒）， ∴第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了0.2秒． （3）个人测试成绩与很多因素有关，如集训时间不是越长越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下降；集训的时间为10天或14天时，成绩最好等．（言之有理即可） 【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．（10分）某景区文创店新购进A、B两款纪念品，某两天这两款纪念品的销售情况如下： 第一天：售出A款纪念品20件，B款纪念品10件，总计收入2800元； 第二天：售出A款纪念品15件，B款纪念品20件，总计收入3350元． (1)求这两款纪念品的单价； (2)A款纪念品的成本为45元/件，B款纪念品的成本为50元/件，若该文创店当天购进这两款纪念品共50件，其中A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的，求该文创店当天销售完这两款纪念品获得的最大利润． 【答案】(1)A款纪念品的单价为90元，B款纪念品的单价为100元 (2)2455元 【分析】本题考查了一次函数，二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A款纪念品的单价为元，B款纪念品的单价为元．由题干中销售的数量以及总收入即可建立二元一次方程组求解； （2）设销售A款纪念品件，则销售B款纪念品件．先列出不等式求出的取值范围，再建立起利润关于销售数量的函数解析式，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A款纪念品的单价为元，B款纪念品的单价为元． 根据题意，得 解得 答：A款纪念品的单价为90元，B款纪念品的单价为100元． （2）解：设销售A款纪念品件，则销售B款纪念品件． 根据题意，得，解得． 设文创店每天销售完这两款纪念品获得的总利润为元． 根据题意，得． ， 的值随值的增大而减小． 又，且为正整数， 当时，取得最大值，最大值为． 答：该文创店当天销售完这两款纪念品获得的最大利润为2455元． 20．（10分）如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则 6，，所以，则． 【详解】（1）证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴ 6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 21．（10分）综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 【答案】任务1：是的反比例函数，函数表达式为；任务2：198秒 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 任务1：利用待定系数法求出反比例函数解析式； 任务2：将和60分别代入解析式计算求解即可． 【详解】解：任务1：由图象知是的反比例函数， 设，把代入，得 该函数表达式为； 任务2：当时，；而当时，， （秒）． 机器狗完成任务所用的最短时间为198秒． 22．（10分）某兴趣小组为了测量多彩贵州新春灯会中“多彩贵州吉祥蛇”的高度，测量方案与数据如表： 项目课题 测量“多彩贵州吉祥蛇”的高度 测量工具 拍摄三角支架为，标杆为为，测角仪． 测量情况 情况一 情况二 测量方案示意图 说明 ， ，，D，E，F在同一条直线，A，B，C在同一直线上 数据 ， (1)求“多彩贵州吉祥蛇”的高度； (2)求支架到标杆的水平距离的长度（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）先证明四边形为矩形，得出，，解直角三角形得出答案即可； （2）过点F作于点，于点，证明，得出，设，则，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， 中，， 故． （2）解：过点F作于点，于点， 则四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴，． ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 故水平距离． 23．（12分）如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E． (1)写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线） (2)求证：； (3)若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由圆周角定理即可得到答案； （2）连接，交于点，推出，得到，即可得到结论； （3）连接，推出，得到，求出，得到． 【详解】（1）解：， 故答案为：；（答案不唯一） （2）证明：如图，连接，交于点. 平分. ， ， ， . . ， 是的直径. . 是的切线. ， ， . （3）解：连接. . . ， ∴. ， ， . ∴. ∴. 24．（12分）炮弹飞行的高低远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，在忽略空气阻力、炮口与地面的高度等其他因素的前提下，发射的炮弹在飞行过程中距发射点的竖直高度（单位：百米）与水平距离（单位：百米）近似满足二次函数关系．某科研机构选择在一座小山前对新研制的火炮进行测试，如图，小山位于火炮正前方．山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米．（图中各点在同一平面内，火炮与山脚、居民区在同一水平线上，火炮底座高度忽略不计） (1)在某次测试中发现，当炮弹飞行的水平距离为12时，达到的最大高度为2.88；若以炮口为坐标原点，以火炮和山脚所在水平线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，则山顶的坐标是______，炮弹飞行轨迹的顶点坐标是______． (2)在（1）的条件下，请通过计算说明炮弹能否越过山顶； (3)通过调整发射角度改变炮弹飞行轨迹，设调整后炮弹的运行轨迹为抛物线（，，为常数，且），已知炮弹的最大杀伤半径为2百米，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点处有居民区；若要求炮弹落点在山顶和居民区之间（既要越过山顶，又不影响居民区），求的取值范围． 【答案】(1)； (2)炮弹不能够越过山丘 (3) 【分析】（1）根据题意，找到相应点的位置，直接求解即可； （2）根据题意，设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为： ，再将代入，求得解析式，然后将代入求解即可； （3）抛物线解析式为：，求得抛物线解析式，根据题意可得，当时，，当时，，然后列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米可得山顶的坐标， 由当炮弹飞行的水平距离为12时，达到的最大高度为2.88可得炮弹飞行轨迹的顶点坐标， 故答案为：； （2）解：炮弹飞行的水平距离是12百米时，达到最大高度是2.88百米， 设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为： ， 代入得， ， ； 山顶距炮口的水平距离为5百米， 当时，， 炮弹不能够越过山丘； （3）解：设抛物线解析式为：，抛物线经过原点，开口向下， 所以抛物线解析式为：； 要越过山顶， 当时，，即， ①． 根据题意，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点处有居民区，则居民区在处， ∵炮弹的最大杀伤半径为2百米， 且需不影响居民区， 当时，，即； ② 由①②得：， 解得：； 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，理解题意，将实际问题抽象成数学模型，建立二次函数模型，确定出关于的不等式是解题的关键． 25．（12分）某公司设计太阳能板联动系统．如图，支架与固定连接，整体（即）可绕点A旋转．系统启动后，支架绕点A逆时针旋转到达的位置，形成了菱形． 【结构判断】 （1）如图1，的形状是______． 【驱动连杆角度设计】 （2）如图2，在菱形中，驱动电机安装在点P（位于对角线上），带动连杆绕点P逆时针旋转，使点D的对应点Q恰好落在的延长线上．求此时连杆在旋转过程中转过的角度． 【系统性能优化】 （3）在（2）的条件下，若太阳能板长度，求驱动电机所在点P带动连杆运动时，所覆盖区域面积的最大值． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形和旋转的性质，得到，利用等边三角形的判定即可得出结论； （2）连接，根据菱形的性质证明，得到，，根据旋转的性质得到，则有，再结合（1）中的结论，利用角的和差即可求出的度数； （3）作于点，于点，连接，利用菱形的性质证明是等边三角形，进而得到，，通过证明，推出，设等边的边长为，表示出，分析可知当取得最小值时，即最小时，面积有最大值，据此即可解答． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∵绕点A逆时针旋转到达的位置， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）如图，连接， ∵菱形， ∴，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， 设， ∴， ， ∴， ∴； （3）作于点，于点，连接，如图， ∵菱形， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由（2）得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即， 设等边的边长为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当取得最小值时，即最小时，面积有最大值， 当时，最小，此时是等边的高， ∴， ∴， ∴所覆盖区域面积的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考冲刺预测试卷 数 学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．国际科考队通过冰钻钻透南极冰盖，派遣水下机器人对冰下湖进行探测，机器人从冰层下表面先向下潜至湖面以下740米，随后为调整观测角度，上浮120米，此时机器人所处的位置为（   ） A．湖面以下520米 B．湖面以下620米 C．湖面以下740米 D．湖面以下860米 2．如果，那么，则“”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．将实数，，，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是（   ） A． B． C． D．0 5．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D．2 6．若分式的值为0，则实数x的值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 7．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 8．如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 9．江津万达某品牌店，新进一批新款男士运动鞋，试销一周的情况如下： 码号（码） 38 39 40 41 42 43 件数（双） 2 4 7 18 5 1 你认为该店确定进货量时，应多进多少码的鞋子（   ） A．39 B．40 C．41 D．42 10．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D，使点D到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 11．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 12．已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 13．比较大小：4____（填“”“”或“”）． 14．2026年中国国产工具已形成规模化落地态势，张老师的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“秘塔”，若张老师从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“豆包”的概率是_____． 15．定义，例如．则的结果为___________ 16．如图，在四边形中，，点E在边上，连接，，，．若，则的长度为_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）按要求完成下列计算： (1)计算：； (2)在①，②，③中任选2个方程组成二元一次方程组，并求出方程组的解． 18．（12分）小聪、小明参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测试．根据他们集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)这5期的集训共有多少天？ (2)哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？ (3)根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，简要说说你的想法． 19．（10分）某景区文创店新购进A、B两款纪念品，某两天这两款纪念品的销售情况如下： 第一天：售出A款纪念品20件，B款纪念品10件，总计收入2800元； 第二天：售出A款纪念品15件，B款纪念品20件，总计收入3350元． (1)求这两款纪念品的单价； (2)A款纪念品的成本为45元/件，B款纪念品的成本为50元/件，若该文创店当天购进这两款纪念品共50件，其中A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的，求该文创店当天销售完这两款纪念品获得的最大利润． 20．（10分）如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 21．（10分）综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 22．（10分）某兴趣小组为了测量多彩贵州新春灯会中“多彩贵州吉祥蛇”的高度，测量方案与数据如表： 项目课题 测量“多彩贵州吉祥蛇”的高度 测量工具 拍摄三角支架为，标杆为为，测角仪． 测量情况 情况一 情况二 测量方案示意图 说明 ， ，，D，E，F在同一条直线，A，B，C在同一直线上 数据 ， (1)求“多彩贵州吉祥蛇”的高度； (2)求支架到标杆的水平距离的长度（精确到）．（参考数据：，，） 23．（12分）如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E． (1)写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线） (2)求证：； (3)若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）． 24．（12分）炮弹飞行的高低远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，在忽略空气阻力、炮口与地面的高度等其他因素的前提下，发射的炮弹在飞行过程中距发射点的竖直高度（单位：百米）与水平距离（单位：百米）近似满足二次函数关系．某科研机构选择在一座小山前对新研制的火炮进行测试，如图，小山位于火炮正前方．山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米．（图中各点在同一平面内，火炮与山脚、居民区在同一水平线上，火炮底座高度忽略不计） (1)在某次测试中发现，当炮弹飞行的水平距离为12时，达到的最大高度为2.88；若以炮口为坐标原点，以火炮和山脚所在水平线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，则山顶的坐标是______，炮弹飞行轨迹的顶点坐标是______． (2)在（1）的条件下，请通过计算说明炮弹能否越过山顶； (3)通过调整发射角度改变炮弹飞行轨迹，设调整后炮弹的运行轨迹为抛物线（，，为常数，且），已知炮弹的最大杀伤半径为2百米，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点处有居民区；若要求炮弹落点在山顶和居民区之间（既要越过山顶，又不影响居民区），求的取值范围． 25．（12分）某公司设计太阳能板联动系统．如图，支架与固定连接，整体（即）可绕点A旋转．系统启动后，支架绕点A逆时针旋转到达的位置，形成了菱形． 【结构判断】 （1）如图1，的形状是______． 【驱动连杆角度设计】 （2）如图2，在菱形中，驱动电机安装在点P（位于对角线上），带动连杆绕点P逆时针旋转，使点D的对应点Q恰好落在的延长线上．求此时连杆在旋转过程中转过的角度． 【系统性能优化】 （3）在（2）的条件下，若太阳能板长度，求驱动电机所在点P带动连杆运动时，所覆盖区域面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $