精品解析：山东省2026年普通高校招生（春季）统一考试数学试题（考生回忆版）

山东省2026年普通高校招生（春季）统一考试数学试题 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本答题共20小题，每题3分，共60分） 1. 已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个 2. 已知，则不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集是，则实数c的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知直线m，n和平面，，且，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知离散型随机变量X的分布列，则随机变量X的均值（ ） X 1 2 3 4 P 0.2 0.25 0.3 0.25 A. 1.8 B. 2.0 C. 2.6 D. 4.8 9. 已知直线与直线互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 6 10. 现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的图象如图所示，则结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 13. 在的展开式中，已知第二项的二项式系数是7，则第三项是（ ） A. B. C. D. 14. 如图所示，现有两排四列8个座位，从中选取2个座位安排甲乙入座，要求在同一排时不相邻，不在同一排时不同列，则甲乙所有不同坐法的种数是（ ） A. 18 B. 24 C. 32 D. 36 15. 已知奇函数的图象是一条曲线，在区间是增函数，在区间上是减函数，则函数在区间的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 16. 已知圆的圆心到直线的距离为d，则结论正确的是（ ） A. B. C. D. 17. 把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 18. 从某学校学生体能测试的数据中随机抽取一个容量为200的样本，样本数据的极差是36，数据被分成12个等宽组，且分组的总范围等于极差，已知其中一组的频数是60，则该组数据频率与组距的比值是（ ） A. 0.1 B. 0.18 C. 0.2 D. 0.3 19. 已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 20. 在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如：“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为：“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 23 卷二（非选择题，共60分） 二．填空题（本答题共5个小题，每小题4分，共20分） 21. 已知，则的值是_____________． 22. 如图所示，某几何体的正视图和左视图都是边长为4的正方形，俯视图是圆，则该几何体的表面积为_____________． 23. 已知向量，，若，则实数_____________． 24. 已知，则的值是_____________． 25. 如图所示，已知是双曲线的左焦点，过斜率为2的直线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若，则两条渐近线所成夹角的正切值是_____________． 三、解答题（本答题5个小题，共40分，请写出文字说明．证明过程或演算步骤） 26. 已知函数，且， （1）求实数b的值； （2）函数的最小值和最大值． 27. 已知等比数列的前n项和是（C为常数） （1）求常数C的值 （2）若，求n的最小值 28. 如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且． （1）求O，M两点间的距离 （2）计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度． 29. 如图所示，在长方形中，已知，，E，F分别为，的中点，将长方形沿折成直二面角，使点A，D分别到点P，Q的位置，连接，． （1）证明：平面； （2）求点E到平面的距离. 30. 倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且 （1）求抛物线的标准方程 （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2026年普通高校招生（春季）统一考试数学试题 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本答题共20小题，每题3分，共60分） 1. 已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的子集的概念即可求解. 【详解】集合的子集有， 所以集合A的子集个数为4个. 故选：C. 2. 已知，则不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一分析每个选项. 【详解】选项A：因为，可得，又，所以，该选项正确； 选项B：已知，令，得，此时，该选项错误； 选项C：已知，令，得，此时，该选项错误； 选项D：已知，根据不等式的性质可知，该选项错误， 故选：A. 3. 已知复数，则复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念和复数的几何意义求解即可. 【详解】复数，所以， 则复平面内对应的点的坐标是. 故选：B. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分母不为零和二次根式被开方数大于等于零列式求解即可. 【详解】函数，则有，即且. 故函数的定义域是. 故选：C. 5. 如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法以及减法的几何运算求解即可. 【详解】因为A，B，C三点共线，且，所以， 所以，即， 化简得. 故选：A. 6. 已知不等式的解集是，则实数c的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解集求解即可. 【详解】不等式，的解集为，即， 解得，所以， 解得. 故选：B. 7. 已知直线m，n和平面，，且，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、平面与平面的位置关系以及充分条件和必要条件的概念判断. 【详解】若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立； 若，，，根据两个平行平面的性质，可知与没有公共点， 那么与可能平行，也可能异面，故必要性不成立， 综上，是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 8. 已知离散型随机变量X的分布列，则随机变量X的均值（ ） X 1 2 3 4 P 0.2 0.25 0.3 0.25 A. 1.8 B. 2.0 C. 2.6 D. 4.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的均值公式计算. 【详解】由题意，. 故选：C. 9. 已知直线与直线互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件列出的方程求解. 【详解】已知直线与直线互相垂直， 则，解得， 故选：D. 10. 现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算． 【详解】所有可能的分配方式共有6种情形，如下表： A车间 甲乙 甲丙 乙丙 甲 乙 丙 B车间 丙 乙 甲 乙丙 甲丙 甲乙 其中，甲被分到A车间的情形有3种，如下表： A车间 甲乙 甲丙 甲 B车间 丙 乙 乙丙 所以甲被分到A车间的概率是， 故选：C． 11. 已知函数的图象如图所示，则结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象和性质确定、的范围，结合指数函数的单调性判断即可. 【详解】由函数的图象可知，函数单调递增，所以. 因为函数图象与轴的交点为，由图可知，所以， 点在函数的图像上，可得，从而，， 选项A：因为，所以，故A选项错误； 选项B：因为，，，取， 此时，由于，可知无意义，故B选项错误； 选项C：因为且，所以，故C选项错误； 选项D：因为，所以指数函数在上单调递减， 因为，所以，故D选项正确， 故选：D. 12. 已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边上点的坐标求三角函数值即可. 【详解】已知角的终边过点，且， 则，则， 则，即，解得（舍去）. 故选：A. 13. 在的展开式中，已知第二项的二项式系数是7，则第三项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理求解即可. 【详解】展开式通项为. 已知第二项的二项式系数是，解得. 则第三项为. 故选：B. 14. 如图所示，现有两排四列8个座位，从中选取2个座位安排甲乙入座，要求在同一排时不相邻，不在同一排时不同列，则甲乙所有不同坐法的种数是（ ） A. 18 B. 24 C. 32 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】用分类加法计数原理计算，分甲乙同排和甲乙不同排两类计算. 【详解】甲乙在同一排，要求不相邻：每排共4个座位，4个座位中相邻的座位共3组， 总选法种，相邻的排列种，所以一排满足条件的排列为种. 两排共种坐法. 甲乙不在同一排，要求不同列： 甲任选一排的一个座位，共种选法； 乙在另一排，不能和甲同列，因此有种选法. 总共有种坐法. 因此种. 故选：D. 15. 已知奇函数的图象是一条曲线，在区间是增函数，在区间上是减函数，则函数在区间的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数图象关于原点对称这一性质，结合已知区间的单调性求解. 【详解】对于奇函数，其图象关于原点对称. 已知在区间是增函数，则在区间上也是增函数， 又已知在区间上是减函数，则在区间上是减函数， 综上，函数在区间的单调递增区间是， 故选：C. 16. 已知圆的圆心到直线的距离为d，则结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标，再点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆可化为，因此圆心为. 圆心到直线的距离. 因为，所以，进而. 故选：C. 17. 把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像平移的规律以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 所以. 故选：B. 18. 从某学校学生体能测试的数据中随机抽取一个容量为200的样本，样本数据的极差是36，数据被分成12个等宽组，且分组的总范围等于极差，已知其中一组的频数是60，则该组数据频率与组距的比值是（ ） A. 0.1 B. 0.18 C. 0.2 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】根据组距以及频率求解即可. 【详解】组距 = 极差÷组数 = ， 频率 = 频数÷样本容量 = . 所以该组数据频率与组距的比值. 故选：A. 19. 已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的性质以及离心率公式的计算. 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 因为椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分， 所以可得，即，从而， 故选：A. 20. 在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如：“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为：“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出数列通项公式，再根据不等式求解即可. 【详解】因为除以3和7都余2，所以是3和7的公倍数，3和7的最小公倍数是21，因此可设（为非负整数）. 结合除以5余3，所以除以5余3，即除以5余3， 所以除以5余1，即（为非负整数）， 因此，即所有满足条件的是首项为、公差为的等差数列， 通项为， 又，所以，化简得， 因此最大取19，即的最大值为. 故选：B. 卷二（非选择题，共60分） 二．填空题（本答题共5个小题，每小题4分，共20分） 21. 已知，则的值是_____________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】利用对数的运算性质和换底公式进行求解. 【详解】已知，则，可得， 则. 故答案为：. 22. 如图所示，某几何体的正视图和左视图都是边长为4的正方形，俯视图是圆，则该几何体的表面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，再求其表面积即可. 【详解】由三视图知，几何体是圆柱， 其中圆柱的母线长为，底面圆的直径为，即底面圆半径， 所以该几何体的表面积. 故答案为：. 23. 已知向量，，若，则实数_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量内积的坐标运算公式求解. 【详解】已知向量，，且， 可得：， 即，解得， 故答案为：5. 24. 已知，则的值是_____________． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系求解. 【详解】因为，且， 所以，即，解得， 故答案为：. 25. 如图所示，已知是双曲线的左焦点，过斜率为2的直线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若，则两条渐近线所成夹角的正切值是_____________． 【答案】##2.4 【解析】 【分析】首先求出焦点，进而得到直线方程，联立渐近线方程得到点，再根据向量坐标求解即可. 【详解】双曲线的左焦点，渐近线方程为. 过​斜率为2的直线方程为. 联立直线和两条渐近线，解得，交点. 由，可得​， 代入坐标得， 约去非零的，化简得，整理得，即. 两条渐近线斜率为， 根据两直线夹角正切公式，代入得. 故答案为：. 三、解答题（本答题5个小题，共40分，请写出文字说明．证明过程或演算步骤） 26. 已知函数，且， （1）求实数b的值； （2）函数的最小值和最大值． 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为27 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式代入求解即可. （2）根据指数函数的单调性以及二次函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数， 又，所以， 解得. 【小问2详解】 当时，，此时在上为减函数， 所以时，函数最大值为，最小值为， 当，，函数开口向上，对称轴为， 即时，单调递减；，单调递增； 所以时，函数最小值为，最大值为， 综上，在区间上最小值为，最大值为27． 27. 已知等比数列的前n项和是（C为常数） （1）求常数C的值 （2）若，求n的最小值 【答案】（1）1 （2）7 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的前项和与通项公式的关系求解即可. （2）根据（1）求出，再根据不等式求解即可. 【小问1详解】 因为为等比数列，前n项和是（为常数）， 所以当时， ， 当时，， 则， 得到. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为 ，所以 ， 得到，解得， 又，所以的最小值为7. 28. 如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且． （1）求O，M两点间的距离 （2）计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据同角三角函数的关系以及正弦定理求解即可. 【小问1详解】 依题意，, 由余弦定理得， 即, , 即两点间的距离为． 【小问2详解】 ，， , 由正弦定理， . 即栈道的长度为． 29. 如图所示，在长方形中，已知，，E，F分别为，的中点，将长方形沿折成直二面角，使点A，D分别到点P，Q的位置，连接，． （1）证明：平面； （2）求点E到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质及直线与平面垂直的判定定理证明； （2）利用等体积法求解点到平面的距离. 【小问1详解】 在长方形中，E，F分别为，的中点， ，， ，∴四边形为平行四边形， 又，， ∴四边形为正方形，， 同理四边形为正方形，，从而， 已知将长方形沿 折成直二面角，所以平面 平面 ， 且平面 平面 ， 平面 ，， 可得平面， 又因为平面， ， 又，平面， ， 平面. 【小问2详解】 连接，如图， 由（1）知平面，平面， ，， 又，平面， ， 平面， 平面， ， 在中， ， ， ， ， 设点E到平面的距离为d， 由，得， 即，解得. 故点E到平面的距离为. 30. 倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且 （1）求抛物线的标准方程 （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可. （2）首先求出直线l，再与抛物线方程联立，再根据点到直线的距离公式以及三角形面积求解即可. 【小问1详解】 由定义知，点到焦点的距离等于到准线的距离，且， 又， ， 所以，即， ∴抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 点P在抛物线上，设P点坐标. 由题意，直线l的斜率存在且，又直线过抛物线焦点， 所以直线为， 联立，消去y，整理得， 因为直线与抛物线交于点，点，所以， ，, 又点P到直线的距离， 所以 ，即， 可化为或， 解得或或， 当， ，当， ，当， ， 点的坐标为或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $