命题大赛 广东省罗定市高一下学期数学期末测试2025-2026学年（人教A版必修第二册第六到第十章）

**基本信息** 广东罗定市高一下期末数学试卷，原创题占比高，覆盖复数、统计、立体几何等核心知识，通过分层问题设计与情境化探究，培养数学抽象、逻辑推理与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、统计量、向量数量积|第2题结合样本数据变换考查方差性质，体现数据分析| |填空题|3题15分|互斥事件概率、异面直线所成角|第14题函数图像交点问题，考查几何直观| |解答题|5题77分|频率分布直方图、解三角形、立体几何、概率模型|18题概率递推模型设计，17题正三棱柱线面关系证明，凸显逻辑推理与数学建模|

广东罗定市2025-2026高一下学期数学期末测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的. （原创）1. 已知复数 ,则 A.0 B. 1 C.-1 D. 2 （原创）2.有一组样本数据其平均数是，方差为若样本数据的平均数为方差为,则 A. B. C. D. （原创）3. 已知向量 ，则 A. 0 B.1 C.-1 D. -2 （原创）4. 方程的一个根是，求的值是 5. 如图， 是 的直观图,若 ， 的面积为3，则 A. B. C. 6 D. 12 6. 现有 5 人(其中男性有 2 人，女性有 3 人)去某公司应聘，但该公司只录用 2 人. 假设这 5 人被录用的机会相同,则被录用的 2 人性别不同的概率是 A. B. C. D. 7. 已知点 在点 的正西方向,为了测量 两点之间的距离,在观测点 处测得 在 的北偏西 方向， 在 的北偏东 方向，且 ， 两点之间的距离为 20 米，则 ， 两点之间的距离为 A. B. 米 C. 米 D. 米 8．已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. （原创）9. 已知复数 ,则下列结论正确的是 A. 的实部是 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 10. 一分钟跳绳是中考体育选考项目之一. 小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来, 以此评估自己的训练成果. 小明记录了他在 3 月份的 10 次训练成绩和 4 月份的 20 次训练成绩. 通过计算,他发现 3 月份的训练成绩的平均值为 177 , 方差为 月份的训练成绩的平均值为 186 , 方差为 6.3 . 下列结论正确的是 A. 小明这两个月的 30 次训练成绩的平均数为 181.5 B. 小明这两个月的 30 次训练成绩的平均数为 183 C. 小明这两个月的 30 次训练成绩的方差为 6 D. 小明这两个月的 30 次训练成绩的方差为 24 11. 如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱，的中点，动点P在线段上，动点Q在正方形内（包含边界），平面，则（    ） A． B．PQ的最大值为 C．存在P，Q，使得平面 D． 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知事件 与事件 为互斥事件,且 ,则 . 13. 在正方体 中, 是 的中点,则直线 与 所成角的余弦值为 . (原创)14.函数，的图象与直线恰有个交点，则的取值范围为___________. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）分某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)分别求出成绩落在与中的学生人数； (3)估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数． （原创）16.（15分）在中，内角所对的边分别为，设. （1） 求角； （2） 若，且，求面积的最大值. （3） 若，求的取值范围. 17. （15分）如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 18. （17分）甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打.假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立. (1)求前三局中甲恰好参与了两局的概率； (2)求第局有甲参与的概率； (3)求第局是甲、乙对打的概率. 19.(17分)定义:两个多面体 ， 的重合度 ，其中 是多面体 ， 的重合部分的体积, 分别是多面体 的体积. 如图,在三棱柱 中, 分别是棱 上的点 (不包含端点),且 ,延长 ,分别交 的延长线于点 . (1)已知 ，且三棱柱 的体积为 18. ①求三棱柱 与三棱锥 重合部分的体积; ②求三棱柱 与三棱锥 的重合度 . (2)若三棱柱 与三棱锥 的重合度 ，求 的值. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《广东罗定市2025-2026高一下学期数学期末测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C D C A D CD BD 题号 11 答案 BCD 1.D 由题意可得. 2.B 根据样本数据平均值公式可知，，方差 3.C 由题意可得 4.C因为是方程的一个根，所以也是方程的一个根，由根与系数的关系，得， 5. 因为的面积为3,所以边上的高为,则,从而. 6. 记男性应聘者分别为,女性应聘者分别为,从这5人中随机抽取2人的情况有共10种,其中2人性别不同的情况有,，共6种，故所求概率. 7.A 如图，由题可知，，米，由正弦定理可得，则米. 8.D 因为分别表示与方向上的单位向量，所以向量所在直线与的平分线重合，又，即与垂直，由三线合一可知，，如图，取的中点，连接，则⊥，又，其中，所以，，故 以为坐标原点，建立直角坐标系 ，， 设， ， 当时 的最小值为，故的最小值为 9. 由题意可得,所以的实部为,虚部为在复平面内所对应的点的坐标为,位于第四象限. 10. 由题意可得小明这两个月的30次训练成绩的平均数为,则他这两个月的30次训练成绩的方差为. 11. BCD如图，连接，，，．因为，平面，平面， 所以平面，因为，平面，平面，所以平面；因为，且平面，所以平面平面；因为平面，平面，所以平面；又平面平面，所以点在线段上，故与不一定平行，A错误．由A可知，当与或重合时，取最大值为，B正确；当点与点重合，点与点重合时，平面，C正确；因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， ，D正确． 12. 由题意可得. 13.在正方体的右侧补一个棱长相等的正方体,取的中点,连接,易得,则直线与所成的角为或其补角.设正方体的棱长为2,可得,则,即直线与所成角的余弦值为. 14. 函数与直线恰有3个交点，也就是方程有3个解，即的图象与直线有三个交点，即，从而. 15. （1）由题意得，解得…………………………………………………3分 （2）设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数 由题意得………………………………………………………………………………..5分 设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数， …………………………………………………………………………………………7分 （3）由题意得众数为75分； 由（1）得成绩落在的频率为0.1，落在的频率为0.15， 落在的频率为0.35，落在的频率为0.3，落在的频率为0.1……………………….9分 则平均数为设为78分以上的频率，为78分以上的人数，则……………………………………11分 ，故78分以上的人数为47人………………………………………………………………………………...13分 16.解:(1) 在中，由正弦定理得：…………………………………..1分 又，…………..2分 ………………………………………..3分 (2)由(1)得，又…………………………………………..4分 由易知：为靠近的一个三等分点， ………………………………………………………….6分 ，，当且仅当时，等号成立………………….7分 所以，面积的最大值为……………………………………..8分 (3)由(1)得，又 由(1)得，又，所以在中，由正弦定理得 ，，………………10分 则 ………………………………………………………………………………………….13分 又，， 的取值范围是………………………………………15分 17. 解（1）在等边中，因为为的中点，可得…………….1分 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以……………………………………………………………….3分 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以…………………………………………………….5分 （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则…………………………….7分 ，所以，可得….9分 因平面，故平面……………………………………………………………11分 （3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，所以………………………………………………………14分 所以直线与平面所成角的正弦值为………………………………………………………………15分 18. 解：（1）分两种情况. 第一种情况：甲第二局轮空，即第一局甲负，此时第三局一定有甲参与，其概率为………………….2分 第二种情况：甲第三局轮空，此时第二局甲负，第一局甲胜，其概率为……………………...4分 故所求概率为…………………………………………………………………………………………………………………..5分 （2）记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为 若第局有甲参与，则第局有甲参与的概率为……………………………………………………………………..7分 若第局没有甲参与，则第局一定有甲参与，所以…………………………………….9分 即………………………………………………………………………………………………...10分 因为，所以，所以，即.……………………….11分 （3）第局是甲、乙对打，则第局丙轮空，记第局有丙参与的概率为，则第局有丙参与的概率为.若第局有丙参与，则第局有丙参与的概率为； 若第局没有丙参与，则第局一定有丙参与，所以， 即.……………………………………………………………………………………………….13分 因为，所以，所以，即………………15分 第局是甲、乙对打的概率为.………………………………………………………….17分 19.解:设的面积为,三棱柱的高为,则三棱柱的体积. 1分 (1)①作，交于点，连接(图略)，易证平面平面. 因为,所以为棱的中点,则三棱柱的体积 2分 三棱锥A-DEH的体积. 3分 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积12. 4分 ②因为，所以，所以， 所以，所以. 5分 因为平面平面,所以平面. 因为平面平面,且平面,所以,所以, 则,故, 从而三棱锥的体积,7分故三棱柱与三棱锥的重合度. 9分 (2)设，则，从而， 故三棱柱的体积, 10分 三棱锥A-DEH的体积, 11分 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积 12分 因为,所以,所以, 所以,所以. 13分 因为平面平面，所以平面. 因为平面平面,且平面,所以,所以,则,故,从而三棱锥的体积,14分故三棱柱与三棱锥的重合度 15分 因为,所以,所以,所以,解得或或. 因为，所以. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 广东省罗定市高一下学期数学期末测试命题双向细目表 题号 题型 分值 考查模块 核心知识点 能力层级 核心素养 试题属性 难度 难度系数 1 单选题 5 复数 复数四则运算、i的幂运算、共轭复数性质、复数乘积运算 理解、运算 数学运算 原创 易 0.85 2 单选题 5 统计 样本平均数、方差的线性变换性质（y=ax+b型） 理解、运算 数据分析、数学运算 原创 易 0.8 3 单选题 5 平面向量 平面向量数量积坐标运算、三角恒等化简 理解、运算 数学运算 原创 易 0.82 4 单选题 5 复数 实系数一元二次方程复数根、韦达定理、共轭根定理 理解、运算 数学运算 常规 中易 0.7 5 单选题 5 立体几何 斜二测画法、直观图与原图的面积换算、三角形面积公式 理解、运算 直观想象、数学运算 常规 中易 0.68 6 单选题 5 概率 古典概型、组合计数、性别分类概率计算 理解、运算 数学运算、逻辑推理 常规 中易 0.72 7 单选题 5 解三角形 方位角建模、正弦定理、三角形边角求解、实际应用 运算、建模 数学建模、数学运算 常规 中档 0.58 8 单选题 5 平面向量 单位向量、向量垂直、向量模长公式、向量数量积最值、动点问题 推理、综合运用 逻辑推理、直观想象 原创压轴 偏难 0.45 9 多选题 6 复数 复数实部虚部、复数模、共轭复数、复平面内点的位置 理解、运算 数学运算、直观想象 原创 易 0.8 10 多选题 6 统计 分层平均数、分层方差的加权计算、样本数据统计量综合 运算、数据分析 数据分析、数学运算 常规 中档 0.55 11 多选题 6 立体几何 正方体线面平行判定、空间线段最值、面面平行、等体积法 推理、直观想象 直观想象、逻辑推理 综合 中档 0.52 12 填空题 5 概率 互斥事件概率加法公式、基础概率运算 理解、运算 数学运算 基础 易 0.83 13 填空题 5 立体几何 正方体异面直线所成角、向量法求夹角余弦值 运算、推理 直观想象、数学运算 常规 中档 0.56 14 填空题 5 三角函数 正弦型函数图像性质、区间内交点个数、数形结合求参数范围 数形结合、运算 直观想象、数学运算 原创 中档 0.5 15 解答题 13 统计 频率分布直方图参数求解、频数计算、众数、平均数估计、分位数应用 运算、数据分析 数据分析、数学运算 常规 易 0.75 16 解答题 15 解三角形 正弦定理边角互化、向量中线、三角形面积最值、正弦定理+三角恒等变换求范围 推理、综合运用 逻辑推理、数学运算 原创综合 中档 0.55 17 解答题 15 立体几何 正三棱柱线线垂直证明、线面垂直判定、空间向量法求线面角正弦值 证明、运算、推理 直观想象、逻辑推理、数学运算 常规综合 中档 0.53 18 解答题 17 概率 独立事件概率、递推数列求概率、分类讨论、数列通项求解 推理、建模、综合运用 逻辑推理、数学建模 创新压轴 偏难 0.42 19 解答题 17 立体几何 空间几何体体积计算、新定义“重合度”、相似几何体体积比、参数求解 运算、探究、综合运用 直观想象、数学运算、创新探究 创新压轴 偏难 0.4 平均 0.63 $