2026届高考数学押题卷一（新课标Ḭ卷）

**基本信息** 高考数学押题卷以复数、立体几何等知识为载体，通过电池循环测试等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数、集合、向量、数列等|注重概念辨析，如投影向量模计算| |多选题|3题|二项式定理、数列性质、抛物线几何性质|选项分层设计，考查逻辑严谨性| |填空题|3题|四分位数、函数性质、立体几何折叠|结合翻折问题，考查空间想象| |解答题|5题|解三角形、立体几何、概率统计（电池数据）、圆锥曲线、导数|以电池循环测试为情境，融合线性回归与概率分布，体现数学建模与数据分析|

高考数学押题卷一（新课标Ḭ卷） 一、单选题 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知全集，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量与的夹角为120°，，，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 4．已知数列是等比数列，且，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，的一条渐近线方程为，点在上，且，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．5 6．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 7．已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数存在两个极值点、，记、．若曲线上存在点，使得，求的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（ ） A．的展开式中二项式系数最大的项是第6，7项 B．若随机变量满足则 C．用这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数 D．已知随机变量的概率分布为，则实数的值为 10．已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D． 11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，点是上任意一点，过点作轴的垂线交轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程为 B． C．可能是等腰三角形 D．的最小值为4 三、填空题 12．已知某班级某小组学生的一次考试中化学成绩（单位：分）分别是，则他们的化学成绩的第一四分位数是__________（分）. 13．已知是定义在上的函数，，且，则_______； 14．已知菱形，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，设点是的中点．记的面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则的最小值为__________． 四、解答题 15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，为边上一点，平分，，求b． 16．如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 17．某科研团队研发新一代硫化物固态锂电池，测试了5块同批次电池的循环次数x（次）与剩余容量y（单位：），得到如下数据： x（次） 100 200 300 400 500 y（Ah） 9.8 9.5 9.2 8.9 8.6 (1)求y关于x的线性回归方程，预测当循环次数为1000次时电池的剩余容量；并计算样本相关系数r，据此说明线性回归模型拟合x与y关系的合理性. (2)该团队另有10块同批次电池，其中改性优化电池6块，普通电池4块；改性优化电池中有4块循环寿命超过1000次，普通电池循环寿命均未超过1000次，规定循环寿命超过1000次为达标.现从这10块电池中随机抽取3块进行破坏性安全测试，记抽取的3块中达标的电池数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，， 相关系数 18．已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线经过点，设点，且的面积为，求的值； (3)若直线过点，设直线的斜率分别为，且成等差数列，求直线的方程 19．已知函数，是的导函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的极值点个数； (3)若有两个极值点，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高考数学押题卷一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A C B D C ACD BC 题号 11 答案 AC 12．52 13．11 14． 15．(1) (2)6 【详解】（1）由及正弦定理得， 所以． 因为，，所以1， 即， 又因为，， 所以，所以． （2）由题可知，又， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 所以． 16．(1)证明见解析(2)(3)存在； 【详解】（1）证明：在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，. （2）解：以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （3）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（2）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 17．(1)线性回归方程为：；当循环次数为1000次时电池的剩余容量为；相关系数，用线性回归模型拟合二者关系是完全合理的. (2)分布列如下： 数学期望为. 【详解】（1）由题意得： ，， ，，所以， 则，所以线性回归方程为：， 将代入得：，即：当循环次数为1000次时电池的剩余容量为. 又因为，所以相关系数， ，表示完全负线性相关，说明循环次数与剩余容量之间存在极强的负线性关系，因此用线性回归模型拟合二者关系是完全合理的。 （2）由题意可知：10块同批次电池中，4块达标，6块未达标，抽取的3块中达标的电池数为，则可能取值为0,1,2,3. ，，，， 所以达标的电池数的分布列为： 数学期望. 18．(1).(2)(3). 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，故椭圆的半焦距， 设椭圆的方程为，由题设得即， ∴椭圆的方程是，离心率. （2）设直线，设， 由得：. 与抛物线有两个交点，， 则到的距离， 又，所以即 ，故 （3）设直线，设， 由消去得： 因为在椭圆内部，所以与椭圆恒有两个交点，所以， 由成等差数列得. ， 所以，解得 所以直线的方程为. 19．(1)证明见解析 (2)当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即. （2）由题意知：定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，且当时，；当时，； 由此可得大致图象如下图所示， ①当，即时，与有唯一交点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有唯一的极小值点，无极大值点； ②当，即时，与交于两点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有一个极小值点，一个极大值点； ③当，即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递减，无极值点； 综上所述：当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为. （3）由（2）知：若有两个极值点，则，此时； ， ， 要证，只需证， 即证， 只需证，即证， ，， 令，则与交于两点，其中，则， ，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 要证，只需证，即证， ，，在上单调递减，只需证， 又，只需证， 令，则， ，，，在上单调递增， ，又，， 即，原不等式得证，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $