命题大赛 四川攀枝花市米易县2025-2026学年高二数学下学期阶段性测试（人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章，第七章第一节）

**基本信息** 2025-2026学年四川米易中学高二下数学阶段性测试，以原创情境与梯度设计为亮点，如结合乒乓球运动的概率题（19题）培养应用意识，创新“箩兜法则”（14题）发展抽象能力与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|导数应用（15题）、数列（16题）、概率（19题）|19题以乒乓球情境考查概率递推，体现数学语言表达现实世界；14题原创“箩兜法则”深化二项式定理理解，发展数学思维|

2025-2026学年度四川省米易中学校 高2027届高二下数学阶段性测试(答案及解析） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 D B C B A D A B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 选项 ABD ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．2 14．720 客观题详解 1．D 【详解】若，则或， 当时，（舍去）； 当时，. 所以. 所以. 2．B 【分析】根据和的关系得到，则，，再根据等比数列前项和公式计算即可． 【详解】解：，当时，，故； 当时，，，相减得到， 数列是首项为，公比为的等比数列， 故，验证时成立，故，， ． 3．C 【分析】先根据导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即得； 4．B 【分析】根据题意，运用分步乘法计数原理列式求解. 【详解】依题意，可分两步完成： 第一步，先安排甲与乙，由甲从3个学科中选1个，再由乙从剩下的2个学科中选1个，有种方法； 第二步，再安排剩下的4人，从4人中选1人去甲的学科，再从剩下的3人中选1人去乙的学科，最后2人去剩下的学科，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同的安排方案有种. 5．A 【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定的范围. 【详解】， 令，得或. 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增. 因此，是极大值点，是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 6．D 【分析】将问题转化为在上有变号零点，分和两种情况讨论的单调性，结合零点存在定理即可求解. 【详解】， 当时，，则函数在内单调递减，不满足条件， 当时，令,则． 所以在内单调递增， 要使函数在内不单调， ∴在上有变号零点， 又，故只需． ∴. 7．A 【分析】根据二项式系数的性质即可判断D、C选项；令，即可判断B选项；结合二项式的展开式的通项公式即可判断A选项． 【详解】二项式系数之和为，故D正确； 令，可得各项系数之和为，故B正确； ，二项式系数最大值为，故C正确； 展开式的通项公式为， 令，得，即常数项为第五项，故A错误． 8．【答案】B 【分析】令，首先判断的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据函数的单调性解函数不等式. 【详解】令，因为是奇函数，即， 所以，即是偶函数； 又当时，， 在上单调递增，在上单调递减，且； 又，所以， 对于不等式，又，所以， 所以不等式,等价于或即， 或者。所以或者，即不等式解集为． 9．ABD 【分析】先由不等式符号判定项与1的大小关系，再结合推出公比范围、数列增减，进而分析和与积的变化. 【详解】已知，即，因此和异号，即中必有一项大于1，一项小于1. 因为，所以同号. 又因为为等比数列且，所以均为正. 结合可知数列为递增数列，公比，所以. 选项A：因为，而，所以，A正确； 选项B：由等比数列性质：，而，所以，因此，B正确； 选项C：当时，(变小)；当时，(变大).而，说明是是最后一次乘以小于1的项，之后乘以大于1的项会变大，即是从递减到递增的转折点，故是最小值，C错误. 选项D：因为为递增数列且，所以数列递增，无最大值，D正确. 10．ACD 【分析】对于A：根据组合数计算判断即可；对于B：结合排列数解不等式即可；对于C：由比400000大，则首位是4或5，剩下5个数字全排列即可；对于D：结合分类计数原理及排列组合求解判断即可. 【详解】对于A，由，故A选项正确； 对于B，由可得，解得，又由，可得不等式的解集为，故B选项错误； 对于C，最高位是4的时候共有个数，最高位是5的时候，共有个数，可得满足条件的整数有个，故C选项正确； 对于D，这个5位数中没有0，可能组成没有重复数字的5位数的个数为种；这个5位数中有0，可能组成没有重复数字的5位数的个数为种，则一共可组成个没有重复数字的5位数，故D选项正确. 11．BCD 【分析】根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD. 【详解】记小张第次去洗车店为，第次去洗车店为， 则，，，，，. 选项A：，故A错误. 选项B：， ， 所以小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小，故B正确. 选项C：，故C正确. 选项D：，故D正确. 12． 【分析】根据等比数列的定义，结合分类讨论思想、数列的单调性进行求解即可. 【详解】， 当时，， 所以该数列奇数项是以为首项，为公比的等比数列，显然此时该数列是递增数列，为最小项， 该数列偶数项是以为首项，为公比的等比数列，显然此时该数列是递增数列，为最小项， 因此对恒成立，即恒成立， 因为数列奇数项的最小值为，偶数项的最小值为， 所以数列的最小值为，故只需， 因此的取值范围是. 故答案为： 13．2 【分析】函数在处取得极大值，先由导数等于，求出参数的可能值，利用求极值的方法分别判断哪一个值符合题意，从而得到的值. 【详解】由题意可知，， 函数的定义域为， 求导得， 因为函数在处取得极大值，所以有， 即，整理得，解得或， 当时，， 当时，，解得或， 则在和上是单调递增函数； 当时，，解得， 则在上是单调递减函数； 故在处取得极小值，不满足题意； 当时，， 当时，，解得或， 则在和上是单调递增函数； 当时，，解得， 则在上是单调递减函数； 故在处取得极大值，满足题意； 因此. 14．【答案】720 【详解】=720 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(1)，(2) 【分析】（1）对函数求导，结合极值点和韦达定理求解即可； （2）代入，并对函数求导，分析函数单调性，进而结合端点值建立关于的不等式求解. 【详解】（1）对函数求导可得， 因为在和处取得极值，所以是方程的两个根， 由韦达定理：,解得. 3分 将代入导函数得：， 当时，当时，当时， 和处导数值变号，故为极值点，所以. 5分 （2）由，得，, 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，，，， 因此在上的最小值为. 10分 任意都满足，等价于最小值大于， 即：，解得：，所以的取值范围是. 13分 16．(1) (2)证明见解析 (3)； 【分析】（1）利用前项和的性质及递推式，运用赋值法计算求解； （2）结合已知条件，利用作差法求出的递推关系，进而证明结论； （3）结合（2）结论，结合等差数列的性质求出，利用递推关系求出． 【详解】（1）已知， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ． 3分 （2）已知，当时，， ， 6分 ，即， ， 是首项为3，公比为2的等比数列． 9分 （3）由（2）得， ， 是以为首项，为公差的等差数列， 12分 ， ，成立， ； 已知，把替换为得， ， 当时，，成立， 故． 15分 17．(1)极小值，无极大值 (2)当，在上有0个零点；当，在上有1个零点；当时，在上有2个零点 . 【分析】（1）求解导数，判断函数单调性，可求极值； （2）由函数单调性得到简图，结合图象可判断零点个数. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 由，得， 1分 令，即，解得； 2分 令，即，解得，则当时，单调递增； 令，即，解得，则当时，单调递减； 5分 所以当函数取极小值，无极大值. 7分 （2）由得方程，令， 则函数零点的个数就是与交点的个数，由（1）可知 当时，单调递减， 当时，单调递增， 时，;时，； 9分 画出函数的图象如下： 当时，函数与无交点； 当或时，函数与有一个交点； 当时，函数与有两个交点； 13分 所以当，在上有0个零点； 当，在上有1个零点； 当时，在上有2个零点 . 15分 18．(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数几何意义和切点坐标可构造方程组求得； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到的单调区间； （3）利用导数可求得单调性，从而将恒成立的不等式转化为单调递减，进而得到恒成立，采用分离变量法可求得结果. 【详解】（1），，解得：， 又，，解得：； ，. 3分 （2）由题意知：的定义域为，； 2分 ①当时，若，则；若，则； 的单调递减区间为，单调递增区间为； 4分 ②当时， i.若，则当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为； ii.若，则在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； iii.若，则当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 7分 综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 9分 （3）的定义域为，， ，，即，在上单调递增， 11分 不妨设，则， 则由得：， 13分 令，则在上单调递减， 在上恒成立，， 15分 设，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 17分 19．答案(1) (2) (3) 【分析】（1）利用全概率公式，分左侧旋或勾手发球两种情况，计算得到； （2）通过全概率公式建立递推关系，从而求出； （3）通过全概率公式建立递推关系，构造等比数列，从而求出； 【详解】(1)甲发球时，等可能选择左侧旋记为A或勾手发球记为B，概率均为 ==。记甲赢球为事件Y，则左侧旋发球赢球概率：；勾手发球赢球概率： 由全概率公式： 3分 (2)记 为第 颗球由甲发球的概率，已知 （乙发第一颗球）。 第 3 颗球由甲发球的概率 5分 (3)记 为第 颗球由甲发球的概率，已知 （乙发第一颗球），第 颗球由甲发球的概率满足递推关系 8分 解递推关系： ）代入 得; 10分 所以=+] 设；则=； 11分 则 14分 由（1）式 -（2）式得 16分 17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数(预估) 1 单选题 5 组合数方程和不等式；组合数的性质及应用；排列数的计算 0.85 2 单选题 5 求等比数列前n项和；利用an与sn关系求通项或项 0.82 3 单选题 5 基本初等函数的导数公式；求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 0.65 4 单选题 5 分组分配问题；分步乘法计数原理及简单应用 0.65 5 单选题 5 由导数求函数的最值（不含参）；已知函数最值求参数 0.57 6 单选题 5 由函数在区间上的单调性求参数 0.48 7 单选题 5 二项式的系数和；求指定项的系数；二项展开式各项的系数和 0.75 8 单选题 5 由函数奇偶性解不等式；用导数判断或证明已知函数的单调性；根据函数的单调性解不等式 0.45 9 多选题 5 等比数列前n项和的基本量计算；等比数列下标和性质及应用；等比数列的单调性 0.65 10 多选题 5 排列数的计算；数字排列问题；组合数的计算 0.65 11 多选题 5 计算条件概率；利用全概率公式求概率 0.62 12 填空题 6 数列不等式恒成立问题；等比数列的单调性 0.65 13 填空题 6 根据极值点求参数 0.65 14 填空题 6 新定义二项式定展开式的展开原理“箩兜法则”求四项式指定项。 0.82 15 解答题 13 根据极值求参数；由导数求函数的最值（不含参）；函数单调性、极值与最值的综合应用；利用导数研究不等式恒成立问题 0.85 16 解答题 15 求等比数列前n项和；利用等比数列的通项公式求数列中的项；由递推关系式求通项公式；由递推关系证明等比数列 0.65 17 解答题 15 利用导数研究函数的零点；求已知函数的极值 0.56 18 解答题 17 利用导数求函数（含参）的单调区间；利用导数研究不等式恒成立问题；由函数在区间上的单调性求参数；已知切线（斜率）求参数 0.55 19 解答题 17 利用全概率公式求概率；马尔科夫链 0.55 Sheet2 Sheet3 $ 2025-2026学年度四川省米易中学校 高2027届高二下数学阶段性测试 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔把答题考号对应数字标号涂黑 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时，必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡指定区域内作答。在试题卷上作答答案无效。如需作图，先用铅笔作图，然后用黑色签字笔描边。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则（    ） A．45 B．20 C．135 D．120 2．已知数列的前项和为，满足，则的值为（   ） A．63 B．126 C．128 D．254 3．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．某校高二年级6名同学（包含同学甲、乙）平均分为3组，参加数学、物理、化学三个学科兴趣班，但甲同学和乙同学不能参加同一学科兴趣班，则不同的安排方案有（   ）种． A．54 B．72 C．84 D．90 5．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若函数在内不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．关于的展开式，下列说法不正确的是（    ） A．常数项为第四项 B．所有项系数之和为 C．二项式系数最大值为70 D．二项式系数和为256 8．（改编）已知定义域为的奇函数，其图象为连续不断的曲线，的导函数为.若对任意，都有，且，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分. 9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 10．下列选项正确的是（    ） A． B．不等式 的解集为{9， 10， 11} C．由数字0，1，2，3，4，5可以组成240个没有重复数字，并且比400000大的正整数 D．从0，2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5，7中任取2个数字一共可以组成6336个没有重复数字的五位数 11．春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分. 12．已知数列满足，且对恒成立，则的取值范围是__________. 13．已知函数在处取得极大值，则实数的值为__________. 14．（原创）二项式本质为共有n个因式相乘，展开式的其中一项看成从每个因式中的两元素、任提一个后所有元素的乘积。若我们将“因式”视为一个箩兜，则理解为共有n个箩兜，且每个箩兜均放了两个元素、，若要求此二项式展开式中的3次方项，就可以视为从放了两元素、的n个箩兜中任选其中三个箩兜提供元素，其余箩兜提供另一个元素，即。我们若将以上计算规则定义为“箩兜法则”，那么我们利用“箩兜法则”可以求含的项为=30,请结合以上“箩兜法则”类比求出展开式中的的系数是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤： 15．（13分） 设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 16．（15分） 在数列中，，； (1)求，，的值； (2)设，求证数列是等比数列； (3)求数列的通项公式及前n项和的通项公式． 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的零点个数. 18．（17分） 已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值 (2)讨论函数的单调区间； (3)若，对任意两个不相等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分） （原创）乒乓球被誉为“国球”，是一项老少皆宜且风靡全球的球类运动。凭借其快速多变的攻防节奏与极具技巧性的竞技对抗，深受大众喜爱。国家乒乓球队在国际乒乓球赛事中斩获无数奖牌，在国际乒坛中遥遥领先。乒乓球的球技提升在于通过大量重复练习以达到熟能生巧中控球。乒乓球发球时，可以通过左侧旋发球、勾手发球、逆旋转发球三种方式来增加旋转，配合相应的攻防策略可以提高赢球可能。甲、乙、丙三人为乒乓球爱好者，他们经常作为球友练球。甲等可能强化练习左侧旋发球、勾手发球，乙专练逆旋转发球。已知甲左侧旋发球时甲赢球概率为 ，甲勾手发球时甲赢球的概率为；而乙发球时乙赢球概率为 。 (1)若甲发球，求甲每球赢球的概率。 (2)若甲乙两人采用谁赢谁发球的规则进行练球。若乙发第一颗球，求第 3 颗球由甲发球的概率。 (3)若甲乙两人采用谁赢谁发球的规则进行练球。若乙发第一颗球，求第 颗球由甲发的概率并求数列{}前项和。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $