高二数学中的44个易混易错全归纳（知识清单，空间向量与立体几何+平面解析几何+数列+导数+计数原理+概率与统计）高二数学下学期人教A版

高二数学中的44个易混易错全归纳 内容导览 易混易错01 忽略建系的条件致错 3 易混易错02 忽略异面直线所成角的范围致错 4 易混易错03混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错 5 易混易错04 忽略斜率公式的应用条件致错 6 易混易错05 求直线方程忽略截距为零致错 7 易混易错06 判断直线的位置关系考虑不全面致错 7 易混易错07忽略圆的一般方程的限制条件致错 8 易混易错08 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错 9 易混易错09 两圆相切忽略内切、外切的区分致错 10 易混易错10 曲线方程变形不等价致错 10 易混易错11 忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错 11 易混易错12 忽略圆锥曲线焦点的位置致错 12 易混易错13 求离心率范围时忽略离心率本身范围致错 12 易混易错14 求轨迹方程时忽略变量的取值范围 13 易混易错15直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 14 易混易错16恒成立意义不明导致定点致错 15 易混易错17忽略数列与一般函数的区别致错 16 易混易错18 由Sn求an忽略n=1的讨论致错 16 易混易错19 等比数列问题忽略公比q的讨论致错 17 易混易错20 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 18 易混易错21 错位相减求和错判项数、公比或符号致错 18 易混易错22 对导数的概念理解不到位致错 19 易混易错23 错用函数的求导法则致错 20 易混易错24混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错 21 易混易错25 利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 22 易混易错26淆极值点与导数等于零的点的区别致错 23 易混易错27已知单调性求参数时混淆条件致错 24 易混易错28 判断函数零点个数时画图致错 25 易混易错29 混淆两个计数原理致错 25 易混易错30 分步“有序”致错 26 易混易错31 分步不合理导致重复或遗漏致错 27 易混易错33 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错 29 易混易错34 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 30 易混易错35 混淆“系数”与“二项式系数”而致错 31 易混易错36 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 31 易混易错37 混淆“有放回”与“不放回”致错 32 易混易错38古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 33 易混易错39 对条件概率理解不透彻致错 34 易混易错40 求分布列时忽视了概率之和为1而致错 35 易混易错41 混淆二项分布与超几何分布致错 36 易混易错42 混淆函数关系和相关关系而致错 38 易混易错43 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 38 易混易错44 求解独立性检验问题对的值理解不准确致错 41 易混易错01 忽略建系的条件致错 辨析：利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证明要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴. 【典例】（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【跟踪训练1】（25-26高三上·上海松江·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【跟踪训练2】（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面． (1)求证：； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 易混易错02 忽略异面直线所成角的范围致错 辨析：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围. 【典例】（25-26高三上·江苏无锡·月考）《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【跟踪训练1】（25-26高二下·上海·月考）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________ 【跟踪训练2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____. 易混易错03混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错 辨析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值. 【典例】（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【跟踪训练】（25-26高三上·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，平面与棱相交于点F，且，.    (1)求证：； (2)已知点M在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 易混易错04 忽略斜率公式的应用条件致错 辨析：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 【典例1】（25-26高三上·山西·月考）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是 . 【跟踪训练1】（25-26高二上·贵州六盘水·月考）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（25-26高二上·天津南开·开学考试）下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为___________. 易混易错05 求直线方程忽略截距为零致错 辨析：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 【典例】（25-26高三上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练】（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 易混易错06 判断直线的位置关系考虑不全面致错 辨析：1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况. 【典例】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【跟踪训练1】（多选）（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 【跟踪训练2】(多选)（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（   ） A． B．存在，使得 C．直线过定点 D．直线过定点 易混易错07忽略圆的一般方程的限制条件致错 辨析：不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 【典例】（25-26高三上·青海西宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 易混易错08 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错 辨析：（1）过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （2）设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错. 【典例】（25-26高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 【跟踪训练1】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 易混易错09 两圆相切忽略内切、外切的区分致错 辨析：1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： ①化成圆的标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆的圆心距d； ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 2．由圆的位置关系求参数：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系． 【典例】（多选）（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知圆和圆，则（    ） A．两圆可能无公共点 B．若两圆相切，则 C．直线可能为两圆的公切线 D．当时，若为两圆的公切线，则或 【跟踪训练】（25-26 高三上·四川内江·期中）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ． 易混易错10 曲线方程变形不等价致错 辨析：在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成x、y的取值范围的变大或缩小. 【典例】（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为_____ 【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏扬州·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 易混易错11 忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错 辨析：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上. 【典例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 易混易错12 忽略圆锥曲线焦点的位置致错 辨析：由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求或的值． 【典例】（25-26高三上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练1】（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 . ①实轴长为4；②渐近线方程为 易混易错13 求离心率范围时忽略离心率本身范围致错 辨析：注意椭圆离心率的范围： 0<e<1，双曲线离心率的取值范围：e>1. 【典例】（25-26高三上·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是 . 【跟踪训练1】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易混易错14 求轨迹方程时忽略变量的取值范围 辨析：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错． 【典例】（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·广东惠州·月考）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 易混易错15直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 辨析：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形． 【典例】（25-26高三上·北京·阶段练习）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 . 【跟踪训练1】（25-26高二上·江西南昌·月考）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【跟踪训练2】(多选)（24-25高二下·河北衡水·期末）已知曲线C：，直线，，，为C上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为2 B．当时，C上有且仅有两个点到的距离为1 C．若曲线C与有两个不同的交点，则 D．当时， 易混易错16恒成立意义不明导致定点致错 辨析：直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明． 【典例】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【跟踪训练】（25-26高二上·江西南昌·期末）双曲线经过两点和． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，为左焦点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，求直线过定点． 易混易错17忽略数列与一般函数的区别致错 辨析：在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的. 【典例】（25-26高三上·安徽部分重点中学期中）已知数列满足，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（25-26高三上·天津南开·期末）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易混易错18 由Sn求an忽略n=1的讨论致错 辨析：利用Sn与an的关系求an，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式. 【典例】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 【跟踪训练1】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 . 【跟踪训练2】（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 易混易错19 等比数列问题忽略公比q的讨论致错 辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论. 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【典例2】（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（2026·辽宁大连·模拟预测）是正项等比数列，记为数列的前项和，且满足，则数列的公比为___________． 【跟踪训练2】（25-26高二上·重庆·期末）在等比数列中，，，则______． 易混易错20 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 辨析：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项. 【典例】（25-26高三上·湖南长沙期末） 已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 【跟踪训练1】（25-26高二下·全国·单元测试）已知在数列中，且，设，，则数列前项和________． 【跟踪训练2】（2026·广东湛江·一模）在数列中，，令，则数列的前15项的和为（   ） A．2 B．3 C． D．4 易混易错21 错位相减求和错判项数、公比或符号致错 辨析：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1代入检验结果是否成立. 【典例】（25-26高三上·新疆喀什·月考）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和. 【跟踪训练1】（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且，数列的前n项和为，则_________． 【跟踪训练2】（25-26高三上·河南新乡·期末）过三棱柱的棱的中点M且与底面ABC平行的平面内的一动点O满足：对任意都成立，且，则数列的前n项和 ． 易混易错22 对导数的概念理解不到位致错 辨析：(1)，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；(2)的代数意义表示函数在处的瞬时变化率；(3)的几何意义表示曲线在处切线的斜率． 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【典例2】（25-26高三上·河北·月考）已知函数在处可导，若，则（    ） A．27 B．2 C．3 D．7 【跟踪训练1】（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【跟踪训练2】（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 易混易错23 错用函数的求导法则致错 辨析：（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即； （2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元. 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·江苏·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，若，都为偶函数，则（    ） A．440.5 B．441.5 C．442.5 D．443.5 【跟踪训练1】(多选）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练2】（25-26高二下·山东滨州·开学考试）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 易混易错24混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错 辨析：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 【典例1】（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 【跟踪训练1】（25-26高二上·安徽·期末）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 【跟踪训练2】（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易混易错25 利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 辨析：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内. 【典例】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 易混易错26淆极值点与导数等于零的点的区别致错 辨析：导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反. 【典例1】（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 【跟踪训练1】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【跟踪训练2】（多选）（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数有两个极值点，则（   ） A． B．当时，有三个零点 C．当时，仅有一个零点 D． 易混易错27已知单调性求参数时混淆条件致错 辨析：已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。 （2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D. 注意：其中 . （3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来. 【典例1】（24-25高三上·山东临沂·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 【典例2】（25-26高二上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（25-26高三下·海南·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（2026高二下·福建福州·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 易混易错28 判断函数零点个数时画图致错 利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数. 【典例1】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（2026·安徽安庆·一模）已知，若函数恰有1个零点，则（   ） A．e B． C．1 D．3 易混易错29 混淆两个计数原理致错 辨析：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用. 【典例1】（2025·上海高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有(    )    A．5种 B．6种 C．7种 D．9种 【跟踪训练1】（2025·高二·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【跟踪训练2】（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________． 易混易错30 分步“有序”致错 辨析：主要错是混淆有序抽取（排列）与无序抽取（组合），把一次性取件按分步有顺序计算，误用分步乘法，与实际无序抽取不符，造成计数重复偏大.针对这种错误，应对策略是认真审题，分清是排列问题还是组合问题，其中对于“至少”“至多”类型的问题，可从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质还是先进行分类．求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答． 【典例】（24-25高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480 【跟踪训练1】（25-26高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有不同的，现从中共选取12个流行语，包括“i人/e人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴胺××”“情绪价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”“质疑××，理解××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台公布的“2023年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12个流行语中选择4个不同的流行语，则至多包含2个“最热流行语”的选法共有（    ） A．482种 B．462种 C．392种 D．270种 易混易错31 分步不合理导致重复或遗漏致错 辨析：对分步计数理解不清，忽略每步需满足颜色不冲突，随意按区域顺序涂色，未考虑相邻限制，导致步骤间矛盾，结果出错. 【典例】（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 【跟踪训练1】（24-25高二下·广东深圳·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【跟踪训练2】（25-26高二下·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 易混易错32忽视排列数组合数公式的隐含条件致错 辨析：在排列组合数的计算中，要注意上标和下标的限制条件，从而根据条件正确计算，或列出相应的方程、不等式（组）求解参数的值. 【典例1】（25-26高三上·上海宝山·统考）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【典例2】（24-25高二下·吉林·期末）若，则_________. 【跟踪训练】（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 易混易错33 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错 辨析：（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)(非均匀分组)-堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）-人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 【跟踪训练1】（25-26高二下·江西赣州·开学考试）诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱．现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为________． 【跟踪训练2】（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 易混易错34 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 辨析：1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法： (1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列； (2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)个元素相对顺序固定不变，有种不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元素，再放这定序的m个元素，共有A种不同的方法． 对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为. 2.相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板． 【典例1】（25-26高三上·全国·专题训练）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 【典例2】（25-26高三上·郑州·模拟）某班2026年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为(　　) A．2 B．11 C．36 D．42 【跟踪训练1】（25-26高三上·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（   ） A．144种 B．108种 C．120种 D．360种 【跟踪训练2】（25-26高三上·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 易混易错35 混淆“系数”与“二项式系数”而致错 辨析：处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 【典例】（25-26高三·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ． 【跟踪训练1】（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为______，系数最大值为______． 易混易错36 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 辨析: (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. (2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系； ②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 【典例】 (多选)（2026广东广州一中期中）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（    ） A．发生的概率为 B．与互斥 C．与相互独立 D．发生的概率为 【跟踪训练1】(多选)（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【跟踪训练2】（25-26高三上·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 易混易错37 混淆“有放回”与“不放回”致错 辨析：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变. 【典例1】（25-26高三·上海·课堂例题）已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则______． 【跟踪训练2】（25-26高三下·四川成都·开学考试）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于325的共有___________个；若从这10个数字中每次有放回地随机抽取一个数字称为一次试验，抽中数字7则试验停止，若要使随机事件“在前N次试验内停止试验”的概率大于0.523，N的最小值为___________． （参考数据：，） 易混易错38古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 辨析：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率. 【典例】（多选）（2026湖南衡阳三中月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【跟踪训练1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【跟踪训练2】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的概率是________． 易混易错39 对条件概率理解不透彻致错 辨析：解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步． 第二步，计算概率，这里有两种思路： 思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算 思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算 【典例】（25-26高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有个白球、个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________. 【跟踪训练2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 易混易错40 求分布列时忽视了概率之和为1而致错 辨析：1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值. 2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.36 则常数 ． 为常数，则______. 【跟踪训练2】（24-25高二下·陕西西安·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 __________． 易混易错41 混淆二项分布与超几何分布致错 辨析：“二项分布”与“超几何分布”的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 【典例1】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【典例2】（25-26高三上·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 【跟踪训练1】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；若3次活动中，甲获胜的次数记为，则随机变量的期望为________. 【跟踪训练2】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 易混易错42 混淆函数关系和相关关系而致错 辨析：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 【典例】（24-25高三上·江西南昌·训练）对两变量间的关系，下列论述正确的是（    ） A．任何两个变量都具有相关关系 B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【跟踪训练】（多选）（2025高二·全国·专题练习）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．y与x具有正的线性相关关系 B．经验回归直线一定经过点 C．若该大学某女生身高增加2cm，则其体重约增加1.7kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可以判断其体重必为58.79kg 易混易错43 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 辨析：在求回归曲线方程时一定要先判断回归曲线类型，若是非直线方程，就要转化为回归直线方程求解，在计算过程中要注意求回归系数的两个公式之间的相互转化. 常见的非线性回归模型： （1）指数函数型（且，） 两边取自然对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （2）对数函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （3）幂函数型 两边取常用对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （4）二次函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （5）反比例函数型型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． 【典例1】（25-26高二上·全国·期末）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【典例2】（2025高二·全国·专题练习）根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设，利用最小二乘法，得到线性回归方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．变量y关于x的非线性回归曲线是轴对称图形 B．变量y关于x的非线性回归曲线是中心对称图形 C．当时，变量y的估计值取到最小值e D．当时，变量y的估计值取到最大值 【跟踪训练】（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 易混易错44 求解独立性检验问题对的值理解不准确致错 辨析：在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系表述,得到的结论有一定的概率出错．在利用2×2列联表计算的值之前,先假设两个分类变量是无关的,最后再利用的值的大小对二者关系进行含概率的判断． 【典例1】（25-26高二·全国·假期作业）随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表． 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 100 附表 0.025 0.010 0.001 5.024 6.635 10.828 由算得，，参照附表，得到的正确结论是（   ） A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” 【典例2】（多选）（25-26·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（   ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A． B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 【跟踪训练1】（2025·湖南·一模）随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　） A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强 C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 【跟踪训练2】（2026·辽宁大连·模拟预测）为研究事件与事件的关系，某机构进行了一次随机抽样调查，共回收有效问卷份，调查结果按是否满足事件和事件分类统计，得到如下列联表（表中数字对应相应情况的人数），用频率估计概率． 是否满足事件 是否满足事件 满足事件 不满足事件 合计 满足事件 不满足事件 合计 (1)如果事件与事件无关，证明：； (2)已知： （i）填写表格剩余内容； （ii）已知依据小概率值的独立性检验，可以判断事件与事件有关，求有效问卷数的最小值． 附：，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高二数学中的44个易混易错全归纳 内容导览 易混易错01忽略建系的条件致错。 3 易混易错02忽略异面直线所成角的范围致错。 4 易混易错03混淆“线面角和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错 5 易混易错04忽略斜率公式的应用条件致错。 6 易混易错05求直线方程忽略截距为零致错 97 易混易错06判断直线的位置关系考虑不全面致错 7 易混易错07忽略圆的一般方程的限制条件致错 8 易混易错08处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错 9 易混易错09两圆相切忽略内切、外切的区分致错… 10 易混易错10曲线方程变形不等价致错. .10 易混易错11忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错。 .11 易混易错12忽略圆锥曲线焦点的位置致错 12 易混易错13求离心率范围时忽略离心率本身范围致错 ,,,0,04。 易混易错14求轨迹方程时忽略变量的取值范围」 .13 易混易错15直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 .14 易混易错16恒成立意义不明导致定点致错， 15 易混易错17忽略数列与一般函数的区别致错 ..16 易混易错l8由Sn求an忽略n=1的讨论致错 16 易混易错19等比数列问题忽略公比q的讨论致错 .17 1/ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易混易错20裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 18 易混易错21错位相减求和错判项数、公比或符号致错 18 易混易错22对导数的概念理解不到位致错 .19 易混易错23错用函数的求导法则致错。 20 易混易错24混淆在某点”和过某点”切线的区别致错 .21 易混易错25利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 22 易混易错26淆极值点与导数等于零的点的区别致错 23 易混易错27已知单调性求参数时混淆条件致错 …24 易混易错28判断函数零点个数时画图致错 .25 易混易错29混淆两个计数原理致错 .25 易混易错30分步“有序”致错 .26 易混易错31分步不合理导致重复或遗漏致错 .27 易混易错33分组问题混淆均分”与非均分”致错 29 易混易错34计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 .30 易混易错35混淆“系数”与“二项式系数而致错。 31 易混易错36混淆互斥、对立、独立事件的概念致错。 31 易混易错37混淆“有放回与“不放回”致错」 .32 易混易错38古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 .33 易混易错39对条件概率理解不透彻致错. .34 易混易错40求分布列时忽视了概率之和为1而致错 .35 易混易错41混淆二项分布与超几何分布致错 .36 易混易错42混淆函数关系和相关关系而致错 .38 21 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错43忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 38 易混易错44求解独立性检验问题对X 的值理解不准确致错 41 易混易错01忽略建系的条件致错 避坑指南 辨析：利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证明 要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴 【典例】(2025全国二卷·高考真题)如图，在四边形ABCD中，AB/1CD,∠DAB=90°，F为CD的中点， 点E在AB上，EF/IAD,AB=3AD,CD=2AD将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFDA,使得面EFDA 与面EFCB所成的二面角为60°. E B (1)证明：AB/平面CDF: (2)求面BCD'与面EFDA所成的二面角的正弦值. 【跟踪训练1】(25-26高三上·上海松江·期末)己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形， AB//CD,AB=2CD=2,∠ABC=90°，△PBC是边长为2的正三角形，侧面PBC⊥底面ABCD. 3/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 6 (I)证明：PA⊥BD: (2)求点D到平面PAB的距离. 【跟踪训练2】(25-26高三下·重庆北碚·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=2, AB⊥BC,AC⊥CD,CD=√2，PB=PC,平面PBC⊥平面ABCD. (I)求证：AB⊥PC; (2)若二面角P-AB-C的大小为60°，求直线PD与平面PAB所成角的正弦值. 易混易错02忽略异面直线所成角的范围致错 4/ 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 避坑指南 辨析：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补： 二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所 成角的范围 【典例】(25-26高三上江苏无锡·月考)《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱 锥称为阳马.阳马P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD,且PA=AD=2AB,则异面直线PD与AC所成角的 余弦值为 【跟踪训练1】(25-26高二下·上海·月考)正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3 的同一球面上，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为 【跟踪训练2】(25-26高二上·安徽阜阳·期末)在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=2√2， AB⊥AD,BC⊥CD,平面ABD与平面CBD所成二面角的大小为60°，则异面直线AD与BC所成角的余 弦值为 易混易错03混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角致错 避坑指南 辨析：若直线与平面所成的角为0，直线的方向向量为a,平面的法向量为n,则sin0=cos<a,n>。容 易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角：②误以为直线的方向向量与平面 的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值. 【典例】(2025北京·高考真题)如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形， ∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点. G 5/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG1I平面PAB: (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 【跟踪训练】(25-26高三上：吉林长春·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，ADL平面PAB, AB∥DC,E为棱PB的中点，平面DCE与棱PA相交于点F,且PA=AB=AD=2CD=2,PB=BD. M B (I)求证：AB∥EF; (②已知点M在棱PC上，直线M与平面DCEF所成角的正弦值为子，求兴的值 易混易错04忽略斜率公式的应用条件致错 避坑指南 辨析：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于x轴（平 行于y轴或与y轴重合).因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。 6/ 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(25-26高三上山西月考)己知两点A(2,1),B(m,4),当m∈2-√5,2+33时，直线AB的 倾斜角的取值范围是 【跟踪训练1】(25-26高二上·贵州六盘水·月考)已知A(-3,0),B(3,2),若过点(1，-2)的直线1与线段AB (含端点)总有公共点，则直线1的斜率的取值范围为() c.（+w 【跟踪训练2】(25-26高二上·天津南开·开学考试)下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为 圆或半圆，己知点P(x,y)是阴影部分（包括边界）的动点，则’的最小值为 x-2 P。 易混易错05求直线方程忽略截距为零致错 避坑指南 辨析：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数： 【典例】(25-26高三上·江西赣州·期末)经过点M(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是() A.x+y-9=0 B.x-y-3=0 C.x+y-9=0或x-2y=0 D.x-y-3=0或x-2y=0 【跟踪训练】(25-26高三上·湖北开学考试)与圆(x-2)2+y2=2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共 有() A.2条 B.3条 C.4条 D.6条 易混易错06判断直线的位置关系考虑不全面致错 避坑指南 71 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 辨析：1利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点 的纵坐标是否相等，若相等，则垂直：若不相等，则进行第二步 (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论. 2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况. 3根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况. 【典例】(25-26高三上：广东深圳期末)已知直线：mx+y-4=0与2：x+my+4=0平行，则实数m的值 为() A.1 B.-1 C.±1 D.+2 【跟踪训练1】（多选)(25-26高二上·江苏·期末)已知直线1：4x+3y-4=0, 2:x+y-1-2m=0(m∈R),则下列说法正确的有() A.若m=1,则1⊥ B.若m,则直线4,4之间的距离为 C.直线l2过定点(2,1) D.若直线，在两坐标轴的截距相等，则m=三1或m=一) 【跟踪训练2】（多选）(25-26高二上·河北邯郸·期末)已知直线l：x-y+a-1=0,12: ax+y-1=0(a∈R),则下列说法中正确的有() A.4⊥12 B.存在a,使得l11l2 C.直线4过定点(1,1 D.直线12过定点(1,0) 易混易错07忽略圆的一般方程的限制条件致错 避坑指南： 辨析：不要把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的结构都认为是圆，一定要先判断D+E2一4F的符号，只有大 于0时才表示圆， 【典例】(25-26高三上·青海西宁·期末)点P(1,2)在圆x2+y2+2x-4y+k-2=0外，则k的取值范围为 81 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 () A.k<7 B.k>3 C.3<k<7 D.0<k<7 【跟踪训练】(25-26高二上·安徽合肥·期中)己知点A(-1,1)在圆x2+y2+2x+3y+m=0外，则实数 m的取值范围是( A.（-3,+∞) c（ 0.-34 3 易混易错08处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错 避坑指南 辨析：(1)过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数. (2)设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错. 【典例】(25-26高三上·北京阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M:x2+y2-2x+2y+3=0, M上存在两点关于直线x+y+1=0对称. (1)求M的半径： (2)过坐标原点O的直线1被M截得的弦长为2，求1的方程， 【跟踪训练1】(25-26高二上·江苏南京·月考)已知在平面直角坐标系xOy中，A(1,0),B(5,8),点P满 足PAPB=-16,记点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若经过点(2,1)的直线4与C相交于点E,F,且EF=2√3，求直线l的方程： (3)已知l2:x+2y+2=0若直线l经过点A且与C相交于P,Q两点，线段PQ的中点为M,l,与l的交点为 N,证明：AMAW为定值，并求出该定值. 9/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错09两圆相切忽略内切、外切的区分致错 Q避坑指南： 辨析：1判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： ①化成圆的标准方程，写出圆心和半径： ②计算两圆的圆心距d: ③通过d,十，r一2的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形 结合 2.由圆的位置关系求参数：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差 的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判 断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系. 【典例】（多选)(25-26高三上·湖北武汉·期末)已知圆O:x2+y2=1和圆 C:(x-3)2+(y-4)2=2(>0),则（) A.两圆可能无公共点 B.若两圆相切，则r=4 C.直线x=-1可能为两圆的公切线 D.当r=4时，若y=c+m为两圆的公切线，则k=-3三 【跟踪训练】(25-26高三上·四川内江期中)已知两个圆x2+y2=9,x2+(y-6)2=r2,若两圆相切， 则半径r为 易混易错10曲线方程变形不等价致错 避坑指南： 辨析：在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成x、y的取值范围 的变大或缩小 【典例】（24-25高二上江苏宿迁·开学考试)若直线：x-y-2=0与曲线C:1-(y-1)2=x-1有两个不 同的交点，则实数k的取值范围是() A.+) B. 4 C.-2U21D.2 【跟踪训练1】(24-25高二上：广东深圳期中)已知直线y=2x+m与曲线y=√4x-x2有两个不同的交 10/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点，则m的取值范围为 【跟踪训练2】(25-26高二上江苏扬州阶段练习)若直线1：y=x+3-k与曲线C:y=V1-x2恰有两个 交点，则实数k的取值范围是() A. 43 3 D.32》 易混易错11忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错 避坑指南： 辨析：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满 足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数：双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值 是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上： 【典例1】（24-25高二上·北京·阶段练习)下列说法正确的个数是() ①动点P(x,y)满足√x2+y-2)2+√x2+(y+2)2=4,则P的轨迹是椭圆 ②动点P(x,y)满足Vx2+(y-2)2+Vx2+(y+2)2=5,则P的轨迹是双曲线 ③动点P(x,y)满足到y轴的距离比到F(L,O)的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点P(x,y)满足(x-2)√x2+y2-5=0,则P的轨迹是圆和一条直线() A.0 B.1 C.2 D.3 【典例2】(25-26高二上黑龙江哈尔滨月考)已知圆4：(x+3+y=4,B(3,0),点P在圆A上运动，设 线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,则Q点的轨迹方程为() A.x2=x之DB.x2-=1 c.xr-=1x2D.x2-上=1 8 6 6 【跟踪训练1】(25-26高二上山东菏泽·期末)己知一动圆与圆x2+y2+6y+5=0外切，同时与圆 x2+y2-6y-91=0内切，则该动圆圆心的轨迹方程为() A若+1 B. =1 3627 3627 c. x2 y2 451 D.= 45 11/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错12忽略圆锥曲线焦点的位置致错 避坑指南 辨析：由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情 况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置， 不确定要讨论，在定量，即求a,b,c或p的值. 【典例】(25-26高三上·天津和平·期末)已知双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,实轴长为2，则双曲 线C的标准方程为() A.x2y2 =1 B.x22 =1 416 4 C.2 416 1或 4 -x2=1 D.x2- =1或y2-4x2=1 4 【跟踪训练1】(24-25高三上·江苏无锡·期中)求长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，-1)的椭圆的标准方 程() A.y 182 9 C. ￡+= -=1或8282 D.y 182 9 9+3=1 【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏南通·期末)写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程 为 ①实轴长为4：②渐近线方程为y=±2x 易混易错13求离心率范围时忽略离心率本身范围致错 Q避坑指南 辨析：注意椭圆离心率的范围：0<c<1,双曲线离心率的取值范围：e>1- 【奥例】(2526高三上北京期中)椭圆若+茶-a>b6>0上存在一点P满足FP1FP,斥，5分别 为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是 12/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【跟踪训练1】G2526高二上湖南衡阳期末)已双南线c号若-a>06>0,4(20,若圆 M:(x-2)2+(y-2)=1上存在点P使得PA的中点2在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值 范围为() A.(1,2] B.[2,+o) C.(1,3] D.[3,+o) 易混易错14求轨迹方程时忽略变量的取值范围 避坑指南 辨析：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考 虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错. 【典例】(25-26高三上·湖南长沙期中)已知A,B两点的坐标分别是(-1,0)，(1,0)，直线AM,BM相交于 点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为() A.y=-x2+1(x≠±1) B.y=x2+1(x≠±1) C.x=-y2+1(y≠±1) D.x=y2+1(y≠±1) 【典例2】(25-26高二上广东惠州月考)动圆M过定点A(4,0),与定圆B:(x-4)+y2=16外切，则动 圆圆心M的轨迹方程为() A. 2=1 B.￡=1 124 412 c苦若=s刘 。后苦=s刘 【跟踪训练1】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习)(24-25高二下·云南期末)己知动圆C与圆 (x-2)2+y2=25内切，同时与圆(x+2)2+y2=1外切，则动圆C的圆心轨迹方程为() 25+少=1B.+1 A. C. 2524 号+5=1x-)D.号+y=1x-) 【跟踪训练2】一动圆P过定点M(-3,0),且与已知圆N:（x-3)+y2=16外切，则动圆圆心P的轨迹方 13/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 程是() A.2 ,45=1(x≥2) C. x2y 45 =1(x≤-2) D.苦+5-es-2小 5 易混易错15直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 避坑指南： 辨析：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或)，得到关于（或x)的方程，如 果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项 系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形。 【典例】(25-26高三上北京阶段练习)若直线1：y=k(x-2)与双曲线C:二-二-1恰好有一个交点， 97 则直线1的斜率的所有可能值为 【跟踪训练1】(25-26高二上江西南昌·月考)已知抛物线y2=4x,斜率为k的直线1绕定点P(-2,1)旋 转，下列说法正确的是() A.直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 日。当直线与抛物线有两个公共点时，斜率天的范围是(》 C.当直线与抛物线只有一个公共点时，k=。或k=-1, D.当直线与前的线设有公共点时，斜率k的荒固是（一-小行+ 【跟踪训练2】（多选）(24-25高二下河北衡水·期末)己知曲线C:xx-yy=1,直线：y=x+t, A-√2,0)，B(0,V2),P(m,n)为C上的动点，则下列说法正确的是() A.△PAB面积的最大值为2 B.当t=0时，C上有且仅有两个点到1的距离为1 C.若曲线C与1有两个不同的交点，则-√2<t<0 D.当m>1时， m+2j+n2-m-2j+m=2 14/ 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错16恒成立意义不明导致定点致错 避坑指南 辨析：直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用 参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解.解决定点与定值问题，不能仅 靠研究特殊情况来说明. 【奥例】25,26高三上陕西输林月考》已知椭圆C:三+茶-1a>b>0)的右焦点为F10,不、B分 别是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C的上顶点，△PAB的面积为√2 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线：y=c+m与椭圆C交于不同的两点M,N,点Q(2,0),若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率 互为相反数，求证：直线过定点. 【跟踪训练】(25-26高二上江西南昌·期末)双曲线E经过两点 }利2 (1)求双曲线E的标准方程； (2)过点(-1，-2)的直线交双曲线E于A,B两点，F为左焦点，直线AF交双曲线于另一点M,直线BF交 双曲线于另一点N,求直线MW过定点. 15/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错17忽略数列与一般函数的区别致错 避坑指南 辨析：在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的， 【典例】(25-26高三上安徽部分重点中学期中)已知数列{a,}满足a=10,-一0=2，则4的最小值 n n 为() A. 16 2 B. D.210-1 4 log (n+2),n<8 【跟踪训练1】(25：26高三上山东菏泽期末)已知数列a,}满足a,-9“)川-n≥8，若对于任意的 n∈N都有an<a+1成立，则正整数a的取值范围是() A.{2,3,4,5,67,8,9 B.{2,3,4,5,6,7,8 C.(1,9) D.{2,3,4,5,6,7 【跟踪训练2】(25-26高三上·天津南开·期末)设数列{an}的通项公式为an=-n2+an,若数列{an}是单调 递减数列，则实数a的取值范围为() A.(-0,2) B.(-3,+∞) C.(-0,2] D.(-0,3) 易混易错l8由Sn求an忽略n=L的讨论致错 避坑指南 辨析：利用Sm与am的关系求am,作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系 是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式。 【典例】(2024高三全国·专题练习)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a,=1,2Sn=an1,则数列{an}的通 16/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 项公式 【跟踪训练1】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+3n-1, 则数列的通项公式为an= 【跟踪训练2】(2025高三上江西南昌·专题练习)已知S,是数列a,}的前n项和，4=1，=n+2 S.n 则{an}的通项公式为() A.a,=2n-1 B.d=+1 2 C.a =n D.a=2-n 易混易错19等比数列问题忽略公比q的讨论致错 避坑指南 na1,9=1 辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：Sn=了a,(1-q ,91'所以在利用等比数列求和公式求和 1-9 时要先判断公比是否可能为1，若公比未知，则要注意分两种情况q=1和q≠1讨论. 【典例1】（2025高三·全国专题练习)已知在等比数列{an}中，4=7，前三项之和S3=21,则公比9的 值是() A.1 c.1或方 D.-1或 【典例2】(24-25高三上·浙江绍兴·期中)已知等比数列{an},首项为a,公比为9，前n项和为Sn,若 数列{Sn+是等比数列，则（) A.4-9=1 B.q-41=1 C.Sn-q"-=1 D.Sn-aq”=1 【跟踪训练1】(2026辽宁大连·模拟预测){a,}是正项等比数列，记Sn为数列{an}的前n项和，且满足 S=S+S2,则数列{an}的公比为 【跟踪训练2】(25-26高二上重庆·期末)在等比数列{an}中，a+a2+a+a4=2, 17/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a+a2+a+a4=4,则a= 易混易错20裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 小避坑指南 辨析：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项 和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的 正数项，则后面剩余的是负数项. 【典例】(25-26高三上·湖南长沙期末)已知等差数列{an}满足：a=2,且a,42,a4成等比数列. (I)求数列{an}的通项公式： b.= (2)若等差数列{an}的公差不为零，且数列{bn}满足： 1 1 ，求数列{bn}的前99项和Tg V20.+V2 【跟踪训练1】(25-26高二下·全国单元测试)已知在数列{a}中，a6=11且a,-(n-1)a1=1,设 -,n∈N*,则数列{bn}前n项和Tn=」 a an 【跟踪训练2】(2026广东湛江一模)在数列{a}中，a=1a1=+1,令A.=。1 an+a ，则数列{bn} 的前15项的和为（) A.2 B.3 C.5 D.4 易混易错21错位相减求和错判项数、公比或符号致错 0避坑指南 18/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 辨析：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利 用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用=1代入检验结果是否成立 【典例】(25-26高三上新疆喀什·月考)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a,=1, a 是公差为的等 差数列. (1)求{an}的通项公式： 2)数列，}满足6=2 an,求数列{bn}的前n项和In +1 【跟踪训练1】(25-26高三下·青海西宁·开学考试)已知数列{a1-2an}是以2为首项，2为公比的等比数 列，且a=2,数列{a,}的前m项和为S,则= 410 【跟踪训练2】(25-26高三上·河南新乡·期末)过三棱柱ABC-AB,C的棱A4的中点M且与底面ABC平 行的平面内的一动点0满足：04+00B&.0C+0AE0对任意neN都成立，且C-)，则数 2n+3 4n+2 列{an}的前n项和Sn= 易混易错22对导数的概念理解不到位致错 避坑指南 辨析：()（飞，）=四-四飞+A》-,要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变 Ax0ΛxAr-→0 △x 量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；(2)f'(x)的代数意义表示函数f(x)在x,处的瞬时变化率： (3)'(x)的几何意义表示曲线y=f(x)在x=x,处切线的斜率. 19/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(24-25高二下·全国·课后作业)如果函数y=f(x)在x=1处的导数为1，那么 m+-f0.（) 2x A B.1 C.2 D.4 【典例2】(25-26高三上·河北·月考)己知函数f(x)在x=7处可导，若 f7+37-24=15,则r)-{) △x A.27 B.2 C.3 D.7 【跟踪训练1】(25-26高二上·江苏泰州·月考)设函数f(x)在x=1处存在导数为1，则 f1+2△x)-f(四=( ) 3△x A.3 B. C.2 n. 【跟踪训练2】(25-26高三上·江苏盐城·期中)已知函数f(x)=x3-ax,若im fL+2△)-f(但=1， △x 则实数a=() A 3 B.2 C.2 D.1 【答案】A 易混易错23错用函数的求导法则致错 避坑指南 辨析：(1)复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即 y=八，w: (2)求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形 式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导：分式形式，先化为整式函数或 较为简单的分式函数，再求导：复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 【典例1】(2025高三全国专题练习)函数y=x血(2x+)的导数为() A.y'=2xn(2x+5) B.y'= 2x+5 c.-h(2r+245 D.y=n(2x+5)+,2x 2x+5 【典例2】(25-26高三上江苏月考)已知函数f(x)及其导函数"()的定义域均为R,若f1-4) 20/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 寻-f+2) 都为偶函数，则石 f代) A.440.5 B.441.5 C.442.5 D.443.5 【跟踪训练1】（多选）(25-26高二上·安徽·月考)下列计算正确的是() A.若f(x)=(x2-3x+1e,则f'(x)=(x2-x-2)e B.若f(y=cos牙则f()=sin牙 C.若如，则r)= (sinx-cosx) D.若fx)=2+log,(3x+1),则f'(x)=21n2+ (3x+1)ln3 【跟踪训练2】(25-26高二下山东滨州·开学考试)下列选项正确的是() A.(sinl0）=cosl0 B.(lgx)'=1 C.[(2x+1)(2x-1)]=8x D.(e*)=e 易混易错24混淆“在某点”和过某点”切线的区别致错 门避抗指南 辨析：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： (1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标. (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点， (3)曲线y=∫(x)“在”点P(x,)处的切线与“过”点P(x,)的切线的区别：曲线y=f(x)在点 P(x,)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k=f'(x),是唯一的一条切线；曲线 一f()过点Px,)的切线，是指切线经过点卫，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可 能有多条。 【典例1】(24-25高三上·上海·开学考试)经过点P(1,-2)可以作与曲线2x3-3x-y=0相切的不同直线共 有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 21/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(2025·全国一卷高考真题)若直线y=2x+5是曲线y=c+x+a的一条切线，则a=一 【答案】4 【解析】法一：对于y=e+x+a,其导数为y'=e+l, 因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y=e+1=2,即e=1,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5, 所以切点坐标为(0,5)， 因为切点(0，S)在曲线y=e+x+a上， 所以5=e°+0+a,即5=1+a,解得a=4. 故答案为：4. 法二：对于y=e*+x+a,其导数为y'=e+l, 假设y=2x+5与y=e+x+a的切点为(x,yo), e+1=2 则=2x,+5，解得a=4. Yo=e*+xo+a 【跟踪训练1】(25-26高二上·安徽期末)已知函数fx)-1,过点PL,0)作曲线y=f(x)的切线，则此 切线与y轴和直线y=x所围成的三角形的面积为() A. c.3 D.1 【跟踪训练2】(2627高二上·重庆期末)过(a,0)作函数f(x)=工的切线恰好能作两条，则实数a的取值 范围为() A.（-oo,0) B.(0,+∞) C.(4,+o) D.（-o,0)U(4,+o) 易混易错25利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 避坑指南 22/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 辨析：(1)求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数 的单调区间；(2)含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式：④导数等于 0有根无根：⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内. 【典例】(24-25高二下福建泉州月考)函数y=血x+1的单调减区间为() A.（-0,1) B.(0,1) C.(1,e) D.（1,+o) 【跟踪训练1】(2025·四川模拟预测)己知函数f(x)=lnx-3x+a(a∈R),则f(x)的单调递增区间为 () A B C.(0,3) D.(3,+o) 【跟踪训练2】（多选题）(2026湖北武汉·模拟预测)对于函数 )=, lnx,则() A.函数f(x)的单调递减区间为(0，)U(1,) B.f(π)<f(2) C.若方程If(x)=k有6个不等实数根，则k>e D.对任意正实数x,x2,且x≠x2,若f(x)=f(x2),则xx2>e 易混易错26淆极值点与导数等于零的点的区别致错 避坑指南 辨析：导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导 数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反 12 【典例1】(2526高三上·吉林长春·阶段练习)若x=0是函数)-写-Q+ 2/ +(a2+a)x-1的极 小值点，则f(x)的极大值为( A. B.3 2 C.2 D.-5 6 【典例2】(25-26高二上陕西榆林·期末)己知函数f(x)=e(x-m)2,若x=1为f(x)的极小值点，则实 数m的值为() A.-1 B.1 C.3 D.1或3 【跟踪训练1】(25-26高二上河北石家庄·期末)己知函数f(x)=x(x-a)在x=1处取得极大值，则a= 23/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 () A.9或1 B.3 C.2 D.1 【跟踪训练2】（多选）(25-26高二上江苏南京期未)已知函数f()=m-3r+m-a(a≠0)有两个极 值点，(<)，则() A.a∈(-3,0U(0,3) B.当f(x)f(x)<0时，f(x)有三个零点 C.当a·f(x2)>0时，f(x)仅有一个零点 D.f(x)+f(x)-2f 易混易错27已知单调性求参数时混淆条件致错 小避坑指南 辨析：已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：(1)熟悉基本函数的单调性。 (2)注意下列二者之间的区别：函数在区间1上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D. 注意：其中I三D· (3)首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的 不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来 【典例1】24-25高三上山东临沂期中)若函数/)》 3 2+ax+4的单调递减区间恰为[-1,4，则 实数a的值为一 【典例2】(25-26高二上北京·期中)如果f(x)=ax-e在区间(-1,0)上不单调，那么实数a的取值范围 为() U[,+o) B.〔oU+ocD. 【跟踪训练1】(25-26高三下海南月考)已知函数()=+a-3在(0，+∞）)上单调递增，则a的取值 范围为() 24/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.[-6,+0) B.（-0,6] C.[-2,+o) D.（-0,-2] 【跟踪训练2】(2026高二下·福建福州·专题练习)若函数f(x)=lnx 2ar-2x存在单调递减区间，则实 数a的取值范围是() A.（-o,l) B.(-o,l] C.（-1,+∞) D.[-1,+0) 易混易错28判断函数零点个数时画图致错 避坑指南 利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数， 【典例1】(24-25高三上·辽宁沈阳阶段练习)已知f(x)=mem-lnx(m≥0)，若f(x)有两个零点，则 实数m的取值范围为() A. B. c. D. 【典例2】(2026江西新余一模)已知f(x)=k2-r-x-10g2x在(1,8]上有两个不同零点，则k的取值范 围为() 「5 log2e B g2e 2e + 2e c. log,e D. 1 e 【跟踪训练1】(2026·安徽合肥一模)已知函数f(x)=(nx)+axlnx-x2有且仅有三个零点，则a的取值 范围是() (o.e-) B.e+) D e。 【跟踪训练2】(2026安徽安庆一模)已知a>0,若函数f)=(x-a)3n(3x)+1-a恰有1个零点， 则a=() A.e B. C.1 D.3 易混易错29混淆两个计数原理致错 25/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 避坑指南 辨析：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的 应用 【典例1】(2025·上海高考真题)有一四边形ABCD,对于其四边AB、BC、CD、DA,按顺序分别抛掷 枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去：如硬币反面朝上，则不擦去.最后，以A为起点沿 着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为() A.月 B. 16 c.4 D.3 16 【典例2】（(25-26高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，则不同的路径 有() A.5种 B.6种 C.7种 D.9种 【跟踪训练1】(2025高二重庆期中)某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,12,35， 为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为 偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用 天，则不同的用车方案种数是() A.24 B.27 C.30 D.33 【跟踪训练2】(25-26高三上浙江杭州期末)己知集合M={1,2,3,4,5},f(x)是M→M的函数，且满足 f(f(x)=1,则这样的函数f(x)的个数为 易混易错30分步有序致错 避坑指南： 辨析：主要错是混淆有序抽取（排列）与无序抽取（组合），把一次性取件按分步有顺序计算，误用分步 乘法，与实际无序抽取不符，造成计数重复偏大针对这种错误，应对策略是认真审题，分清是排列问题还 26/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是组合问题，其中对于至少至多”类型的问题，可从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要 求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质 还是先进行分类.求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答. 【典例】(24-25高二上·福建泉州阶段训练)有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个 零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是() A.560B.2735C.1136D.480 【跟踪训练1】(25-26高三上·山东日照·期末)从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任班长、团支 书、学习委员，则甲、乙至多有1人被选中的不同选法有() A.60种 B.120种 C.180种 D.210种 【跟踪训练2】(2025高三·全国·专题练习)多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有不 同的，现从中共选取12个流行语，包括i人e人“显眼包特种兵式旅游“遥遥领先“多巴胺×ד情绪价 值“双向奔赴“村BA“主打一个×搭子“命运的齿轮开始转动“质疑××，理解×，成为”，其中“显眼 包特种兵式旅游“多巴胺ד遥遥领先”在多个平台公布的“2023年十大流行语中出现，被称为“最热流 行语”.从这12个流行语中选择4个不同的流行语，则至多包含2个“最热流行语的选法共有() A.482种 B.462种 C.392种 D.270种 易混易错31分步不合理导致重复或遗漏致错 小避坑指南 辨析：对分步计数理解不清，忽略每步需满足颜色不冲突，随意按区域顺序涂色，未考虑相邻限制，导致 步骤间矛盾，结果出错. 【典例】(25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中)用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界 有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有() 4 6 A.384种 B.168种 C.108种 D.192种 27/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【跟踪训练1】(24-25高二下·广东深圳期中)将图中A,B,C,D,E五块区域涂上颜色，现有4种不同 的颜色可供选择，则下列说法正确的是() B A C E D A.若每块区域任意涂上一种颜色，则共有4种不同涂法 B.若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C.若4种不同颜色全部用上，B,D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D.若4种不同颜色全部用上，B,D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【跟踪训练2】(25-26高二下·全国·课后作业)将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的 两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为() A.80 B.100 C.110 D.120 易混易错32忽视排列数组合数公式的隐含条件致错 避坑指南： 辨析：在排列组合数的计算中，要注意上标和下标的限制条件，从而根据条件正确计算，或列出相应的方 程、不等式（组）求解参数的值 【典例1】(25-26高三上：上海宝山统考)已知关于正整数x的方程C=C5,则该方程的解 为 【典例2】(24-25高二下·吉林期末)若A1x1=140A?,则x= Ai+Ag 【跟踪训练】(24-25高二下·江苏无锡月考)(1)求值： A0-A。 (2)解方程：C6=C5; (3)解不等式：3A≤2A2+6A2 28/ 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错33分组问题混淆“均分”与“非均分致错 避坑指南： 辨析：(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复： ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象， (2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配： ③有限制条件的分配问题，采用分类求解， 【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)(非均匀分组)堆一本，一堆两本，一堆三本： (2)(定向分配)甲得一本，乙得两本，丙得三本： (3)(不定向分配)-人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配)平均分给甲、乙、丙三人 (⑤)（平均分组）平均分成三堆. 【跟踪训练1】(25-26高二下·江西赣州·开学考试)诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱.现 有甲、乙、丙等6人前往江西上犹阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去 其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为 【跟踪训练2】(25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末)甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社 区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人。 ()若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 29/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错34计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 避坑指南 辨析：1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法： ()倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列： (2)空位（或占位）法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排 法。如已知n个不同的元素进行排列，要求其中mmS,nE心，mEN个元素相对顺序固定不变，有种 不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的一m个元素，再放这定序的m个元素，共有A”m种不同 的方法。 对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为个，新插入的元素为m个， 则排列数为Cm十n)! n！ 2.相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干 隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔 板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题。 (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有Cm种方法.可描述为n一1个空中插入m一1块 板. 【典例1】(25-26高三上·全国·专题训练)用2个0,2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数 有() A.8个 B.12个 C.18个 D.24个 【典例2】(25-26高三上·郑州模拟)某班2026年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加 了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为() A.2 B.11 C.36 D.42 【跟踪训练1】(25-26高三上·河南商丘·月考)甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从 高到低的固定顺序，共有排法（) 30/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.144种 B.108种 C.120种 D.360种 【跟踪训练2】（25-26高三上·天津期末)现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要 从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是() A.8400 B.11760 C.13440 D.20160 易混易错35混淆“系数”与“二项式系数”而致错 避坑指南 辨析：处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项的二项 式系数为C(k=0,l,2,),项的系数是指该项中除变量外的常数部分，包含符号等. 【典例】(25-26高三·上海·随堂练习)已知(1+2x)°的二项展开式中，二项式系数最大的项为a,系 数最大的项为b,则= 【跟踪训练1】(25-26高二上·上海期末)已知 派 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式 中的常数项是 【跟踪训练2】(2025高三·全国·专题练习)已知n∈N,二项式 N+ 展开式的前三项的系数成等 差数列，则展开式中二项式系数的最大值为，系数最大值为 易混易错36混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 避坑指南 辨析：(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件， 若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. (2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系： ②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)=0,相互独立事件则强调一个事件的发生与否 对另一个事件发生的概率没有影响. 【典例】（多选）(2026广东广州一中期中)现有A,B两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均 相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，b,再将两箱子混合后取出一个小球c,事件 31/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M:“小球a为红色”，事件N:“小球b为白色”，事件P:“已知a,b颜色的前提一下，小球C为红色”，则 下列说法错误的有() A,M发生的概率为 B.M与N互斥 C.M与N相互独立 D.P发生的概率为号 【跟踪训练1】（多选）(25-26高二下·黑龙江·开学考试)已知随机事件A,B,C满足 P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C)=0.3,且事件C与A,B相互独立，则下列说法正确的是() A.若A与B相互独立，则P(AUB)=0.9 B.若P(A∩B)=0.4,则A与B相互独立 C.若A与B互斥，且C与A+B也相互独立，则P(A+B)C)=0.25 D.若A与B相互独立，且C与AB也相互独立，则P(ABC)=0.12 【跟踪训练2】(25-26高三上·四川达州期末)如图，一个电路中有A,B,C,D四个电器元件，每个元件可 能正常，也可能失效.记M=“电路是通路”，N=“电路是断路”，S=“至少三个元件正常”，T=“恰有三个 元件正常”，则() BD A.M与N互斥，但不对立 B.5与T互斥，但不对立 C.TM D.N=5 易混易错37混淆“有放回”与不放回”致错 Q避坑指南 辨析：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次 抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变：无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要 变，概率也变 32/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】（25-26高三·上海·课堂例题)已知向量ā=（x,y),b=(1,-2),从6张大小相同分别标有号码 1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x、y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足 a·b>0的概率是() M局 3 B. D.g 【典例2】(25-26高三上·浙江·期中)某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从 袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率() A含 c 【跟踪训练1】(25-26高三上·广西贵港·开学考试)不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个 白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止 摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X,则P(X=5)=一· 【跟踪训练2】（25-26高三下四川成都·开学考试)从0,1,2，，9这10个数字中选出3个不同的数 字组成三位数，其中小于325的共有 个；若从这10个数字中每次有放回地随机抽取一个数字 称为一次试验，抽中数字7则试验停止，若要使随机事件“在前N次试验内停止试验”的概率大于0.523，N 的最小值为 (参考数据：n(0.477)≈0.740，ln(0.9)≈0.105) 易混易错38古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 避坑指南 辨析：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征随后，关键在于构建样本空间， 这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间： 二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明 确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概 型的概率计算公式，得出所求事件的概率。 【典例】（多选)(2026湖南衡阳三中月考)某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分， 部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选 项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD,甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正 确的是() 33/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B。乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为} C.丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D.丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【跟踪训练1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率 是() A号 B时 c时 D 【跟踪训练2】(25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的 点数，则点数之差的最大值为4的概率是 易混易错39对条件概率理解不透彻致错 避坑指南 辨析：解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知*“在..前提下等字眼，一般为条件概率.题目中 若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率.若为条件概 率，则进行第二步， 第二步，计算概率，这里有两种思路： 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(4B),可分别求出事件B,AB 思路一 包含的基本事作的个数。再利用公式代4)+好 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB),P(B),再利用公 思路二 式风4招+算 【典例】(25-26高二上辽宁·期末)某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400 名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有：的学生每天饮用碳酸饮料不低 于50毫升，这些学生的肥胖率为，每天依用碳酸饮料低于50毫升的学生的肥胖率为。若从该中学有 二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为() 34/ 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B. c 7 D. 12 【跟踪训练1】(25-26高三下·天津河西·开学考试)盒中有4个白球、6个黑球（这些球除颜色外没有其他 差异)随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入2个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出 一个球则第二次取出的球是白球的概率为 ;在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球 的概率为 【跟踪训练2】(2026江西·一模)学校食堂每餐推出A、B两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的 两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了A套餐，则第2天选择A套餐的概率为：；若他前1天选择 了B套餐，则第2天选择了4套餐的概率为.。 已知他开学第1天中午选择A套餐的概率为？，在该同学 第3天选择了A套餐的条件下，他第2天选择A套餐的概率为 易混易错40求分布列时忽视了概率之和为1而致错 避坑指南 辨析：1利用“总概率之和为1可以求相关参数的取值范围或值 2.利用离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件 的概率 3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确！ 【典例1】 (2026高三·全国·专题练习)已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 2 0.36 1-2q 则常数9= p(X=m-n+n+ 0 (n=1,2,…,15),a为常数，则a= 【跟踪训练2】(24-25高二下·陕西西安·月考)设X是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则9= X 0 2 4 2 524 35/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错41混淆二项分布与超几何分布致错 避坑指南 辨析：“二项分布”与“超几何分布的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽 取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理 【典例1】(25-26高三上·辽宁朝阳期未)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整 个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.现随机抽取100 位市民，将市民按年龄分为“青年组和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本 观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记A表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为P(A),B表示“抽取到的市民为非青年 组”，其概率为P(B) (I)给出P(A),P(B),PBA)的估计值： (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小 组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世 2》的人数X的分布列和数学期望. 36/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(25-26高三上·安徽宣城期末)某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每 位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识 作答成功的概率为)，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立：若某位参赛者第一轮基础知识作答成功 3 时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为子：若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功 的概率为子，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功。 (I)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记X为参赛居民中闯关成功的人数，求X的数学期望与方差 【跟踪训练1】(25-26高三下·天津红桥·开学考试)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方 猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和 6 5且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 :若3次活动中，甲获胜的次数记为X，则随机变量X的期望为 【跟踪训练2】（25-26高二上·山东德州·期末)某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每 满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2 个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X.求X的分布列与数学期望： (2)顾客B消费了1000元. ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠？（备 注：不能同时参加抽奖和打折活动) 37/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错42混淆函数关系和相关关系而致错 避坑指南 辨析：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函 数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系· 【典例】(24-25高三上·江西南昌·训练)对两变量间的关系，下列论述正确的是() A.任何两个变量都具有相关关系 B.正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系 C.农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D.一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【跟踪训练】（多选)（2025高二·全国专题练习)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位： cm)具有线性相关关系根据一组样本数据(x,y,)i=1,2,,m),用最小二乘法建立的经验回归方程为 )=0.85x-85.71,则下列结论中正确的是（) A.y与x具有正的线性相关关系 B.经验回归直线一定经过点(x,) C.若该大学某女生身高增加2cm,则其体重约增加1.7kg D.若该大学某女生身高为170cm,则可以判断其体重必为58.79kg 易混易错43忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 避坑指南： 辨析：在求回归曲线方程时一定要先判断回归曲线类型，若是非直线方程，就要转化为回归直线方程求解， 在计算过程中要注意求回归系数的两个公式之间的相互转化， 常见的非线性回归模型： (1)指数函数型y=ca(a>0且a≠1，c>0) 38/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 两边取自然对数，lny=lnca),即lny=lnc+xlna, y'=Iny 令 [x'=x ，原方程变为y=nc+xna,然后按线性回归模型求出na,nc. (2)对数函数型y=blnx+a y'=y 令 x'=Inx ，原方程变为y=br'+a,然后按线性回归模型求出b,a. (3)幂函数型y=ax” 两边取常用对数，lgy=lgax”),即lgy=nlgx+lga, 令严=g ,原方程变为y'=x'+lga,然后按线性回归模型求出n,lga. x'=1gx (4)二次函数型y=bx2+a y=y 令x= ，原方程变为y'=bx'+a,然后按线性回归模型求出b,a. (5)反比例函数型y=a+b型 y'=y 令 1 x'= ,原方程变为y'=bx'+a,然后按线性回归模型求出b,a. 【典例1】（25-26高二上·全国期末)红铃虫(Pectinophora gossypiella)是棉花的主要害虫之一，其产 卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的8组观测数据，制成图1所示 的散点图现用两种模型①y=er+“，②y=cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分 析，进一步得到图2所示的残差图. 产卵数个 残差 140 30 120 20 100H 10 80 60 卤20方2426830234温度 40 -20 20 。，，g1 -30 0182022242628303234温度x/°℃ ·模型①·。.模型② 图1产卵数散点图 图2两种模型的残差图 根据收集到的数据，计算得到如下值： 39/ 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x t 2(s- 26- ∑(e-s-x) ∑(y--) i 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中z,=lny; (①)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据(1)中所选择的模型，求出y关于x的回归方程. 附：对于一组数据(，上)，(o,y).(o,yn),其回归直线=à+Bo的斜率和截距的最小二乘估计分别 为，B= 2(@-cy- -,d=v-Bō 【典例2】（2025高二·全国·专题练习)根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x,y进行回归分 析，设u=lny,v=（x-4),利用最小二乘法，得到线性回归方程为i=0.5v+2,则下列说法中正确的是 () A.变量y关于x的非线性回归曲线是轴对称图形 B.变量y关于x的非线性回归曲线是中心对称图形 C.当x=4时，变量y的估计值取到最小值e D.当x=4时，变量y的估计值取到最大值e2 【跟踪训练】(2026·陕西西安·模拟预测)近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保 护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.某地区近几年 新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 购买量y 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 40/ 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (万辆) ()计算y与x的相关系数”（保留三位小数）： (2)求y关于x的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量. 2(x-)(y-)。】 -0- 参考公式： ,a=-b标 ②x-列2x-列 ∑-)明 参考数值： V3≈3.6056，∑(x-)0y-)=3.6 易混易错44求解独立性检验间题对？2的值理解不准确致错 避坑指南 辨析：在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错.在利用2×2 列联表计算x的值之前，先假设两个分类变量是无关的，最后再利用x的值的大小对二者关系进行含概率的 判断. 【典例1】(25-26高二·全国·假期作业)随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市 的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表. 非 总 线 线 计 愿生 45 20 65 不愿 13 22 35 生 41/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 总计 58 42 100 附表 a 0.025 0.010 0.001 Xa 5.024 6.635 10.828 由X2= a+6c+d)a+c6+算得，x2=100x45x22-20x13 n(ad-be)2 ≈9.616，参照附表，得到的正确结论 58×42×35×65 是() A.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B.在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” 【典例2】（多选）(25-26陕西汉中一模)某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实 验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则() 周平均使用时间 年龄 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 d c+d 总计 72 b+d 120 附：x2= n(ad-bc)月 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d' n=a+b+c+d. (1)当x2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A,B有关联，可以认为变量A,B是没有关联的； (2)当x2>2.706时，有90%的把握判断变量A,B有关联； (3)当x2>6.635时，有99%的把握判断变量A,B有关联； (4)当x2>10.828时，有99.9%的把握判断变量A,B有关联. A.d=18 42/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B。用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C.没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D.有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 【跟踪训练1】(2025·湖南·一模)随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行 各业创新应用的热门话题.某课题小组对本市各行业人群使用A[频率进行调查研究，下列说法正确的是 () A.甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为 )=0.2x+9,可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B.乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数r≈0.99，可以推断两个 变量正线性相关，且相关程度很强 C.丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值α=0.01的x2独立性检验，计算得到 X2=4.706<6.635=x1,可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D.丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数R来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和② 的R2分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 【跟踪训练2】(2026辽宁大连·模拟预测)为研究事件A与事件B的关系，某机构进行了一次随机抽样调 查，共回收有效问卷份，调查结果按是否满足事件A和事件B分类统计，得到如下列联表（表中数字对 应相应情况的人数)，用频率估计概率。 是否满足事件A 满足事件 不满足事件A 合计 A 是否满足事件B 满足事件B 知 不满足事件B 2 合计 n (1)如果事件A与事件B无关，证明：x2=0: (2)已知P(AB)=P(AB): ()填写表格剩余内容： 43/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (i)已知依据小概率值a=0.050的独立性检验，可以判断事件A与事件B有关，求有效问卷数n的最小 值. n(ad-be) P(x2≥k)0.0500.0100.001 附：X=(a+bc+da+c)b+d'k3.841663510.828 44/ 高二数学中的44个易混易错全归纳纳 内容导览 易混易错01 忽略建系的条件致错 3 易混易错02 忽略异面直线所成角的范围致错 8 易混易错03混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错 10 易混易错04 忽略斜率公式的应用条件致错 13 易混易错05 求直线方程忽略截距为零致错 14 易混易错06 判断直线的位置关系考虑不全面致错 15 易混易错07 忽略圆的一般方程的限制条件致错 17 易混易错08 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错 18 易混易错09 两圆相切忽略内切、外切的区分致错 20 易混易错10 曲线方程变形不等价致错 22 易混易错11 忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错 24 易混易错12 忽略圆锥曲线焦点的位置致错 27 易混易错13 求离心率范围时忽略离心率本身范围致错 28 易混易错14 求轨迹方程时忽略变量的取值范围 30 易混易错15直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 33 易混易错16 恒成立意义不明导致定点致错 37 易混易错17忽略数列与一般函数的区别致错 40 易混易错18 由Sn求an忽略n=1的讨论致错 41 易混易错19 等比数列问题忽略公比q的讨论致错 43 易混易错20 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 45 易混易错21 错位相减求和错判项数、公比或符号致错 47 易混易错22 对导数的概念理解不到位致错 50 易混易错23 错用函数的求导法则致错 51 易混易错24 混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错 54 易混易错25 利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 58 易混易错26 混淆极值点与导数等于零的点的区别致错 60 易混易错27 已知单调性求参数时混淆条件致错 64 易混易错28判断函数零点个数时画图致错 66 易混易错29 混淆两个计数原理致错 70 易混易错30 分步“有序”致错 72 易混易错31 分步不合理导致重复或遗漏致错 74 易混易错32 忽视排列数组合数公式的隐含条件致错 76 易混易错33 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错 77 易混易错34 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 81 易混易错35 混淆“系数”与“二项式系数”而致错 83 易混易错36 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 85 易混易错37 混淆“有放回”与“不放回”致错 87 易混易错38 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 89 易混易错39 对条件概率理解不透彻致错 92 易混易错40 求分布列时忽视了概率之和为1而致错 94 易混易错41 混淆二项分布与超几何分布致错 95 易混易错42 混淆函数关系和相关关系而致错 99 易混易错43 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 100 易混易错44 求解独立性检验问题对的值理解不准确致错 103 易混易错01 忽略建系的条件致错 辨析：利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证明要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴. 【典例】（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【解析】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系(易错点). 本处易错点是不证明三线两两垂直，直接建立空间直角坐标系 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 【跟踪训练1】（25-26高三上·上海松江·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1）取中点，中点，连接，. 因为为等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 平面，所以， 又底面是直角梯形，，所以. 又分别为，中点，所以，所以. 所以两两垂直. 故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 因为，所以，，，. 所以，. 因为. 所以，所以. （2）由（1）得，，，. 设平面的一个法向量为， 则，令，可得. 所以点到平面的距离为：. 【跟踪训练2】（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面． (1)求证：； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）由平面，， 所以以点为坐标原点，分别为轴，过点平行于的所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，            由（1）知平面，平面, 所以，所以为二面角的平面角， 又二面角的大小为，所以， 又的中点为，，所以， 在直角三角形中， ， 所以， 则， 设点，由，所以，① 则，又， 所以有，② 又，即，③ 联立①②③解得：， 所以，所以， 设平面的一个法向量为， 由， 令，则，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为：. 易混易错02 忽略异面直线所成角的范围致错 辨析：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围. 【典例】（25-26高三上·江苏无锡·月考）《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】由题意，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由题意，设，则， 所以，，，， 所以，， 所以， 所以，， 设直线与所成角为， 则. 所以异面直线与所成角的余弦值为（易错点）． 本题容易错将答案写成或 【跟踪训练1】（25-26高二下·上海·月考）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________ 【答案】或 【解析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径， 因为底面边长为4，所以， 易知球心在直线上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，由余弦定理可得， 解得； 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，由余弦定理可得， 解得. 综上：直线与所成角的余弦值为或. 【跟踪训练2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____. 【答案】/ 【解析】如图，取的中点，连接，. 因为，所以，， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， 又， 所以， 则，所以为等边三角形，所以. 因为， 所以， 所以， ， 即，得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 易混易错03混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错 辨析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值. 【典例】（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【解析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则(易错点) 若对概念不清，容易错写成 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 【跟踪训练】（25-26高三上·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，平面与棱相交于点F，且，.    (1)求证：； (2)已知点M在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【解析】（1）因为平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以，又， 所以. （2）由平面，平面，所以， 所以， 得，有，所以， 建立如图空间直角坐标系.   ， 则， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，设直线与平面所成的角为， 则， 整理得，解得，即. 易混易错04 忽略斜率公式的应用条件致错 辨析：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 【典例1】（25-26高三上·山西·月考）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，则. 因为，， 当时，；（易错点） 要注意考虑斜率不存在的情形 当时，，或. 当时，直线的斜率， 所以，得； 当时，直线的斜率， 所以，得. 所以. 【跟踪训练1】（25-26高二上·贵州六盘水·月考）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 【跟踪训练2】（25-26高二上·天津南开·开学考试）下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】把看成动点到定点所在直线的斜率，如图： 当直线与半圆相切时，斜率最小， 设直线方程为：， 此时由圆心到直线的距离等于半径可得：，解得：或（舍去）， 所以的最小值为. 易混易错05 求直线方程忽略截距为零致错 辨析：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 【典例】（25-26高三上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当直线经过原点时，此时直线方程可设为，（易错点） 此时直线的截距均为0，故不能通过设截距式方程求得 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 【跟踪训练】（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 【答案】B 【解析】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以 ①当直线不经过原点时，设截距为，. 则直线过点，那么直线斜率为. 所以直线方程为. 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得或（舍去）. 此情况下有一条直线符合题意，直线方程为. ②当直线经过原点时，设直线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得. 此情况下有两条直线符合题意，直线方程为. 综上，共有3条直线符合题目要求. 故选：B. 易混易错06 判断直线的位置关系考虑不全面致错 辨析：1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况. 【典例】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 时，方程是，的方程是，平行； 时，方程可化为，方程化为，两直线重合，舍去，（易错点） 忽视对m取值讨论，从而未剔除两直线重合这一情形出错 故选：A. 【跟踪训练1】（多选）（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 【答案】BCD 【解析】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为， 则，所以不垂直，故错误； 对于，若，所以可得，则直线， 由两平行直线距离公式可得，故正确； 对于，可化为， 所以直线恒过，故正确； 对于，当直线与轴无截距，不满足条件， 当，在两坐标轴的截距相等，分别令， 可求出与轴截距为和轴截距，即 解之可得或，故正确. 故选： 【跟踪训练2】(多选)（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（   ） A． B．存在，使得 C．直线过定点 D．直线过定点 【答案】AC 【解析】若，：，：，显然成立， 若，的斜率为，的斜率为，，所以，所以无论为何值，，故A正确，B错误； 的方程可化为，即，所以过定点，故C正确， ，所以过定点，故D错误. 故选：AC. 易混易错07 忽略圆的一般方程的限制条件致错 辨析：不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 【典例】（25-26高三上·青海西宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：表示圆， 可得：，解得，（易错点） 要注意考虑方程表示圆的条件 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 【跟踪训练】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆，可得， 可得，解得， 又由点在圆外，则，解得， 综上可得：，所以实数的取值范围是. 故选：D. 易混易错08 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错 辨析：（1）过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （2）设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错. 【典例】（25-26高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 【解析】（1）圆，即， 则圆心为，半径， 因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上， 所以，解得， 所以的半径； （2）由（1）可得，圆心为， 因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意；（易错点） 要注意考虑直线斜率不存在这一种情形，否则将漏解 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或.    【跟踪训练1】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 【解析】（1）解：设，因为点且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，圆心为，半径为， 因为，设圆心到的距离，可得，解得， 当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意； 当斜率存在时，设方程：，即， 则，解得，此时. 综上可得，直线的方程为或. （3）解：当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且 联立方程组， 整理得， 令，解得， 且，所以， 又由，解得，所以， 因为均在直线上，且 所以. 易混易错09 两圆相切忽略内切、外切的区分致错 辨析：1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： ①化成圆的标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆的圆心距d； ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 2．由圆的位置关系求参数：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系． 【典例】（多选）（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知圆和圆，则（    ） A．两圆可能无公共点 B．若两圆相切，则 C．直线可能为两圆的公切线 D．当时，若为两圆的公切线，则或 【答案】ACD 【解析】由圆的圆心为，圆的圆心为，则圆和圆的圆心距为， 对于A，当，即时，两圆可能相离，即无公共点，故A正确； 对于B，当两圆外切时，，得；当两圆内切时，，得，故B错误（易错点）； 注意两圆相切包括外切与内切 对于C，当时，直线可能为两圆的公切线，故C正确； 对于D，结合选项B可得，当时，两圆外切， 则有，解得或，故D正确． 故选：ACD． 【跟踪训练】（25-26 高三上·四川内江·期中）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ． 【答案】或 【解析】由题意知：两圆圆心分别为：，，半径分别为：，， 当两圆外切时：，解得：； 当两圆内切时：，解得：，负值舍去； 综上：或. 易混易错10 曲线方程变形不等价致错 辨析：在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成x、y的取值范围的变大或缩小. 【典例】（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】曲线即为半圆：，（易错点） 要注意此曲线是半圆不是一个圆，且要注意区分是右半圆还是上半圆 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为， 而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：D. 【跟踪训练1】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为_____ 【答案】 【解析】由可得，整理可得， 所以，曲线表示圆在轴的上半部分， 当直线与圆相切时，， 结合图形可知，，则， 当直线过原点时，， 结合图形可知，当时， 直线与曲线有两个不同的交点. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏扬州·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可知直线过定点， 曲线两边平方得， 所以曲线C是以为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆， 当直线过点时，直线与曲线C有两个不同的交点，此时， 当直线与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离，两边平方解得， 所以结合图形可知直线与曲线C恰有两个交点，则. 故选：B. 易混易错11 忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错 辨析：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上. 【典例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】①，表示点与点的距离和为2a=， 而两点的距离为2c=4，所以点轨迹是两点间的线段(易错点)，①错误. 当2a>2c时点的轨迹才是椭圆 ②，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误. ③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1， 当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等(易错点)，则P的轨迹是抛物线； 转化为到定点的距离等于到定直线的距离，便符合抛物线的定义 当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确. ④，动点满足， 则或， 表示的是直线在圆外和圆上的部分； 表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误.（易错点） 所以正确的有0个. 故选：A 【典例2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 【跟踪训练1】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 易混易错12 忽略圆锥曲线焦点的位置致错 辨析：由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求或的值． 【典例】（25-26高三上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ， 依题意，，因，故得，双曲线方程为：； 当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ，（易错点） 由于焦点位置未确定，故需分焦点在x轴上、在y轴上分类讨论 依题意，，因，故得，双曲线方程为：，即. 故选：D. 【跟踪训练1】（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由题意可知，， 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为； 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 故选：C. 【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 . ①实轴长为4；②渐近线方程为 【答案】或 【解析】当双曲线焦点在x轴上时，由题意可知:，此时双曲线标准方程为. 当双曲线焦点在y轴上时，由题意可知：，此时双曲线标准方程为. 故答案为：或 易混易错13 求离心率范围时忽略离心率本身范围致错 辨析：注意椭圆离心率的范围： 0<e<1，双曲线离心率的取值范围：e>1. 【典例】（25-26高三上·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是 . 【答案】 【解析】当点位于短轴的端点时，最大， 要使椭圆上存在一点P满足， 只要最大时大于等于即可， 即当点位于短轴的端点时，， 所以， 又椭圆的离心率，(易错点) 若忽视此范围，则将得错解 【跟踪训练1】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线的渐近线为，即. 设，则. 因为点在双曲线的渐近线上，所以，即. 所以点在直线上. 因为点在圆上，所以直线与圆有公共点. 所以圆心到直线的距离不大于圆的半径，所以，. 设双曲线的焦距为，则，所以，所以. 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 【跟踪训练2】（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】设，， 则由，可得，所以①． 又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②， 由方程组①②可得，化简得， 解得，因为， 所以，即，解得． 所以该椭圆的离心率的取值范围是． 易混易错14 求轨迹方程时忽略变量的取值范围 辨析：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错． 【典例】（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，整理得，(易错点) 当时，点M与点A或点B重合，此时直线MA或MB不存在 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 【典例2】（25-26高二上·广东惠州·月考）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 【跟踪训练1】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解. 【解析】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 【跟踪训练2】一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨迹方程为：． 故选：C． 易混易错15直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 辨析：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形． 【典例】（25-26高三上·北京·阶段练习）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 . 【答案】或 【解析】将代入双曲线方程中得到：， 展开整理得. 当时，即时，方程变为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点. (易错点) 注意直线与双曲线恰有一个公共点时，直线与双曲线可能相切，也可能相交于一点（此时平行于渐近线） 当时方程是二次方程， 若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式， 展开得到：. 进一步化简为，则. 解得.   综上所得，直线的斜率的所有可能值或. 【跟踪训练1】（25-26高二上·江西南昌·月考）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【答案】D 【解析】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确. 故选：D. 【跟踪训练2】(多选)（24-25高二下·河北衡水·期末）已知曲线C：，直线，，，为C上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为2 B．当时，C上有且仅有两个点到的距离为1 C．若曲线C与有两个不同的交点，则 D．当时， 【答案】ACD 【解析】A选项，若，则， 此时曲线为焦点在轴上的双曲线的一部分，其中为其渐近线， 若，则，此时曲线为单位圆的一部分， 若，则，无解，此时不合要求， 当则， 此时曲线为焦点在轴上的双曲线的一部分，其中为其渐近线， 画出曲线C：如下： 由于，与平行， 故取的中点，直线与垂直，且与（）交于点， 此时点与点重合时，到的距离最大，所以面积的最大， 其中直线为， 联立与（）得，故， 点到直线的距离为， 又，故的面积最大值为，A正确； B选项，当时，， 由A知，到的距离为， 由于为到的距离最大，所以C上有且仅有1个点到的距离为1，B错误； C选项，当过点时，， 且此时与相切，只有1个交点， 又为曲线C的渐近线，此时， 结合图形，可知若曲线C与有两个不同的交点，则，C正确； D选项，当时，此时位于（）上， 故到焦点的距离减去到焦点的距离差为， 故，D正确. 故选：ACD 易混易错16 恒成立意义不明导致定点致错 辨析：直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明． 【典例】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【解析】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，，∴椭圆的方程为. （2）联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 【跟踪训练】（25-26高二上·江西南昌·期末）双曲线经过两点和． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，为左焦点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，求直线过定点． 【解析】（1）设双曲线方程为：，代入两点可得： ，解得：， 又设双曲线方程为：，代入两点可得： ，解得：，显然这组解不成立， 综上双曲线的标准方程为； （2） 设，由（1）知， 则直线方程为：，直线方程为：， 由直线方程与双曲线方程联立可得： ，消可得：， 整理得：， 即， 又因为， 则， 所以， 则， 即点，同理可得：点， 设直线的方程为：，把点的坐标代入可得： ， ， 同理，把点的坐标代入可得：， 即直线方程必过点， 即此方程就是直线方程，又因为直线过点， 则有， 则直线的方程必过定点. 易混易错17忽略数列与一般函数的区别致错 辨析：在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的. 【典例】（25-26高三上·安徽部分重点中学期中）已知数列满足，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为数列满足，，即， 当时，则有，所以，，，， 上述等式全部相加得， 所以， 也满足，故对任意的，， 所以， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，因为，，故（易错点）， 注意数列中的n为正整数 所以的最小值为.故选B. 【跟踪训练1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意数列为递增数列， 所以，则且， 又为正整数，由知，， 当时，，符合， 同理均符合， 当时，，不符合， 故正整数的取值范围是. 故选：D. 【跟踪训练2】（25-26高三上·天津南开·期末）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为数列是单调递减数列， 所以恒成立， 则，即， 又，则，所以，则实数a的取值范围为. 故选：D 易混易错18 由Sn求an忽略n=1的讨论致错 辨析：利用Sn与an的关系求an，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式. 【典例】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 【答案】 【解析】由得，时，，两式相减得， 所以当时，是公比为3的等比数列，而，则， 由不满足上式得.（易错点） 易错之处是：忽视n=1，而得到错解. 【跟踪训练1】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】当时，，而不满足上式，所以数列的通项公式为. 【跟踪训练2】（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 易混易错19 等比数列问题忽略公比q的讨论致错 辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论. 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【解析】当时，，符合题意（易错点）； 本处容易忽视q=1这一种情形 当时，，解得. 综上，的值是1或. 故选：C 【典例2】（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，则. 若，则，由题意可得，即， 所以，，解得，不合乎题意； 若，则，则， 由题意可得，即， 所以，，可得. 故选：B. 【跟踪训练1】（2026·辽宁大连·模拟预测）是正项等比数列，记为数列的前项和，且满足，则数列的公比为___________． 【答案】1 【解析】若，成立； 因是正项等比数列，则，且， 由可得， 化简得，分解因式得， 故或，因为且，故此情况下无解． 综上所述：满足题意． 故答案为：1. 【跟踪训练2】（25-26高二上·重庆·期末）在等比数列中，，，则______． 【答案】或 【解析】设等比数列的公比为. （1）当时，若，则的各项均为正数， 所以，与已知不符，所以， 所以， 所以，① 而，② ②①得，即，解得. 代入得. （2）当时，若，则的各项均为负数， 所以，与已知不符，所以， 所以， 所以，③ 而，④ ④③得，即，解得. 代入得. 故答案为：或. 易混易错20 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 辨析：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项. 【典例】（25-26高三上·湖南长沙期末） 已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列， 所以，解得：或 当时，；当时，， 所以数列的通项公式为或. （2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（）， 则， 所以 (易错点) 裂项相消时保留的项往往是与首末序号对称的项，如本题中保留了第2项和倒数第2项 【跟踪训练1】（25-26高二下·全国·单元测试）已知在数列中，且，设，，则数列前项和________． 【答案】 【解析】，， 为常数列，，. 由题设，当时，有， 解得，即适合上式． ，，， ． 即. 【跟踪训练2】（2026·广东湛江·一模）在数列中，，令，则数列的前15项的和为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 故为首项是，公差为的等差数列，所以，． ， 所以数列的前项的和， 故， 故选：B． 易混易错21 错位相减求和错判项数、公比或符号致错 辨析：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1代入检验结果是否成立. 【典例】（25-26高三上·新疆喀什·月考）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和. 【解析】（1）由得，又是公差为的等差数列，故，即； 当时，，两式相减得， 累乘得：， 所以通项公式为：. （2）由，代入得：，用错位相减法求： ， ， 两式相减得：(易错点)， 此处相减后容易漏项或者错判项数 整理后得：. 【跟踪训练1】（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且，数列的前n项和为，则_________． 【答案】 【解析】因为是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以，即，又， 所以是首项为1，公差为的等差数列． 得，所以， 所以， 则， 两个等式作差可得， ， 故．则． 【跟踪训练2】（25-26高三上·河南新乡·期末）过三棱柱的棱的中点M且与底面ABC平行的平面内的一动点O满足：对任意都成立，且，则数列的前n项和 ． 【答案】 【解析】作出示意图如下：    设直线与底面ABC的交点为E， 则根据题意可知O为的中点，所以， 又， 所以， 又因为A，B，C，E四点共面，且，，不共面， 所以， 所以，所以， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， ， 两式相减得： ， 所以． 易混易错22 对导数的概念理解不到位致错 辨析：(1)，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；(2)的代数意义表示函数在处的瞬时变化率；(3)的几何意义表示曲线在处切线的斜率． 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以（易错点）． 要注意分母中x的改变量要与分子中x的改变量一致 故选：A． 【典例2】（25-26高三上·河北·月考）已知函数在处可导，若，则（    ） A．27 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【解析】因为 ， 所以. 故选：C. 【跟踪训练1】（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意可知， . 故选：D. 【跟踪训练2】（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故， 所以， 可得，解得. 故选：A. 易混易错23 错用函数的求导法则致错 辨析：（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即； （2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元. 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以 .（易错点） 注意复合函数求导时内层函数也要求导 故选：D 【典例2】（25-26高三上·江苏·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，若，都为偶函数，则（    ） A．440.5 B．441.5 C．442.5 D．443.5 【答案】C 【解析】因为为偶函数， 所以， 即， 即， 所以； 又因为是偶函数， 所以， 即， 所以， 即， 所以， 即，， 在中，令， 则有 所以； 在中，令， 可得， 在中，令， 则有， 所以； 又因为， 所以， 所以成等差数列，公差，首项为， 所以； 同理可得， 所以成等差数列，公差，首项为， 所以； 所以. 故选：C. 【跟踪训练1】(多选）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC 【跟踪训练2】（25-26高二下·山东滨州·开学考试）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于为常数，故，故A错误； 而，故B错误； 而，故C正确； 而，故D错误． 易混易错24 混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错 辨析：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 【典例1】（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【解析】设切点为（易错点）， 易错之处是误以为点P一定是切点 ， 则切线的斜率为， 又切线过点， 所以， 则，设， 则，令， 解得或， 当和时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又，， ，， 所以存在,；；， 所以与轴有3个交点， 则经过有3条切线. 故选：D. 【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 【跟踪训练1】（25-26高二上·安徽·期末）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】函数，求导得，设切点为，则， 依题意，，解得，因此切点，切线斜率， 切线方程为，由得两直线交点，如图：    而切线与轴交于点，则， 所以所求三角形面积为. 故选：A 【跟踪训练2】（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为， 因切线经过点，则得，化简得，显然，则得， 又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点. 的定义域为，函数求导得， 则当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，，当时，，当时，，当时，. 作出函数的图象如下： 由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或. 故选：D. 易混易错25 利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 辨析：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内. 【典例】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为.（易错点） 注意此函数的定义域不是R 故选：D. 【跟踪训练1】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 【跟踪训练2】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 【答案】BCD 【解析】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得或，由，得， 因此函数的单调递减区间为和，A错误； 对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确； 对于C，为偶函数，当时，， 由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为， 又当时，，当时，， 当时，，时，， 当时，，当时，，时，， 函数的图象如图：    观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点， C正确； 对于D，不妨设，由，得，即， 令函数，， 求导得， 当时，，，在上单调递增， 由，得，即，因此， 函数，求导得，当时，，在上单调递减， 而，则，即，D正确. 故选：BCD 易混易错26 混淆极值点与导数等于零的点的区别致错 辨析：导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反. 【典例1】（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 又是函数的极小值点，所以，解得或（易错点）， 注意：可导函数在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即是的极大值点，不符合题意，故舍去(易错点)； 需注意检验，极值点不一定是极大值点 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 即是的极大值点，是的极小值点，符合题意， 此时， 所以的极大值为. 故选：D 【典例2】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【解析】函数，定义域为. 所以. 由题可知，，即，所以或. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值. 综上，实数的值为. 故选：B. 【跟踪训练1】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 【跟踪训练2】（多选）（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数有两个极值点，则（   ） A． B．当时，有三个零点 C．当时，仅有一个零点 D． 【答案】BCD 【解析】对于A，由，得， 因为函数有两个极值点， 所以有两个不等的实数根， 即有两个不等的实数根， 所以，解得或，故A错误； 对于B，当时，二次函数与轴有两个不同的交点，开口向上， 当时，；当，；当，， 所以是极大值，是极小值，又，则可得有三个零点. 同理可得当时，有三个零点，故B正确； 对于C，当时，由B可知是极小值，又，所以， 此时极大值，所以函数在，函数从递增到有1个零点， 其余区间内无零点， 同理可得当时，函数仅有一个零点， 综上所述：当时，仅有一个零点，故C正确； 对于D，由韦达定理可得， ， 又， 所以，故D正确. 故选：BCD. 易混易错27 已知单调性求参数时混淆条件致错 辨析：已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。 （2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D. 注意：其中 . （3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来. 【典例1】（24-25高三上·山东临沂·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 【答案】 【解析】由题意得，， ∵函数的单调递减区间恰为， 即的解集为，（易错点） 注意单调递减区间为[-1,4]与在区间[-1,4]上递减是有区别的 ∴所以和4是的两根， ∴． 【典例2】（25-26高二上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，依题意可得在上有解， 即方程在上有解，显然当时，， 因此实数a的取值范围为. 【跟踪训练1】（25-26高三下·海南·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以函数在上的最大值为，所以， 所以的取值范围为． 【跟踪训练2】（2026高二下·福建福州·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 导函数， 假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立， 即在恒成立，即， 令，因为，所以， 则函数在时取得最小值，最小值为， 所以，所以， 根据题意，函数存在单调递减区间， 所以. 易混易错28判断函数零点个数时画图致错 利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数. 【典例1】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解.（易错点） 注意定义域：x不能为负 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 的图象如图：（易错点） 当x趋近于正无穷大时，趋近于0，而不是趋近于负无穷大 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A 【典例2】（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 故等式可变形为， 等式两边同时乘以可得， 若，对任意的，，则，故， 所以，但，等式不成立，不符合题意，所以， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 由可得， 所以，参变分离得， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以函数的极大值为， 又因为，，且，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此实数的取值范围是. 故选：D. 【跟踪训练1】（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 【跟踪训练2】（2026·安徽安庆·一模）已知，若函数恰有1个零点，则（   ） A．e B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】由，可得恒为的一个零点， 令，则恰有1个零点， 等价于的唯一零点是，或无零点. 因为，且， 所以恒成立，在上单调递增. 又时，时，因此必然存在唯一零点. 当的零点是时，可得 即，解得，. 易混易错29 混淆两个计数原理致错 辨析：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用. 【典例1】（2025·上海高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况，（易错点） 注意：分类相斥，分步相依 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复），（易错点） 注意剔除重复的方法 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 【典例2】（25-26高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有(    )    A．5种 B．6种 C．7种 D．9种 【答案】C 【解析】由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知， 不同的路径有种.故选：C. 【跟踪训练1】（2025·高二·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【解析】15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有3个奇数和2个偶数．通过按日期分步，分2类， 第一类：，第二类：，共27种. 故选：B． 【跟踪训练2】（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________． 【答案】 【解析】由可知，函数的值域中的任何元素y都满足. 因为值域非空，所以1必在值域中，即. 若仅有，则对任意，有. 此时对于，令，则.而，这与仅有的假设矛盾. 故中至少有一个元素的函数值为1. 具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1，又，则另外4个中应有3个函数值为1有种， 如，依题意只能从中取值，有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，又，则另外4个中应有2个函数值为1有种， 如，依题意只能从中取值，有种情况，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，又，则另外4个中应有1个函数值为1有种， 如，依题意都只能取2，有1种情况，此时有种情况； 综上所述，这样的函数的个数共有个. 故答案为：. 易混易错30 分步“有序”致错 辨析：主要错是混淆有序抽取（排列）与无序抽取（组合），把一次性取件按分步有顺序计算，误用分步乘法，与实际无序抽取不符，造成计数重复偏大.针对这种错误，应对策略是认真审题，分清是排列问题还是组合问题，其中对于“至少”“至多”类型的问题，可从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质还是先进行分类．求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答． 【典例】（24-25高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480 【答案】 C 【解析】方法一 将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”“恰有2个一等品”“恰有3个一等品”．由分类加法计数原理，得不同取法有（种）（易错点）． 至少至多型产品抽取问题一般分类讨论或用间接法求解 方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种），故选C. 【错因分析】由于对实际问题中“至少有1个一等品”意义理解不明，可能导致下面的错误：按分步乘法计数原理，第一步确保有1个一等品，有种取法；第二步从余下的19个零件中任取两个，有种不同的取法，故共有（种）取法，实际上这个解法是错误的．下面我们作如下分析，第一步取出1个一等品，那么第二步就有3种可能：①取出的2个都是二等品，这时的取法有（种）；②取出1个一等品，1个二等品，因为取出2个一等品是分步完成的，这2个一等品的取法就有了先后顺序，而实际上这2个一等品是没有先后顺序的，因此这时的取法就产生了多一倍的重复，即这时的取法有（种）；③取出的2个都是一等品，这时我们取出的3个都是一等品了，实际的取法种数应是． 【跟踪训练1】（25-26高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为种， 若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为种， 因此，甲、乙至多有人被选中的不同选法有种. 故选：C. 【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有不同的，现从中共选取12个流行语，包括“i人/e人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴胺××”“情绪价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”“质疑××，理解××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台公布的“2023年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12个流行语中选择4个不同的流行语，则至多包含2个“最热流行语”的选法共有（    ） A．482种 B．462种 C．392种 D．270种 【答案】B 【解析】解法一：由题意可知，可以分三类： 第一类，不包含“最热流行语”，有（种）不同的选法； 第二类，包含1个“最热流行语”，有（种）不同的选法； 第三类，包含2个“最热流行语”，有（种）不同的选法． 综上，至多包含2个“最热流行语”共有（种）不同的选法． 解法二：正难则反， 从12个流行语中选择4个不同的流行语共有（种）不同的选法， 包含3个“最热流行语”有（种）不同的选法， 包含4个“最热流行语”有（种）不同的选法． 所以至多包含2个“最热流行语”共有（种）不同的选法． 故选：B． 易混易错31 分步不合理导致重复或遗漏致错 辨析：对分步计数理解不清，忽略每步需满足颜色不冲突，随意按区域顺序涂色，未考虑相邻限制，导致步骤间矛盾，结果出错. 【典例】（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 【答案】D 【解析】先给2，5染色，有种方法，（易错点） 涂色时常先从中间部分涂起 若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法．（易错点） 涂色时一般按相对区域同色或异色分类处理 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种． 故选：D 【跟踪训练1】（24-25高二下·广东深圳·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【答案】AB 【解析】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确； 对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有种不同涂法，故B正确； 对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有种涂法， 因三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误； 对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，此时共有24种涂法，故D错误． 故选：AB. 【跟踪训练2】（25-26高二下·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【解析】如图，若先染有5种色可选，有4种色可选，有3种色可选，有2种色可选， 则不同染色方法共有（种）． 故选：D. 易混易错32 忽视排列数组合数公式的隐含条件致错 辨析：在排列组合数的计算中，要注意上标和下标的限制条件，从而根据条件正确计算，或列出相应的方程、不等式（组）求解参数的值. 【典例1】（25-26高三上·上海宝山·统考）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【答案】或 【解析】根据组合数的性质，由 可知：或，（易错点） 需注意考虑上组合数方程上标间的限制条件 即或，所以和均满足题意， 所以该方程的解为：或. 【典例2】（24-25高二下·吉林·期末）若，则_________. 【答案】3 【解析】由题设，且，， 则， 所以，则， 所以，可得（非整数解舍）. 【跟踪训练】（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 【解析】（1）原式； （2）由可得或， 解方程，即，解得或， 解方程，即，解得或， 又因为、均为整数，且， 所以或符合要求，和均不符合要求. 故或； （3）由可得， 由题意可知且，整理可得，即， 解得，又因为且，所以. 易混易错33 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错 辨析：（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)(非均匀分组)-堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）-人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 【分析】本例为分组或分配问题，分配问题是把物件分给不同的人（或团体），是有顺序可言的,而分组问题，只是把物件分成组，是无顺序的，两者有着明显的不同. 【解析】（1)先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）（易错点）； 非均匀分组，利用计数原理分完即可 (2)由(1)知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）． (3)由(1)知，分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）（易错点） 不定向分配，先分组后分配 （4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有=90种方法． （5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．所以＝ ，则(种）. （易错点） 要注意平均分组与平均分配的区别，前者要作除法，后者不用作除法 【跟踪训练1】（25-26高二下·江西赣州·开学考试）诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱．现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为________． 【答案】 【解析】一方面，6人前往3个景点，每个景点至少有1人，可分为三类： ①各景点人数分别为1，2，3：先将6人分为三组（1人，2人，3人），再分配到3个景点，方法数为种； ②各景点人数均为2：先将6人平均分为三组（2人，2人，2人），再分配到3个景点，方法数为种； ③各景点人数分别为1，1，4：先将6人分为三组（1人，1人，4人），再分配到3个景点，方法数为种；所以共有种方法． 另一方面：要满足每个景点至少有1人，甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹可分为三类：①甲乙去了上犹和崇义各一人，这里种情况； 再对除甲乙丙外的3人使用间接法：除甲乙丙外的3人先不作要求任其随意选择，有种，再减去不合题意的，即大余没有人前往的情况，有种， 由分步乘法原理，得第①情形共有种； ②甲乙去了上犹和大余各一人，这种情形与①相同，也是38种： ③甲乙去了崇义和大余各一人，这里种情况； 由于此时每个景点都至少有一人了，所以除甲乙丙外的3人可以随意安排景点，有种，由分步乘法原理，可得第③情形有种； 最后由分类加法原理，可得三种情形共有种： 综上，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖"旅游的概率为. 【跟踪训练2】（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【解析】（1）将6名学生平均分成3组， 分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； （2）①甲、乙、丙看作一组，有1种分法． 将剩下的3人分成2组，分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法． 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 综上不同的安排方法有（种）； （3）甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种）， 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）. 易混易错34 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 辨析：1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法： (1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列； (2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)个元素相对顺序固定不变，有种不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元素，再放这定序的m个元素，共有A种不同的方法． 对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为. 2.相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板． 【典例1】（25-26高三上·全国·专题训练）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】C 【解析】当首位为2时，这样的五位数有个(易错点)； 2个0之间没有顺序，2个1之间没有顺序，故需作除法 当首位为1时，这样的五位数有个（易错点）. 2个0之间没有顺序，，故需作除法 综上，这样的五位数共有个. 故选：C. 【典例2】（25-26高三上·郑州·模拟）某班2026年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为(　　) A．2 B．11 C．36 D．42 【答案】D 【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法． 【跟踪训练1】（25-26高三上·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（   ） A．144种 B．108种 C．120种 D．360种 【答案】C 【解析】从6个位置中取3个让甲乙丙按指定顺序站位，有种方法； 再排余下3人，有种方法， 所以不同排法种数为. 故选：C 【跟踪训练2】（25-26高三上·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 【答案】B 【解析】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果， 因此根据计数原理可知共有种结果. 故选：B 易混易错35 混淆“系数”与“二项式系数”而致错 辨析：处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 【典例】（25-26高三·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ． 【答案】 【解析】由题意得（易错点）， 二项式系数最大的项为最中间的一项（n为偶数）或最中间的两项（n为奇数） 通项， 当满足时，系数最大，（易错点） 一般利用夹击法求系数最大的项，即此项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数 ，即，解得 又 解得， 所以， 故． 【跟踪训练1】（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【答案】210 【解析】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为______，系数最大值为______． 【答案】 70 7 【解析】二项式通项公式为： ， 所以第一项的系数为：，第二项的系数为：， 第三项的系数为： ， 由于前三项的系数成等差数列， 所以，解得，或， 因为至少有前三项，所以（舍），故， 所以二项式系数的最大值为. 二项式通项公式为：， 设第项的系数最大，故， 即，即， 解得， 因为，所以或， 故系数最大的项为或. 故系数最大值为7. 易混易错36 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 辨析: (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. (2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系； ②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 【典例】 (多选)（2026广东广州一中期中）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（    ） A．发生的概率为 B．与互斥 C．与相互独立 D．发生的概率为 【答案】ABD 【解析】根据题意可得，故A错误；根据互斥事件的定义可知与不互斥，故B错误； 由题可得，，所以与相互独立(易错点)，故C正确； 若两事件从表面上很难判断是否独立，可通过乘法公式加以验证 对于D，事件分为三类： 颜色都为白球,则混合后袋中有白球4个,红球6个,取出红球概率； 颜色都为红球,则混合后袋中有白球6个,红球4个,取出红球概率为- 颜色一红一白,则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为，故D不对. 【跟踪训练1】(多选)（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【答案】ABD 【解析】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以， 因为，A正确； ，又， 所以，又， 所以，即与相互独立，B正确； 因为与互斥，所以， 又因为与相互独立， 所以，C错误； 因为与相互独立，所以， 又因为与相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 【跟踪训练2】（25-26高三上·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【解析】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 易混易错37 混淆“有放回”与“不放回”致错 辨析：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变. 【典例1】（25-26高三·上海·课堂例题）已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有个， 由，即， 故满足的基本事件有共个，(易错点) 注意：有放回抽取一是元素有顺序，二是元素可重复 所以所求概率为. 故选：D. 【典例2】（25-26高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】；故选：C. 【跟踪训练1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则______． 【答案】 【解析】从8个球中随机不放回摸出5个球的试验共种， 的事件有：①第5次摸到的球是黄球，则前4次摸到的球均为白球和红球种； ②第5次摸到的球是白球，则前4次摸到的球可能为2红2黄或1红3黄种； ③第5次摸到的球是红球，则前4次摸到的球可能为2白2黄或1白3黄种， 所以. 【跟踪训练2】（25-26高三下·四川成都·开学考试）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于325的共有___________个；若从这10个数字中每次有放回地随机抽取一个数字称为一次试验，抽中数字7则试验停止，若要使随机事件“在前N次试验内停止试验”的概率大于0.523，N的最小值为___________． （参考数据：，） 【答案】 163 8 【解析】根据题意，①百位为1或2，满足要求的数字有个；②百位为3，若十位为0或1，满足要求的数字有个，若十位为2，满足要求的数字有3个， 所以满足要求的数字一共有个. 根据题意，“在前N次试验内停止” 的对立事件是 “在前N次试验都未抽中7”，单次试验未抽中7的概率为，“在前N次试验都未抽中7” 的概率为， 则“在前N次试验内停止” 的概率为，所以，则有，所以N的最小值为8. 易混易错38 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 辨析：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率. 【典例】（多选）（2026湖南衡阳三中月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【解析】对于A，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种结果，分别为A，B，C，D， 其中有3种结果满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误； 对于B，列举可得以下所有可能结果：AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种，其中能得4分的结果有：AB,BD,AD，共3种，故能得4分的概率为,B正确； 对于C，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种结果， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD（易错点）， 列举时要做到不重不漏 其中得分的结果有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为， 由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为， ，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误； 对于D，丁同学选择至少一个选项，共有15种结果， 分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD（易错点）， 其中ABCD这个选项易遗漏 能得2分的结果为A，B，D，故能得2分的概率为， 能得4分的结果为AB，AD，BD，故能得4分的概率为， 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 【跟踪训练1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【答案】B 【解析】根据题意画出树状图,如图, 共有24种排法, 其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种, 故所求概率P==. 【跟踪训练2】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的概率是________． 【答案】 【解析】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次共有种情况， 若点数之差的最大值为4，则最大点数为5，最小点数为1，或者最大点数为6，最小点数为2， 若个数为，则有3种情况；若个数为，则有3种情况； 若个数为或或，则有种情况， 故最大点数为5、最小点数为1时，共有种． 当最大点数为6，最小点数为2时， 若个数为，则有3种情况；若个数为，则有3种情况； 若个数为或或，则有种情况， 故最大点数为6、最小点数为2时，共有种， 综上，点数之差的最大值为4的概率为：． 易混易错39 对条件概率理解不透彻致错 辨析：解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步． 第二步，计算概率，这里有两种思路： 思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算 思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算 【典例】（25-26高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，， 设“学生肥胖”为事件B，则，， 由全概率公式可得，（易错点） 注意A,B并非相互独立事件 所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为. 故选：A 【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有个白球、个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________. 【答案】 / / 【解析】记事件第一次取出白球，记事件第二次取出白球，则，， 若第一次取出白球，并放入个与取出的球同色的球，盒子中有个白球、个黑球， 则， 若第一次取出黑球，并放入个与取出的球同色的球，盒子中有个白球、个黑球， ， 所以， 故答案为：；. 【跟踪训练2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【答案】 【解析】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 易混易错40 求分布列时忽视了概率之和为1而致错 辨析：1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值. 2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.36 则常数 ． 【答案】/ 【解析】由题意可知：， 即，解得或， 又因为，解得，（易错点） 要注意两点：一是概率之和为1，二是各概率值介于0至1之间 所以常数. 【跟踪训练1】（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）离散型随机变量的分布列为为常数，则______. 【答案】 【解析】， 因为， 所以，解得. 【跟踪训练2】（24-25高二下·陕西西安·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 __________． 【答案】/ 【解析】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于， 所以， 解得或， 又因为随机变量的概率非负不大于， 所以，， 解得， 综上. 易混易错41 混淆二项分布与超几何分布致错 辨析：“二项分布”与“超几何分布”的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 【典例1】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【解析】（1）A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组． 样本容量，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为， 因此的估计值为， 抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为， 因此的估计值为. 法一：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； 法二：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； （2）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人， 则看过《哪吒之魔童降世2》的人数的取值范围为， 由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数，则，（易错点） 在产品抽取模型中超几何分布是不放回抽取，二项分布是有放回抽取，注意区别 此时，，. 则的分布列为： X 1 2 3 所以，或． 【典例2】（25-26高三上·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 【解析】（1）设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”， 由题意可知，，则， 根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为： . （2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为： ， 因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果， 故各参赛者的闯关成功事件相互独立， 记为名居民中闯关成功的人数，则， 所以数学期望， 方差：. 【跟踪训练1】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；若3次活动中，甲获胜的次数记为，则随机变量的期望为________. 【答案】 2 【解析】设甲在猜谜活动中猜对为事件，设乙在猜谜活动中猜对为事件， 则由题意知，甲猜对的概率，乙猜对的概率. 在一次猜谜活动中，甲获胜即甲猜对，乙猜错为事件， 则甲获胜的概率； 由题意可知，甲获胜的次数服从二项分布， 所以随机变量的期望为. 【跟踪训练2】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【解析】（1）由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． 易混易错42 混淆函数关系和相关关系而致错 辨析：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 【典例】（24-25高三上·江西南昌·训练）对两变量间的关系，下列论述正确的是（    ） A．任何两个变量都具有相关关系 B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【答案】D 【解析】对A：当两个变量之间具有确定关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，所以A错误； 对B：正方形的面积与该正方形的边长之间是函数关系，所以B错误；（易错点） 若对概念不清，容易误以为此选项是相关关系 对C：农作物的产量与施化肥量之间是相关关系，是非确定性的关系，所以C错误； 对D：学生的数学成绩与物理成绩之间是相关关系，是非确定性的关系，所以D正确； 故选：D. 【跟踪训练】（多选）（2025高二·全国·专题练习）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．y与x具有正的线性相关关系 B．经验回归直线一定经过点 C．若该大学某女生身高增加2cm，则其体重约增加1.7kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可以判断其体重必为58.79kg 【答案】ABC 【解析】由经验回归方程为知，y随x的增大而增大，所以y与x具有正相关关系，故A正确. 由最小二乘法建立回归方程的过程知，经验回归直线一定经过样本中心点，故B正确. 利用经验回归方程可以估计因变量，但只是预测值，故C正确，D不正确， 故选：ABC 易混易错43 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 辨析：在求回归曲线方程时一定要先判断回归曲线类型，若是非直线方程，就要转化为回归直线方程求解，在计算过程中要注意求回归系数的两个公式之间的相互转化. 常见的非线性回归模型： （1）指数函数型（且，） 两边取自然对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （2）对数函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （3）幂函数型 两边取常用对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （4）二次函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （5）反比例函数型型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． 【典例1】（25-26高二上·全国·期末）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【解析】（1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令与温度可以用线性回归方程来拟合，则．(易错点) 注意这里是非线性回归模型，需通过换元转化为线性回归模型求解 ， ， 则关于的线性回归方程为，即， 产卵数关于温度的回归方程为． 【典例2】（2025高二·全国·专题练习）根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设，利用最小二乘法，得到线性回归方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．变量y关于x的非线性回归曲线是轴对称图形 B．变量y关于x的非线性回归曲线是中心对称图形 C．当时，变量y的估计值取到最小值e D．当时，变量y的估计值取到最大值 【答案】AD 【解析】将代入线性回归方程， 得，即，故回归曲线关于直线轴对称； 当时，取到最大值2，因为在R上单调递增，则取到最大值. 故选：AD 【跟踪训练】（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 【解析】（1）由题意，， 则，， 则． 故与的相关系数为． （2）由（1）， 则， 故关于的线性回归方程为， 令，则， 故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆. 易混易错44 求解独立性检验问题对的值理解不准确致错 辨析：在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系表述,得到的结论有一定的概率出错．在利用2×2列联表计算的值之前,先假设两个分类变量是无关的,最后再利用的值的大小对二者关系进行含概率的判断． 【典例1】（25-26高二·全国·假期作业）随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表． 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 100 附表 0.025 0.010 0.001 5.024 6.635 10.828 由算得，，参照附表，得到的正确结论是（   ） A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” 【答案】BC 【解析】依题意，， 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别有关”．(易错点) 注意计算所得的的值需大于临界值 故选：BC 【典例2】（多选）（25-26·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（   ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A． B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 【答案】BD 【解析】不超过40岁且周平均使用时间不超过4小时的； 40岁以上且周平均使用时间超过4小时的； 40岁以上的总计为， 故40岁以上且周平均使用时间不超过4小时的. 选项A：，A错误； 选项B：周平均使用时间超过4小时的样本数为72， 总样本数120，概率为，B正确； 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 18 72 40岁以上 18 30 48 总计 72 48 120 ， 因， 故有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关. 所以C选项错误，D选项正确. 故选：BD 【跟踪训练1】（2025·湖南·一模）随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　） A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强 C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 【答案】BD 【解析】A选项：在经验回归方程中，斜率参数，只能说明使用频次与年龄正相关，但相关系数不是0.2，故A错误； B选项：样本相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强，，说明两个变量正线性相关，且相关程度很强，故B正确； C选项：根据小概率值的独立性检验，计算得到，没有充分证据证明不同性别的AI使用频次有差异，故C错误； D选项：决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好． 故选：BD． 【跟踪训练2】（2026·辽宁大连·模拟预测）为研究事件与事件的关系，某机构进行了一次随机抽样调查，共回收有效问卷份，调查结果按是否满足事件和事件分类统计，得到如下列联表（表中数字对应相应情况的人数），用频率估计概率． 是否满足事件 是否满足事件 满足事件 不满足事件 合计 满足事件 不满足事件 合计 (1)如果事件与事件无关，证明：； (2)已知： （i）填写表格剩余内容； （ii）已知依据小概率值的独立性检验，可以判断事件与事件有关，求有效问卷数的最小值． 附：，． 【解析】（1）设列联表中四个格子的人数分别为 ：满足事件且满足事件的人数； ：满足事件但不满足事件的人数； ：不满足事件但满足事件的人数； ：不满足事件且不满足事件的人数； 则总人数．若事件与事件无关，则有 ， 整理得．又，代入得 . 代入计算公式 . （2）（i）．由已知，用频率估计得满足事件且的人数等于不满足事件但满足的人数， 设均为．又满足事件的合计为，故，解得， 即. 不满足事件且不满足事件的人数为，即．由总人数得 . 于是填写完整的表格如下： 满足事件 不满足事件 合计 满足事件 不满足事件 合计 （ii）．由（i）中数据计算： 则， ，所以. 依题意，在时，临界值，要判断事件与事件有关，需， 即. 由于为正整数，且表格中所有人数均为整数，是10的倍数．故有效问卷数的最小值为40． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高二数学中的44个易混易错全归纳纳 内容导览 易混易错01忽略建系的条件致错.。 3 易混易错02忽略异面直线所成角的范围致错： 8 易混易错03混淆“线面角和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错 10 易混易错04忽略斜率公式的应用条件致错。 13 易混易错05求直线方程忽略截距为零致错 .14 易混易错06判断直线的位置关系考虑不全面致错 …15 易混易错07忽略圆的一般方程的限制条件致错 …17 易混易错08处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错 18 易混易错09两圆相切忽略内切、外切的区分致错… 20 易混易错10曲线方程变形不等价致错 22 易混易错11忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错。 24 易混易错12忽略圆锥曲线焦点的位置致错 27 易混易错13求离心率范围时忽略离心率本身范围致错 28 易混易错14求轨迹方程时忽略变量的取值范围」 .30 易混易错15直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 .33 易混易错16恒成立意义不明导致定点致错， .37 易混易错17忽略数列与一般函数的区别致错 .40 易混易错l8由Sn求an忽略n=1的讨论致错 ….41 易混易错19等比数列问题忽略公比q的讨论致错 .43 1/ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易混易错20裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 45 易混易错21错位相减求和错判项数、公比或符号致错 .47 易混易错22对导数的概念理解不到位致错 .50 易混易错23错用函数的求导法则致错 …51 易混易错24混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错 .54 易混易错25利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 58 易混易错26混淆极值点与导数等于零的点的区别致错 60 易混易错27已知单调性求参数时混淆条件致错， 64 易混易错28判断函数零点个数时画图致错 .66 易混易错29混淆两个计数原理致错 …70 易混易错30分步“有序”致错 .72 易混易错31分步不合理导致重复或遗漏致错 74 易混易错32忽视排列数组合数公式的隐含条件致错 …76 易混易错33分组问题混淆“均分”与“非均分”致错 77 易混易错34计数时混淆有序与定序而掉入陷阱。 .81 易混易错35混淆“系数与“二项式系数而致错 .83 易混易错36混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 .85 易混易错37混淆“有放回与“不放回”致错」 .87 易混易错38古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 .89 易混易错39对条件概率理解不透彻致错。 92 易混易错40求分布列时忽视了概率之和为1而致错 .94 易混易错41混淆二项分布与超几何分布致错 95 2/ 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错42混淆函数关系和相关关系而致错 99 易混易错43忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 ..100 易混易错44求解独立性检验问题对X的值理解不准确致错 103 易混易错01忽略建系的条件致错 避坑指南 辨析：利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证明 要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴. 【典例】(2025全国二卷·高考真题)如图，在四边形ABCD中，AB/1CD,∠DAB=90°，F为CD的中点， 点E在AB上，EF/IAD,AB=3AD,CD=2AD将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFDA,使得面EFDA 与面EFCB所成的二面角为60°. D E B (1)证明：A'B/平面CD'F: (2)求面BCD'与面EFDA所成的二面角的正弦值. 【解析】(1)设AD=1,所以AB=3,CD=2,因为F为CD中点，所以DF=1,因为EF11AD,AB/1CD, 所以AEFD是平行四边形，所以AE1/DF,所以A'E/1DF, 因为DF∈平面CD'F,A'E文平面CDF,所以AE/I平面CDF, 因为FC//EB,FCc平面CD'F,EB文平面CDF,所以EBI/平面CDF, 又EB∩A'E=E,EB,AEC平面AEB,所以平面A'EB/I平面CDF, 又ABC平面AEB,所以AB/平面CDF. (2) 3/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为∠DAB=90°，所以AD⊥AB,又因为AB/IFC,EF/IAD,所以EF⊥FC, 以F为原点，FE,FC以及垂直于平面BECF的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（易错点）. 本处易错点是不证明三线两两垂直，直接建立空间直角坐标系 因为DF⊥EF,CF⊥EF,平面EFDA与平面EFCB所成二面角为60°， 所以∠DFC=60. 则B1,2,0),C(0,1,0), E1,0,0),F(0,00), 所以BC=(-1,-1,0),CD= -9E=aoD号 设平面BCD'的法向量为n=(x,y,z),则 BC=0 5 y+ 所以{2 2 CDn=0 =0,令y=5,则z=1,x=-5,则万=(55， -x-y=0 设平面EFDA的法向量为=(x,,), FEm=0 1.5 则 -y+ ,所以2中2 z=0 FDm=0 x=0 令y=5,则z=-1,x=0,所以m=(0,5,-) m 0+3-1 所以cosi,n= m3+3+ix+3方 所以平面BCD'与平面EFDA夹角的正弦值为 √42 7 7 【跟踪训练1】(25-26高三上·上海松江·期末)己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形， AB/ICD,AB=2CD=2,∠ABC=90°，△PBC是边长为2的正三角形，侧面PBC⊥底面ABCD. 4/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (I)证明：PA⊥BD: (2)求点D到平面PAB的距离. 【解析】(1)取BC中点O,AD中点E,连接OP,OE, 因为△PBC为等边三角形，所以OP⊥BC, 又平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,OPC平面PBC, 所以OP⊥平面ABCD OEc平面ABCD,所以OP⊥OE, 又底面ABCD是直角梯形，∠ABC=9O°，所以AB⊥BC. 又O,E分别为BC,AD中点，所以OE/1AB,所以OE⊥BC 所以OE,OB,OP两两垂直. 故以O为原点，建立如图空间直角坐标系， B 因为AB=BC=2CD=2,所以P0,0,V3,A(2,1,0),B(0,1,0),D(1-1,0) 所以PA=(2,1-),BD=(,-2,0) 因为PA.BD=2×1+1×(-2)+(-3)×0=0. 所以PA⊥BD,所以PA⊥BD (2)由(1)得，BA=(2,0,0),BP=(0,-1,V3,BD=(1,-2,0). 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z), 5/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 n⊥BA i.BA=2x=0 i1B即-驴=-y+5:=0'令=5，可得i=(0,3) → n·BD 所以点D到平面PAB的距离为：d= 6 5=V5 √9+3 【跟踪训练2】(25-26高三下·重庆北碚·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=2, AB⊥BC,AC⊥CD,CD=√2，PB=PC,平面PBC⊥平面ABCD B (I)求证：AB⊥PC: (2)若二面角P-AB-C的大小为60°，求直线PD与平面PAB所成角的正弦值. 【解析】(1)取BC的中点O,连接PO,如图所示： 因为PB=PC,所以PO⊥BC, 又平面PBC⊥平面ABCD,且平面PBC∩平面ABCD=BC,POc平面PBC, 所以PO⊥平面ABCD, 又ABC平面ABCD,所以PO⊥AB, 由AB⊥BC,PO∩BC=O,PO,BCC平面PBC, 所以AB⊥平面PBC,又PCc平面PBC, 所以AB⊥PC (2)由PO⊥平面ABCD,AB⊥BC, 所以以点O为坐标原点，OB,OP分别为x,z轴，过点O平行于AB的所在直线为y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 6/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 由(1)知AB⊥平面PBC,PB,BCc平面PBC, 所以AB⊥PB,AB⊥BC,所以∠PBC为二面角P-AB-C的平面角， 又二面角P-AB-C的大小为60°，所以∠PBC=60°， 又BC的中点为O,AB=BC=2,所以OB=1, 在直角三角形PBO中， tan∠PBC=P 2tan60=P0-P0=V5, BO 1 所以P(0,05,A1,-2,0,B1,0,0),C(-1,0,0), 则PA=1,-2,-V5),PB=(1,0,-5)； 设点D(x,y,0),由AC⊥CD,所以x<0,y<0,① 则CD=(x+1,y,0),又AC=(-2,2,0), 所以有ACCD=0台(-2)(x+1)+2y+0×0=0→y=x+1,② 又CD=2,即CD=V2→Vx+1)}+y2+02=2→(x+1)}+y2=2,③ 联立①②③解得：x=-2,y=-1, 所以D(-2,-1,0),所以PD=(-2,-1,-V5)； 设平面PAB的一个法向量为i=(a,b,c), PAii=0a-2b-3c=0 由 PB-i=0a-3c=0 令c=5,则a=3,b=0,所以i=(3,0,5), 设直线PD与平面PAB所成的角为O, PD-n 所以sin0=cos PD,n= PD 71 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (-2)×3+(-1)x0+(-5)×5 9 3V6 V-2}'+(-1+(-5×32+02+(5)1 22×2W5=8, 所以直线PD与平面PAB所成角的正弦值为： 3v6 8 易混易错02忽略异面直线所成角的范围致错 避坑指南 辨析：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补 二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所 成角的范围。 【典例】(25-26高三上江苏无锡·月考)《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱 锥称为阳马.阳马P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD,且PA=AD=2AB,则异面直线PD与AC所成角的 余弦值为 o 【答案】 5 【解析】由题意，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y，z轴建立空间直角坐标系， 由题意，设AB=1,则PA=AD=2, 所以A(0,0,0),C12,0),P(0,0,2),D(0,2,0) 所以4C=(L2,0）,PD=(0,2,-2) 所以AC·PD=1×0+2×2-0×2=4, 所以4G=1+4=5,P四=V4+4=22 8/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设直线PD与AC所成角为8， AC.PD 4 cos0= 10 V5×2V=5 则 AC PD √10 所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为5（易错点）. V10 +0 本题容易错将答案写成5或5 【跟踪训练1】(25-26高二下·上海·月考)正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3 的同一球面上，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为 【答案】5或6 3 6 【解析】设外接球球心为O,底面中心为O,外接球半径R=3, 因为底面边长为4，所以OC=22, 易知球心O在直线PO上，则(PO-R)+OC2=R2,解得PO=2或4， 当PO=2时，又PC=PD=√PO2+OC2,解得PC=PD=25, 因为ABIICD,所以∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角 在APCD中，由余弦定理可得cos∠PCD=PC+CD-PD 2PC.CD 解得cos∠PCD=5 3 当PO=4时，又PC=PD=VPO+OC2,解得PC=PD=2W6, 因为AB∥CD,所以∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角. 在APCD中，由余弦定理可得cos∠PCD=PC+CD-PD 2PC.CD 9/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得cos∠PCD=V6 综上：直线PC与AB所成角的余弦值为6或5 6 3 【跟踪训练2】(25-26高二上·安徽阜阳·期末)在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=2√2， AB⊥AD,BC⊥CD,平面ABD与平面CBD所成二面角的大小为60°，则异面直线AD与BC所成角的余 弦值为 【答案1025 【解析】如图，取BD的中点O,连接OA,OC 因为AB=BC=CD=DA=22,所以OC⊥BD,OA⊥BD, 所以∠AOC为平面ABD与平面CBD所成二面角的平面角， 又∠BAD=∠BCD=90°， 所以OA=OB=OC=OD=2, 则∠AOC=60°，所以△AOC为等边三角形，所以AC=2, 因为AC=AD+DB+BC, 所以AC=(AD+DB+BC)2, 所以4=AD+DB+BC+2AD.DB+2AD.BC+2DB.BC, 4-8+16+8+2x22x4cos3+2x2x22cos4D.BC+2x4x2cos 3π 4 4 即16cos0,BC=4,得eosA0,8c- 所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为} 易混易错03混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错 避坑指南 10/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 辨析：若直线与平面所成的角为8，直线的方向向量为a,平面的法向量为n,则sin8=cos<a,n>。容 易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角：②误以为直线的方向向量与平面 的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值， 【典例】(2025·北京·高考真题)如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形， ∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点. B (L)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG1I平面PAB: (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 【解析】(1)取PA的中点N,PB的中点M,连接FN、MN, “△ACD与△ABC为等腰直角三角形且∠ADC=90°，∠BAC=90°， 不妨设AD=CD=2,AC=AB=2√2.BC=4 E、F分别为BC、PD的中点， N-54D=LGM-58E=1 ,且FNIIAD,GMIIBC ∠DAC=45,∠ACB=45°，∴AD∥BC, ∴FN∥GM,四边形FGMN为平行四边形， .FG∥MN, :FG4平面PAB,MNC平面PAB,∴.FG∥平面PAB: (2)PA⊥平面ABCD,.以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、八z轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 11/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设AD=CD=2,则A(0,0,0),B0,22,0,C(22,0,0,D(V2,-2,0,P00,22) AB=(0,2V2,0,Dc=(2,2,0,Cp=(-22,0,22) 设平面PCD的一个法向量为=(x,y,z), DC.i=0,「V2x+V2y=0 CP.i=0’-2W2x+2√2z=0 取x=1,∴y=-1,z=1,.i=(1-1,1) 设AB与平面PCD所成角为O, AB.元 则sin0=cos<AB,i> l0x1+22×(-+0x刘_22_=5 A822×√P+(-1+卫 22x53(易错点) 若对概念不清，容易错写成cosO=cos<AB,n> 即AB与平面PCD所成角的正弦值为V5 【跟踪训练】(25-26高三上·吉林长春·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，ADL平面PAB, AB∥DC,E为棱PB的中点，平面DCE与棱PA相交于点F,且PA=AB=AD=2CD=2,PB=BD. M B (I)求证：AB∥EF; (②已知点M在棱PC上，直线y与平面DCEP所成角的正浓值为号，求兴的值 【解析】(I)因为CD/IAB,CD丈平面PAB,ABC平面PAB, 12/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以CD/平面PAB,又CDC平面DCEF,平面PABO平面DCEF=EF, 所以CDIIEF,又CD/IAB, 所以EF //AB (2)由AD⊥平面PAB,PA,ABC平面PAB,所以AD⊥PA,AD⊥AB, 所以PD2=PA2+AD2=8,BD2=AB2+AD2=8, 得PB2=BD=8,有PB2=PA?+AB2,所以PA⊥AB, 建立如图空间直角坐标系A-灯z。 M B(2,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),E(1,0,1)P(0,0,2), 则PB=(2,0,-2),PC=(1,2,-2),CD=（-1,0,0),CE=(0,-2,1), 设PM=a,则PW=aPC, PC 所以BM=PM-PB=aPC-PB=(a-2,2a,2-2a), 设平面CDFE的一个法向量为n=(x,y,z) n.CD=-x=0 则 CE=-2y+z=0 令z=1,得x=0,y=1 所以-(0 设直线BM与平面DCEF所成的角为O, BM.n 则sin=cos(BM,n 2-al 2 Bw网a-2y+4a2+2-2a×4 3 整理得90-6如1-0，解行0即兴 PC 3 易混易错04忽略斜率公式的应用条件致错 13/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错05求直线方程忽略截距为零致错 避坑指南 辨析：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数 【典例】(25-26高三上·江西赣州·期末)经过点M(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是() A.x+y-9=0 B.x-y-3=0 C.x+y-9=0或x-2y=0 D.x-y-3=0或x-2y=0 【答案】C 【解析】当直线经过原点时，此时直线方程可设为y=c,(易错点) 此时直线的截距均为0，故不能通过设截距式方程求得 代入点M(6,3刃，解得么=号，所以直线方程为y=x即-2y=0: 2 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为+上=1， aa 代入点M(6,3),解得a=9,所以直线方程为x+y-9=0. 综上，经过点M(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是x+y-9=0或x-2y=0 故选：C 【跟踪训练】（25-26高三上·湖北开学考试)与圆(x-2)2+y2=2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共 有() A.2条 B.3条 C.4条 D.6条 【答案】B 【解析】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以 ①当直线不经过原点时，设截距为a,a≠0. 则直线过点(a,0),(0,a),那么直线斜率为-0=-L. 0-a 所以直线方程为x+y-a=0. 因为该直线与圆(x-2)+y2=2相切，所以圆心(2,0)到直线的距离等于圆的半径√2 即2+0-d=2,化简得la-斗=2，求解得a=4或a=0(舍去) V1+1 此情况下有一条直线符合题意，直线方程为x+y-4=0. 14/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②当直线经过原点时，设直线方程为y=,即-y=0 因为直线与圆(x-2)+y2=2相切，所以圆心(2,0)到直线的距离等于圆的半径√2 即2=5，化简得2-1=0，求解得A=1, Vk2+1 此情况下有两条直线符合题意，直线方程为y=七，y=一x. 综上，共有3条直线符合题目要求 故选：B. 易混易错06判断直线的位置关系考虑不全面致错 避坑指南 辨析：1利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 ()一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点 的纵坐标是否相等，若相等，则垂直：若不相等，则进行第二步 (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论. 2若己知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况. 3根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况， 【典例】(25-26高三上：广东深圳·期末)已知直线4：mx+y-4=0与2：x+my+4=0平行，则实数m的值 为() A.1 B.-1 C.±1 D.+2 【答案】A 【解析】由题意m2=1,m=士1， m=1时，1方程是x+y-4=0,12的方程是x+y+4=0,平行： m=-1时，1方程可化为-x+y-4=0,12方程化为x-y+4=0,两直线重合，舍去，（易错点） 忽视对取值讨论，从而未剔除两直线重合这一情形出错 故选：A. 【跟踪训练1】（多选)(25-26高二上·江苏·期末)已知直线l:4x+3y-4=0, 15/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 l,:mx+y-1-2m=0(m∈R),则下列说法正确的有() A.若m=1,则4⊥2 B.若1，则直线，4之间的距离为写 C.直线2过定点(2,1) D.若直线，在两坐标轴的截距相等，则m=1或m=- 2 【答案】BCD 【解析】对于A,直线的斜率为-手，若m=1,则直线的斜率为-1， 则-专(-)=-山，所以4，人不垂直，散A错误： 4 对于B,若4，所以可得m=,则直线：4+3y-11=0, 由两平行直线距离公式可得d= 平-子故B正确 对于C,12:x+y-1-2m=0可化为y-1=-m(x-2), 所以直线l,恒过(2，)，故C正确： 对于D,当m=0直线l2与x轴无截距，不满足条件， 当m≠0，在两坐标轴的截距相等，分别令x=0,y=0, 可求出与y轴截距为2m+1和x轴截距2m+1,即2m+1=2m+1 m m 解之可得m=1或m=,故D正确 故选：BCD 【跟踪训练2】（多选）(25-26高二上河北邯郸期末)已知直线：x-y+a-1=0,2: a+y-1=0(a∈R),则下列说法中正确的有() A.4⊥2 B.存在a,使得l/l C.直线4过定点(1,1) D.直线l2过定点(1,0) 【答案】AC 【解析】若a=0,4:x-1=0,12:y-1=0,1112显然成立， 16/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若a≠0，{的斜率为。4的斜率为-a,(a)=-1,所以414，所以无论a为何值，414， 故A正确，B错误； 1的方程可化为x-1-a(y-1)=0,即 x-1=0「x=1 y-1=0=1:所以4过定点(L),故c正确， x=0x=0 -1=0=1所以4过定点(0,1)，故D错误 故选：AC. 易混易错07忽略圆的一般方程的限制条件致错 避坑指南： 辨析：不要把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的结构都认为是圆，一定要先判断D2+E2一4F的符号，只有大 于0时才表示圆， 【典例】(25-26高三上·青海西宁·期末)点P(1,2)在圆x2+y2+2x-4y+k-2=0外，则k的取值范围为 () A.k<7 B.k>3 C.3<k<7 D.0<k<7 【答案】C 【解析】由题意可知：x2+y2+2x-4y+k-2=0表示圆， 可得：4+16-4k-2)>0,解得k<7,(易错点) 要注意考虑方程表示圆的条件 又P(1,2)在圆外，所以12+22+2-4×2+k-2>0,得k>3, 所以k的取值范围为3<k<7. 故选：C 【跟踪训练】(25-26高二上·安徽合肥·期中)已知点A(-1,)在圆x2+y2+2x+3y+m=0外，则实数 m的取值范围是() 13 A.（-3,+0) B.t 17/ 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【解析】由圆x2+y2+2x+3y+m=0,可得(x+1)2+y+号 2 可得号-网>0，解得m<号 4 又由点4(-在圆外，则(-1++ 3-m,解得m>-3, 7 13 3 综上可得：-3<m 所以实数m的取值范围是-3,4 故选：D. 易混易错08处理直线与圆的位置关系时忽路对斜率的讨论致错 避坑指南： 辨析：(1)过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数. (2)设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错. 【典例】(25-26高三上·北京阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，己知圆M:x2+y2-2x+2y+3=0, M上存在两点关于直线x+y+1=0对称. (I)求M的半径； (2)过坐标原点O的直线1被M截得的弦长为2，求1的方程. 【解析】(1)圆M:x2+y2-2x+2y+3=0,即(x-1)+(y+a)=a2-2, 则圆心为M(1,-a),半径r=Va2-2, 因为M上存在两点关于直线x+y+1=0对称，所以点M(1,-a)在直线x+y+1=0上， 所以1-a+1=0,解得a=2, 所以M的半径r=√2： (2)由(1)可得(x-1)+(y+2)=2,圆心为M(1,-2), 因为过坐标原点O的直线1被M截得的弦长为2，所以圆心M(1,-2)到直线的距离d=√一2-1？=1， 18/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=0,此时圆心ML,-2)到直线的距离d=1,符合题意： (易错点) 要注意考虑直线斜率不存在这一种情形，否则将漏解 k+2 若直线I的斜率存在，设直线1的方程为y=c,则= Vk2+(-)2 1,解得k=子 3 所以直线1的方程为)=x,即3x+4y=0: 综上可得直线1的方程为x=0或3x+4y=0. M 【跟踪训练1】(25-26高二上·江苏南京·月考)已知在平面直角坐标系xOy中，A(1,0),B(5,8),点P满 足PAPB=-I6,记点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程： (2)若经过点(2,1)的直线1与C相交于点E,F,且EF=2√3，求直线1的方程： (3)已知l2:x+2y+2=0.若直线l经过点A且与C相交于P,Q两点，线段PQ的中点为M,l2与l的交点为 N,证明：AMAW为定值，并求出该定值. 【解析】(1)解：设P(x,y),因为点A1,0),B(5,8)且PAPB=-16, 所以(x-1)(x-5)+y(y-8)=-16,即(x-3)2+(y-4)2=4, 所以P的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=4. (2)解：由(1)知C:(x-3)2+y-4)2=4,圆心为C(3,4),半径为r=2, 因为EF=2V3,设圆心C到1的距离d,可得2√5=2V-d2,解得d=1, 当l斜率不存在时，1方程：x=2,此时d=1,满足题意： 19/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当1斜率存在时，设l方程：y=k(x-2)+1,即-y-2k+1=0, 则d= 山解得k=手此时：y-号弓 45 Vk2+1 45 综上可得，直线的方程为x=2或y=3x3 (3)解：当l3斜率不存在时，此时l3与圆C相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线l的斜率为k,则l:y=k(x-1),且P(x,),Q(x2,y2) y=k(x-1) 联立方程组 (x-3}+(0y-4)}2=4 整理得(k2+1)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0, 令△=(22+8k+6-42+1k2+8数+21=0>0，解得k>3 Kk2+4k+34K2+2k 且x+x2= 2k2+8k+ 6，,所以M k2+1 k2+1’k2+1 又由 y=k(x-1) 解得x=2-2 -3k 所以N 2k-2-3k x+2y+2=0' 2k+1y= 2k+1 2k+1'2k+11 因为A,M,N均在直线l,上，且AM= 4k+24k2+2k 3-3k K2+1’k2+1 N= 2k+1'2k+1 -6(k2+1) 所以AMAN=AM·AN= 4k+2.-34k2+2k.-3k」 K2+12k+1k2+12k+1 k2+1 6 A 易混易错09两圆相切忽略内切、外切的区分致错 小避坑指南 辨析：1判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： 20/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①化成圆的标准方程，写出圆心和半径： ②计算两圆的圆心距d: ③通过d,1十2,1一2的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形 结合 2.由圆的位置关系求参数：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差 的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判 断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系 【典例】（多选)(25-26高三上湖北武汉·期末)已知圆0：x2+y2=1和圆 C:(x-3)2+(y-4)2=2(>0),则() A.两圆可能无公共点 B.若两圆相切，则r=4 C.直线x=-1可能为两圆的公切线 D,当)=4时，若y=:+m为两圆的公切线，则=一或 24 【答案】ACD 【解析】由圆0的圆心为(0,0)，圆C的圆心为(3,4)，则圆0和圆C的圆心距为d=√32+42=5， 对于A,当d>1+r,即0<r<4时，两圆可能相离，即无公共点，故A正确： 对于B,当两圆外切时，d=1+P,得r=4:当两圆内切时，r=d+1,得r=6,故B错误（易 错点)： 注意两圆相切包括外切与内切 对于C,当r=2时，直线x=-1可能为两圆的公切线，故C正确： 对于D,结合选项B可得，当r=4时，两圆外切， m =1 则有 V1+k2 3k+m-4 ,解得k=-或k=4'故D正确、 4 =4 V1+k2 故选：ACD 【跟踪训练】（25-26高三上·四川内江期中)已知两个圆x2+y2=9,x2+(y-6)2=r2,若两圆相切， 则半径r为 【答案】3或9 【解析】由题意知：两圆圆心分别为：C1(0,0),C2(0,6),半径分别为：T1=3,r2=r>0, 21/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当两圆外切时：1C1C2|=6=3+T,解得：r=3: 当两圆内切时：1C1C2引=6=3-r,解得：T=9,负值舍去： 综上：r=3或r=9. 易混易错10曲线方程变形不等价致错 避坑指南： 辨析：在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成x、y的取值范围 的变大或缩小 【典例】(24-25高二上江苏宿迁·开学考试)若直线：x-y-2=0与曲线C:1-(y-1)2=x-1有两个不 同的交点，则实数k的取值范围是() A.径切) C.2U21D.2 【答案】D 【解析】曲线C:1-(y-1)2=x-1即为半圆：(x-1+(y-1)=1(x≥1)，（易错点） 要注意此曲线是半圆不是一个圆，且要注意区分是右半圆还是上半圆 其图象如图所示， 曲线与x轴的交点为A(1,0), 而直线：x-y-2=0为过(0，-2)的动直线， 当直线1与半圆相切时，有 k-3 1,解得- V1+k2 当直线1过A时，有太=名-2， 22/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为直线1与半圆有两个不同的交点，故4<k≤2， 3 故选：D 【跟踪训练1】(24-25高二上：广东深圳期中)己知直线y=2x+m与曲线y=√4x-x2有两个不同的交 点，则m的取值范围为■ 【答案】[0,25-4) 【解析】由y=V4x-x2可得y2=4x-x2,整理可得(x-2)+y2=4(y≥0)， 所以，曲线y=√4x-x2表示圆(x-2)+y2=4在x轴的上半部分， 当直线y=2x+m与圆(x-2)2+y2=4相切时， 4+m=2, 5 结合图形可知，m>0,则m=25-4, 当直线y=2x+m过原点时，m=0, 结合图形可知，当0≤m<2√5-4时， 直线y=2x+m与曲线y=V4x-x2有两个不同的交点. 因此，实数m的取值范围是0,25-4) 故答案为：0,25-4). 【跟踪训练2】(25-26高二上·江苏扬州~阶段练习)若直线1：y=x+3-k与曲线C:y=V1-x2恰有两个 交点，则实数k的取值范围是() B.32 (43 c 【答案】B 【解析】由y=+3-k=k(x-1)+3可知直线I过定点P(1,3), 曲线C:y=V1-x2两边平方得x2+y2=1(y≥0)， 23/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以曲线C是以(0,0)为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆， 当直线1过点A(-1,0)时，直线1与曲线C有两个不同的交点，此时0=-k+3-k→k=3 当直线1与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心(0,0)到直线l的距离d= 3-(=1,两边 V1+k2 平方解得k=了 4 所以结合图形可知宜线/与硅线C拾有两个文点，则<太≤ 故选：B. 易混易错1忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错 避坑指南： 辨析：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满 足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数：双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值 是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上 【典例1】（24-25高二上·北京·阶段练习)下列说法正确的个数是() ①动点P(x,)满足Vx2+0-2?+√2+0y+2沙=4，则P的轨迹是椭圆 ②动点P(x,y)满足Vx2+(y-2)2+Vx2+y+2)2=5,则P的轨迹是双曲线 ③动点P(x,y)满足到y轴的距离比到F(L,0)的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点P(x,y)满足(x-2)√x2+y2-5=0,则P的轨迹是圆和一条直线() A.0 B.1 C.2 D.3 24/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【解析】①，Vx2+(y-2)2+√x2+(0y+2)2=4表示点(x,y)与点(0,2)，(0，-2)的距离和为2a=4, 而(0,2)，(0，-2)两点的距离为2c=4,所以P点轨迹是(0,2)，(0，-2)两点间的线段（易错点），①错误. 当2a>2c时点的轨迹才是椭圆 ②，√x2+(y-2)2+√x2+(y+2)2=5表示点(x,y)与点(0,2)，(0，-2)的距离和为5， 而(0,2)，(0，-2)两点的距离为4,5>3，所以P点的轨迹是椭圆，②错误. ③，动点P(x,y)满足到y轴的距离比到F1,O)的距离小1， 当点P(x,y)在y轴左侧或在y轴上时则动点P(x,y)满足到直线x=-1的距离和到F(L,O)的距离相等 (易错点)，则P的轨迹是抛物线： 转化为到定，点的距离等于到定直线的距离，便符合抛物线的定义 当点P(x,y)在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线y=O(x<O),③不正确， ④，动点P(xy)满足(x-2)Nx2+y2-5=0, 则/：20 x2+y2≥5或x+y2=5, 2+P≥5表示的是直线x-2=0在+少2=5圆外和圆上的部分： x-2=0 x2+y2=5表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误.（易错点） 所以正确的有0个 故选：A 【典例2】(25-26高二上黑龙江哈尔滨月考)已知圆A:(x+3)'+y=4,B3,0),点P在圆A上运动，设 线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,则Q点的轨迹方程为() A.2X。=1x2DB.2-g=1 C.x-上=1x≥)D.x2-上-=1 8 6 6 【答案】B 【解析】因为圆心A(-3,0),B(3,0),所以AB=6, 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q, 25/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以QP=|QB, 所以eA-QPl=2A-|QB=AP=2<6=AB, 所以Q点轨迹为双曲线，且2a=2,2c=6, 所以=c2-a2-8,则2点的轨迹方程为r2- 81. y B 故选：B 【跟踪训练1】(25-26高二上山东菏泽·期末)已知一动圆与圆x2+y2+6y+5=0外切，同时与圆 x2+y2-6y-91=0内切，则该动圆圆心的轨迹方程为() A.+5- B. =1 3627 3627 e苦 -=1 D.yx =1 45 【答案】B 【解析】设动圆圆心为M,半径为r, 圆x2+y2+6y+5=0,即x2+(y+3)2=4的圆心F0,-3),半径1=2： 圆x2+y2-6y-91=0,即x2+(y-3)2=100的圆心F(0,3),半径5=10， 而引FF=6<5,则点F在圆F,内，由圆M分别与圆F外切，与圆F内切， 为w5仁0子。蓝理-=2： 因此动圆圆心M的轨迹是以F,F,为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长a=6,半焦距c=3,短半轴长b=√a2-c2=3√5， 所以所求轨迹方程为兰+ =1 3627 故选：B 26/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错12忽略圆锥曲线焦点的位置致错 避坑指南 辨析：由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情 况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置， 不确定要讨论，在定量，即求a,b,c或p的值. 【典例】(25-26高三上·天津和平·期末)已知双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,实轴长为2，则双曲 线C的标准方程为() A.x2y2 =1 B.x2 -=1 416 4 C.2 D.x2_ =1或y2-4x2=1 416 1或 x2=1 4 【答案】D 【解折】当双击线的熊点在轴上时，其方程可设为：香茶=1a>06>0, 题意，6=2，因2a=2,故得a=1,b=2,双曲线方程为：x2-上 当双曲线的焦点在y轴上时，其方程可设为：上 =1(a>0,b>0),(易错点) 由于焦点位置未确定，故需分焦点在x轴上、在y轴上分类讨论 依题意，g=2,因2a=2,故得a=1b= b 双曲线方程为： -=1,即y2-4x2=1 4 故选：D 【跟踪训练1】（24-25高三上·江苏无锡期中)求长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，-1)的椭圆的标准方 程() A. =1 182 B.8282 9 x2,y2 x2.y2 C. -十 =1或82+821 D. r2 y -=1 182 93 9 【答案】C 【解析】由题意可知，a=3b, 27/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为x+少 9b2+621, 将点的坐标代入稀圆方程可得识+-1，解得6=。 此时，椭圆的标准方程为二+广一 -=1; 182 若椭圆的焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为广+ 9b2+6京=1， 将点的坐标代入椭圆方程可得，+》 96+6京=1，解得6=82 y2.x2 此时，椭圆的标准方程为32+821 9 918+2=1或82+21 综上所述，椭圆的标准方程为士+上 9 故选：C 【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏南通期末)写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程 为 ①实轴长为4：②渐近线方程为y=±2x 【答案】-上=1或父-2=1 416 4 【解析】当双曲线焦点在x轴上时，由题意可知：2a=4,b=2三4=2，b=4,此时双曲线标准方程为 x2 y2 =1 416 当双曲线焦点在y轴上时，由题意可知：2a=4,%=2→a=2,b=1,此时双曲线标准方程为 b -2=1 4 故答案为： x2 y2 416 1或少 42=1 易混易错13求离心率范围时忽略离心率本身范围致错 」避坑指南 辨析：注意椭圆离心率的范围：0<c×1,双曲线离心率的取值范围：e>1.一 【负例】〔2526商三上北京期中)椭圆号+茶-1a>b>0)上有在点P满足FPLEP,F.5分别 a 28/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是」 【答案】，) 【解析】当点P位于短轴的端点时，∠FPF最大， 要使椭圆+1a>b>O上存在一点P满足EPLEP, 只要∠FPE,最大时大于等于正即可， 2 即当点P位于短轴的端点时，∠OPF≥ 所以sin∠OPE=S≥sin =V2 a 42 又椭圆的离心率0<e<1,(易错点) V2 若忽视此范围，则将得错解 【限踪训练1】2526离=上湖商衡阳期末)已奥如双白线C号茶-(e>6>0,4(20),若西 M:(x-2)+(y-2)=1上存在点P使得PA的中点Q在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值 范围为（) A.(1,2] B.[2,+o) C.(1,3] D.[3,+o) 【答案】B 【解折】双确线C若若-1a>0b>0)的新近线为y=士，即做士ar=0 a 设P6则52 因为点Q在双曲线C的渐近线上，所以b(，-2）±少=0，即bx,士，-2b=0. 2 2 所以点P在直线bx±y-2b=0上. 因为点P在圆M:(x-2)+(y-2)2=1上，所以直线bx±y-2b=0与圆M:(x-2)2+(y-2)=1有 公共点 所以圆心M到直线bx士y-2b=0的距离不大于圆M的半径，所 2b±2a-2b≤1,4d2≤d+. Va2+b2 设双曲线C号茶=1(a>0>0)的焦距为2x,则C=d+≥4，所以g 2 ≥4，所以9≥2 a a 29/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以双曲线C的离心率的取值范围为[2，+∞) 故选：B. 【跟踪训练2】(2026新江：核拟预测)已知椭圆C:+茶-1，点斤乃分别为精圆的左、右焦点，4，日 是椭圆上位于第一象限内的两点，满足FA=2E,B,则椭圆C离心率的取值范围是 【答案】 3 【解析】设A(x,),B(x2,y2), 则由FA=2FB,可得(x+C乃)=2(x-C2),所以 x=2x-3c>00. y=2y2 又因为点A,B都在椭圆上，满足椭圆方程，所以〈 ② a2 (2x-3c4s=1 由方程组①②可得 a2 ,化简得2-3c-4运.-3， a 解得x=3e2+a2 因为3 3c2+a2 <X2= <a, 4c 4c a2>3c2 所以 e2s1 3 3c2-4ac+a2<0' 即 解得}e<5 3 3e2-4e+1<0 13 所以该椭圆的离心率的取值范围是 3’3 易混易错14求轨迹方程时忽略变量的取值范围 30/ 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 避坑指南 辨析：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考 虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错. 【典例】(25-26高三上·湖南长沙期中)已知A,B两点的坐标分别是(-1,0)，(1,0)，直线AM,BM相交于 点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为() A.y=-x2+1(x≠±1) B.y=x2+1(x≠±1) C.x=-y2+1(y≠±1) D.x=y2+1(y≠±1) 【答案】A 【解析】设M(c)(x圳，则-本古2，整理得y=-+(x圳，（易错包） 当x=±1时，点M与点A或点B重合，此时直线MA或MB不存在 所以动点M的轨迹方程是y=-x2+1(x≠±1) 故选：A 【典例2】(25-26高二上·广东惠州月考)动圆M过定点A(-4,0),与定圆B:(x-4)+y2=16外切，则动 圆圆心M的轨迹方程为() a器若 B.y =1 412 c号若=s-2 D吾-号=es-2刘 【答案】C 【解析】由题设A(-4,0),B(4,0),圆B的半径为4，则MB=MA+4, 31/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M 所以MB-MA=4<AB=8,点M的轨迹是以A,B为焦点， 所以2a=4,a=2的双曲线的左支， 又2c=8,则c=4,故b2=c2-a2=12, 六动圆圆心的轨迹方程为-广 412=1(≤-2). 故选：C 【跟踪训练1】(24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习)(24-25高二下·云南期末)已知动圆C与圆 (x-2)+y2=25内切，同时与圆(x+2)2+y2=1外切，则动圆C的圆心轨迹方程为() Nx+y2=1B.+y=1 2524 c号+号=0-D号产=- 【答案】C 【分析】(x-2)2+y2=25的圆心为A,半径5，(x+2)+y2=1的圆心为B,半径2，由动圆C与圆 (x-2)'+y2=25内切，设动圆半径为r,求出CA=片-r,动圆C与圆(x+2)+y2=1外切，求出 CB=5+r,则有CA+CB为定值，结合椭圆的定义得解. 【解析】 之x-2)+y=25的圆心为A2,0),半径5=5， (x+2)2+y2=1的圆心为B(-2,0),半径3=1， :动圆C与圆(x-2)+y2=25内切，设动圆半径为r,CA=5-r=5-r, 32/ 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 动圆C与圆(x+2)+y2=1外切，CB=5+r=1+r, .CA+CB=6=2a,AB=4=2c, :2a>2c,∴动圆C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆， a=3,c=2,.b2=a2-c2=5, 动圆C的轨迹方程为。+ +5=1(x≠-3). 故选：C 【跟踪训练2】一动圆P过定点M(-3,0),且与已知圆N:（x-3)+y2=16外切，则动圆圆心P的轨迹方 程是() A.￥号-x≥2) B.+ 45 4+5=1(x22) 之上=1(xs-2） C. 45 D.5-0≤2 【答案】C 【解析】：圆P与圆C外切，如图， ∴PW=PM+4,即PW-PM=4, .0<PN-PM<MIN=6 ∴.由双曲线的定义，点P的轨迹是以M,N为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，其中α=2， c=3, .b2=c2-a2=9-4=5. 故所求轨迹方程为：”广 45=1(r≤-2). 故选：C 易混易错15直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 0避玩指南 33/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 辨析：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或)，得到关于（或x)的方程，如 果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项 系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形 【典例】(25-26高三上北京阶段练习》若直线1：y=k(x-2)与双曲线C:亡-上=1恰好有一个交点， 97 则直线1的斜率的所有可能值为 【答案】士5或± 3 5 【解析】格户k2)代入双曲线方程。中得到：x-2》 9 7 展开整理得(7-9k2)x2+36k2x-36k2-63=0. 当7-9=0时，即k三士5时，方程变为一次方程，此时直线与双曲线的浙近线平行，直线与双 曲线恰好有一个交点.（易错点） 注意直线与双曲线恰有一个公共点时，直线与双曲线可能相切，也可能相交于一点（此时平行于渐 近线) 当7-9k2≠0时方程(7-9k2)x2+36k2x-36k2-63=0是二次方程， 若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式△=(36k2)2-4(7-9k2)(-36k2-63)=0, 展开得到：1296k4-(1296k4+1260k2-1764)=0. 进一步化简为-1260k2+1764=0,则k2=1764_49 126035 49 7 解得k=士 35 V35 综上所得，直线1的斜率的所有可能值±万或± 5 【跟踪训练1】(25-26高二上江西南昌·月考)已知抛物线y2=4x,斜率为k的直线1绕定点P(-2,1)旋 转，下列说法正确的是() A.直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B。当直线与抛物线有两个公共点时，刻车长的箱用足》 C.当直线与抛物线只有一个公共点时，k=2或k=-1, D。当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范假是(0-)（行+ 34/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【解析】设直线1的方程为y-1=k(x+2), 即a-y+2k+1=0, -y+2k+1=0消去x得：2-4y+4(2k+1)=0, y2=4x 当k=0时，直线！与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误： 当k≠0时，△=16-16k(2k+1)=-16(2k-1)(k+1), 当△=0时，解得女=或太=-1，此时方程组有两个相同的实数解。直线1与抛物线相切，只有 一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线！的斜率分别为一1,0，故C错误： 当△>0时，解得k∈(-1,0)U 此时方程组有两个不同的实数解，故直线！与抛物线交于两 点，故B错误： 当△<0时，解得k∈(-o,-)U 此时方程组没有实数解，知直线1与抛物线相离，没有 公共点，故D正确 故选：D. 【跟踪训练2】（多选）(24-25高二下河北衡水·期末)己知曲线C:xx-y=1,直线：y=x+t, A-√2,0)，B(O,V2),P(m,n)为C上的动点，则下列说法正确的是() A.△PAB面积的最大值为2 B.当t=0时，C上有且仅有两个点到1的距离为1 C.若曲线C与I有两个不同的交点，则-√2<t<0 D.当m>1时， Vm+V2+m2-Vm-V2+2=2 【答案】ACD 【解析】A选项，若x≥0，y≥0，则xx-yy=1→x2-y2=1, 此时曲线为焦点在x轴上的双曲线的一部分，其中y=x为其渐近线， 若x≥0，y<0,则xx-yy=1→x2+y2=1,此时曲线为单位圆的一部分， 若x<0,y≥0，则xx-yy=1→-x2-y2=1,无解，此时不合要求， 35/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当x<0,y≤0则xx-yy=1→-x2+y2=1, 此时曲线为焦点在y轴上的双曲线的一部分，其中y=x为其渐近线， 画出曲线C:xx-yy=1如下： 由于k如=Ee1,B:y=+5与y=x平行， 0+√2 故取AB的中点M,直线OM与AB垂直，且OM与x2+y2=1(x≥0，y<0)交于点N, 此时点P(m,n)与点N重合时，P(m,n)到AB的距离最大，所以△PAB面积的最大， 其中直线OM为y=-x, 联立y=t与+)2=1(x≥0，y<0)得r=5 2-2 √2√2 5+2+ 点N 2， 到直线AB:y=x+√2的距离为 2 V1+1 又AB=V2+2=2,故aPAB的面积最大值为) ×2×2=2,A正确： B选项，当t=0时，：y=x, 2 2V2 由A知， 2 到：y=x的距离为， 22 2 d= =1 1+1 由于N2,2 为到：y=x的距离最大，所以C上有且仅有1个点到1的距离为1，B错误： √2√2 C选项，当：y=x+t过点W 2 2 时，t=y-x=-V2, 且此时x2+y2=1与1相切，只有1个交点， 又y=x为曲线C的渐近线，此时t=0, 36/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 结合图形，可知若曲线C与I有两个不同的交点，则-√2<t<0,C正确： D选项，当m>1时，此时P(m,n)位于x2-y2=1(x>1,y>0)上， 故P(m,n)到焦点(-√2,0)的距离减去到焦点（√2,0）的距离差为2， 故m+V2)+n2-Vm-)+n=2,D正确 故选：ACD 易混易错16恒成立意义不明导致定点致错 避抗指南 辨析：直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用 参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解.解决定点与定值问题，不能仅 靠研究特殊情况来说明. 【奥例】25,26高三上陕西椅林月考)已知椭圆C:若+术=1(a>b>0)的右焦点为F10,4、B分 别是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C的上顶点，△PAB的面积为√2 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线I:y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,点Q(2,0),若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率 互为相反数，求证：直线1过定点 【解析】(1)由题知c=1,A(-a,0),B(a,0),P(0,b), 由△PAB的面积为√2，得ab=√2， 又a2=b+2,代入可得d2=2,B=1,椭圆C的方程为号+y=1. y=kx+m. 联写y山得2k+r+4物r+2m-20 设MN).可得+场-子 2m2-2 由题知kM0+kg=0, 37/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即片。+少。=c+m++m_265+(m-2儿s+s)4m-0, x-2x2-2x-2x2-2 (x-2)(x2-2) 即2kxx2+(m-2k)(x+x2)-4m=0,解得k=-m, ∴直线l的方程为y=k(x-1),故直线I恒过定点(1,0) 【跟踪训练】(25-26高二上·江西南昌·期末)双曲线E经过两点 (1)求双曲线E的标准方程； (2)过点(-1，-2)的直线交双曲线E于A,B两点，F为左焦点，直线AF交双曲线于另一点M,直线BF交 双曲线于另一点N,求直线MN过定点. 【解折】》设双自线方程为：手茶-=1，代入两点可得： [925 =1 a24b2 a2=4 241 ,解得： 1b2=51 5a26=l 又设双线方程为：卡-茶1，代入两点可得。 [259 4a2b3 =1 a=-5 ，解得： ，显然这组解不成立， 124 1b2=-4 a 5621 综上双曲线E的标准方程为-上 451: (2) 设A(x,),B(x2,y2),由(1)知F(-3,0), 则直线4方程为：少十+)，直线C方程为：与+3)， 由直线AF方程与双曲线方程联立可得： 38/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=,(x+3) x+3 ，消y可得：5-4+=20 =1 4 整理得： 24 24y 即X+XM= (x+3 24 5-4 5(x+3)-4 5(+3-4r, (x+3 又因为等苦一片-答-5， 45 2455 30x2-120 则XM= -X-30-120-30x-65x, 0+3-4g5 5x2+30x+45-5x2+2 30x+65 所以xy=-120-655-24+135 30x+65 6x+13” 则ys片 24+13x+3-乃×18x+39-24-13x=片×5x+15-59 x+36x+13 )x+3 6x+13 x+36x+136x+13 即点M 24+13x15y 同理可得：点N 24+13x25y2 6x+13’6x+13 6x2+136x2+13 设直线MWN的方程为：x+心=1，把点M的坐标代入可得： 24+13m+5y。n=1→-13x+24)m+5my=6+13, 6x+13 6x+131 →(13m+6)x-51y+24m+13-0, 同理，把点N的坐标代入可得：(13m+6)x2-5y2+24m+13-0, 即直线方程(13m+6)x-5y+24m+13-0必过点A(x,),B(x2,y2), 即此方程就是直线AB方程，又因为直线AB过点(-1，-2)， 则有-(13m+6)+10m+24m+13=0今1m+10m+7=0→-号m-10n=1, 7 7 则直线MN的方程x+少y=1必过定点 1110 7’-7 39/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错17忽略数列与一般函数的区别致错 避坑指南 辨析：在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的. 【典例】(25-26高三上安徽部分重点中学期中)已知数列{a,}满足a=10,01-4=2,则9的最小值 n 11 为() A.1 B. 16 C. 27 2 3 4 D.210-1 【答案】B 【解析】因为数列{a,}满足a,=10,1-0=2,即a1-a=2n, n 当n≥2时，则有an-an1=2(n-1),所以a2-41=2,43-a2=4,…,an-an1=2(n-1), 上述等式全部相加得a.-4=2+4+…+2a-)=2+2n-2a-山=r-n 所以an=n2-n+41=n2+10-n, a1=10也满足an=n2+10-n,故对任意的n∈N,an=n2+10-n, 101, 所以4=+10-刀=n+10 n n n 由对勾函数的单调性可知，函数y=x+10-1在0而)上单调递减，在(0，+四)上单调递增， x 因为3<而<4因为导3+91华4号 3 2 2,故a<a4(易错点) 注意数列中的n为正整数 所以号的最小值为号台故选B n 【跟踪训练1】(25-26高三上山东菏泽·期末)已知数列{an}满足a.= 1logn（n+2),n<8 (9-a)n-a,n≥8'若对于任意的 neN都有an<an1成立，则正整数a的取值范围是() A.{2,3,4,5,6,7,8,9} B.{2,3,4,5,6,7,8 C.(1,9) D.{2,3,4,5,67 【答案】D 40/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【解析】由题意数列{an}为递增数列， a>1 所以{9-a>0 ,则1<a<9且log。9<72-9a, l0g,9<8(9-a)-a 又a为正整数，由1<a<9知，a∈{2,3,4,5,6,7,8}， 当a=2时，1og29<log224=72-9×2,符合logn9<72-9a, 同理a=3,4,5,6,7均符合， 当a=8时，logs9>logs1=0=72-9×8,不符合logn9<72-9a, 故正整数a的取值范围是{2,3,4,5,6,7}. 故选：D. 【跟踪训练2】(25-26高三上·天津南开·期末)设数列{an}的通项公式为an=-n2+an,若数列{an}是单调 递减数列，则实数a的取值范围为() A.（-0,2) B.(-3,+o0) C.(-0,2] D.(-00,3) 【答案】D 【解析】因为数列{an}是单调递减数列， 所以a+1-an<0恒成立， 则-(n+1)2+a(n+1)-（-n2+an=-2n+a-1<0,即a<2n+1, 又n∈N,则2n+1≥3，所以a<3,则实数a的取值范围为(-o,3) 故选：D 易混易错18由Sn求an忽略n=l的讨论致错 避坑指南 辨析：利用Sm与am的关系求am,作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系 是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式。 【典例】(2024高三·全国.专题练习)己知数列{an}的前n项和为Sn,若a=1,2Sn=a+1,则数列{an}的通 41/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 项公式 【答案】an= 1,n=1 2×3m-2,n≥22 【解析】由2Sn=an1得，n≥2时，2Sn1=an,两式相减得a1=3an, 所以当n22时，{an}是公比为3的等比数列，而a,=2,则an=2×3”-2(n≥2)， 1,n=1 由a,=1不满足上式得an= 2x3,m≥2（易错点) 易错之处是：忽视n=1,而得到错解an=2×3”-2. 【跟踪训练1】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+3n-1, 则数列的通项公式为an=】 [4,n=1 【答案】 4n+1,n≥2 【解析】当n≥2时，a.=S,-S=(2n2+3n-1-(2(n-1)+3(n-1)-1=4n+1,而a,=S,=4不满足上 4,n=1 式，所以数列的通项公式为an= 4n+1,n≥2 【跟踪训练2】(2025高三上江西南昌专题练习)己知S.是数列{a,}的前n项和，a=1, Saun+2 Snn’ 则{an}的通项公式为() A.a,=2n-1 B.a,=n+1 2 C.a=n D.a=2-n 【答案】C 【解析】因为a,=1,则S,=1, 所以3=点.…S.=34x5x 8ssss23×”×22-+一 n-2n-12 当m2时，4=-[a-+-= 当n=1时，满足an=n, 42/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以数列{an}的通项公式为an=n. 故选：C 易混易错19等比数列问题忽略公比g的讨论致错 』避抗指南 na,9=1 辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：S,=a1-q ,91'所以在利用等比数列求和公式求和 1-q 时要先判断公比是否可能为1，若公比未知，则要注意分两种情况q=1和1讨论. 【典例1】（2025高三全国.专题练习)已知在等比数列{an}中，a,=7,前三项之和S,=21,则公比9的 值是() A.1 -2 c.1或 D.-1或) 【答案】C 【解析】当9=1时，a=7,S=21,符合题意（易错点）； 本处容易忽视q=1这一种情形 当9≠1时， a92=7 a+4g+ag=21'解得g=方 综上，9的值是1或-2 1 故选：C 【典例2】(24-25高三上浙江绍兴·期中)已知等比数列{an},首项为a,公比为9，前n项和为Sn,若 数列{Sn+1}是等比数列，则() A.a-9=1 B.q-a=1 C.S,-g"-=1 D.S,-aq"=1 【答案】B 【解析】设等比数列{Sn+}的公比为t,则t≠0. 43/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若g=1,则Sn+1=na1+1,由题意可得Sn1+1=t(Sn+1),即(n+1)a+1=ma,+t, 所以， ta =a a1=0 =1,不合乎题意： 若g*1,则5.=a1-4-4-ag,则5，+1=a+19）-a4, 1-g1-9 1-9 由题意可得S1+1=(S+1,即色+1-9)-a9g=a+19)-a4, 1-q 1-q 「q-a1=1 所以， a+1-g=(a+1-9）,可得{ ag=ta t=g 故选：B 【跟踪训练1】(2026·辽宁大连·模拟预测){an}是正项等比数列，记Sn为数列{an}的前n项和，且满足 S=S+S2,则数列{an}的公比为 【答案】1 【解析】若q=1,S=5a,=S3+S2成立： 因{an}是正项等比数列，则a,>0,q>0且q≠1， 由8=5+8可得(g-9_a(g-,a(g2- 9-1q-1q-1 化简得g-g3-g2+1=0,分解因式得（q3-1)(92-1)=0, 故q=1或9=-1，因为9>0且q≠1，故此情况下无解. 综上所述：q=1满足题意. 故答案为：1. 【跟踪训练2】(25-26高二上重庆·期末)在等比数列{an}中，a+a42+a+a4=2, a+a2+a+la4=4,则a= 【答案】 0 【解析】设等比数列{an}的公比为9 (1)当a,>0时，若q>0,则{an}的各项均为正数， 44/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以a+la2+a+laa=a+a2+a+a4=2≠4，与已知不符，所以q<0, 所以a2=a90,a3=a90,a4=a93<0, 所以a+a2+a+a4=a-a2+a3-a4=a1-9+q2-q3）=a,(1-q)1+g2)=4,① 而a+4+a+a4=a(1+q+g2+q)=a(1+q)1+g2)）=2,② ®cg}号m专 2_27 代入a(1+g1+g2）=2得4=210=10 39 (2)当a1<0时，若q>0,则{an}的各项均为负数， 所以a+la2+a+a4=-(a+a2+4+a4)=-2≠4，与已知不符，所以9<0， 所以a2=a9>0,a3=a92(0,a4=a930, 所以a+la+lal+lag=-a,+a-4+a4=a,(-1+q-q2+g）=a,(g-11+q2)=4,③ 而a+a,+a,+a4=a(1+q+g2+q）=a(1+qj1+g2)）=2,④ ④÷③得 e 2 代入a(1+901+9）=2得4=(2)×1010 1 故答案为： 2或0 1 10 易混易错20裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 避坑指南 辨析：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项 和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的 正数项，则后面剩余的是负数项。 【典例】(25-26高三上湖南长沙期末)己知等差数列{an}满足：a,=2,且a,a2,a4成等比数列. 45/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求数列{an}的通项公式： b. (2)若等差数列{an}的公差不为零，且数列{bn}满足： 求数列{bn}的前99项和Tg. V24.+ an+1 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意，2,2+d,2+3d成等比数列， 所以(2+d)=2(2+3d),解得：d=0或d=2 当d=0时，an=2:当d=2时，an=2+(n-1)×2=2n, 所以数列{an}的通项公式为an=2或an=2n. (2)因为等差数列{an}的公差不为零，由(1)知an=2n(neN), 则白、 1 h+n+7n+i-厉 1 所以Tg=b+b2+b3+…+bg =(N2-+N3-V2)±4-5)++00-99)=00-1=10-1=9（易错点） 裂项相消时保留的项往往是与首末序号对称的项，如本题中保留了第2项和倒数第2项 【跟踪训练1】(25-26高二下·全国·单元测试)己知在数列{an}中，a6=11且a,-(n-1)4+1=1,设 -,neN*,则数列{bn}前n项和Tn= andn 【答案】 2n+1 【解1m--合加2.告名2到 n-1 nn(n-1)n-1 n 品司}为常数列：品11号专20≥2.0，=2a-46≥2 n-1n-155 由题设nan-(n-1)ant1=1,当n=1时，有1a-(1-1)a2=1, 解得a1=1,即a=1适合上式. -0-}05*+或212a0- 即T.2n+1 n 46/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【跟踪训练2】(2026：广东湛江一模)在数列{a,}中，4=1a1=+1,令，=，1 ，则数列b} an+an 的前15项的和为() A.2 B.3 C.5 D.4 【答案】B 【解析】因为a1=V+1,所以a=a+1,即a2-a2=l, 故{a}为首项是1，公差为1的等差数列，所以a=n,an=√n bn=- 1 1 =Vn+1-√n, an+an n+1+n 所以数列{bn}的前n项的和Sn=√n+1-1, 故Ss=V15+1-1=V16-1=4-1=3, 故选：B. 易混易错21错位相减求和错判项数、公比或符号致错 避坑指南 辨析：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利 用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用=1代入检验结果是否成立. 【典例】(25-26高三上·新疆喀什·月考)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a=1 S a 是公差为的等 差数列， (I)求{an}的通项公式： (2)数列{bn}满足bn= an,求数列{bn}的前n项和Tn. n+1 【解析】(1)由4=1得=1，又 1 是公差为的等差数列，故子+-)？十2，即 a a。 3 ,-+2 当n22时，S="牛1g 3,-两式相成得SS=令”2a,一7+1 Γ301=a,→4=n+1 an-1n-1 47/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.4.3n+1=1.n+D 累乘得：an=a123n-1 2 所以通项公式为：&，=+D 2 (2)由6=2 ·a,代入amm+得：02n+少n-2”,用错位相减法求乙3 2 n+12 Tn=12+222+3.23+…+n-2”, 2Tn=122+2.23+324+…+(n-1)2”+n-2"+1, 两式相减得：-Tn=2+2+23+24+…+2”-n·2m1=2(2”-1)-n·2m+(易错点)， 此处相减后容易漏项或者错判项数 整理后得：T,=(n-1)21+2. 【跟踪训练1】(25-26高三下·青海西宁·开学考试)己知数列{a1-2an}是以2为首项，2为公比的等比数 列，且a=2,数列a,}的前n项和为S,则= 【答案】9 【解析】因为{an1-2an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an1-2an=2·2”=2”, 所以1 2”1 所以 12 是首项为1，公差为)的等差数列。 得=1+0m-1)× 1n+1 2” 22 ,所以an=(n+1)×2-1, 所以Sn=22°+3.2+422+…+(n+1)21, 则2Sn=2.2+322++n21+(n+1)-2”, 两个等式作差可得-Sn=2+2+…+2-1-(n+1)2”, 2(1-2-） -Sn=2+ -(n+1)2”=-n·2", 1-2 故S,=n:2”.则S=10×20_20 a。11×2911 【跟踪训练2】(25-26高三上·河南新乡·期末)过三棱柱ABC-AB,C的棱AA的中点M且与底面ABC平 48/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 行的平面内的一动点0满足：04+”30820C+01=0对任意neN都成立，且a=则数 3 4n+2 列{an}的前n项和Sn=一· 【答案】5-(2+5列9 【解析】作出示意图如下： M 0 E 设AO直线与底面ABC的交点为E, 则根据题意可知O为AE的中点，所以OA=-OE, 又0A+,0208-%0C+0A=0, 2n+3 4n+2 所以0E=a10B-,a,0C+0A, 2n+3 4n+2 又因为A,B,C,E四点共面，且OA,OB,OC不共面， 所以0-0，。+1=1， 2n+34n+2 所以当7所0六 2n+34n+2 因为、4=1 品日所以数列品-}是以为首项。吉为公比的等比数别。 2n+1] 所以、0=1 2n+12,所以a,= 2n+1 2” 所u8是 ,2n+1 201 汉+* 3,57 2n+1 20+1, 两式相减得： 11-1 2- 2”212 1 1 21-om+得 212 2 49/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以Sn=5-(2n+5) 2) 易混易错22对导数的概念理解不到位致错 小避坑指南 辨析：0)一是回匹+，要注旅定义式中的分号一定是分于两个函数位对应有变 量的差，如果不是要通过调整系数实现对应：(2)f'(x,)的代数意义表示函数f(x)在x处的瞬时变化率； (3)'(x)的几何意义表示曲线y=f(x)在x=x处切线的斜率. 【典例1】(24-25高二下·全国·课后作业)如果函数y=f(x)在x=1处的导数为1，那么 四+-0.（) 2x A. C.2 B.1 D.4 【答案】A 【解析】因为)=1，所以mf0+)-f但-1. → 所以1im f+-f() +-f0安（易错点） 2x0 要注意分母中x的改变量要与分子中x的改变量一致 故选：A 【典例2】(25-26高三上·河北·月考)已知函数f(x)在x=7处可导，若 f7+3△)-7-2△0=15，则f()=() △x A.27 B.2 C.3 D.7 【答案】C 【解析】因为1im7+3A)-f7-2△) Ar =5 lim f7+3△)-f7-2△0=5f(7)=15, 5Ax 所以f'(7)=3 故选：C 50/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【跟踪训练1】（25-26高二上·江苏泰州·月考)设函数f(x)在x=1处存在导数为1，则 mf+2A)-f0-() 3△x 1 A. B. C.2 2 3 D. 3 【答案】D 【解析】由题意可知f'()=1, lim 1L+2)-f02m0+2-f0-r0)-号 X→ 3△x 3△x( 2△x 故选：D 【跟踪训练2】(25-26高三上·江苏盐城·期中)已知函数f(x)=x3-a,若1im 1+2A)-f=1, △x0 △x 则实数a=() A月 B.2 D.1 【答案】A 【解析】因为f(x)=x3-ax,故f'(x)=3x2-a, 所以lim f1+2A)-f0-2im1+2A)-/0=2/0)=1, Ar0 △x △r-→0 2△x 可得f'⑩=3-a)》解得a=号} 故选：A. 易混易错23错用函数的求导法则致错 避坑指南 辨析：(1)复合函数对自变量的导数等于己知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即 y=y4: (2)求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导，注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形 式，再求导：三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导：分式形式，先化为整式函数或 较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 【典例1】(2025高三全国专题练习)函数y=l血(2x+5)的导数为() 51/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.y'=2xn(2.x+5) B.y=、x 2x+5 c.y=h2x++2x4 D.y=ln(2x+5)+2x+5 2x I答案】D 【解析】因为y=xln(2x+5), 所以y=[xIn(2x+5)]=x1n(2x+5)+x[ln(2x+5)] =h(2x+5+x1(2x+5=n2x+5+2x(易错点) 2x+5 2x+5 注意复合函数求导时内层函数也要求导 故选：D 【典例2】(25-26高三上江苏月考)已知函数f()及其导函数f(,的定义域均为R,若f(1-4切 子-f0*2列 都为偶函数，则 () A.440.5 B.441.5 C.442.5 D.443.5 【答案】C 【解析】因为f(1-4x)为偶函数， 所以f(1-4x)f(1+4x), 即f(1-x)=f(1+x), 即f(-x)f(2+x), 所以-f'(-x)f'(2+x)f'(-x)=-f'(2+x): 又因为y=子x-(x+2)是偶函数， 所以子-fx+2)=子-12-刘， 即2=fx+2-f2-)=f()-f(2-, 所以f)-f2+刘=方 即r-f(刘， 所以)+( 52/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即/)-2+对=了+2到=+ 在-f'(-x)f'(2+x)中，令x=-1, 则有-f'(=f'(), 所以f(0)=0: 在f6)+f-刘=中，令x=0, 可得0)=子 在-f'(-x)f'(2+x)中，令x=0, 则有-f'(0)=f'(2), 所以f2 又因为f(+2)=)+5 所以r3)=f0+25)=13)+569=f7列+ 所以f),f(3),f(5),(59)成等差数列，公差d=,首项为f(0)-0, 所以f'(0)+f(3)+f(5)++f(59)=30x0+30x29x-435 2 2-2 同理可得了4=f(2)+,fo)=了(4+方，f(60)=f(58+号 所以f(2),f(4到)，f'(6).…f(60)成等差数列，公差d=),首项为f(2)=子 所以f(2)+了(4+f(6)++f(60)=30x1+30x29x1_450。 2 2 2 所u/-受+智受=25 1 故选：C 【跟踪训练1】（多选）(25-26高二上·安徽·月考)下列计算正确的是() A.若f(x)=(x2-3x+1)e,则f'(x)=(x2-x-2)e B.若f(y)=cos写，则f(y)=sim写 C若fd=mcos esx,则f'(x)= 1 (sinx-cosx) 53/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 D.若fx)=2+log,3x+1),则f'(x)=2n2+ (3x+1)ln3 【答案】AC 【解析】f(x)=(r-3x+1)e,则f'(x)=(x2-3x+)e+(x2-3x+1(e)=(x2-x-2)e,故A正确： =eos号分则了(=0，放B错误： f(x)= (fcas.)(inco)-co(sin) COSx (sinx-cosx)月 -sinx(sinx-cos x)-cosx.(cosx+sinx) 1 (sinx-cosx) (6inr-cos，故C正确： 3 f(x)=2+log,(3x+1),则f'(x)=21n2+ (3x+1)n3,故D错误. 故选：AC 【跟踪训练2】(25-26高二下山东滨州·开学考试)下列选项正确的是（) A.(sinl0）=cosl0 B. (g= C.[(2x+1)(2x-1)]=8x D.(e)=e4 【答案】C 【解析】由于sinl0°为常数，故(sinl0）=0,故A错误： 面e对=0 故B错误： 而[(2x+1)(2x-1)]=(4x2-1=8x,故C正确： 而(e）=-ex,故D错误. 易混易错24混淆“在某点和过某点切线的区别致错 避坑指南 辨析：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： (1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，己知斜率可求切点坐标. (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点. (3)曲线y=f(x)“在”点P(x,)处的切线与“过”点P(x,)的切线的区别：曲线y=∫(x)在点 54/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P(xo)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k=∫()，是唯一的一条切线：曲线 一f()过点P,)的切线，是指切线经过点卫，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可 能有多条. 【典例1】(24-25高三上·上海开学考试)经过点P1,-2)可以作与曲线2x3-3x-y=0相切的不同直线共 有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 【答案】D 【解析】设切点为x,2x-3x（易错点)， 易错之处是误以为点P一定是切点 y'=6x2-3, 则切线的斜率为6x-3, 又切线过点P1,-2), 所以2x0-3x,+2=(6x-3)(x。-1), 则4x-6x6+1=0,设g（x)=4x-6x+1, 则g(x)=12x-12x,令g(x)=0, 解得x。=0或x。=1, 当x,∈(-∞，0)和x∈(1，+∞)时g(x)>0,函数g(x)单调递增， 当x,∈(0,1)时g(x)<0,函数g(x)单调递减， 又g(-1)=-4-6+1=-9<0,g(0)=1>0, g(1)=4-6+1=-1<0,g(2)=4×8-6×4+1=9>0, 所以存在x∈(-o,0),g(x)=0:x2∈(0,1)，g(x2)=0:x3∈(1，+0)，g(x3）=0, 所以g(x)=4x-6x+1与x轴有3个交点， 则经过P1,-2)有3条切线. 故选：D. 55/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(2025·全国一卷高考真题)若直线y=2x+5是曲线y=c+x+a的一条切线，则a=一 【答案】4 【解析】法一：对于y=e+x+a,其导数为y'=e+l, 因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y=e+1=2,即e=1,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5, 所以切点坐标为(0,5)， 因为切点(0,5)在曲线y=e+x+a上， 所以5=e°+0+a,即5=1+a,解得a=4. 故答案为：4. 法二：对于y=e*+x+a,其导数为y'=e+l, 假设y=2x+5与y=e+x+a的切点为(x,yo), e6+1=2 则=2x,+5，解得a=4. Yo=e*+xo+a 【跟踪训练1】(25-26高二上安徽：期末)已知函数f)-1,过点P1,0)作曲线y=f(x)的切线，则此 切线与y轴和直线y=x所围成的三角形的面积为() A.S B.5 c.3 D.1 【答案】A 【解切】函数闭文求导得了国=之·设切点为0之，则了化)名 10 1 依题意，x。 -↓，解得x。=),因此切点()2)，切线斜率k=4, -1 切线方程为y=-4+4,由y二x =4红+4得两直线交点4（兮孕，如图 56/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 面切线与y轴交于点8Q4,则5ao,方4号 55 所以所求三角形面积为 故选：A 【跟踪训练2】(26-27高二上·重庆期末)过(a,0)作函数f(x)='的切线恰好能作两条，则实数a的取值 范围为() A.（-o,0) B.(0,+0） C.(4,+o) D.（-o,0)U(4,+o) 【答案】D 【解析】设切点为(，由f()-亡求导得/()-。，则切线的斜率为。， 故切线方程为 y-。=1-), 因切线经过点a,0),则得-。=1-(a-x),化简得（化，-1）加=6，显然，≠0，则得 1-x。-1 a场 又因过α0)作函数/()。的切线恰好能作两条，即函数y=。与函数g)-有两个不同的 交点 86)-学的定义线为女x≠0，函数求好得g=之一。 x3, 则当x<0时，g(x)<0,当0<x<2时，g'(x)>0,当x>2时，g(x)<0, 即函数g)在0,2)上单调递增，在(0,0)，(2，+∞)上单调递减，且g2)= 当x→0时，g(x)→-00，当x→0时，g(x)→-0，当x→-0时，g(x)→0，当x→+∞时， g(x)→0 作出函数g()=X, x2 的图象如下： 57/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4-- 12 图知，过a,0作函数四)的切线恰好能作两条等价于之0或0<&·解得a<0或a>4 故选：D 易混易错25利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 避坑指南 辨析：(1)求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数 的单调区间；(2)含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式：④导数等于 0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内， 【典例】(24-25高二下福建泉州月考)函数y=血x+1的单调减区间为() A.（-o,1) B.(0,1) c.(1,e) D.(（1,+0) 【答案】D 【解析】函数y=血x+的定义域为(0，+∞)， y-(hx+l)x-(hx+l)x_1-(x+1)_-x. x2 由y<0得x>1,所以y=hx+ 的单调减区间为(L,+∞).（易错点） 注意此函数的定义域不是R 故选：D. 【跟踪训练1】(2025四川模拟预测)已知函数f(x)=lnx-3x+a(a∈R),则f(x)的单调递增区间为 () C.(0,3) D.(3,+0) 【答案】A 58/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【解折】函数f(y=lnx-3x+a(a∈R)的定义域为(0，+o),则∫()=-3=1-3x 因为x>0,由r()-1>0,可得0<<分 1 故函数∫(x)的单调递增区间为 0,3 故选：A. (x)=、x 【跟踪训练2】（多选题）(2026湖北武汉·模拟预测)对于函数 nx,则() A.函数f(x)的单调递减区间为(0,1)UL,©) B.f()<f(2) C.若方程If(x)=k有6个不等实数根，则k>e D.对任意正实数x,x2,且≠x2,若f(x)=f(x2),则xx2>e 【答案】BCD 【解析】函数f)=式的定义域为0，)U,+o),求导得f=血， In2x 对于A,由f'()<0,得0<x<1或1<x<e,由f'(x)>0,得x>e, 因此函数f(x)的单调递减区间为(O,1)和(L,©)，A错误： 厨于B,由A得，函数在e四)上单调避增，<④42/，B正确 对于C,川D=为偶商数，当>0时，0D==兰 Inx 由A项知，函数f(x)的单调减区间为(0,1)和(L,e),单调递增区间为(e,+oo), 又当x>1时，f(x)=f(x)>0,当x=e时，f(eD=e, 当x→1时，f(x)→+0，x→+0时，f(x)→+∞， 当0<x<1时，f(x)<0,当x→0时，f(x)→0，x→1时，f(x)→-0， 函数yHf(x)川的图象如图： y=fx)川 -e-l01 e 观察图象得，当且仅当k>时，直线y=k与函数yHf(x)川的图象有6个不同交点，C正确： 59/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对针D.不纺设0<e<6,由=6和点点，即货-学。 x X2 e 令函数g=,的=8的-g马-血 王_lhx_x(2-ln) x e2 x e2 求导得hg=1-nx_1-lnx=-lnxe2-x x2 e2 e2x2 当0<x<e时，1-lnx>0,e2-x2>0,h'(x)>0,h(x)在(0，e)上单调递增， 由0<x<e,得(x)<Me)=0,即g)-g)<0,因此g)=g)<gS. g),求导得g)n当>e时，8网<0，国在c+o)上单调递 而飞>心，>c,则与>g,即>e,D正确 e2 X 故选：BCD 易混易错26混淆极值点与导数等于零的点的区别致错 避坑指南 辨析：导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导 数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反 【典例1】(25-26高三上·占林长春·阶段练可》若x=0是函数)×-(Q+》r+(位+ax-1的极 1 小值点，则f(x)的极大值为( ) B.3 2 C.-2 3 6 【答案】D 【解析】由f=,x-(a+号x2+(a2+ar-1可得f(x)=x2-2a+号x+(a2+a), 21 2 又x=0是函数f(x)的极小值点，所以'(0)=a2+a=0,解得a=0或a=-l(易错点)， 注意：可导函数在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值，点 当a=0时，f'(x)=x2-x=x(x-1) 当x∈(-oo,0)时，f'(x)>0,此时f(x)单调递增 60/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当x∈(0,1)时，f'(x)<0,此时f(x)单调递减， 即x=0是f(x)的极大值点，不符合题意，故舍去（易错点）： 需注意检验，极值点不一定是极大值，点 当a=-1时，f'(x)=x2+x=x(x+1), 当x∈(-o,-1)时，f'(x)>0,此时f(x)单调递增， 当x∈(-1,0)时，f'(x)<0,此时f(x)单调递减， 当x∈(0，+oo)时，f'(x)>0,此时f(x)单调递增， 即x=-1是f(x)的极大值点，x=0是f(x)的极小值点，符合题意， 此时/（写+-1 所以)的极大值为)-吉}1名 6 故选：D 【典例2】(25-26高二上·陕西榆林期末)已知函数f(x)=e(x-m,若x=1为f(x)的极小值点，则实 数m的值为() A.-1 B.1 C.3 D.1或3 【答案】B 【解析】函数f(x)=e(x-m)2,定义域为R. 所以f'(x)=e*(x-m)+2e(x-m)=e(x-m)(x-m+2) 由题可知，'(1)=0，即e(1-m)1-m+2)=0,所以m=1或m=3. 当m=1时，f(x)=e(x-1)2,f'(x)=e(x-1)(x+1) 令f'(x)>0,则x<-1或x>1:令f"(x)<0,则-1<x<1. 所以f(x)在(-1,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值 当m=3时，f(x)=e(x-3),f'(x)=e*(x-1)(x-3) 61/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 令f(x)>0,则x<1或x>3;令f'(x)<0,则1<x<3. 所以f(x)在(-0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减. 所以∫(x)在x=1处取得极大值. 综上，实数m的值为1. 故选：B. 【跟踪训练1】(25-26高二上·河北石家庄·期末)已知函数f(x)=x(x-a)}在x=1处取得极大值，则a= () A.9或1 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】因为函数f(x)=x(x-a),所以f'(x)=(x-a)+2x(x-a)=(x-a)(3x-a), 又因为在x=1处取得极大值，所以'(1)=(1-a)3-a)=0,所以a=1或a=3, 当a=1时.=(x-03x-).所以xG小/水0f)单调递减。 x∈(1，+oo),f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意舍去； 当a=3时，f'(x)=(x-3)(3x-3),所以x∈(-oo,1),f'(x)>0,f(x)单调递增， x∈(1,3)，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，符合题意： 则a=3. 【跟踪训练2】（多选）(25-26高二上江苏南京期未)已知函数f(:)=m-3m+x-a(a≠0)有两个极 值点(x<),则() A.a∈(-3,0)U(0,3) B.当f(x)f(x)<0时，f(x)有三个零点 C.当a·f(x2)>0时，f(x)仅有一个零点 62/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.)+f()=2j a 【答案】BCD 【解析】对于A,由f(x)=ax3-3x2+ax-a(a≠0)，得f'(x)=3ax2-6x+a, 因为函数f(x)有两个极值点x,x,(x<x2), 所以∫'(x)=0有两个不等的实数根， 即3ax2-6x+a=0有两个不等的实数根x,x2(x<x2), 所以 △=(-6-4x3a×a>0,解得-5<a<0或0<a<V5,故A错误： a≠0 对于B,当0<a<√5时，二次函数f'(x)=3ax2-6x+a与x轴有两个不同的交点，开口向上， 当x<x时，f(x)>0:当x<x<x,f'(x)<0:当x>x,f'(x)>0, 所以f(x)是极大值，f(x)是极小值，又f(x)f(x)<0,则可得f(x)有三个零点 同理可得当-3<a<0时，f(x)有三个零点，故B正确： 对于C,当0<a<√3时，由B可知f(x)是极小值，又af(x2)>0,所以f(x)>0, 此时极大值f(x)>f(x)>0,所以函数在(-o,x),函数从-0递增到f(x)>0有1个零点， 其余区间内无零点， 同理可得当-√5<a<0时，函数f(x)仅有一个零点， 综上所述：当af(x)>0时，f(x)仅有一个零点，故C正确： 对于D由书达定理可得5名一名子一品兮 f(x)+f(x2)=ax-3x"+ax-a+ax-3x+axz-a =a(x+x)-3(x+)+a(:+x)2a =a(+x)(x-xx+x)-3(x+x)-2xx+a(x+)-2a =a(x+x)[(+广-3x]-3+-2x]+a(s+)-2a 63/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 j-- 2年-小-3引2-2a=4 -2a+2, 20g-g*a日a*2. 所以f()+f)=2f月》 故D正确. 故选：BCD, 易混易错27已知单调性求参数时混淆条件致错 避坑指南 辨析：已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：(1)熟悉基本函数的单调性。 (2)注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D. 注意：其中IcD (3)首先明确己知函数的单调性：然后根据己知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的 不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来 【典例1】(2425高三上山东临沂期中)若强数)-女一++4的单调流减区间恰为-。则 实数a的值为· 【答案】-4 【解析】由题意得，f'(x)=x2-3x+a, 函数∫(x)的单调递减区间恰为[-1,4]， 即x2-3x+a≤0的解集为[-1,4，（易错点） 注意单调递减区间为[-1,4]与在区间[-1,4]上递减是有区别的 所以-1和4是'(x)=0的两根， a=-1×4=-4. 【典例2】(25-26高二上·北京·期中)如果f(x)=ax-e在区间(-1,0)上不单调，那么实数a的取值范围 为() 64/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .U[L.+) e s〔✉ue[pe 【答案】D 【解析】易知f'(x)=a-e,依题意可得f'(x)=0在(-l,0)上有解， 即方程a=e在(-l,0)上有解， 显然当xe(-lo)时.。e2月 因此实数a的取值范围为 【跟踪训练1】(25-26高三下海南月考)已知函数f(x)=+r-3在(0，+o)上单调递增，则a的取值 范围为() A.[-6,+∞) B.（-∞，6] C.[-2,+oo) D.（-0,-2] 【答案】A 【解析】因为函数f)=+m-3,则了()=3x+a+3 因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，故f'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立， 即3r+a≥0在@+上相成立，即a3r+》 -(3x+}水-2-6，当且仅当x ，即x=1时等号成立， 3 所以函数y= 32+)在(0+网)上的最大值为-6，所以a2-6: 所以a的取值范围为[-6，+o). 【跟踪训练2】(2026高=下-福建福州-专题练习)若函数/()=xax2-2x存在单调速诚区间，则实 数a的取值范围是() A.（-oo,l) B.(-o0,l] C.（-l,+oo) D.[-1,+o) 【答案】C 【解析】函数/)=hrax-2x的定义城为(0，+)， 导函数f()=1-x-2, 假设函数f(x)不存在单调递减区间，则f'()=1-x-2≥0在x>0恒成立， 65/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即子2在x0恒成立，？)a 12 令1-因为x>0,所以1-0， 则函数y=t2-2t在t=1时取得最小值，最小值为ymm=1-2=-1, 所以交x =-1,所以a≤-1， min 根据题意，函数f(x)存在单调递减区间， 所以a>-1. 易混易错28判断函数零点个数时画图致错 避坑指南 利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数 【典例1】(24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习)已知f(x)=me-nx(m≥0)，若f(x)有两个零点，则 实数m的取值范围为() A. B c. 【答案】A 【解析】若f(x)有两个零点，则f(x)=memr-lnx=0有两个解， 等价于xemr-xnx=0(x>0)有两个解，因为m≥0，x>0,所以nx≥0， 令g(t)=te',原式等价于g(x)=g(lnx)有两个解， 因为g(t)=(t+1)e,则当t>0时g(t)>0,所以g(t)在[0，+oo)上单调递增， 所以mx=lnx(x>0)有两个大于零的解.（易错点） 注意定义域：X不能为负 架mx=n,可得m,令)-红>0： 则()=，当0<x<e时，(>0，当x>e时，()<0， 所以A()在(0e)上单调适增，在(e+a)上单调递减，且(e)-。 66/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 h(x)的图象如图：（易错点） 当x趋近于正无穷大时，h(x)趋近于0，而不是趋近于负无穷大 所以当0<m<时，m=x有两个交点，即f)有两个零点。 故选：A y本 y=h(x) e y=m 【典例2】(2026江西新余一模)已知f(x)=k2-r-x-10gx在(1,8]上有两个不同零点，则k的取值范 围为() A. 5,1+loge B. 1+lo89 4 2e 、41 2e C. log,e log,e D. e e 【答案】D 【解析】由f(x)=k2--x-1og2x=0可得k2-=x+log2x, 故等式可变形为k·2r=1og22+1og2x=1og2(x·2）, 等式两边同时乘以x-2可得2=(x2)10g,（x2）=22).1og,（x2） 若k≤0，对任意的x∈(1,8]，2>1，则x2>1,故log2(x2)>0, 所以22).1og,(x2)>0,但2“≤0，等式不成立，不符合题意，所以>0， 构造函数g(x)=x·2,其中x>0,则g'(x)=2+x2ln2>0, 所以函数g(x)在(0，+o)上为增函数， 由2=221og,(x-2*)可得g(a)=glog,(x2月 所以a=log,(x2）=log2x+x,参变分离得k=1g,x+1=1+ne x xIn2 构造通最)-1+三·其中x网，则e)-女2 x21n2 67/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当1<x<e时，h(x)>0,即函数h(x)在(L,e)上单调递增， 当e<x≤8时，h(x)<0,即函数h(x)在(e,8]上单调递减， 所以函数h(x)的极大值为h(e)=1+logc, 又因为0-1，例=1是8-号且4g)>40:红下所不 loge 11 y=h(x) 1= 8 8 由图可知，当≤k<1+8S时，直线y=长与函数()在xL母上的图象有两个交点。 P e 因此实数k的取值范围是 loge 1+ e 故选：D 【跟踪训练1】(2026·安徽合肥一模)已知函数f(x)=(nx)+axlnx-x2有且仅有三个零点，则a的取值 范围是() A. 0.e- B.Le+e) D. 【答案】C 【解析】因为f(x)有且仅有三个零点，则方程 Inx x nx-1=0有且仅有三个根， +a 令-，则) 由h'(x)<0得x>e;h(x)>0得0<x<e: 则h()在(0，e)单调递增，在(c,+)上单调递减，则h()=h(@)=， 因为0<x<1时h(x)<0;x>1时(x)>0,且x→+o时h(x)→0， 所以h(x)的函数图象如图： 68/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 因为t=0不是t2+at-1=0的根， 所以g(t)=t2+at-1=0有两个根，其中一个根位于 Q的)刀根位于(0叭成另-根是。 但方程t2+at-1=0的两根的乘积为-1， 所以g(t)=0一个根位于 另一根位于(-0,0)， g(0)=-1<0 e 1 故a的取值范围是(e-。+切 故选：C 【限踪训练2】(2026安效交庆楼)已知a>0,考函数)=（一-0330+1-]胎有1个学点， 则a=() A.e B. 1-3 C.1 D.3 【答案】B 【解析】由f)=(x-a)3n(3)+1- 可得x=a恒为f(x)的一个零点， x 令g()=3n(3x)+1-a,则fw)恰有1个零点， 等价于g(x)的唯一零点是x=a,或g(x)无零点. 因为g0-2-,且u>s0, 所以g'(x)>0恒成立，g(x)在(0，+oo)上单调递增. 又x→0*时g()→o0,x→+∞时g(x)→+∞，因此g(x)必然存在唯一零点. 当g()的零点是x=a时，可得g(@=3h(3a)+1-a=31n(3a)=0 a 即ln(3a=0,解得3a=l,a=3 69/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错29混淆两个计数原理致错 避坑指南 辨析：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理： 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的 应用 【典例1】（2025·上海高考真题)有一四边形ABCD,对于其四边AB、BC、CD、DA,按顺序分别抛掷 枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去.最后，以A为起点沿 着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为(). A.2 7 B. c D. 16 16 【答案】B 【解析】根据题意，对于其四边AB、BC、CD、DA,按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有2×2×2×2=16种情况，（易错点) 注意：分类相斥，分步相依 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C, 若保留AB,BC两条边，则CD,DA可保留也可擦去， 共有2×2=4种情况； 若保留AD,DC两条边，则AB,BC可保留也可擦去， 共有2×2-1=3种情况（其中有一种情况与上面重复），（易错点） 注意别除重复的方法 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C,共有7种情况， 所以可以到达C点的概率为 7 故选：B 【典例2】(25-26高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，则不同的路径 有() 70/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.5种 B.6种 C.7种 D.9种 【答案】C 【解析】由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知， 不同的路径有1+2×3=7种.故选：C. 【跟踪训练1】(2025高二重庆期中)某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是01,2,3,5， 为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为 偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用 一天，则不同的用车方案种数是() A.24 B.27 C.30 D.33 【答案】B 【解析】15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有3个奇数和2个偶数.通过按日期分 步，分2类， 第一类：3×1×3×1=9，第二类：3×1×3×2=18，共27种。 故选：B 【跟踪训练2】(25-26高三上·浙江杭州·期末)已知集合M={L,2,3,4,5,f(x)是M→M的函数，且满足 f(f(x)=1,则这样的函数f(x)的个数为 【答案】41 【解析】由f(f(x)=1可知，函数f(x)的值域中的任何元素y都满足f(y)=1. 因为值域非空，所以1必在值域中，即f()=1, 若仅有f)=1,则对任意x∈{2,3,4,5}，有f(x)e{2,3,4,5}. 此时对于x∈{2,3,4,5}，令y=f(x),则y∈{2,3,4,5}.而f(f(x)=f(y)=1,这与仅有f)=1的假 设矛盾。 故{2,3,4,5}中至少有一个元素的函数值为1. 具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况： 2、若仅有4个函数值为1，又f(I)=1,则另外4个中应有3个函数值为1有C:=4种， 71/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如f(2)=f(3)=(4)=1,依题意f(5)只能从2,3,4中取值，有3种情况，此时共有4×3=12 种： 3、若仅有3个函数值为1，又f(I)=1,则另外4个中应有2个函数值为1有C=6种， 如f(2)=f(3)=1,依题意f(4),f(5)只能从2,3中取值，有2A=4种情况，此时共有6×4=24 种： 4、若仅有2个函数值为1，又f(I)=1,则另外4个中应有1个函数值为1有C4=4种， 如f(2)=1,依题意f(3),f(4),f(5)都只能取2，有1种情况，此时有4×1=4种情况： 综上所述，这样的函数f(x)的个数共有1+12+24+4=41个. 故答案为：41. 易混易错30分步有序致错 避坑指南 辨析：主要错是混淆有序抽取（排列）与无序抽取（组合），把一次性取件按分步有顺序计算，误用分步 乘法，与实际无序抽取不符，造成计数重复偏大针对这种错误，应对策略是认真审题，分清是排列问题还 是组合问题，其中对于“至少至多”类型的问题，可从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要 求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质 还是先进行分类.求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答， 【典例】(24-25高二上·福建泉州阶段训练)有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个 零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是() A.560B.2735C.1136D.480 【答案】C 【解析】方法一将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品恰有2个一等品恰有 3个一等品”.由分类加法计数原理，得不同取法有CC+CC,+C=1136(种)（易错点）. 至少至多型产品抽取问题一般分类讨论或用间接法求解 方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有 C3n-C=1136(种)，故选C 【错因分析】由于对实际问题中“至少有1个一等品”意义理解不明，可能导致下面的错误：按分步乘法计 72/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 数原理，第一步确保有1个一等品，有C6种取法：第二步从余下的19个零件中任取两个，有C,种不同 的取法，故共有CC,=2736(种)取法，实际上这个解法是错误的.下面我们作如下分析，第一步取出 1个一等品，那么第二步就有3种可能：①取出的2个都是二等品，这时的取法有CC?=96(种)：②取 出1个一等品，1个二等品，因为取出2个一等品是分步完成的，这2个一等品的取法就有了先后顺序， 而实际上这2个一等品是没有先后顺序的，因此这时的取法就产生了多一倍的重复，即这时的取法有 2C,CC=480(种)：③取出的2个都是一等品，这时我们取出的3个都是一等品了，实际的取法种数 应是C6=560. 【跟踪训练1】(25-26高三上·山东日照·期末)从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任班长、团支 书、学习委员，则甲、乙至多有1人被选中的不同选法有() A.60种 B.120种 C.180种 D.210种 【答案】C 【解析】从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为 A=210种 若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为CA=30种， 因此，甲、乙至多有1人被选中的不同选法有210-30=180种. 故选：C. 【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习)多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有不 同的，现从中共选取12个流行语，包括i人e人“显眼包“特种兵式旅游“遥遥领先‘多巴胺××情绪价 值“双向奔赴村BA“主打一个××搭子“命运的齿轮开始转动“质疑×，理解××，成为”，其中“显眼 包特种兵式旅游“多巴胺×ד遥遥领先”在多个平台公布的“2023年十大流行语”中出现，被称为“最热流 行语”.从这12个流行语中选择4个不同的流行语，则至多包含2个“最热流行语”的选法共有() A.482种 B.462种 C.392种 D.270种 【答案】B 【解析】解法一：由题意可知，可以分三类： 第一类，不包含“最热流行语”，有Cg=70(种)不同的选法： 第二类，包含1个“最热流行语”，有CC=224(种)不同的选法： 73/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第三类，包含2个“最热流行语”，有CC=168(种)不同的选法. 综上，至多包含2个“最热流行语”共有70+224+168=462（种）不同的选法. 解法二：正难则反， 从12个流行语中选择4个不同的流行语共有C=495(种)不同的选法， 包含3个“最热流行语”有CC%=32(种)不同的选法， 包含4个“最热流行语”有C4=1(种)不同的选法. 所以至多包含2个“最热流行语”共有495-32-1=462（种）不同的选法. 故选：B 易混易错31分步不合理导致重复或遗漏致错 避坑指南 辨析：对分步计数理解不清，忽略每步需满足颜色不冲突，随意按区域顺序涂色，未考虑相邻限制，导致 步骤间矛盾，结果出错 【典例】(25-26高三上湖北省直辖县级单位·期中)用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界 有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有() A.384种 B.168种 C.108种 D.192种 【答案】D 【解析】先给2,5染色，有A种方法，（易错点） 涂色时常先从中间部分涂起 若1和5同色，则4有2种涂法：若1和5不同色，则4有2×1=2种涂法.（易错点） 涂色时一般按相对区域同色或异色分类处理 因为1,4分别与3,6对称，所以不同的染色方法有A×(2+2)2=192种. 故选：D 74/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【跟踪训练1】(24-25高二下·广东深圳期中)将图中A,B,C,D,E五块区域涂上颜色，现有4种不同 的颜色可供选择，则下列说法正确的是() B A C E D A.若每块区域任意涂上一种颜色，则共有4种不同涂法 B.若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C.若4种不同颜色全部用上，B,D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D.若4种不同颜色全部用上，B,D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【答案】AB 【解析】对于A,每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有4×4×4×4×4=45种不同 涂法，A正确： 对于B,若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有 C:·A=24种不同涂法，故B正确： 对于C,因4种不同颜色全部用上，B,D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B,D区域，有C: 种涂法， 因A,C,E三个区域都与B,D相邻，故只需将余下的3种颜色在A,C,E上全排，有A种涂法，则 共有C4A=24种涂法，故C错误： 对于D,按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有4×3×2=24种涂法， 因B,D不同色(D只有一种颜色可选)，此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A 同色，此时共有24种涂法，故D错误. 故选：AB 【跟踪训练2】(25-26高二下·全国·课后作业)将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的 两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为() A.80 B.100 C.110 D.120 【答案】D 【解析】如图，若先染A有5种色可选，B有4种色可选，C有3种色可选，D有2种色可选， 75/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则不同染色方法共有5×4×3×2=120（种）. 故选：D. 易混易错32忽视排列数组合数公式的隐含条件致错 0避坑指南 辨析：在排列组合数的计算中，要注意上标和下标的限制条件，从而根据条件正确计算，或列出相应的方 程、不等式（组）求解参数的值 【典例1】(25-26高三上·上海宝山统考)己知关于正整数x的方程C=C,则该方程的解 为 【答案】1或3 【解析】根据组合数的性质，由C=C-5 [x-1=5x-5 [(x-1)+(5x-5)=12 0≤x-1≤12 0≤x-1≤12 可知： 或 ,(易错点) 0≤5x-5≤12 0≤5x-5≤12 x∈Z x∈Z 需注意考虑上组合数方程上标间的限制条件 x=1 x=3 1≤x≤13 1≤x≤13 即 17或 17,所以x=1和x=3均满足题意， 1≤x≤ 1≤x≤ 5 xEZ x∈Z 所以该方程的解为：1或3 【典例2】(24-25高二下·吉林期末)若Ax1=140A,则x= 【答案】3 76/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x+1≥4 【解析】由题设 2r+10=140x, (2x-3)！ (x-3)1且 x≥3 →x之3，xeN, 则(2x+1)×2x×(2x-1)×(2x-2)=140×x×(x-1)×(x-2), 所以(2x+1)×(2x-1)=35×(x-2),则4x2-35x+69=0, 所以(x-3)(4x-23)=0,可得x=3(非整数解舍). 【跟踪训练】(2425高二下江苏无锡月考)(1)求值：A,-A。 Ai+Ag (2)解方程：C6=Cig5: (3)解不等式：3A≤2A,+6A 【解析】(1)原式= 5Ag+A_6A6×9×8×7×63 5A0-A04A。4x10x9x8×7x620 (2)由C6=Cg-5可得x2-x=5x-5或x2-x+5x-5=16, 解方程x2-x=5x-5,即x2-6x+5=0,解得x=1或x=5, 解方程x2-x+5x-5=16,即x2+4x-21=0,解得x=3或x=-7, 0≤x2-x≤16 又因为x2-x、5x-5均为整数，且 0≤5x-5≤16' 所以x=1或x=3符合要求，x=5和x=-7均不符合要求. 故x=1或x=3: (3)由3A≤2A2+6A2可得3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1), 由题意可知x≥3且x∈N,整理可得3(x-1)(x-2)≤8x-4,即3x2-17x+10≤0， 解符x5义因为x23且xeN所以rE3,4,5》 易混易错33分组问题混淆“均分”与“非均分”致错 避坑指南 辨析：(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等： ②部分均匀分组，应注意不要重复： 77/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用挡板法”： ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解， 【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)(非均匀分组)堆一本，一堆两本，一堆三本： (2)(定向分配)甲得一本，乙得两本，丙得三本： (3)(不定向分配)-人得一本，一人得二本，一人得三本： (4)(平均分配)平均分给甲、乙、丙三人： (⑤)（平均分组）平均分成三堆. 【分析】本例为分组或分配问题，分配问题是把物件分给不同的人（或团体），是有顺序可言的，而分组问题， 只是把物件分成组，是无顺序的，两者有着明显的不同. 【解析】(1)先在6本书中任取一本，作为一堆，有C,种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆， 有C?种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有C种取法，故共有分法CC?C=60(种)（易 错点)： 非均匀分组，利用计数原理分完即可 (2)由(1)知，分成三堆的方法有CC?C种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙 得二本，丙得三本的分法亦为C。CC=60(种). (3)由(1)知，分成三堆的方法有C。CC种，但每一种分组方法又有A;种不同的分配方案，故一人 得一本，一人得两本，一人得三本的分法有CC?CA=360(种)（易错点） 不定向分配，先分组后分配 (4)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有C名种，甲不论用哪一 种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有C?种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2 78/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 本书后，丙从余下的两本中取两本书，有C?种方法，所以一共有C2CC子=90种方法 (5)把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区 别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三 个人，因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把六本不同的书分给甲、乙、 丙三人每人2本的分法就应有x·A种，由(4)知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2 本的方法有CCC;种，所以x4=CCC:,题x=CCC=15种（易错点) A 要注意平均分组与平均分配的区别，前者要作除法，后者不用作除法 【跟踪训练1】(25-26高二下·江西赣州开学考试)诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱.现 有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去 其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为 【答案)号 【解析】一方面，6人前往3个景点，每个景点至少有1人，可分为三类： ①各景点人数分别为1,2,3：先将6人分为三组(1人，2人，3人)，再分配到3个景点，方法 数为CCCA=360种： ②各景点人数均为2：先将6人平均分为三组(2人，2人，2人)，再分配到3个景点，方法数为 CCCxA=90种： A房 ③各景点人数分别为1,1,4：先将6人分为三组(1人，1人，4人)，再分配到3个景点，方法 数为，CCC4xA=90种：所以共有360+90+90=540种方法 另一方面：要满足每个景点至少有1人，甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹可分为三类：①甲 乙去了上犹和崇义各一人，这里A=2种情况： 再对除甲乙丙外的3人使用间接法：除甲乙丙外的3人先不作要求任其随意选择，有3=27种， 再减去不合题意的，即大余没有人前往的情况，有23=8种， 79/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由分步乘法原理，得第①情形共有A2×33-2)=38种： ②甲乙去了上犹和大余各一人，这种情形与①相同，也是38种： ③甲乙去了崇义和大余各一人，这里A=2种情况： 由于此时每个景点都至少有一人了，所以除甲乙丙外的3人可以随意安排景点，有3=27种，由 分步乘法原理，可得第③情形有A×33-54种： 最后由分类加法原理，可得三种情形共有38+38+54=130种： 综上，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一 定去上犹阳明湖"旅游的概率为！30-3 54054 【跟踪训练2】(25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末)甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社 区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人· (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【解析】(1)将6名学生平均分成3组， 61 4！ 2! X 6×54× 分法数为CCC_2(6-2*2(4-222-2小_2x1×2x1-=15(种， 2×1 A 3! 3×2×1 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有A=3!=6(种)， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有15×6=90（种）： (2)①甲、乙、丙看作一组，有1种分法. 将剩下的3人分成2组，分法数为CC=3×1=3(种)， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有A=3!=6(种)， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有1×3×6=18（种）： ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法. 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有A=3!=6(种)， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有3×6=18（种）： 综上不同的安排方法有18+18=36（种）： (3)甲、乙、丙分别安排到3个社区，有A=3!=6(种)， 80/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有3×3×3=27（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有6×27=162（种）. 易混易错34计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 避坑指南： 辨析：1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法： ()倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列： (2)空位（或占位）法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排 法.如已知n个不同的元素进行排列，要求其中mS,nE心，mN个元泰相对顺序固定不变，有袋种 不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n一m个元素，再放这定序的m个元素，共有A”m种不同 的方法。 对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为个，新插入的元素为m个， 则排列数为Cm十n)! n！ 2.相同元素分配问题的处理策略 ()隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干 隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔 板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有Cm种方法.可描述为n一1个空中插入m一1块 板。 【典例1】（25-26高三上·全国专题训练)用2个0,2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数 有() A.8个 B.12个 C.18个 D.24个 【答案】C 【解析】当首位为2时，这样的五位数有大六三6个（易错点）上 2个0之间没有顺序，2个1之间没有顺序，故需作除法 当首位为1时，这样的五位数有=12个（易错点）： A 81/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2个0之间没有顺序，故需作除法 综上，这样的五位数共有6+12=18个 故选：C 【典例2】(25-26高三上·郑州模拟)某班2026年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加 了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为() A.2 B.11 C.36 D.42 【答案】D 【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好 的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7=42种插入方法. 【跟踪训练1】(25-26高三上·河南商丘·月考)甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从 高到低的固定顺序，共有排法() A.144种 B.108种 C.120种 D.360种 【答案】C 【解析】从6个位置中取3个让甲乙丙按指定顺序站位，有C种方法： 再排余下3人，有A种方法， 所以不同排法种数为C。A=120. 故选：C 【跟踪训练2】（25-26高三上·天津·期末)现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要 从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是() A.8400 B.11760 C.13440 D.20160 【答案】B 【解析】首先从下层人个商品中抽取三个，共有CX2父56种结果 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有 A 7×6×5×4×3×2×1=210种结果， 4×3×2×1 因此根据计数原理可知共有56×210=11760种结果 故选：B 82/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错35混淆“系数”与二项式系数而致错 避坑指南： 辨析：处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项的二项 式系数为C(k=0,1,2,…),项的系数是指该项中除变量外的常数部分，包含符号等. 【典例】(25-26高三·上海·随堂练习)已知(1+2x)°的二项展开式中，二项式系数最大的项为a,系 数最大的项为b,则 【答案】 x 【解析】由题意得a=C·(2x)=160x3(易错点)， 二项式系数最大的项为最中间的一项(n为偶数)或最中间的两项(n为奇数) 通项T1=C62x(r=0,1,2,3,4,5,6), 当满足 C6·2≥Cg1.21 c。22C2时，系数最大，（易错点） 一般利用夹击法求系数最大的项，即此项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数 (12 2 6-rr+1 21，即 00”号 r7-r 又r=0,1,…,6 解得r=4, 所以b=Cg.(2x)=240x4, 故3x a 2 【跟踪训练1】(25-26高二上·上海期末)已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式 中的常数项是 【答案】210 83/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【解析】已蜘 的展开式中只有第6项系数最大，所以”+1=6，解得n=10. 10 G+ 通项公式为： =c阿=c(〔j-C-c-c 30-5r 令0。”-0，则r=6,所以常数项为C。=C% 10×9×8×7 =210 4×3×2×1 【跟踪训练2】(2025高三·全国·专题练习)己知neN,二项式 + 1 展开式的前三项的系数成等 差数列，则展开式中二项式系数的最大值为， 系数最大值为 【答案】 70 7 【解析】 二项式 通项公式为： 2.x =C.() 2cgx=c。 2n-3r 所以第一项的系数为：( ”=1,第二项的系数为：c=2 第三项的系数为： n2-n 8 由于前三项的系数成等差数列， 所以2×=1土”8”解得n=8,或n=1 2 因为至少有前三项，所以n=1（舍)，故n=8, 所以二项式系数的最大值为C。=70. 8 16-3r 二项式 Vx+ 2 通项公式为：T:=C(分yx, ac 设第k项的系数最大，故 c9≥c 84/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8 ） 1 (k-1(9-k)2 、1 9-k2k 即 ,即 1 8! -2 1 1 -09-2 2(k-1)10-k 解得3≤k≤4， 因为k∈N*,所以k=3或k=4, 故系数最大的项为T,=7x2或T=7x4. 故系数最大值为7 易混易错36混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 避坑指南： 辨析：(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件：两个事件， 若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. (2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系： ②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)=0,相互独立事件则强调一个事件的发生与否 对另一个事件发生的概率没有影响。 【典例】（多选）(2026广东广州一中期中)现有A,B两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均 相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a,b,再将两箱子混合后取出一个小球℃，事件 M:“小球a为红色”，事件N:“小球b为白色”，事件P:“已知a,b颜色的前提一下，小球C为红色”，则 下列说法错误的有() A.M发生的概率为 B.M与N互斥 3 C.M与N相互独立 D.P发生的概率为 【答案】ABD 【解析】根据题意可得P心W)=了放A错误：根据互斥事件的定义可知M与N不互斥。放B储误 由藏可得BMW2P0:RM,所以M与相5雅立号错.放C正商： 6×64 若两事件从表面上很难判断是否独立，可通过乘法公式加以验证 对于D,事件P分为三类： 85/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4,b颜色都为白球，则混合后袋中有白球4个红球6个，取出红球概率 3 a,b颜色都为红球，则混合后袋中有白球6个，红球4个，取出红球概率为2 αb颜色一红一白，则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为)，故D不对。 【跟踪训练1】（多选）(25-26高二下·黑龙江·开学考试)已知随机事件A,B,C满足 P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C)=0.3,且事件C与A,B相互独立，则下列说法正确的是() A.若A与B相互独立，则P(AUB)=0.9 B.若P(A⌒B)=0.4,则A与B相互独立 C.若A与B互斥，且C与A+B也相互独立，则P(A+B)C)=0.25 D.若A与B相互独立，且C与AB也相互独立，则P(ABC)=0.12 【答案】ABD 【解析】因为事件A与B相互独立，所以事件A与B相互独立， 所以P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.8=0.4, 因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.8-0.4=0.9,A正确： P(AUB)=1-P(AnB)=0.6,又P(A)=0.5,P(B)=0.2, 所以P(AnB)=P(A+P(B)-P(AUB)=0.1,又P(A)P(B)=0.1, 所以P(AOB)=P(A)P(B),即A与B相互独立，B正确； 因为A与B互斥，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7, 又因为C与A+B相互独立， 所以P(A+B)C)=P(A+B)P(C)=0.7×0.3=0.21,C错误： 因为A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.5×(1-0.2)=0.4, 又因为C与AB相互独立，所以P(ABC)=P(AB)P(C)=0.4×0.3=0.12,故D正确. 故选：ABD 【跟踪训练2】(25-26高三上·四川达州期末)如图，一个电路中有A,B,C,D四个电器元件，每个元件可 能正常，也可能失效.记M=“电路是通路”，N=“电路是断路”，S=“至少三个元件正常”，T=“恰有三个 86/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 元件正常”，则() A.M与N互斥，但不对立 B.5与T互斥，但不对立 C.TCM D.N-5 【答案】BC 【解析】选项A:电路不可能同时通路和断路，故M⌒N=☑，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，M∪N覆盖了通路和断路所有情况，故M,N是对立事件，故A错 误 选项B:S表示至多两个元件正常，T表示恰有三个元件正常， .5∩T=⑦，互斥成立，5UT仅覆盖正常数0,1,2,3，未包含 “四个元件都正常”，故S,T不对立，故B正确： 选项C:恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即M必然发生， ∴.T∈M,故C正确： 选项D:N=“电路是断路”，忑表示至多两个元件正常， 若A,C正常，B,D失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故S发生时N不一定发生，故D错误. 故选：BC. 易混易错37混淆“有放回与“不放回致错 Q避坑指南： 辨析：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次 抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变：无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要 变，概率也变 87/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】（25-26高三·上海课堂例题)己知向量ā=(x,y),b=(1,-2),从6张大小相同分别标有号码 1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x、y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足 a·b>0的概率是() A司 B. 3-4 C. D. 6 【答案】D 【解析】设(x,)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6=36个， 由a-b>0,即x>2y, 故满足x>2y的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)共6个，（易错点） 注意：有放回抽取一是元素有顺序，二是元素可重复 所以所求概率为P=6=1 366 故选：D, 【典例2】（25-26高三上·浙江·期中)某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从 袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率() A音 B. 4 5 c月 D.3 【答案】C 【解析】P=2+AC+AC-3, 6AA:=5:故选：C 【跟踪训练1】(25-26高三上·广西贵港·开学考试)不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个 白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止 摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X,则P(X=5)=· 【答案1日 【解析】从8个球中随机不放回摸出5个球的试验共A=6720种， X=5的事件有：①第5次摸到的球是黄球，则前4次摸到的球均为白球和红球AC4=96种： ②第5次摸到的球是白球，则前4次摸到的球可能为2红2黄或1红3黄 CA4C2+CCA4C,=288+384=672种： ③第5次摸到的球是红球，则前4次摸到的球可能为2白2黄或1白3黄 88/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CA4C2+CCA4C,=288+384=672种， 所以P(X=5)=96+672+6723 6720 14 【跟踪训练2】(25-26高三下·四川成都·开学考试)从0,1,2，，9这10个数字中选出3个不同的数 字组成三位数，其中小于325的共有 个；若从这10个数字中每次有放回地随机抽取一个数字 称为一次试验，抽中数字7则试验停止，若要使随机事件“在前N次试验内停止试验”的概率大于0.523，N 的最小值为 (参考数据：ln(0.477)≈0.740，n(0.9)≈0.105) 【答案】 163 8 【解析】根据题意，①百位为1或2，满足要求的数字有C2A?=2×9×8=144个：②百位为3，若十位为 0或1，满足要求的数字有CC%=2×8=16个，若十位为2，满足要求的数字有3个， 所以满足要求的数字一共有144+16+3=163个. 根据题意，“在前N次试验内停止”的对立事件是“在前N次试验都未抽中7”，单次试验未抽中7 的概率为9=09，“在前N次试验都未抽中7”的概率为0.g%, 10 则“在前N次试验内停止”的概率为1-0.9，所以1-0.9>0.523，则有 N3h(0.47）0.740 ln(0.9) 0.105 7.048，所以N的最小值为8. 易混易错38古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 避坑指南： 辨析：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空间， 这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间： 二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明 确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概 型的概率计算公式，得出所求事件的概率。 【典例】（多选)（2026湖南衡阳三中月考)某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分， 部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选 项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD,甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正 89/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 确的是() A.甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为} B.乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为2 C.丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D.丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【解析】对于A,甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种结果，分别为A,B,C,D, 其中有3种结果满足要求，分别为A,B,D,故能得2分的概率为子，A错误： 对于B,列举可得以下所有可能结果：AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种，其中能得4分的结果有： 31 AB,BD,AD,共3种，故能得4分的概率为二=二，B正确： 62 对于C,丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种结果， 分别为AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD(易错点)， 列举时要做到不重不漏 其中得分的结果有4种，为AB,AD,BD,ABD,故得分的概率为 4 1 由B可知，乙同学仅随机选择两个透项，能得分的概率为)， 牛)敌丙同学选择至少两个选项，能得分的薇率比乙而学仪随机选择两个选项得分概率低，0 错误： 对于D,丁同学选择至少一个选项，共有15种结果， 分别为A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD(易错 点)， 其中ABCD这个选项易遗漏 能得2分的结果为A,B,D,故能得2分的概率为55， 31 能得4分的结果为AB,AD,BD,放能得4分的概率为名- 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 【跟踪训练1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率 是() 90/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B c D 【答案】B 【解析】根据题意画出树状图，如图， 甲 甲 丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙 丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲 丙 乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙 丁乙丁甲乙印丙乙丙甲乙甲 共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 放所求概率P丹} 【跟踪训练2】(25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的 点数，则点数之差的最大值为4的概率是 【答案1号 【解析】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次共有6×6×6=216种情况， 若点数之差的最大值为4，则最大点数为5，最小点数为1，或者最大点数为6，最小点数为2， 若3个数为1,1,5，则有3种情况：若3个数为1,5,5，则有3种情况： 若3个数为1,2,5或1,3,5或1,4,5，则有3A=18种情况， 故最大点数为5、最小点数为1时，共有3+3+18=24种. 当最大点数为6，最小点数为2时， 若3个数为2,2,6，则有3种情况：若3个数为2,6,6，则有3种情况： 若3个数为2,3,6或2,4,6或2,5,6，则有3A-18种情况， 故最大点数为6、最小点数为2时，共有3+3+18=24种， 综上，点数之差的最大值为4的概率为：P=24+24_? 2169 91/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错39对条件概率理解不透彻致错 Q避玩指南 辨析：解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知“在…前提下”等字眼，一般为条件概率.题目中 若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率.若为条件概 率，则进行第二步。 第二步，计算概率，这里有两种思路： 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(AB),可分别求出事件B,AB 思路一 包含的基本事件的个数，再利用公式P4B)一MB计算 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB),P(B),再利用公 思路二 式P(AB)= +算 【典例】(25-26高二上辽宁·期末)某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400 名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有手的学生每天饮用碳酸饮料不低 于500毫升，这些学生的肥胖率为写，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为子若从该中学高 9 二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为() A. B.Z C.4 3 7 D. 12 【答案】A 【解析】设学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升为事件么，则P(4)=子P(团-} 设学生肥胖“为事件B,则P(8-=P(©团=号 由全公面aP@上Pa肚r-号头（g猫 注意A,B并非相互独立事件 所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为} 故选：A 【跟踪训练1】(25-26高三下·天津河西·开学考试)盒中有4个白球、6个黑球（这些球除颜色外没有其他 92/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 差异).随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入2个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出 一个球则第二次取出的球是白球的概率为 ;在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球 的概率为 【答案】 210.4 【解析】记事件A:第一次取出白球，记事件B:第二次取出白球，则()-子。P(团- 若第一次取出白球，并放入2个与取出的球同色的球，盒子中有6个白球、6个黑球， 则P(B)-分 若第一次取出黑球，并放入2个与取出的球同色的球，盒子中有4个白球、8个黑球， ra啊& 断以a=dPsA小国Ps-含号 故答案为：号分 【跟踪训练2】(2026江西一模)学校食堂每餐推出A、B两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的 两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了A套餐，则第2天选择A套餐的概率为？；若他前1天选择 了套餐，则第2天选择钉4L套餐的概率为。包知他开学第天中午选择4套餐的概率为在该同学 4 第3天选择了A套餐的条件下，他第2天选择A套餐的概率为 【答)名 【解析】设An为第n天选A套餐，A为第n天选B套餐， 则P(4)-=子P(团)=1-子字P(A)=子P氏a)- P)=P(P氏0+P(国P同-子子 从面P网列=1音名P叫)-字P风)- Pa-4)4P国P叫4国-8子是 515 P4-P.0晋-6 P(4) 13 2424 93/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错40求分布列时忽视了概率之和为1而致错 Q避坑指南： 辨析：1利用“总概率之和为1可以求相关参数的取值范围或值 2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件 的概率。 3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确。 【典例1】（2026高三，全国·专题练习)已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 0.36 1-2q 则常数4= 【爷案】02写 【解析】由题意可知：0.36+1-2q+q2=1, 即g2-2g+0.36=0,解得9=0.2或q=1.8, 0≤1-2g≤1 又因为 05·解得0≤9字（易错点） 要注意两点：一是概率之和为1，二是各概率值介于0至1之间 所以常数9=0.2. 【跟踪训练1】(24-25高二下·辽宁沈阳·月考)离散型随机变量X的分布列为 P(X=)a+n+a=l2,15,a为常数：则a=一· a 【答案】} 【解析】PX=)n+a=a(+1-同， 因为P(X=1)+P(X=2)++P(X=15)=1, 所以aN5-+5-列++5m-刃-a小5*1-小l,解得a=号 【跟踪训练2】(24-25高二下·陕西西安·月考)设X是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则9= 94/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 X 0 2 4 1 2 5-24 93 【答案】05 【解析】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1， 所以+5-2g+g2=1, 24 1 3 解得q=7或9=2' 又因为随机变量的概率非负不大于1， 所以0≤5-2g≤1,0≤g2≤1， 1 5 解得g5g≤8 综上9=2 易混易错41混淆二项分布与超几何分布致错 避坑指南： 辨析：“二项分布”与“超几何分布的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽 取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理 【典例1】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整 个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.现随机抽取100 位市民，将市民按年龄分为“青年组和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本 观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记A表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为P(A),B表示“抽取到的市民为非青年 95/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 组”，其概率为P(B). (I)给出P(),P(B),P(BA)的估计值： (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小 组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世 2》的人数X的分布列和数学期望. 【解析】(1)A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组. 样本容量=100，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为 55_11 10020' 因此P(A)的估计值为 20 抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的须率为02 501 因此P(B)的估计值为2 20 P(BA_100=4 法-：P⑧A=P=罗' 100 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为 11 因此P(团A)的估计值为 1 法二：P(BA= n(AB)20 4 n(A)5511 在拍取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，拍到的市民为青年组的频率为普 因此P(同A)的估计值为4 (2)按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降 世2》的有2人， 则看过《哪吒之魔童降世2》的人数X的取值范围为1,2,3}， 由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数X,则X~H(5,3,3),(易错点) 在产品抽取模型中超几何分布是不放回抽取，二项分布是有放回抽取，注意区别 96/ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 此时P(X=1)= -8=2=答-}x--答- c2-3 C10 则X的分布列为： X 1 2 J3 3 1 P 10 3-5 10 所以E()-+2+3x0-}成0-义-号 5 N55 【典例2】(25-26高三上·安徽宣城期末)某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每 位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼'两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识 作答成功的概率为)，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功 ,他第二轮拓展知识此拼成功的概率为：若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成 的概率为}，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功 ()若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记X为参赛居民中闯关成功的人数，求X的数学期望与方差。 【解析】(1)设事件A为“第一轮基础知识作答成功”，事件B为“第二轮拓展知识比拼成功”， 由题意可，=宁贝N=1方0=子n倒列-号 根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为： P(B)-P(AP(+(=xx11 24'242 (2)闯关成功需要两项任务均成功，即事件A⌒B,其概率为： (4)( 因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果， 故各参赛者的闯关成功事件相互独立， 记X为10名居民中间关成项的人意，则X~公100)】 所以数学期望E(X)=m=100×82, 375 方：0)-p0小-1m8》招 【跟踪训练1】(25-26高三下·天津红桥·开学考试)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方 97/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为二和 6 亏，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ；若3次活动中，甲获胜的次数记为X,则随机变量X的期望为 【答案】 2 3 2 【解析】设甲在猜谜活动中猜对为事件A,设乙在猜谜活动中猜对为事件B, 则由题意知，甲箱对的概率P(4)-名，乙精对的概率P(8)号 在一次猜谜活动中，甲获胜即甲猜对，乙猜错为事件AB, 则甲获胜的概率P叫1B)④P(间=P-P(例]-各-)子 由题意可知，甲获胜的次数X服从二项分布X~B3,} 所以随机变量X的期望为E(X)=3×2=2. 【跟踪训练2】(25-26高二上·山东德州·期末)某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每 满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2 个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元：若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X.求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元. ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠？（备 注：不能同时参加抽奖和打折活动) 【解析】(1)由题意X可能取值为20,30,50， 则Px-训-8Px=0-答-号Px-080 C31 则X的分布列如下表： X 20 30 50 1 P 3 3 10 由期望公式可得E(X)=20×0.3+30×0.6+50×0.1=29: (2)①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次 98/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20元，一次50元， 则概率为0.6×0.6×0.6+C×0.1×0.3×0.3=0.216+0.027=0.243: ②若打九折，需支付金额为：1000×0.9=900（元） 由(1)知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：29×3=87（元）， 因为1000-87=913>900，故打折更划算. 易混易错42混淆函数关系和相关关系而致错 避坑指南 辨析：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函 数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系， 【典例】(24-25高三上·江西南昌·训练)对两变量间的关系，下列论述正确的是（) A.任何两个变量都具有相关关系 B.正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系 C.农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D.一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【答案】D 【解析】对A:当两个变量之间具有确定关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，所以A错 误： 对B:正方形的面积与该正方形的边长之间是函数关系，所以B错误：（易错点） 若对概念不清，容易误以为此选项是相关关系 对C:农作物的产量与施化肥量之间是相关关系，是非确定性的关系，所以C错误： 对D:学生的数学成绩与物理成绩之间是相关关系，是非确定性的关系，所以D正确： 故选：D. 【跟踪训练】（多选)(2025高二·全国专题练习)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位： cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(x,y)i=1,2,…,m)，用最小二乘法建立的经验回归方程为 =0.85x-85.71,则下列结论中正确的是() A.y与x具有正的线性相关关系 99/ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.经验回归直线一定经过点（无，） C.若该大学某女生身高增加2cm,则其体重约增加1.7kg D.若该大学某女生身高为170cm,则可以判断其体重必为58.79kg 【答案】ABC 【解析】由经验回归方程为)=0.85x-85.71知，y随x的增大而增大，所以y与x具有正相关关系，故A 正确。 由最小二乘法建立回归方程的过程知，经验回归直线一定经过样本中心点(：，)，故B正确 利用经验回归方程可以估计因变量，但只是预测值，故C正确，D不正确， 故选：ABC 易混易错43忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 Q避坑指南 辨析：在求回归曲线方程时一定要先判断回归曲线类型，若是非直线方程，就要转化为回归直线方程求解， 在计算过程中要注意求回归系数的两个公式之间的相互转化. 常见的非线性回归模型： (1)指数函数型y=ca(a>0且a≠1，c>0) 两边取自然对数，lny=ln(ca),即lny=lnc+xlna, 令二原方变为y=hc+na,然后按线性国归模率求出na,© (2)对数函数型y=blnx+a y'=y x'=Inx ，原方程变为y=bx'+a,然后按线性回归模型求出b,a. (3)幂函数型y=ax” 两边取常用对数，lgy=lg(ax”),即lgy=nlgx+lga, (y'=lgy 令 x'=1gx 。,原方程变为y'=心+lga,然后按线性回归模型求出n,gQ 100