命题大赛 广东省罗定市高一数学下学期期末测试2025-2026学年（人教A版必修第二册第六到十章）

**基本信息** 广东罗定市2025-2026高一下学期数学期末测试，以原创题和新情景题为主，结合“夜经济”“科技创新大赛”“手机使用与成绩”等现实情境，考查复数、概率统计、立体几何等知识，体现数学应用与核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、随机抽样、古典概型、异面直线|第2题抽样结合随机数表，第4题空间直线位置关系，基础与空间观念结合| |多选题|3/18|不等式、三角形性质、棣莫佛定理、立体几何动态问题|第10题新定义棣莫佛定理，第11题正方体动态动点问题，考查推理与创新意识| |填空题|5/25|互斥事件概率、向量共线、单位圆中点的运动|第14题单位圆弦中点向量最值，体现几何直观与数学思维| |解答题|5/77|解三角形、概率统计（独立性检验）、立体几何（面面角、距离）、销售利润期望|第16题原创科技创新大赛概率，第19题新情景蔬菜销售利润决策，考查数学建模与数据分析|

《广东罗定市2025-2026高一下学期数学期末测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D C C A D ACD AD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】通过复数的除法运算求出复数,再根据复数的模的计算公式求出. 【详解】复数z满足， 得, . 故选：B 2．A 【分析】根据随机数表的读法，注意除去重复的，得到第5组符合要求的编码. 【详解】第一行第7列为3，依次往右读，37，14，05，11，09. 09为第5个样本编号， 故选：A 3．B 【分析】列举出所有样本点，然后由古典概型概率公式可得. 【详解】从分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为： ，共10个样本点， 其中数字之和是偶数的样本点有：，共4个. 所以数字之和是偶数的概率为. 故选：B 4．D 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 5．C 【详解】因为四点公面，且， 可得：， 目标是求的最小值，我们用“乘1法”构造均值不等式： ， 每一组应用基本不等式 所以 当且仅当 即，结合，解得时等号成立. 因此，的最小值为，选. 6．C 【详解】对于A，甲夜市平均数： 乙夜市平均数： 乙夜市平均数的 2 倍： 比较得：即甲夜市平均数小于乙夜市平均数的 2 倍，A错误. 对于B，极差 = 最大值 - 最小值；乙夜市最大值为 5.0，最小值为 2.5，因此极差：.B错误. 对于C，样本容量，计算分位数位置：根据分位数定义，若不是整数，则向上取整，取第 6 个数据.排序后第 6 个数据为 8.5，因此甲夜市的第分位数为 8.5，C正确. 对于D，方差反映数据的波动程度，波动越大，方差越大。甲夜市数据更分散，因此甲夜市的方差大于乙夜市的方差，D 错误。 7．A 【分析】根据实系数一元二次方程的虚根共轭成对，利用韦达定理，求出实数和的值，再由复数能与实数5比较大小，建立关于的不等式，求解即可. 【详解】已知是实系数方程的根， 根据实系数一元二次方程虚根共轭成对定理，另一个根为 两根和：，得； 两根积：，解得 只有实数才能比较大小，则必须是实数，且大于5. 展开乘积： 若满足大于5，需满足两个条件： 1. 虚部为0： 2. 实部大于5：把代入实部， 得：. 8．D 【分析】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示， 连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理：平面， 设等边的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O， 则平面，平面， 所以O为四棱锥外接球的球心，半径为， 在等边中由正弦定理得，解得：， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：D. 9．ACD 【分析】对于选项A，根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量夹角的范围即可求其最小值； 对于选项B，根据向量数量积的定义，可判断为锐角，进而判断的形状； 对于选项C，根据向量数量积的运算律对已知条件进行变形，即可推出点的性质； 对于选项D，根据向量投影向量的定义，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，，所以， 又，所以，所以， 当，即反向共线时等号成立，故A正确； 对于B选项，由， 又，所以，即为钝角，所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故B错误； 对于C选项，因为，即，所以，所以，即， 同理，由，得，即， 由，得，即， 所以为的垂心，故C正确； 对于D选项，因为，，与的夹角为， 所以在方向上的投影向量为，故D正确． 综上所述，选项ACD都正确. 10AD 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则以及复数模的计算公式，逐项进行运算求解. 【详解】对A，由题意知，正确； 对B，由题意知，错误； 对C，由题意知，令，则，当时，错误； 对D，，，所以，正确. 故选：AD 11．AC 【分析】A根据平面的基本性质画出截面，结合正方体的结构特征判断；B根据已知确定球心的位置并求得球体半径为3，再由几何关系判断的位置判断；C将面展开与面在同一平面上，利用平面上两点距离最短判断；D画出示意图，找到关于面对称的点在线段上，进而确定最小时对称点的位置，即可判断. 【详解】A：延长交于，连接并延长交于，连接交于， 连接，则平面截正方体的截面为，根据作图易知， 所以有，为线段中点，则为线段中点， 结合平面的基本性质及正方体的结构特征知且，则为平行四边形，对；    B：由外接球的球心必在正方体上下底面中心连线上，如下图示，    所以球体半径为，则，得， 则到下底面距离，又在线段上运动， 所以在下底面上方，则，显然不存在这样的点，错； C：将面展开与面在同一平面上，如下图，    当为与的交点时，最小 ，对； D：如下图，线段关于面的对称线段为，它们的交点为， 则在平面中， 且， 则关于面对称的点在线段上， 若对称点为，连接，则， 若与的夹角为，则，所以， 若，则，此时不在线段上，不符； 所以，即最小为，错.    故选：AC 12．/ 【分析】利用互斥事件的加法公式列方程求概率即可. 【详解】由互斥事件的概率加法有， 所以. 故答案为： 13． 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、三点共线的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以. 14． 【分析】由已知条件结合勾股定理得出的垂直关系，建立坐标系，求出相关点坐标， 进而表示向量数量积，结合正弦函数的性质求出最大值． 【详解】 已知点均位于单位圆上，则，， 由可得，， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立坐标系， 则，设点， 已知点为弦的中点，则， ，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为． 15．(1) (2) 【分析】（1）由射影定理和辅助角公式即可求解； （2）由，通过平方，结合余弦定理和面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理角化边可得：， 2分 又，所以， 故， 3分 又为三角形内角，，所以， 4分 即， 所以， 5分 因为，所以. 6分 （2）因为，两边平方， 得， 8分 故 9分 因为，即，所以. 11分 所以. 13分 16. (1) （2） 【详解】（1）设选手答对题数为，选手答对题数为 则且与相互独,可得: 2分 又因为总分之和为4，即，分两种互斥情况： ①；② 3分 4分 5分 6分 7分 所以选手 A、B 两人初赛总得分之和为 4 分的概率为 （2）设 8分 10分 12分 14分 所以恰有一人晋级的概率为 15分 17．(1) (2) (3)有的把握认为学生使用手机时间长短与学习成绩有关 【分析】（1）根据表格，利用频率直接计算即可； （2）根据表格，利用频率直接计算即可； （3）计算，与比较，得出结论即可. 【详解】（1）根据题意，完成表格如下： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 使用手机时间长 30 70 100 使用手机时间短 60 40 100 总计 90 110 200 …………………3分 由上表知，“使用手机时间短”且“成绩优秀”的人数为， 所以随机抽取一名学生，该生“使用手机时间短”且“成绩优秀”的概率. 5分 （2）因为使用手机时间长的学生共有人，其中成绩不优秀的有人， 7分 所以在“使用手机时间长”的学生中抽取一名学生， 该生“成绩不优秀”的概率. 10分 （3）因为， 13分 所以有的把握认为学生使用手机时间长短与学习成绩有关. 15分 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先建系得各点坐标，算出向量，由点积为证，，结合线面垂直判定定理得证； （2）由（1）知是平面法向量，再求平面法向量，用两法向量夹角公式算余弦值； （3）设，由垂直条件求得位置，再用点到平面距离公式算出结果． 【详解】（1）连接，设，连接， 以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 2分 所以，，， 3分 因为 ， ， 所以，，即，， 5分 又平面，，所以平面． 6分 （2）由（1）知为平面的一个法向量． 7分 ，， 8分 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得． 10分 设平面与平面的夹角为， 则． 12分 （3），设，． 因为，所以， 14分 解得，从而． 15分 所以点到平面的距离． 17分 19．(1)分布列见解析 (2)， (3)应选 【分析】（1）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可； （2）根据题意，结合已知数据和（1）中的分布列，求解即可； （3）根据题意，分别列出和的分布列，由数学期望的计算公式分别求出相应的期望值，比较即可得到答案． 【详解】（1）设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，则由题意得 ， ， 设两个市场总需求量为的概率为， 则由题意得所有可能的取值为 1分 且， 5分 所以的分布列如下表： 16 17 18 19 20 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 …………………………………6分 （2）由题意得，当时，， 7分 当时，． 8分 所以 9分 设“销售利润不少于8900元”，则 当时，， 10分 当时，，解得． 11分 由（1）中的分布列可知，． 12分 （3）由（1）知，． 当时，的分布列为： 0.06 0.94 所以； 14分 当时，的分布列为： 0.06 0.23 0.71 所以， 16分 因为，所以应选． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东罗定市2025-2026高一下学期数学期末测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共8题，每道题5分） 1．若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 2．某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行: 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （    ）. A．09 B．05 C．65 D．71 3．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 5．(原创)在四面体中，点是平面内一点，且（其中），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．(原创)为了分析某城市 “夜经济” 的发展活力，相关部门收集了 2025 年国庆假期（10 月 1 日 —7 日）该市甲、乙两个夜市的日均客流量数据（单位：千人），并绘制成折线图如下： 下列说法正确的是（ ） A. 甲夜市这 7 日数据的平均数大于乙夜市的 2 倍 B. 乙夜市这 7 日数据的极差为 2.6 C. 甲夜市这 7 日数据的第 75% 分位数为 8.5 D. 乙夜市这 7 日数据的方差比甲夜市的方差大 7．已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（   ） A．5π B．10π C．28π D．56π 二、多选题（共3题，每题6分） 9．下列说法正确的是（   ） A．已知，，则的最小值为6 B．在中，若，则为钝角三角形 C．在中，若点满足，则为的垂心 D．若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 10．(新定义)任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，点M 为线段上的动点，动点P在平面中，则下列说法中正确的是（    ） A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 B．当四面体的顶点在一个体积为的球面上时， C．当时，取得最小值 D．的最小值为 三、填空题（共5题，每题5分） 12．若事件、互斥，且，，则___________ 13．如图，在中，点O是上的一点，且，过点O的直线分别交直线于不同的两点．设，，则______． 14．已知点均位于单位圆上，弦长，点为弦的中点，当点在圆上运动时，则向量的最大值为__________． 四、解答题 15．（13分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求；(2)若边上的中线，，求的面积. 16.(原创)（15分）某科技创新大赛设置线上初赛，初赛共有 3 道独立的综合素质测试题，参赛选手需依次答题，规则如下：规则一：每道题答对得 1 分，答错得 0 分，3 道题全部作答完毕，总得分≥2 分则初赛晋级； 规则 二：选手 A 答对每道题的概率为,选手 B 答对每道题的概率为,两人答题相互独立，各题作答结果互不影响。 (1) 求选手 A、B 两人初赛总得分之和为 4 分的概率； (2) 若初赛规则修改为：一旦答对某道题立即晋级，停止答题；若 3 道题全答错则淘汰，求选手 A、B 两人恰好有 1 人晋级的概率. 17．(新情景)（15分）高中推行“双休”以来，学生周六周日在家使用手机的时间增加，为了研究学生“双休日”在家使用手机时间长短与学习成绩的关系，特从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查；将学生成绩分为“优秀”和“不优秀”两类，使用手机时间“长”（大于等于3小时／天）和“短”（小于3小时／天）两类，调查结果如下： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 使用手机时间长 70 使用手机时间短 60 100 总计 90 完成上表，并根据完成的表格解决下面问题： (1)现从这200名学生中随机选取一名学生，用频率估计概率，求该生“使用手机时间短”且“成绩优秀”的概率； (2)在“使用手机时间长”的学生中，求该生“成绩不优秀”的概率； (3)是否有99％的把握认为学生使用手机时间长短与学生成绩有关． （参考公式：） 附：当时，有99％的把握判断变量A，B有关联． 18．（17分）如图所示，正四棱锥中，，，分别为的中点，，平面与交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 19．(新情景)（17分）某蔬菜批发商分别在甲､乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲､乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲､乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 2025年国庆假期甲、乙夜市日均客流量 甲夜市（千人） 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 9.2 8.5 7.6 6.8 6 5.5 乙夜市（千人） 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 4 5 4.5 3.8 3.2 2.9 2.5 日期（10月） 客流量（千人） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $命题双向细目表 广东省罗定市高一下学期数学期末测试命题双向细目表 序号 题型 模块 知识点 核心素养 分值 难度系数 1 单选题 复数 复数的基本运算、复数的模 数学运算、逻辑推理 5 0.80 2 单选题 统计 随机数表法抽样 数据分析、数学运算 5 0.75 3 单选题 概率 古典概型概率计算 数学运算、数据分析 5 0.70 4 单选题 立体几何 异面直线的判定、空间线面位置关系 直观想象、逻辑推理 5 0.72 5 单选题 平面向量 空间向量线性运算、向量最值问题 数学运算、逻辑推理、数学建模 5 0.60 6 单选题 统计 平均数、极差、分位数、方差的计算与应用 数据分析、数学运算 5 0.60 7 单选题 复数、方程 复数与一元二次方程的结合、复数的实数条件、不等式求解 数学运算、逻辑推理 5 0.56 8 单选题 立体几何 四棱锥外接球表面积计算、面面垂直性质、正三角形与正方形性质 直观想象、数学运算、逻辑推理 5 0.45 9 多选题 平面向量、解三角形、不等式 基本不等式求最值、三角形形状判定、向量与三角形心的关系、投影向量 数学运算、逻辑推理、直观想象 6 0.60 10 多选题 复数 复数的三角形式、棣莫佛定理、复数的性质 数学运算、逻辑推理、数学抽象 6 0.56 11 多选题 立体几何 正方体截面、四面体外接球、空间距离最值、空间动点问题 直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模 6 0.45 12 填空题 概率 互斥事件的概率加法公式 数学运算、数据分析 5 0.75 13 填空题 平面向量 向量线性运算、三点共线向量性质 数学运算、逻辑推理 5 0.65 14 填空题 平面向量、圆 单位圆性质、弦中点、向量模的最值、向量数量积 直观想象、数学运算、逻辑推理 5 0.55 15 解答题 解三角形 正弦定理、余弦定理、三角形中线性质、三角形面积计算 数学运算、逻辑推理、直观想象 13 0.65 16 解答题 概率 独立事件概率、互斥事件概率、概率综合应用（晋级规则） 数学运算、数据分析、数学建模 15 0.60 17 解答题 统计独立性检验 列联表补全、古典概型、条件概率、独立性检验（卡方） 数据分析、数学运算、逻辑推理 15 0.55 18 解答题 立体几何 线面平行证明、面面夹角（二面角）、点到平面的距离、空间向量应用 直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模 17 0.45 19 解答题 概率统计综合 随机变量分布列、利润函数建模、概率计算、数学期望决策 数据分析、数学运算、数学建模、逻辑推理 17 0.45 平均 0.58 $