18.1.2 矩形的判定-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

18.1.2 第1课时 知识储备 1.有三个角是 的四边形是矩形. 2.对角线 的平行四边形是矩形， 十+十4十十u十m十m十+m十4+十n+十4十m十n+m+a十4+十4+十 01基础练 德必备知识梳理一 知识点一 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1.如图，下列条件中，不能判定平行四边形 ABCD是矩形的是 ( A.∠BAD=90° B.∠BAD=∠B C.AB2+BC2=AC2 D.∠B=∠D 第1题图 第2题图 2.【新中考·条件开放】如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC,AD∥BC,在不添加任何辅助线 的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩 形，只需添加的一个条件是 知识点二有三个角是直角的四边形是矩形 3.【定理辨析】在判断“一个四边形门框是否为 矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确 的是 () A.测量对角线是否相等 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量其中三个角是否都为直角 4.如图，在□ABCD中，AE⊥BC,CF⊥AD,垂 足分别为E,F.求证：四边形AECF是矩形. 77八年极数学·下册·HS 矩形的判定 矩形的判定 知识点三对角线相等的平行四边形是矩形 5.(2025·德阳)如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，需要增加的一个条件可以是() A.AB∥CD B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD 第5题图 第6题图 6.如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O,且OA=OD,则□ABCD是 理由是 7.【教材P125习题T4变式】如图，已知□AB CD,延长AB到E,使BE=AB,连结BD, ED,EC,若ED=AD. (1)求证：四边形BECD是平行四边形； (2)求证：四边形BECD是矩形， 易错点○ 对矩形的判定方法理解错误导致 出错 8.下列命题正确的是 A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 02综合练 膏关健能力提升一 9.【教材P125习题T5变式】平行四边形的四 个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那 么这个四边形一定是 () A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 10.【新中考·条件开放】如 图，在□ABCD中，AC、 BD相交于点O,点E、F 在BD上，BE=DF,顺次连结A、F、C、E,添 加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该 条件可以是 11.如图，在△ABC中， ∠C=90°，点D是AB 上的一个动点，且DE ⊥BC,DF⊥AC,AC=6,BC=8,则EF的 最小值为 12.如图1，已知线段AB,BC,∠ABC=90°.求 作：矩形ABCD.（要求：用直尺和圆规作图， 不写作法，保留作图痕迹)，以下是某同学的 作法：①如图2，过点A作AB的垂线AE; ②过点C作BC的垂线CF,交AE于点D, 图1 图2 (1)根据以上作法，能得到四边形ABCD是 矩形的依据是 (2)请用另一种方法，在图1中作出矩形 ABCD,并证明你的正确性. 03素养练 净学科黄养蜡有一 13.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折 起，恰好拼成个无缝隙、无重叠的四边形 EFGH. (1)求证：四边形EFGH是矩形 (2)若EH=3cm,EF=4cm,边AD的长是 助学助教优质高效78 第2课时直角三 知识储备+ 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 2.一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那 么这个三角形是一个 三角形. 01基础练 必备知识梳理一 知识点一 直角三角形斜边上的中线的性质定理 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中 线，若AB=10,则CD= B 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中 线，若CD=2,∠B=25°，则AB= ∠BCD= 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是 边BC上的中线，ED⊥BC于点D,交BA的 延长线于点E.若∠E=35°，求∠BDA的度 数 知识点二直角三角形斜边上中线的性质定理 的逆定理 4.如图，点D是△ABC中AB边的中4 点，CD=2,AB=4,∠A=30°，则CD AB,∠ACB= ∠B= 79八年极教学·下册·HS 角形斜边上的中线 02综合练 膏关键能力捉升一 5.(2025·兰州改编)如图，四 边形ABCD是矩形，对角线 AC,BD相交于点O,点E,F 分别是边AB,BC的中点，连 结EF交对角线BD于点P.若P为EF的中 点，BP=1,则AC的长为 () A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，BN,CM分别是△ABC的两条高，点 D,E分别是BC,MN的中点. (1)求证：DE⊥MN; (2)若BC=26,MN=10,求DE的长. M在线段CM上，即2≤t≤5，AE=FM时，则有t=2t-4.解得t=4.综上所述， 当1=专s或4s时，以点A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形。 第17章大单元整合与素养提升 典例导航 【例】1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AB=CD. ∴∠DAE=∠AEB.AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∴.∠BAE= ∠AEB.∴.BE=AB..BE=CD;(2)证明：由(1)知BE=AB,,BF平分 ∠ABE,∴AF=EF又∠DAE=∠AEB,∠AFD=∠EFC,∴.△ADF≌ △ECF(ASA)..DF=CF.又AF=EF,∴.四边形ACED是平行四边形： (3)解：由(1)知BE=AB,又∠BEA=60°，.∴.△ABE是等边三角形..AB= AE=4.:BF⊥AE,∴AF=EF=号AE=2.在R△ABF中，由勾股定理， 得BF=√AB2-AF=V√42-22=√I2.,∠DAE=∠AEB,AF=EF ∠AFD=∠CFE,∴.△ADF2△ECF..S△DF=S△F·.平行四边形 ABCD的面积=△ABE的面积=号×AEX BF=-号X4XVI2=2VI2. 考点过关 1.B2.B3.C4.105.16.2或3或4或5或67.D8.C9.AB CD(答案不唯一)10.C11.812.(2,-3)或(6,3)或(-2,3)13.-3 14.解：(1)PD+PE+PF=AB.理由如下：过点P作MN∥BC,交AB于 M,交AC于N.PE∥AC,PF∥AB,∴.四边形PEAF是平行四边形. PF=AE..AB=AC,∴.∠B=∠C..MN∥BC,.∠ANM=∠C= ∠AMN=∠B.又PE∥AC,.∠EPM=∠ANM=∠C=∠PME.∴.PE= EM.又PM∥BC,PD∥AB,∴.四边形BDPM是平行四边形.∴，PD=BM .PD+PE+PF=BM+EM+AE=AB.(2)PE+PF-PD=AB. 第18章矩形、菱形与正方形 18.1矩形 18.1.1矩形的性质 知识储备 1.直角中心轴中点2.直角3.相等 基础练 1.矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形2.两中点3.C4.10 5.证明：，四边形ABCD是矩形，.AB=DC,∠B=∠C=90°.，BE=CF, .BE+EF=CF+EF,即BF=CE..△ABF≌△DCE(SAS).∴.AF=DE. 6.D7.48.C9.证明：，四边形ABCD是矩形，.BD=AC,DC∥ AB..CE∥BD,.四边形DBEC是平行四边形..BD=EC.∴.AC=EC 10.C11.C12.513.75°14.证明：.矩形ABCD,.AC=BD,BO D0BD.A0=0C-2AC.0B=0C,OA=OD.:点E,F分别是A0: DO中点，∴.OE=OF.又∠AOB=∠COD,∴.△BOE≌△COF.∴.BE=CF. 15.解：1)在矩形ABCD中，0A=OC=2AC.OB=OD=2BD.A0- BO=DO=CO.AC=BD,:∠AOB=60°，∴.△AOB是等边三角形.∴.OA= AB=1.∴.AC=2.∴.BC=√AC-AB=√22-1=√3.∴.矩形ABCD的 v D 面积=AB·BC=1×3=3;(2)如图，连结OP, :三角形AOD的面积=}×矩形ABCD的面积= 0A.PE+ODF-P 18.1.2矩形的判定 第1课时矩形的判定 知识储备 1.直角2.相等 基础练 1.D2.∠A=90°（答案不唯一）3.D4.证明：，AE⊥BC,CF⊥DA, ∴.∠AEB=∠AEC=∠AFC=90°.：□ABCD,∴.AD∥BC..∠AEB= ∠EAF=90°=∠AFC.∴.四边形AECF是矩形.5.D6.矩形对角线相 等的平行四边形是矩形7.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，AB ∥CD,AB=CD,AD=BC.,BE=AB,∴.BE=CD.∴.四边形BECD是平 行四边形；(2)：AD=BC,AD=DE,∴.BC=DE.四边形BECD是平行四 边形，.平行四边形BECD是矩形.8.A9.A10.∠EAF=90°（答案不 唯一)11.4.812.解：(1)有三个角是直角的四边形为矩形(2)如图1、 2,矩形ABCD即为所求 图 图2 证明：如图1所示，由作图方法可知AD=BC,AB=CD,.四边形ABCD是 平行四边形，又∠B=90°，.四边形ABCD是矩形；如图2所示，由作图方法 可知AC,BD互相平分，.四边形ABCD是平行四边形.又∠ABC=90°，， 平行四边形ABCD是矩形.13.解：(1)证明：由折叠的性质，得∠HEJ ∠AEH,∠BEF=∠FE,∴∠HEF-∠HEJ+∠FEI=2X180°-90. 同理可得∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴.四边形EFGH是矩形.(2)5 第2课时直角三角形斜边上的中线 知识储备 1.一半2.直角 基础练 1.52.425°3.解：ED⊥BC,∴.∠EDB=90°.∴.∠B=90°-∠E 55°.∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，∴.DA=DB.∴∠DAB=∠B= 55.∠BDA=180°-∠B-∠DAB=70.4.2 90 60°5.D6.(1)证明：如图，连结DM,DN.BN、CM分 别是△ABC的两条高，∴.BN⊥AC,CM⊥AB.∴.∠BMC ∠CNB=9O.:D是BC的中点，.DM=2BC,DN=2 BC..DM=DN.E为MN的中点，∴.DE⊥MN;(2)解：BC=26, DM=2BC=13.:点E是MN的中点，MN=10,ME=5.由勾股定理， 得DE=√DM-ME=12. 18.2菱形 18.2.1菱形的性质 知识储备 1.相等中心2.相等3.垂直 基础练 1.轴两对角线2.(0，-1)3.A4.85.64°6.证明：四边形 ABCD是菱形，AB=BC.,AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE BF.又AB=CB,∠B=∠B,.△ABF≌△CBE(SAS)..AF=CE.7.15 8529.解：“四边形ABCD是菱形.CD=5,BD=8,D0=)BD=4, AC⊥BD,BC=CD=5.在Rt△CDO中，OC=√DC-DO=3,.AC= )C=6.菱形ABCD的面积为ACX BD=BCXAE,∴AE?X8X 5 24 .10.C11.112.513.解：(1)AP=AQ (2)同意.理由：如图，连 结AC,四边形ABCD是菱形，且∠B=60°，∴.AB= AD=BC=CD,∠B=∠D=60°.∴.△ABC和△ADC都 是等边三角形..∴.AB=AC,∠B=∠ACQ=60°，∠BAC =60°，∠ABP=∠ACQ=60°..∠BAP+∠PAC=60 .∠PAQ=60°，∴.∠PAC+∠CAQ=60. ∴.∠BAP=∠CAQ.又AB=AC,∠ABP=∠ACQ,.△BAP≌△CAQ (ASA)..∴.AP=AQ. 微专题四对角线互相垂直的四边形的面积 【例】解：1)24(2)：Sa8D=Sac+Sac=2AC·OD+7AC·B0