16 数学活动(2) 探索函数增减性的证明&大单元整合与素养提升-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

第2课时一次函数、反比例函数的应用 知识储备 函数关系 基础练 1.B2.B3.1)20(2)y=g+20(3)654.A5.16000 6.解：(1)y=120 x>2(2)由(1)知y=120,当y=24时x=5,对于函数 x y=120,当>0时，x越大，y越小，当x取最大值5时，y有最小值24. .x应控制的范围为2<x≤5.7.C8.解：(1)42(2)设选用A种食 品m包，则选用B种食品(7一m)包.根据题意，得10m十15(7一m)≥90.解 得m≤3.设每份午餐的总热量为心kJ,则=700m十900(7一m),即= 200m十6300.，一200<0，∴.0随m的增大而减小.∴.当m=3时，取得最 小值，此时7一=7一3=4.答：应选用A种食品3包，B种食品4包. 9.解：1)y=200(2)设线段AB的表达式为y=x十b(≠0)，：线段AB 过点0,10.5,20).代人得怡分20.解得信二10.AB的表达式为：y =2x十10(0≤x≤5).大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条 件下最适合生长，当y=12时，代入y=2x+10(0≤x≤5)，得12=2x+10. 解得=1.当y=12时.代人=20(10<<2)，得12-200解得- 经检验：x-9是原方程的解，且行合题意，“0-1=号.答：这种蔬来一 3 天内最适合生长的时间为号h.(3)10 回归教材专题（二）一次函数的实际应用一一分段函数问题 1.解：(1)当0≤t0.2时，s=15t,当t>0.2时，s=20t一1；(2)由(1)可知0 ≤t≤0.2时，乙骑行的速度为15km/h,而甲的速度为18km/h,则甲在乙前 面，当t>0.2时，乙骑行的速度为20km/h,甲的速度为18km/h,设x小时 后，乙骑行在甲的前面，则18x<20x一1，解得x>0.5.答：0.5小时后乙骑行 在甲的前面.2.解：(1)108(2)当x>300时，设y与x的关系式为y=kx +b(k,b为常数，且k≠0).将坐标(300,30)和(400,10)代入y=kx十b,得 30二30十0解得二0.2-y=0.2x+90,当y=0时，得=0.2红+ b=90. 90=0.解得x=450..∴.300<x≤450：当y=60×10%=6时，得-0.2x+90 =6.解得x=420.∴.450一420=30(km)..∴.y与x的关系式为y=一0.2x+ 90(300<x≤450)，当电池剩余电量为10%时，理论上还能继续行驶30km. 重点突破专题（二）选择方案 1.解：(1)6080(2)设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10一a)辆，该 线路的年均载客总量为w万人.由题意，得60a十80(10一a)≤≤650.解得a≥ 7.5..a≤10，∴.7.5≤a≤10.a是整数，.a=8,9,10;.线路的年均载客 总量为w与a的关系式为=70a+100(10一a)=-30a+1000.·一30 0,.心随a的增大而减小.∴.当a=8时，线路的年均载客总量最大，最大载 客量为=-30×8十1000=760（万人次）.∴.10一8=2（辆）.答：购买方案 为购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆，此时线路的年均载客总量最大 时，且为760万人次.2.解：(1)120(2)y4=96x+480yB=98x+330 (3)由图象可知，点M是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标 分别相等，则96x+480=98x+330.解得x=75.此时y=96×75+480=7 680.∴.点M的坐标为(75,7680).∴点M表示的实际意义为当购买75个排 球时，两家商店所付的钱数相同，均为7680元；(4)观察图象可知：当0≤x 15或x=75时，在A、B两家商店所付的钱数相同；当15x75时，选择 B商店更合算；当x>75时，选择A商店更合算 数学活动（二）探索函数增减性的证明 【尝试说理】证明：当k>0,在反比例函数图象上任意取两点A、B,设A(x1, 业），B(x2y),且(0<x<x或x<x2<0),则y= ,·y2=.·y1y2 =k-飞=k(xg-）.0<<2或x1<x2<0,.x2->0,x1x2>0, X1x2 且>0(>0.即>，亦即>，即当>0x>0或x<0 xix2 T1 x> 时，y随x的增大而减小.当k<0,在函数图象上任意取两点A、B,设A(x1, ),B(x%),且(0<<x或<x<0),则y=k. F·业，y 飞-k=b(-):0<x1<x2或0<x<x2x>0,x2>0,且 <0》<0.即卖<冬，亦即<，即当0：>0政<0 时，y随x的增大而增大.【拓广探究】解：当x>2时，y随x的增大而减 小；当x<2时y随x的增大而减小. 第16章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】C【例2】解：(1)，点C(m,2)在直线l1:y=2x-2上，.2=2m-2. 解得m-2点C2,2》B队3，在直线公上名众 解得二41，m的值是2，k的值是1，b的值是4：(2)>(3)存在点 M,使△ADM的面积是△ADC面积的2倍，理由如下：设点M的坐标为 (x,y).根据题意，得点C(2,2),A(4,0),D(1,0),∴AD=4-1=3.∴.S△A0 =号×3X2=3.:△ADM的面积是△ADC面积的2倍∴Sw=6.∴号 ×3×|y=6.解得y=士4.当一x十4=4时，解得x=0,此时点M坐标为 (0,4);当一x十4=一4时，解得x=8,此时点M坐标为(8，一4)，综上，点M 的坐标为(0,4)或(8，-4).(4)2<x<3【例3】解：(1)反比例函数y= 的图象与一次函数y2=ax十b的图象交于点A(1,4),B(m,一2).∴.k=1×4 =一2m.解得=4，m=一2.“反比例函数表达式为y=手由条件可知 么么-2解得低一次两数表达式为为=2十2，(2)-2< a十b=4, <0或x>1(3)连结OA、OB,一次函数交y轴于点C,则C(0,2),即OC= 2.∴Saom=S8m+S6w=2X2X2+2×2X1=3. 考点过关 1.(2,4)2.四3.x≤14.-35.C6.A7.D8.(3,0)9.D10.y 维)1,612.B13.y=-x+214 0或≥216.(-1,3)17.0.818.y=128(x>0)19.解：1)设篮球的 单价为x元，足球的单价为y元.答案不唯一，如选择条件①②：根据题意， 得：十y十30=140解得：二60，答：篮球的单价为60元，足球的单价为 2y-x=40. 1y=50. 50元；(2)设该学校购买篮球m个，则购买足球(10一m)个.根据题意，得10 -m<2m解得m≥号又m≤109<m<10.设学校要购买篮球、足球的 总费用为元，根据题意，得=60m+50(10-m)=10m十500.，10>0， 0随m的增大而增大.：9≤m<10,且m为正整数，当m=4时，心最 小，最小值为540.答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元.20.B 第17章平行四边形 17.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边、角的性质 基础练 1.62.(1)40°140°(2)60°120°(3)72°3.(1)24 (2)44.B5.2或126.D7.C8.(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD=BC.:BD=BD.∴ △ABD≌△CDB.(2)解：如图，直线EF即为所求.(3)50数学活动（二）探索函数增减性的证明 【问题探究】在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现： 当>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.它们分别对应的函数的图 象：从左向右上升或者从左向右下降，我们可以证明这一性质的正确性. 设一次函数y=kx十b(k≠0)，当自变量x分别取x1、x2(x1<x2)时， 对应的函数值分别为y1=kx1十b,y2=kx2十b. y1-y2=(kx1+b)-(kx2+b)=kx1-kx2=k(x1-x2). 由假设x1<x2可知x1一x2<0,所以： (1)当k>0时，k(x1一x2)<0,即y1一y2<0,亦即y1<y2,也就是说y随x的增大而增大. (2)当k<0时，k(x1一x2)>0,即y1一y2>0,亦即y1>y2,也就是说y随x的增大而减小. 【尝试说理】试用类似的方法证明反比例函数y=(k≠0)的增减性. 【拓广探究】试说明函数y一2的增减性。 53八年级数学·下册·HS 第16章大单元整合与素养提升 01典例导航 【例1】【新中考·跨化学学科】硫酸钠(Na2SO,) 是一种主要的日用化工原料，主要用于制造洗 涤剂和牛皮纸制浆工艺.硫酸钠的溶解度y(g) 与温度t(℃)之间的对应关系如图所示，则下列 说法正确的是 () y/g 48.8 43.7 19.5 020406080t/℃ A.当温度为60℃时，硫酸钠的溶解度为50g B.硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 【例3】已知反比例函数力=的图象与一次函 C.当温度为40℃时，硫酸钠的溶解度最大 D.要使硫酸钠的溶解度大于43.7g,温度只能 数y2=ax十b的图象交于点A(1,4),B(m,一2). 控制在40℃~80℃ (1)求这两个函数的表达式； 【例2】如图，一次函数l:y=2x一2的 (2)关于x的不等式经<ax十6的解集是 图象与x轴交于点D,一次函数2：y =kx十b的图象与x轴交于点A,且 (3)连结OA,OB,求△AOB的面积. 经过点B(3,1),两函数图象交于点C(m,2) (1)求m,k,b的值； (2)若点P(x1y1),Q(x2,y2)都 是一次函数y=kx十b的图 象上的点，且x1<x2,则y y2; (3)在直线L2上是否存在点M,使△ADM的面 积是△ADC面积的2倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由； (4)根据图象，不等式1<kx十b<2x一2的解集 是 助学助教优质高效54 02考点过关 能为 考点一平面直角坐标系 1.如图，已知点A(一1,3)，B(1, 1),则点C的坐标为 2.(2025·广安)在平面直角坐 8.将直线y=2x一4向下平移2个单位长度后 与x轴的交点坐标是 标系中，已知点A的坐标为(a,b),且a,b满 足(a-2)2+b十3|=0，则点A在第 考点五反比例函数的图象与性质 象限. 9.(2025·室庆)反比例函数y=-号的图象 考点二函数的有关概念 定经过的点是 () 3.(2025·广元)函数y=√/1-x中自变量x的 A.(2,6) B.(-4,-3) 取值范围是 C.(-3,-4) D.(6,-2) 4.若函数y=(m一3)xm-2十2是一次函数，则 10.(2025·上海)已知一个反比例函数，在每个象 m的值为 限内，函数值y随x的增大而减小，那么这个 考点三函数图象的应用 反比例函数的表达式可以是 5.(2025·青海)如图，甲、乙两车从A地出发 11.如图，A、B两点在双曲线 前往B地，在整个行程中，汽车离开A地的 路程y(单位：km)与时刻t(单位：h)之间的对 y=4上，分别经过A、B两 x 应关系如图所示.下列结论不正确的是() 点向坐标轴作垂线段，已知 ol y/km 阴影部分的面积为1，则S, 300---- +S2= 考点六待定系数法求函数的表达式 6:007:008:3010:0011:00/h 12.(2025·云南)若点(1,2)在反比例函数y= A.乙车先到达B地 B.A,B两地相距300km 飞(k为常数，且≠0)的图象上，则飞=（） C.甲车的平均速度为100km/h A.1 B.2 C.3 D.4 D.在8：30时，乙车追上甲车 13.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过 考点四一次函数的图象与性质 点（一1,3），且与y轴交点的纵坐标为2，则 6.对于一次函数y=2x一1，下列结论正确的是 它的表达式为 () 考点七函数与方程（组）、不等式 A.它的图象与y轴交于点(0，一1) 14.如图，一次函数y=一x十m B.y随x的增大而减小 的图象与x轴交于点(1， (1,0) C.当x>时0 0),则不等式一x+m<0的 解集为 () D.它的图象经过第一、二、三象限 A.x>1 B.x<1 7.若一次函数y=mx十k的图象经过第一、二、 C.x>-1 D.x<-1 四象限，则一次函数y=一kx十m的图象可 55八年级数学·下册·HS 15.如图，在平面直角坐标系 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条 中，直线y1=ax+b(a≠0) 件，求出篮球和足球的单价； 与双曲线为=产(k≠0)交 (2)若该学校要购买篮球、足球共10个，且 足球的个数不超过篮球个数的2倍，请 于点A(-1,m),B(2,一1)，则满足y1≤y2 问购买多少个篮球时花费最少，最少费 的x的取值范围 用是多少？ 2x+y=b, 16.若方程组 则直 x一y=a. 的解是=一1， y=3. 线y=一2x十b与直线y=x一a的交点坐标 是 考点八一次函数与反比例函数的应用 17.(2025·福建)弹簧秤是根据胡克定律 并利用物体的重力来测量物体质量的 胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F 的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度xS 成正比，即F=kx,其中k为常数，是弹簧的 劲度系数；质量为m的物体重力为mg,其中 g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物 体时弹簧的长度为6cm.在其弹性限度内： 当所挂物体的质量为0.5kg时，弹簧长度 为6.5cm,那么，当弹簧长度为6.8cm时， 所挂物体的质量为 kg. 18.生活中做拉面的过程 y(cm) 03素养提升 就渗透着数学知识，一 P(0.04.3200) 20.(2025·南阳月考)王林同学利用图1所示 定体积的面团做成拉3200 0 0.04x(cm) 的电路进行实验，电源电压恒为5V,更换5 面，面条的总长度y(单 个定值电阻R,得到图2所示的图象.下列 位：cm)是面条粗细（横截面面积）x(单位： 有关叙述正确的是 () cm)的反比例函数，其图象如图所示，则y与 /A x之间的函数关系式为 0.5- 0.4h (写出自变量的取值范围) 0.3 19.(2025·深圳)某学校采购体育用品，需要购 0.2-- 买三种球类.已知某体育用品商店排球的单 0.1f-- A 0 510152025R/0 价为30元/个，篮球、足球的价格如下表： 图1 图2 ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 A.电流与电压成反比例关系 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费 B.滑动变阻器的最大阻值至少为252 40元 C.实验中电压表的示数保持0.5V不变 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 D.将R.从52换成102后，应将滑片P 向左移 助学助教优质高数56