8.3.1 用相同的正多边形 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

**基本信息** 本同步练习按A基础达标、B能力提升、C综合与实践分层，梯度从正多边形内角外角计算到密铺探究，系统巩固知识并培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|正多边形内角、外角、内角和、对角线计算|选择填空聚焦概念应用，解答题结合简单图形拼接，如正五边形与正六边形交点角度计算| |B能力提升|正多边形与直线位置关系、动态几何、图形变换|单选题融入生活情境（购物车正五边形），填空题涉及旋转分割（正六边形旋转变换），提升空间观念| |C综合与实践|规律探究、平面密铺原理|通过正n边形对角线夹角规律、正多边形密铺条件分析，培养模型意识与创新意识，体现数学应用价值|

8.3.1 用相同的正多边形 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．正八边形的每个内角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正八边形的边数，多边形内角和公式为， ∴正八边形的内角和为， ∵正八边形每个内角相等， ∴每个内角的度数为． 2．若某正多边形的每一个内角都是150°，则该正多边形的内角和为（    ） A．1080° B．1440° C．1800° D．1980° 【答案】C 【分析】先利用内角与外角互补求出正多边形的每个外角，再根据多边形外角和为求出边数，最后用多边形内角和公式计算内角和即可得到结果. 【详解】∵ 正多边形的每一个内角是 ∴ 正多边形的每一个外角为 ∵ 任意多边形的外角和为 ∴ 该正多边形的边数 代入多边形内角和公式 得内角和为 . 3．一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的2倍大45°，那么它的边数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先设出外角度数，根据内角与外角的数量关系列方程求出外角度数，再用外角和除以单个外角得到边数. 【详解】解：设这个正多边形的一个外角为，则相邻内角为， ∵ 正多边形的内角与相邻外角和为， ∴， 解得； ∵任意多边形的外角和为， ∴边数为 ； 因此该正多边形的边数为. 4．在正六边形中，下列说法正确的是（   ） A．它的内角和是 B．它的一个外角为 C．它具有稳定性 D．它共有9条对角线 【答案】D 【分析】依次利用多边形内角和公式、外角和定理、稳定性、对角线公式计算判断各选项即可． 【详解】解：∵多边形内角和公式为，正六边形边数， ∴内角和为，A不符合题意； ∵任意多边形外角和为，正六边形各外角相等， ∴每个外角为，B不符合题意； ∵只有三角形具有稳定性，六边形不具有稳定性， ∴C不符合题意； ∵边形对角线条数公式为，代入， ∴对角线条数为 ，D符合题意． 5．一个多边形每个外角都是，这个多边形的内角和为（    ） A．180° B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用多边形外角和为求出多边形的边数，再根据边形内角和公式计算内角和，即可选出正确选项． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，这个多边形每个外角都是， ∴这个多边形的边数， 又∵边形的内角和为， ∴这个多边形的内角和为．. 6．中国古典园林中的窗型设计，以其形制的丰富性和多样性著称于世．颐和园五角加膛窗，便是其中的佼佼者，其轮廓呈现出一个完美的正五边形，它一个内角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正五边形内角和，多边形内角和公式为．根据正五边形的五个内角相等求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 二、填空题 7．如图，在正五边形中，平分交于点F，则的度数为________． 【答案】54 【详解】解：在正五边形中， ∵平分 ∴． 8．如图，已知两个边长相同的正八边形和正六边形的一边重合，且正六边形在正八边形的内部，则图中的度数为______． 【答案】/15度 【分析】先根据多边形的内角和公式和正多边形的性质求出，，然后根据求出答案即可． 【详解】解：如图所示： ∵正八边形的每个内角为：， 正六边形的每个内角为：， ∴，， ∴， ∴图中的度数为． 三、解答题 9．如图，点，，在直线上，分别以，为边向直线同侧作正五边形 和正六边形，和相交于点．求． 【答案】． 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角．利用正多边形内角和定理求得和的度数，利用正多边形外角和定理结合平角的定义求得的度数，利用四边形内角和定理即可求解． 【详解】解：在正五边形中， 每个内角的度数为， ∴， 同理可得正六边形每个内角的度数为， ∴，， ∴， ∴． 10．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正多边形的内角． （1）根据正五边形的内角和公式即可求解； （2）由（1）知正五边形内角为，利用周角为即可求解； （3）根据题意得围成的多边形为正多边形，由（2）知该正多边形内角为，根据内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：正五边形内角和为， 故； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意得：， 解得：． 【B能力提升】 1．某超市举办“618促销”活动，小明同学和爸爸去超市采购物品，当把选好的物品放入购物车中时，小明发现购物车和物品放在一起的形状很接近于正五边形，如图所示，若把购物车和物品的形状抽象成几何示意图，则是正五边形，且F，E，A三点在一条直线上，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形内角和，平行线性质，先根据正多边形内角和求出的度数，再根据两直线平行同位角相等即可求出结果． 【详解】解：是正五边形， ， ， ， 故选：B． 2．如题图，已知，正五边形ABCDE的顶点B在直线a上，A，C，D，E四点在平面上移动变化，关于图中的，，，，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及正五边形内角的度数，计算各角度之和即可．本题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和，构造平行线进行角度转化是本题解题的关键 【详解】解：各交点如图： ∵五边形为正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不一定等于，故①错误； ∵， ∴，故②正确； 过作，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的个数为个． 故选：． 3．如图，这个正六边形是由绕点O经过多次旋转变换得到，则______． 【答案】30° 【分析】先求出正六边形的每个内角，然后再减去90°即可． 【详解】解：该正六边形的每个内角为 ∴120°-90°=30°． 故填30°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，根据题意求出正六边形的每个内角是解答本题的关键． 4．如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则______°．    【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得，即可得． 【详解】解：如图，    由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得： ， 得． 故答案为：． 5．中，，分别以和为边作正方形和正六边形． (1)如图，当和重叠时，求n的值． (2)调整的大小，使和的夹角，直接写出调整后n的值． 【答案】(1)150 (2)145或155 【分析】本题考查了正多边形的内角和及周角的度数，解题的关键是能求出正方形和正六边形的内角的度数． （1）先求出和的度数，然后根据求解； （2）分两种情况画出图形求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形和正六边形， ∴，， ∴ ， ∴； （2）解：如图， ∵ ， ∴； 如图， ∵ ， ∴； 综上可知，n的值为145或155． 【C综合与实践】 1．如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的知识； （1）根据正多边形的性质逐个求解即可； （2）根据（1）中的结果总结规律即可； （3）根据（2）中的结论列方程求解即可． 【详解】（1）由正方形， 可得：， ； 由正五边形，可得：，， ， ； 由正六边形，可得：，， ， ； 故答案为：，，； （2）根据（1）中的结果发现等于正边形一个内角的度数， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 解得． 2．阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题②你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③观察图2，可以发现任意 和任意 都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，则∠A的度数为 ． 问题⑤继续研究发现，多个的多边形也可以进行镶嵌 现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） 问题⑥已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． （1）试分别确定A，B是什么正多边形； （2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形． 【答案】任务一：360；问题②：正五边形不可以进行密铺，理由见解析；任务二：问题③：三角形；四边形；问题④：；问题⑤：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥；①②④，②④⑦，①②⑦；问题⑥：（1）A为正四边形，B为正三边形；（2）见解析 【分析】本题考查了多边形内角和、平面镶嵌，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：问题①：根据题意即可得出答案；问题②：求出正五边形的内角度数，结合①的结论即可得出答案； 任务二：问题③观察图形直接作答即可；问题④根据平面镶嵌的特点，进行计算即可； 问题⑤：根据各种正多边形的内角，结合平面镶嵌的特点作答即可；问题⑥：（1）设B的内角为x，则A的内角为x，根据题意，列出方程进行求解即可；（2）根据要求画出图形即可． 【详解】解：任务一：问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺； 故答案为：360； 问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下： ∵正五边形的每一个内角度数为，， ∴正五边形不可以进行密铺； 任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺； 故答案为：三角形；四边形； 问题④：由图形并结合题意可得：∠A的度数为． 故答案为：． 问题⑤：由正边形的一个内角的计算公式:可知：①正三角形的一个内角为，②正方形的一个内角为，③正五边形的一个内角为，④正六边形的一个内角为，⑤正八边形的一个内角为，⑥正十边形的一个内角为，⑦正十二边形的一个内角为， ∵，，，，； ，，， 故答案为：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦，①②⑦； 问题⑥：（1）设B的内角为x，则A的内角为x， ∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺）， ∴， 解得：， 则 ， ∴可确定A为正四边形，B为正三边形； （2）答案不唯一，所画图形如下： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.1 用相同的正多边形 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．正八边形的每个内角等于（    ） A． B． C． D． 2．若某正多边形的每一个内角都是150°，则该正多边形的内角和为（    ） A．1080° B．1440° C．1800° D．1980° 3．一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的2倍大45°，那么它的边数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．在正六边形中，下列说法正确的是（   ） A．它的内角和是 B．它的一个外角为 C．它具有稳定性 D．它共有9条对角线 5．一个多边形每个外角都是，这个多边形的内角和为（    ） A．180° B． C． D． 6．中国古典园林中的窗型设计，以其形制的丰富性和多样性著称于世．颐和园五角加膛窗，便是其中的佼佼者，其轮廓呈现出一个完美的正五边形，它一个内角度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在正五边形中，平分交于点F，则的度数为________． 8．如图，已知两个边长相同的正八边形和正六边形的一边重合，且正六边形在正八边形的内部，则图中的度数为______． 三、解答题 9．如图，点，，在直线上，分别以，为边向直线同侧作正五边形 和正六边形，和相交于点．求． 10．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求n的值． 【B能力提升】 1．某超市举办“618促销”活动，小明同学和爸爸去超市采购物品，当把选好的物品放入购物车中时，小明发现购物车和物品放在一起的形状很接近于正五边形，如图所示，若把购物车和物品的形状抽象成几何示意图，则是正五边形，且F，E，A三点在一条直线上，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如题图，已知，正五边形ABCDE的顶点B在直线a上，A，C，D，E四点在平面上移动变化，关于图中的，，，，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 3．如图，这个正六边形是由绕点O经过多次旋转变换得到，则______． 4．如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则______°．    三、解答题 5．中，，分别以和为边作正方形和正六边形． (1)如图，当和重叠时，求n的值． (2)调整的大小，使和的夹角，直接写出调整后n的值． 【C综合与实践】 1．如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 2．阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题②你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③观察图2，可以发现任意 和任意 都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，则∠A的度数为 ． 问题⑤继续研究发现，多个的多边形也可以进行镶嵌 现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） 问题⑥已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． （1）试分别确定A，B是什么正多边形； （2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $