8.3.2 用多种正多边形 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

**基本信息** 同步练习按A基础达标、B能力提升、C综合与实践分层，梯度清晰，从单一正多边形密铺到综合实践应用，巩固知识并发展数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|单一正多边形密铺条件、内角计算|选择填空夯实概念，解答题探究基本规律，培养几何直观| |B能力提升|两种正多边形组合密铺、方程应用|通过半正密铺记号等题型，提升推理能力与符号意识| |C综合与实践|校园铺装设计等项目式探究|结合实际情境设计方案，发展创新意识与应用能力|

8.3.2 用多种正多边形 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（   ） A． B． C． D． 2．如图是用正方形和六边形两种材料铺成的地面的一部分，那么这种六边形材料最大的内角度数是（   ） A．90° B．120° C．135° D．150° 3．将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 4．下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（   ） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正十边形 C．正六边形和正三角形 D．正十二边形和正三角形 5．数学探究课上，某小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 6．下列每组图形，不能镶嵌整个平面的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案（每个正五边形均与三角形有一组公共边），则的度数为___________． 8．小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 三、解答题 9．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． (1)【探究发现】填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 ________ ________ ________ … ________ (2)若只用一种正多边形镶嵌，则能镶嵌成一个平面图案的正多边形有________．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． (3)【拓展应用】如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，则的值为________． 10．我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 【B能力提升】 1．用边长相等的正三角形地砖和正方形地砖铺地面，围绕在一个顶点处正三角形地砖和正方形地砖的块数是（    ） A．2块正三角形地砖和2块正方形地砖 B．2块正三角形地砖和3块正方形地砖 C．3块正三角形地砖和2块正方形地砖 D．3块正三角形地砖和3块正方形地砖 2．用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号，，表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ） A． B． C． D． 3．工人师傅用边长均是的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长为的正多边形地砖无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的周长是________． 4．用边数为的三种边长相等的正多边形地砖铺地，将其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，则______． 三、解答题 5．根据正多边形和的对话，解决下列问题． (1)求和的边数； (2)用正多边形和（两种都用）能否铺满地面？说明理由． 【C综合与实践】 1．综合与实践 【项目主题】基于正多边形镶嵌原理的校园地面铺装设计． 【项目准备】（1）正边形内角度数；（2）平面镶嵌的核心条件，拼接在同一点的几个角的和恰好等于． 【项目情况】学校计划对校园广场地面进行翻新，需要用正多边形地砖进行无缝不重叠的平面镶嵌．（密铺） 【项目任务】 初步探究： (1)单一正多边形镶嵌． ①等边三角形每个内角为 ，该内角正整数，因此等边三角形可以单独镶嵌． ②正五边形每个内角为 ，该内角正整数，因此正五边形不能单独镶嵌． 实战应用： (2)两种正多边形的组合镶嵌．学校计划用等边三角形和正六边形的两种地砖进行组合镶嵌，解决： 实验步骤：第一步：明确两种正多边形内角，等边三角形内角上面已知，正六边形内角为 ；第二步：建立镶嵌方程．设在一个拼接点处，有个等边三角形，个正六边形（、为正整数），则满足方程（表示等边三角形的一个内角度数，表示正六边形的一个内角度数），化简方程得： ，符合条件的正整数解为． 2．【项目主题】寻找能铺满平面的任意多边形 【项目背景】我们已经知道，用一种正多边形铺地面，可以铺满平面的只有正三角形、正方形和正六边形三种．那么，用一种任意的多边形铺地面，能铺满平面的有哪些多边形呢？ 【探究工具】剪刀、彩纸、胶带、尺子． 活动1  铺满平面的条件 (1)铺满平面的条件为：当公共顶点处所有角的和为__________时，才有可能铺满平面． 活动2  任意完全相同的多边形能否铺满平面 用剪刀裁剪出一些任意完全相同的三角形、四边形及六边形，动手拼摆，探索单独的一种任意多边形是否可以铺满平面． (2)在下表中画出你铺满平面的示意图 多边形 示意图 任意三角形 任意四边形 (3)任意五边形、六边形、七边形可以铺满平面吗？ 活动3  探究五边形能够铺满平面 虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，于是展开了对一般五边形的密铺探究． (4)经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为_________． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.2 用多种正多边形 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面密铺的知识，解答本题的关键是掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，由此结合各正多边形的度数可得出答案． 【详解】解：∵这种正多边形的内角是， ∴与之对应的外角为：， ∴正多边形的边数为：，即这种正多边形是正三角形． 故选：A． 2．如图是用正方形和六边形两种材料铺成的地面的一部分，那么这种六边形材料最大的内角度数是（   ） A．90° B．120° C．135° D．150° 【答案】C 【分析】本题考查了密铺，周角，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，六边形最大的角为，其中，利用，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，六边形最大的角为，其中，，，如图所示： 那么． 故选：C． 3．将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌及正多边形的知识，掌握多边形镶嵌成平面图形的条件是解决本题的关键． 正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．求出第三块木板的内角即可解答． 【详解】解：正五边形每个内角是， 两块木板2个内角的和是， 所以第三块木板的一个内角是， 所以第三块木板的边数是． 故选C． 4．下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（   ） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正十边形 C．正六边形和正三角形 D．正十二边形和正三角形 【答案】B 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为，若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，据此判断即可求解，掌握平面镶嵌（密铺）的定义是解题的关键． 【详解】解：、正八边形的每个内角是，正方形的每个内角是，由于，故能铺满，该选项不合题意； 、正五边形和正十边形内角分别为、，，但该组合不能铺满地面，该选项符合题意； 、正六边形和正三角形内角分别为、，由于，故能铺满，该选项不合题意； 、正十二边形和正三角形内角分别为、，由于，故能铺满，该选项不合题意； 故选：． 5．数学探究课上，某小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】本题考查了平面密铺的知识，正多边形的组合进行平面镶嵌，关键是位于同一顶点处的几个角之和为．从而可得，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：∵正三角形、正方边的内角分别为、， ∴， ∴这块正多边形纸板的边数是：． 故选：B． 6．下列每组图形，不能镶嵌整个平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，根据几何图形镶嵌成平面图形的关键是：围绕一点拼在一起的多变形的内角加在一起恰好组成一个周角，由此逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、2个三角形2个正六边形或4个三角形1个正六边形可以镶嵌，故不符合题意； B、1个左边的图和4个右边的图可以镶嵌，故不符合题意； C、正方形与正六边形不可以镶嵌，故符合题意； D、正方形的内角为，矩形的内角为，可以镶嵌，故不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案（每个正五边形均与三角形有一组公共边），则的度数为___________． 【答案】84 【分析】先求正五边形的内角为，进而即可解答． 【详解】解：∵正五边形的内角为，正三角形的内角为， ∴ 8．小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 【答案】 【分析】本题考查了无缝拼接的条件，多边形的内角和，正多边形的定义，理解无缝拼接的条件和正多边形的定义，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键．由无缝拼接的条件得，由多边形的内角和公式和正多边形的定义，进行列式计算，即可求解； 【详解】解：由题意得：正m边形的内角为， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 9．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． (1)【探究发现】填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 ________ ________ ________ … ________ (2)若只用一种正多边形镶嵌，则能镶嵌成一个平面图案的正多边形有________．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． (3)【拓展应用】如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，则的值为________． 【答案】(1)；；； (2)①③ (3)或 【分析】（1）根据n边形内角和定理“n边形内角和等于求出内角和”，再除以n得到正n边形每个内角的度数； （2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答； （3）由题意得，x、y是满足的正整数解，即可求的值． 【详解】（1）解：正三角形每个内角的度数为； 正方形每个内角的度数为； 正五边形每个内角的度数为； 正六边形每个内角的度数为； …… 正n边形每个内角的度数为； 故答案为：；；；． （2）解：由（1）的方法可求出： 正三角形的每一个内角的度数是； 正五边形的每一个内角的度数是； 正六边形的每一个内角的度数是； 正七边形的每一个内角的度数是； 正八边形的每一个内角的度数是； 又，， 只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形、正六边形， 故答案为：①③． （3）解：由题意得，x、y为满足方程的正整数解， 二元一次方程的正整数解为或， 则的值为或． 10．我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)能； (2)； (3)不存在，见解析． 【分析】（1）算出正三角形、正四边形和正六边形的内角，根据平面镶嵌的性质判断即可； （2）根据图案的规律进行推理即可； （3）根据图案规律推出第第个图案中正方形、正六边形的个数，再根据所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大，列方程求解即可． 【详解】（1）能，∵正三角形的每一个内角是，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是， 观察图案的拼接点，可发现：，拼接点处的内角和恰好为，满足平面镶嵌的条件； （2）第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， …… 观察以上规律，第个图案有个正方形 （3）不存在，理由如下： 设第个图案中所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大， ∵由（2）可得第个图案中有个正方形， ∵由图案观察，第个图案中有个正六边形， 即：， 解得：， ∴显然不符合题意， ∴不存在这样的图案． 【B能力提升】 1．用边长相等的正三角形地砖和正方形地砖铺地面，围绕在一个顶点处正三角形地砖和正方形地砖的块数是（    ） A．2块正三角形地砖和2块正方形地砖 B．2块正三角形地砖和3块正方形地砖 C．3块正三角形地砖和2块正方形地砖 D．3块正三角形地砖和3块正方形地砖 【答案】C 【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌． 【详解】解：根据平面镶嵌的条件，用公式 分别解出正三角形，正方形的内角分别为60°、90°． 设用m块正三角形，n块正方形． 则有， 得 当时，，符合题意； 当时，； 当时，，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查平面镶嵌问题．几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 2．用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号，，表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查密铺、正多边形的内角度数，根据“密铺图形的公共顶点处的角的度数和为”逐项判断即可． 【详解】解：观察可知“半正密铺”图案记号，则表示由一个正方形和两个正八边形组成的； A．是由一个正三角形、两个正十二边形组成， 正三角形的一个内角为，正十二边形的每一个内角为： ， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； B．是由一个正三角形、两个正方形和一个正六边形组成， 正三角形的一个内角为，正方形的内角为，正六边形的内角为： ， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； C．是由两个正三角形、一个正方形、一个正十二边形组成， 正三角形的一个内角为，正方形的内角为，正十二边形的每一个内角为：， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； D．是由三个正三角形、一个正六边形组成， 正三角形的一个内角为，正六边形的内角为： ， ，不能表示“半正密铺”图案，符合题意； 故选D． 3．工人师傅用边长均是的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长为的正多边形地砖无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的周长是________． 【答案】24 【分析】本题考查了正多边形的性质，掌握正多边形性质是解题的关键．根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解可得到这块正多边形地砖的边数，再结合边长即可求得这块正多边形地砖的周长． 【详解】解：由图可知：， 设这块正多边形地砖的边数是， 由题意得：， 解得：， 正六边形地砖和正方形地砖边长均是， 这块正多边形地砖的周长是， 故答案为：24． 4．用边数为的三种边长相等的正多边形地砖铺地，将其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，根据多边形内角和公式表示出各正多边形的内角，再根据三个内角相加等于解答即可求解，理解题意，得到这三种边长相等的正多边形的内角和为是解题的关键． 【详解】解：由题意知，这种多边形的3个内角之和为， 已知正多边形的边数为， 那么这三个多边形的内角和可表示为， 两边都除以得，， 两边都除以得，． 故答案为：． 5．根据正多边形和的对话，解决下列问题． (1)求和的边数； (2)用正多边形和（两种都用）能否铺满地面？说明理由． 【答案】(1)4，6 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查多边形内角和问题，二元一次方程的应用． （1）设正多边形的边数为，正多边形的边数为，根据多边形内角和公式列方程，求出x的值即可； （2）设用个正方形（正多边形）和个正六边形（正多边形）可以铺满地面，则x和y需满足，化简得，判断该二元一次方程有无正整数解即可． 【详解】（1）解：设正多边形的边数为，正多边形的边数为， 由题意，得， 解得， ，， 答：正多边形的边数为4，正多边形的边数为6． （2）解：设用个正方形（正多边形）和个正六边形（正多边形）可以铺满地面，且，，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为120°， 由题意，得， 化简得， 当，时，不存在正整数解满足该二元一次方程， 用正多边形和（两种都用）不能铺满地面． 【C综合与实践】 1．综合与实践 【项目主题】基于正多边形镶嵌原理的校园地面铺装设计． 【项目准备】（1）正边形内角度数；（2）平面镶嵌的核心条件，拼接在同一点的几个角的和恰好等于． 【项目情况】学校计划对校园广场地面进行翻新，需要用正多边形地砖进行无缝不重叠的平面镶嵌．（密铺） 【项目任务】 初步探究： (1)单一正多边形镶嵌． ①等边三角形每个内角为 ，该内角正整数，因此等边三角形可以单独镶嵌． ②正五边形每个内角为 ，该内角正整数，因此正五边形不能单独镶嵌． 实战应用： (2)两种正多边形的组合镶嵌．学校计划用等边三角形和正六边形的两种地砖进行组合镶嵌，解决： 实验步骤：第一步：明确两种正多边形内角，等边三角形内角上面已知，正六边形内角为 ；第二步：建立镶嵌方程．设在一个拼接点处，有个等边三角形，个正六边形（、为正整数），则满足方程（表示等边三角形的一个内角度数，表示正六边形的一个内角度数），化简方程得： ，符合条件的正整数解为． 【答案】(1)①；② (2)；；； 【分析】（1）①利用正多边形的内角公式进行计算即可； ②利用正多边形的内角公式进行计算即可； （2）利用正多边形的内角公式计算出正六边形的内角，再写出方程并化简，最后写出正整数解即可． 【详解】（1）解：①等边三角形每个内角为； ②正五边形每个内角为； （2）解：正六边形每个内角为， 根据题意，拼接处满足方程：， 化简，得， 符合条件的正整数解为． 2．【项目主题】寻找能铺满平面的任意多边形 【项目背景】我们已经知道，用一种正多边形铺地面，可以铺满平面的只有正三角形、正方形和正六边形三种．那么，用一种任意的多边形铺地面，能铺满平面的有哪些多边形呢？ 【探究工具】剪刀、彩纸、胶带、尺子． 活动1  铺满平面的条件 (1)铺满平面的条件为：当公共顶点处所有角的和为__________时，才有可能铺满平面． 活动2  任意完全相同的多边形能否铺满平面 用剪刀裁剪出一些任意完全相同的三角形、四边形及六边形，动手拼摆，探索单独的一种任意多边形是否可以铺满平面． (2)在下表中画出你铺满平面的示意图 多边形 示意图 任意三角形 任意四边形 (3)任意五边形、六边形、七边形可以铺满平面吗？ 活动3  探究五边形能够铺满平面 虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，于是展开了对一般五边形的密铺探究． (4)经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为_________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)任意五边形不能密铺；任意六边形不一定能密铺；任意七边形不能密铺； (4) 【分析】（1）根据题意可得公共顶点处所有角的和为，才有可能铺满平面； （2）根据题意作图即可； （3）一个多边形的内角和能被整除时，该多边形才有可能铺满平面，据此逐一判断即可； （4）根据五边形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，当公共顶点处所有角的和为，才有可能铺满平面； （2）解：如图所示，即为所求； 三角形：     四边形： （3）解：任意五边形的内角和是，不能整除，不能密铺； 任意六边形的内角和是，虽能整除，但是不一定能密铺； 任意七边形的内角和是，不能整除，不能密铺； （4）解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $