4.3 三角函数的图象与性质讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的图象与性质，涵盖正余弦及正切函数的定义域、值域、周期、奇偶性、对称性、单调性及图象变换等核心考点，按双基自测、核心梳理、题型突破、限时训练的逻辑层次展开，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，帮助学生系统突破三角板块重点难点。 讲义突出综合应用与能力立意，如题型突破中设计复合三角函数性质研判、多变换叠加辨析等问题，强化数形结合和整体代换思维（数学思维），通过分层限时训练（基础选择、综合填空、解答题）培养学生临界条件分析能力（数学眼光），助力学生高效掌握高考高频题型，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用教学资源。

第四章 三角函数与解三角形 §4.3　三角函数的图象与性质 【高考考向预测】 近三年高考三角函数图象与性质为必考基础考点，选填为主、解答小题为辅高频考查，核心涵盖正余弦及正切函数定义域值域、周期奇偶性、对称性质、单调区间、图象平移伸缩与翻折变换，常结合五点法作图、参数求值联立出题，是三角板块核心根基；预测2027 年考查格局保持稳定，命题更侧重复合三角函数性质研判、多变换叠加辨析、区间限定下最值与零点探究，加大含参范围类题型比重，融合三角恒等变换综合设问，弱化机械记忆套用，强化数形结合识图分析、整体代换思维与临界条件梳理能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y=tan x在定义域上是增函数. (　 　) (2)函数y=cos x在第一、二象限内单调递减. (　 　) (3)函数y=sin x图象的对称轴方程为x=2kπ+(k∈Z). (　 　) (4)y=cos(-x)与y=cos|x|的图象相同. (　 　) 2.(2025·南充模拟)下列函数中，是奇函数且最小正周期为π的是(　　) A.f(x)=sin 2x B.f(x)=tan C.f(x)=cos 2x D.f(x)=cos x 3.函数f(x)=tan的定义域是(　　) A.R B. C. D. 4.(人教A版必修第一册P214T10(2)改编)函数y=cos，x∈的值域是　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)在余弦函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，-1)，，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R 值域 [-1，1] [-1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [2kπ-π， 2kπ] 单调递减区间 [2kπ， 2kπ+π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x=kπ+ x=kπ 1.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论 (1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个最小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个最小正周期. (2)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ+(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z). (3)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ+(k∈Z). 2.谨防两个易误点 (1)要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆. (2)对于y=tan x，是在每个区间(k∈Z)上单调递增，不能认为其在定义域上为增函数. 【题型突破●明方向】 题型一　三角函数的定义域和值域 例1　(1)函数f(x)=的定义域为(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z (2)(2026·德州模拟)函数f(x)=-cos 2x-3cos x，x∈的最大值为(　　) A.-1 B. C.1 D.-4 【跟踪训练】1　(1)(2025·昆明期末)函数f(x)=的定义域是(　　) A. B. C.(k∈Z) D.(k∈Z) (2)函数y=tan的值域为(　　) A.[-1，1] B.(-∞，-1]∪[1，+∞) C.(-∞，1] D.[-1，+∞) 题型二　三角函数的周期性、对称性与奇偶性 例2　(1)(2025·长沙期末)设函数f(x)=cos(x+θ)，则“sin θ=0”是“f(x)为偶函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(多选)(2025·日照模拟)已知函数f(x)=sin，则下列说法中正确的有(　　) A.f(x)的图象关于直线x=对称 B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)在上单调递增 D.若f(x1)-f(x2)=2，则|x1-x2|的最小值为 【跟踪训练】2　(2026·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=3tan+1，则(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在区间上单调递增 C.f(x)图象的对称中心为点(k∈Z) D.不等式f(x)≤4的解集为 题型三　三角函数的单调性 命题点1　求三角函数的单调区间 例3　函数f(x)=sin的单调递减区间为　　　　　　　　，在[0，π]上的单调递减区间为　　　　　　　　.  命题点2　根据单调性求参数 例4　已知函数f(x)=sin(ω>0)图象的相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f(x)在(-m，m)上单调递增，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【跟踪训练】3　(1)(2025·信阳模拟)函数f(x)=sin，x∈[-2π，2π]的单调递增区间是(　　) A. B. C.和 D.和 (2)(2025·河南省环际大联考“逐梦计划”)已知f(x)=2sin(ω>0)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A.(0，2) B. C. D.(0，1] 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·天津)设x∈R，则“x=0”是“sin 2x=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数y=+的定义域为(　　) A.(0，4] B.[-4，-π)∪(0，4] C.(-π，0) D.[-4，-π)∪(0，π) 3.(人教A版必修第一册P214习题5.4T12)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是 (　　) A.y=|sin x| B.y=cos x C.y=tan x D.y=cos 4.(2025·全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 5.已知函数f(x)=sin(ω>0)，若f(x)≤且函数f(x)的最小正周期T满足T∈，则T等于(　　) A. B. C. D. 6.(2025·天津)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在上单调递增，且x=为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　) A.- B.- C.1 D.0 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 8.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A.f(x)在区间单调递减 B.f(x)在区间有两个极值点 C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)=2cos(0<θ<π)为奇函数，则θ=　　　.  10.(2025·长沙期末)若f(x)=sin x+cos x在区间[-θ，θ]上单调递增，则tan θ的最大值为　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)(2025·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，f(0)=. (1)求φ；(5分) (2)设函数g(x)=f(x)+f，求g(x)的值域和单调区间.(8分) 12.(15分)(2025·苏州模拟)已知f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx(ω>0)，且f(x)的两个零点之差的绝对值的最小值为. (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)求函数f(x)图象的对称轴和对称中心；(4分) (3)设方程f(x)=在区间内的两解分别为x1，x2，求cos(x1-x2)的值.(7分) [每小题5分，共10分] 13.函数f(x)=|sin x|+cos x是(　　) A.奇函数，且最小值为- B.奇函数，且最大值为 C.偶函数，且最小值为- D.偶函数，且最大值为 14.(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　　　　　.  第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角函数与解三角形 §4.3　三角函数的图象与性质 【高考考向预测】 近三年高考三角函数图象与性质为必考基础考点，选填为主、解答小题为辅高频考查，核心涵盖正余弦及正切函数定义域值域、周期奇偶性、对称性质、单调区间、图象平移伸缩与翻折变换，常结合五点法作图、参数求值联立出题，是三角板块核心根基；预测2027 年考查格局保持稳定，命题更侧重复合三角函数性质研判、多变换叠加辨析、区间限定下最值与零点探究，加大含参范围类题型比重，融合三角恒等变换综合设问，弱化机械记忆套用，强化数形结合识图分析、整体代换思维与临界条件梳理能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y=tan x在定义域上是增函数. (　 　) (2)函数y=cos x在第一、二象限内单调递减. (　 　) (3)函数y=sin x图象的对称轴方程为x=2kπ+(k∈Z). (　 　) (4)y=cos(-x)与y=cos|x|的图象相同. (　 　) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√ 2.(2025·南充模拟)下列函数中，是奇函数且最小正周期为π的是(　　) A.f(x)=sin 2x B.f(x)=tan C.f(x)=cos 2x D.f(x)=cos x 【答案】A 【解析】对于A，函数f(x)=sin 2x的最小正周期T==π，且为奇函数，故A符合题意； 对于B，函数f(x)=tan的最小正周期T==2π，故B不符合题意； 对于C，x∈R，且f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x)，则f(x)为偶函数，故C不符合题意； 对于D，函数f(x)=cos x的最小正周期T=2π，故D不符合题意. 3.函数f(x)=tan的定义域是(　　) A.R B. C. D. 【答案】C 【解析】因为函数y=tan x的定义域为， 故由2x-≠+kπ，k∈Z，解得x≠+，k∈Z， 即函数f(x)=tan的定义域是. 4.(人教A版必修第一册P214T10(2)改编)函数y=cos，x∈的值域是　　　　.  【答案】 【解析】由x∈得x+∈， 所以y=cos的值域为. 【核心梳理●明考点】 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)在余弦函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，-1)，，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R 值域 [-1，1] [-1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [2kπ-π， 2kπ] 单调递减区间 [2kπ， 2kπ+π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x=kπ+ x=kπ 1.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论 (1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个最小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个最小正周期. (2)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ+(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z). (3)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ+(k∈Z). 2.谨防两个易误点 (1)要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆. (2)对于y=tan x，是在每个区间(k∈Z)上单调递增，不能认为其在定义域上为增函数. 【题型突破●明方向】 题型一　三角函数的定义域和值域 例1　(1)函数f(x)=的定义域为(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 【答案】A 【解析】对于函数f(x)=， 令2sin x+1≥0，即sin x≥-，解得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z， 所以函数的定义域为，k∈Z. (2)(2026·德州模拟)函数f(x)=-cos 2x-3cos x，x∈的最大值为(　　) A.-1 B. C.1 D.-4 【答案】A 【解析】f(x)=-cos 2x-3cos x =-2cos2x-3cos x+1=-2+， 因为x∈，所以cos x∈， 所以当cos x=时，有f(x)max=-1， 所以函数f(x)的最大值为-1. 【思维升华】(1)三角函数有关定义域的求法：根据函数解析式的特征列出与三角函数有关的不等式，借助三角函数性质及图象求解，与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域. (2)三角函数值域的不同求法 ①把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域. ②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域. ③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域. 【跟踪训练】1　(1)(2025·昆明期末)函数f(x)=的定义域是(　　) A. B. C.(k∈Z) D.(k∈Z) 【答案】D 【解析】因为f(x)==， 令sin≥0， 可得2kπ≤x-≤2kπ+π(k∈Z)， 解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z)， 故函数f(x)=的定义域为(k∈Z). (2)函数y=tan的值域为(　　) A.[-1，1] B.(-∞，-1]∪[1，+∞) C.(-∞，1] D.[-1，+∞) 【答案】B 【解析】因为-≤x≤且x≠0， 所以≤-x≤且-x≠， 所以函数y=tan的值域为(-∞，-1]∪[1，+∞). 题型二　三角函数的周期性、对称性与奇偶性 例2　(1)(2025·长沙期末)设函数f(x)=cos(x+θ)，则“sin θ=0”是“f(x)为偶函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由sin θ=0，得θ=kπ，k∈Z，则f(x)=cos(x+θ)=cos(x+kπ)=±cos x为偶函数， 由f(x)=cos(x+θ)为偶函数，得θ=kπ，k∈Z，则sin θ=0， 所以“sin θ=0”是“f(x)为偶函数”的充要条件. (2)(多选)(2025·日照模拟)已知函数f(x)=sin，则下列说法中正确的有(　　) A.f(x)的图象关于直线x=对称 B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)在上单调递增 D.若f(x1)-f(x2)=2，则|x1-x2|的最小值为 【答案】BCD 【解析】A选项，当x=时，2x+=， 因为直线x=不是y=sin x的图象的对称轴，所以直线x=不是函数f(x)=sin的图象的对称轴，故A选项错误； B选项，当x=时，2x+=π，因为点(π，0)是y=sin x的图象的对称中心，所以是f(x)=sin的图象的对称中心，故B选项正确； C选项，当x∈时，2x+∈，则f(x)=sin在上单调递增，故C选项正确； D选项，因为f(x)max=1，f(x)min=-1，由f(x1)-f(x2)=2得f(x1)=1，f(x2)=-1， 所以|x1-x2|的最小值即为两条相邻对称轴之间的距离，即为T，因为T==π，所以|x1-x2|的最小值为，故D选项正确. 【思维升华】(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式. (2)最小正周期的计算方法：利用函数y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为，函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为求解. (3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，则令ωx+φ=+kπ(k∈Z)(或ωx+φ=kπ(k∈Z))；如果求f(x)的对称中心，则令ωx+φ=kπ(k∈Z) ；对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数求对称中心，则令ωx+φ=(k∈Z). 【跟踪训练】2　(2026·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=3tan+1，则(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在区间上单调递增 C.f(x)图象的对称中心为点(k∈Z) D.不等式f(x)≤4的解集为 【答案】D 【解析】对于A，f(x)的最小正周期T==，A错误； 对于B，当x∈时，2x-∈，当2x-=±时，函数f(x)没有意义，B错误； 对于C，由2x-=(k∈Z)得x=+(k∈Z)，所以f(x)图象的对称中心为点(k∈Z)，C错误； 对于D，由f(x)=3tan+1≤4得tan≤1， 所以-+kπ<2x-≤+kπ，k∈Z，解得-+<x≤+，k∈Z，D正确. 题型三　三角函数的单调性 命题点1　求三角函数的单调区间 例3　函数f(x)=sin的单调递减区间为　　　　　　　　，在[0，π]上的单调递减区间为　　　　　　　　.  【答案】，k∈Z　和 【解析】f(x)=sin的单调递减区间是g(x)=sin的单调递增区间. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z， 得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，故所求函数的单调递减区间为，k∈Z. 令A=，k∈Z，B=[0，π]， ∴A∩B=∪，∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和. 命题点2　根据单调性求参数 例4　已知函数f(x)=sin(ω>0)图象的相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f(x)在(-m，m)上单调递增，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为f(x)=sin(ω>0)图象的相邻两个对称轴之间的距离为2π， 则T=2π，即T=4π，则ω==，则f(x)=sin， 由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z)， 得4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z)， 所以f(x)在上单调递增， 由(-m，m)⊆，得0<m≤. 【思维升华】(1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 【跟踪训练】3　(1)(2025·信阳模拟)函数f(x)=sin，x∈[-2π，2π]的单调递增区间是(　　) A. B. C.和 D.和 【答案】C 【解析】f(x)=sin=-sin， 令z=x-， 函数y=sin z的单调递减区间为(k∈Z). 由2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z， 得4kπ+≤x≤4kπ+，k∈Z， 而x∈，根据复合函数的单调性可知，所求单调递增区间是和. (2)(2025·河南省环际大联考“逐梦计划”)已知f(x)=2sin(ω>0)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A.(0，2) B. C. D.(0，1] 【答案】C 【解析】当x∈时，ωx+∈，而f(x)在上单调递增， 则<ω+≤，解得0<ω≤， 所以ω的取值范围是. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·天津)设x∈R，则“x=0”是“sin 2x=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由x=0⇒sin 2x=sin 0=0，则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件； 令sin 2x=0，则2x=kπ，k∈Z，故x=，k∈Z，所以sin 2x=0⇏x=0，则“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件， 综上可知，“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件. 2.函数y=+的定义域为(　　) A.(0，4] B.[-4，-π)∪(0，4] C.(-π，0) D.[-4，-π)∪(0，π) 【答案】D 【解析】根据题意得 解得 即所求定义域为[-4，-π)∪(0，π). 3.(人教A版必修第一册P214习题5.4T12)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是 (　　) A.y=|sin x| B.y=cos x C.y=tan x D.y=cos 【答案】A 【解析】y=|sin x|的最小正周期为π，且在上单调递减，故A正确； y=cos x的最小正周期为2π，故B错误； y=tan x在上单调递增，故C错误； y=cos的最小正周期为4π，故D错误. 4.(2025·全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】y=2tan的对称中心的横坐标满足x-=，k∈Z，即x=+，k∈Z， 所以y=2tan的图象的对称中心是，k∈Z， 即a=+，k∈Z， 又a>0，则当k=0时，a最小，最小值是. 5.已知函数f(x)=sin(ω>0)，若f(x)≤且函数f(x)的最小正周期T满足T∈，则T等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵f(x)≤，∴f为函数f(x)的最大值或最小值. ∵f(x)=sin，∴ω+=kπ+，k∈Z，解得ω=4k+1，k∈Z. 又函数f(x)的最小正周期T满足T∈，且ω>0， ∴<<，解得6<ω<10，∴当k=2时，ω=9满足题意，∴T=. 6.(2025·天津)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在上单调递增，且x=为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　) A.- B.- C.1 D.0 【答案】A 【解析】设f(x)的最小正周期为T， 根据题意有m，k∈Z， 由正弦函数的对称性可知-=(n∈N)，又ω>0， 即=，∴ω=4n+2(n∈N)， 又f(x)在上单调递增，则≥-=，∴≥，0<ω≤2， ∴ω=2，则m，k∈Z， ∵φ∈(-π，π)，∴当k=0，m=1时，φ=， ∴f(x)=sin， 又当x∈时，2x+∈， 由正弦函数的单调性可知当2x+=，即x=时，f(x)min=sin =-. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】A选项，令f(x)=sin 2x=0， 解得x=，k∈Z，即为f(x)的零点， 令g(x)=sin=0， 解得x=+，k∈Z，即为g(x)的零点， 显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+，k∈Z，解得x=+，k∈Z， g(x)的对称轴满足2x-=kπ+，k∈Z， 解得x=+，k∈Z， 显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误. 8.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A.f(x)在区间单调递减 B.f(x)在区间有两个极值点 C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线 【答案】AD 【解析】因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以sin=0，可得+φ=kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ=，所以f(x)=sin. 对于A，当x∈时，2x+∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故A正确； 对于B，当x∈时，2x+∈，所以函数f(x)在区间只有一个极值点，故B不正确； 对于C，因为f=sin=sin 3π=0，所以直线x=不是曲线y=f(x)的对称轴，故C不正确； 对于D，因为f'(x)=2cos，若直线y=-x为曲线y=f(x)的切线， 则由2cos=-1，得2x+=2kπ+或2x+=2kπ+(k∈Z)， 所以x=kπ或x=kπ+(k∈Z). 当x=kπ(k∈Z)时，f(x)=， 则由=-kπ(k∈Z)，解得k=0； 当x=kπ+(k∈Z)时，f(x)=-， 方程-=-kπ-(k∈Z)无解. 综上所述，直线y=-x为曲线y=f(x)的切线，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)=2cos(0<θ<π)为奇函数，则θ=　　　.  【答案】 【解析】因为函数f(x)=2cos(0<θ<π)为奇函数， 所以f(0)=2cos=0，所以-+θ=+kπ，k∈Z，所以θ=+kπ，k∈Z， 又0<θ<π，所以当k=0时，θ=. 10.(2025·长沙期末)若f(x)=sin x+cos x在区间[-θ，θ]上单调递增，则tan θ的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】f(x)=sin x+cos x=2sin， 当x∈[-θ，θ]时，x+∈， 因为f(x)在区间[-θ，θ]上单调递增， 所以则0<θ≤， 所以0<tan θ≤tan=， 则tan θ的最大值是. 四、解答题(共28分) 11.(13分)(2025·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，f(0)=. (1)求φ；(5分) (2)设函数g(x)=f(x)+f，求g(x)的值域和单调区间.(8分) 【解析】(1)由题意得f(0)=cos φ=(0≤φ<π)，所以φ=. (2)由(1)可知f(x)=cos， 所以g(x)=f(x)+f=cos+cos 2x =cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos， 所以函数g(x)的值域为[-，]. 令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 令π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z， 单调递增区间为，k∈Z. 12.(15分)(2025·苏州模拟)已知f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx(ω>0)，且f(x)的两个零点之差的绝对值的最小值为. (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)求函数f(x)图象的对称轴和对称中心；(4分) (3)设方程f(x)=在区间内的两解分别为x1，x2，求cos(x1-x2)的值.(7分) 【解析】(1)由题意，f(x)=cos 2ωx+1+sin 2ωx=2+1 =2sin+1， 令f(x)=0，得sin=-， 此时2ωx+=+2kπ或2ωx+=+2kπ，k∈Z，=， 依题意，ω>0，f(x)的最小正周期为×=π， 所以=π，解得ω=1， 所以f(x)=2sin+1. (2)由2x+=+kπ，k∈Z， 可得x=+，k∈Z， 所以f(x)的图象的对称轴为直线x=+，k∈Z， 由2x+=kπ，k∈Z，可得x=-，k∈Z， 所以f(x)的图象的对称中心为点，k∈Z. (3)因为f(x)=2sin+1， 所以方程f(x)=可化为sin=， 由x1，x2为方程sin=的两个根可得，sin=且sin=， 因为x∈，所以2x+∈， 则在区间内，2x1++2x2+=×2， 解得x1+x2=，即x1=-x2， 所以cos(x1-x2)=cos =cos=sin=. [每小题5分，共10分] 13.函数f(x)=|sin x|+cos x是(　　) A.奇函数，且最小值为- B.奇函数，且最大值为 C.偶函数，且最小值为- D.偶函数，且最大值为 【答案】D 【解析】由函数f(x)=|sin x|+cos x，可得其定义域为R，关于原点对称， 且f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故A，B错误； 因为f(2π+x)=|sin(2π+x)|+cos(2π+x)=|sin x|+cos x=f(x)， 所以2π为f(x)的一个周期， 不妨设x∈[0，2π]，若x∈[0，π]， 可得f(x)=sin x+cos x=sin， 因为x∈[0，π]，可得x+∈， 当x+=，即x=时，可得f(x)max=； 当x+=，即x=π时，可得f(x)min=-1. 若x∈[π，2π]， 可得f(x)=-sin x+cos x=cos， 因为x∈[π，2π]，可得x+∈， 当x+=2π，即x=时，可得f(x)max=； 当x+=，即x=π时，可得f(x)min=-1， 综上可得，函数f(x)的最大值为，最小值为-1，故C错误，D正确. 14.(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　　　　　.  【答案】- 【解析】设A，B， 由|AB|=可得x2-x1=， 由sin x=可知， x=+2kπ，k∈Z或x=+2kπ，k∈Z， 由图可知， ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=， 即ω(x2-x1)=，所以ω=4. 因为f=sin=0， 所以+φ=kπ，k∈Z，即φ=-+kπ，k∈Z. 所以f(x)=sin，k∈Z， 所以f(x)=sin 或f(x)=-sin， 又因为f(0)<0， 所以f(x)=sin， 所以f(π)=sin=-. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $