4.4 平面向量的内积（课件）--语文版《数学 拓展模块一》《上好课》

该中职数学课件聚焦平面向量内积，涵盖定义、运算律、坐标运算及求模、夹角、垂直判断等核心内容。教学引入以物理拉力做功实例为支架，从具体问题抽象出内积概念，衔接向量基础知识，构建完整知识脉络。 其亮点在于案例驱动与分层练习结合，通过物理实例培养数学抽象，例题从基础计算到综合应用强化逻辑推理，坐标运算训练数学语言表达。助力学生建立数量积模型，教师可高效开展概念教学与能力训练。

4.4 平面向量的内积 第四单元 平面向量 语文版 拓展模块一 学习目标 1.理解并掌握平面向量内积的定义； 2.掌握向量内积的坐标运算公式、运算律，能利用内积求向量的模、夹角； 3.通过学习平面向量的内积，建立向量的数量积模型，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 教学引入 4.4 平面向量的内积 教学引入 教学引入 新知讲授 4.4 平面向量的内积 新知讲授 新知讲授 新知讲授 案例分析 案例分析 案例分析 新知讲授 4.4 向量内积的坐标运算 新知讲授 新知讲授 案例分析 新知讲授 案例分析 学以致用 4.4 平面向量的内积 学以致用 学以致用 学以致用 知识回顾 同学们，我们完成了平面向量的内积相关知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 1.什么叫做平面向量的内积？ 2.平面向量的内积满足哪些运算律？ 3.如何进行向量内积的坐标运算？ 师生交流 拓展思考互动 同学们，我们已经完成平面向量的坐标表示相关知识点的学习，现在请同学们思考：向量的内积为什么不满足结合律？ 答案： 两个向量的内积是数量，而不是向量，它不是代数运算，所以不一定满足代数运算的运算律．两个向量的内积不满足结合律，可以通过反例来认识． 例如，，则(⋅)⋅=,⋅(⋅)=．显然≠， 即(⋅)⋅≠⋅(⋅). 课堂练习 4.4 平面向量的内积 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 4.4 平面向量的内积 课堂小结 课堂小结 课堂小结 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 如图所示，某人在冰面上用与水平方向夹角为斜向上的10N的拉力拉一个小冰车，冰车在水平面上移动了2m的距离，根据物理学知识，我们知道力所做的功为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 这里功是一个数量，它由向量和的模及其夹角余弦的乘积来确定. 由两个向量的模及其夹角余弦的乘积确定一个数量的情况，在其他一些问题中也会遇到，如物理学中的功率等. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若将两个非零向量，设为，，则把射线与射线所组成的不大于的角叫做与的夹角，记作。规定 ， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 在数学中，我们将两个非零向量、的模与它们的夹角的余弦的乘积叫做与的内积（或数量积），记作，即 其中，表示.因此，也可以表示成 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 两个向量的内积的结果是一个实数，可能是正数，可能是负数，也可能是零. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 向量的内积满足以下运算律，即 （1）； （2）； （3）设是实数，则. 注意：向量的内积运算不满足结合律，即。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知，，，，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知，，，求，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，， 且，，，，. 又，，，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知，，，，求。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设向量的坐标为，的坐标为，即，。则 这里，，，。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 即 就是说，在平面直角坐标系中，两个向量的内积等于它们的横坐标之积与纵坐标之积的和。 利用向量坐标，可以计算的模，即。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知向量，，求。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当两个向量，相互垂直时，其夹角为，这时有 反之，若非零向量，的内积为0，则必然有，即。 如果向量，，且均为非零向量，那么上述结论可以表述为 （1）若，则；（2）若，则。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】判断下列各题中的向量，是否相互垂直。 （1），； （2），。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1） 与垂直. （2） 与不垂直. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知与的夹角为，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知向量，向量．求： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）∵向量，向量． ∴，∴； （2）∵向量，向量． ∴，， ∴. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】如图所示，在平行四边形中，，，，则（ ） A．7 B． C．2 D．10 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 在平行四边形中，，，，， 则 ， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】已知向量，且，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为向量，， 所以，解得，即 又因为 ， 所以 ． 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】已知菱形的边长为1，，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知菱形的边长为1，， 则， 且， 所以. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】已知，，，则（ ） A．15 B．16 C．19 D．20 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题可知， ，解得， 所以. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】已知向量，则（ ）） A．0 B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 方法一：因为向量， ，又，所以. 方法二：因为向量，则， 所以与共线且方向相反，所以. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由，可得.由，可得， 即，所以. 由，可得. 所以，则. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 平面向量的内积 (1)定义 在数学中，我们将两个非零向量、的模与它们的夹角的余弦的乘积叫做与的内积（或数量积），记作，即 其中，表示，.因此，也可以表示成， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 平面向量的内积 (2)运算律 ①； ②； ③设是实数，则. 注意：向量的内积运算不满足结合律，即。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 平面向量的内积 (2)平面向量内积的坐标运算 设向量的坐标为，的坐标为，即，。则 就是说，在平面直角坐标系中，两个向量的内积等于它们的横坐标之积与纵坐标之积的和。利用向量坐标，可以计算的模，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $