2026年中考数学三轮押题04：二次函数（全国通用）

**基本信息** 以二次函数核心考点为纲，构建从基础概念到综合应用的递进训练体系，覆盖全国中考高频考向，突出数形结合与建模思想，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|15题|选择/填空/解答，考查开口方向、对称轴等|从定义出发，通过图像直观理解性质，强化系数符号判断| |解析式与代数综合|20题|待定系数法、方程不等式综合|以解析式求法为桥梁，衔接方程根的判别式与不等式解集| |实际应用与建模|10题|利润/面积最值、方案选择|从实际问题抽象二次函数模型，培养应用意识与数据观念| |几何综合压轴|10题|动点、存在性、相似三角形|函数与几何图形结合，发展逻辑推理与创新思维|

三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮押题04:二次函数 押题依据 猜押考点 2025 年考查省份 考情分析 押题依据 二次函数定义、图像与性质 全国所有省份（必考）：北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆 基础 + 中档题，选择 / 填空 / 解答，6–10 分；考查开口方向、对称轴、顶点、增减性、与坐标轴交点；2025 重点：顶点坐标、对称轴、图像平移、系数符号判断。 中考核心函数，代数基础；衔接一次函数、反比例函数、几何；命题稳定、重数形结合。 二次函数解析式求法（待定系数法） 江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、云南、广西 中档高频题，解答题，6–8 分；考查一般式、顶点式、交点式、待定系数法；2025 侧重：三点式、顶点式、交点式灵活选用。 二次函数核心技能，中考必考；2025 真题高频，重运算与建模能力。 二次函数与一元二次方程、不等式 江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档必考题，选择 / 填空 / 解答，8–12 分；考查根的判别式、韦达定理、函数值符号、不等式解集；2025 侧重：图像与 x 轴交点、不等式解集、参数范围。 代数综合核心，考查转化思想；2025 真题高频，重逻辑推理与数形结合。 二次函数实际应用（最值、建模） 全国所有省份（必考）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档必考题，解答题，8–12 分；考查利润最值、面积最值、增长率、几何建模；2025 侧重：二次函数利润最值、面积最值、方案选择。 中考核心应用，考查建模；2025 真题稳定考查，重实际问题转化能力。 二次函数综合压轴（与几何、一次函数） 全国所有省份（高频）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 压轴题，解答压轴，10–14 分；考查动点、存在性、最值、相似、圆、一次函数综合；2025 侧重：动点最值、等腰 / 直角三角形存在性、面积最值、函数几何综合。 中考代数压轴核心，综合度最高；2025 真题高频，重综合分析与创新思维。 押题预测 题型一、二次函数定义、图像与性质 1．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于选项A：是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B： 是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C： 是一条平行于轴的直线，不符合题意； 对于选项D： 是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意． 2．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（a为常数，且）的图象经过、，当时，y值随x值的增大而减小，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ∴ 二次函数的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ， 当 时，随的增大而减小， ∵ ， 即对称轴左侧随的增大而减小， ∴ 抛物线开口向上，， ∴ 二次函数的最小值为 ，任意非顶点的点满足 ； 点到对称轴的距离， 点到对称轴的距离， ∵ ， ∴ ，，且 ， ∴ ，即 ． 4．（2026·四川成都·二模）关于二次函数的部分图象如图，点，对称轴为直线．下列说法错误的是（     ） A． B．b2－4ac＞0 C．方程的根为：， D． 【答案】D 【详解】解：A.由图象的开口方向向下可知，，图象的对称轴为正可知，，图象与轴交于正半轴可知，，则，故不符合题意； B.由图象可知，抛物线与轴存在两个交点，则，故不符合题意； C. 由于抛物线过点，且对称轴为直线，根据对称性得，抛物线与轴的交点为，，即方程的根为：，，故不符合题意； D.当时，，根据图象和选项C可知，此时，而非，故符合题意． 5．（2026·广东深圳·二模）新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， 根据新定义可知， ∴， ∵无论m取任何实数，不等式恒成立， ∴． 6．（2026·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴是直线，下列结论中错误的是（   ） A． B． C．当时，随的增大而增大 D． 【答案】C 【详解】解：由图象可知：开口向上，则，对称轴为直线，则有，与y轴交于负半轴，则，与x轴有两个交点，所以， ∴，当时，随的增大而增大，故A、B正确，C错误； 根据二次函数的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点横坐标为， ∴当时，则有，故D正确． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图象向右平移3个单位后经过坐标原点，点，在该函数图象上，则下列关于该二次函数的说法错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．顶点在第二象限 C．与直线的交点横坐标是和0 D．若，则 【答案】D 【详解】 已知原二次函数 ，向右平移3个单位后得到 ， 平移后过原点，代入得 ， ∴， ∴原二次函数可整理为 ． 选项A：由顶点式可知对称轴为直线 ，说法正确； 选项B：顶点坐标为 ，因为，则，所以顶点在第二象限，说法正确； 选项C：令 ，整理得 ，解得 或 ，交点横坐标为和，说法正确； 选项D：，开口向下，点离对称轴越远，函数值越小．已知，因此离对称轴更远，所以； 综上，说法错误的是． 8．（2026·安徽合肥·二模）已知点、都在关于的函数（、、为常数，且）的图象上，且满足，则（   ） A．可以找到一个实数，使得抛物线与轴没有交点 B．无论实数取任何值，抛物线与轴都只有一个交点 C．可以找到一个实数，使得抛物线与轴只有一个交点 D．无论实数取任何值，抛物线与轴都会有两个交点 【答案】D 【详解】解：， 或 ，即方程 必有实根， 整理方程得 ， 判别式为： ， ∵方程 必有实根， ，即 ，其中 是原抛物线与x轴交点的判别式， ∵， ∴， ∴无论实数取任何值，抛物线与轴都会有两个交点 9．（2026·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴自左向右依次交于A，B两点． (1)求A点坐标； (2)两抛物线交于点，点是新抛物线上一动点，若时，恒有，求t的取值范围； (3)当时（不与A，B重合），新抛物线上y最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值． 【答案】(1)A点坐标为 (2)t的取值范围是或 (3) 【详解】（1）解：由题意可知，新抛物线解析式为， 令，代入可得， 解得， 又∵点A在点B的左边， ∴A点坐标为； （2）解：令，可得， 解得， ∴点关于直线的对称点是， 当点在新抛物线对称轴右侧时，则； 当Q点在新抛物线对称轴左侧时，， 解得． 综上所述，t的取值范围是或； （3）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵新抛物线对称轴为直线，且， ∴当时，y取最小值，当时，y取最大值， 即， ∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∵为整数， ∴或， ∴（舍去）或， ∴当，此时； 当，此时，但此时不满足题意，故舍去． 将，代入， 解得． 10．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数） (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标； (2)若该二次函数图象经过点，且，求b的取值范围； (3)若，，且当时，的最大值与最小值的差为4，求c的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【详解】（1）解：当 ， 时，， 该函数图象的顶点坐标为 ， （2）解：∵ 点 ，都在抛物线上，且纵坐标相同， 、关于对称轴对称， 抛物线 的对称轴为 ， ​，即 ， ， ， ； （3）解：， ， 对称轴为 ，开口向下， ​， 对称轴在内， 当时，， 当 时，； 当 时，， 比较两端点： ， ​， ，即 ， （在 处取得）， 由题意：， ， ， ， 或 （舍去，不满足 ​）， ． 题型二、二次函数的图像与系数的关系 11．（2026·山东聊城·二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：①抛物线开口向下，故， 对称轴在轴右侧，故， 抛物线与轴交于正半轴，故， ， 故①错误，不符合题意； ②因为抛物线对称轴是直线，则， 故②正确； ③因为抛物线对称轴是直线， 所以抛物线与轴的另一个交点是，故③正确，符合题意； ④从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根， 故④正确，符合题意． 综上，正确的是②③④． 12．（2026·河南南阳·一模）如图是二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解∶∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， ，，， ，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限． 13．（2026·四川成都·二模）已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限，∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 14．（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 15．（2026·湖南株洲·一模）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①，②，③，④，正确的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像的对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ∵二次函数的图像与轴有个不同的交点， ∴，故结论③错误； 由图像知：当时，， 即，故结论④错误； 综上所述，正确的是①②． 16．（2026·山东济宁·二模）如图，二次函数的部分图象与x轴、y轴分别交于点A，B．若抛物线的对称轴，点A的坐标为，则下列结论：①；②；③；④（m为实数），其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【详解】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，结论①错误； ②∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴， ∴，即； 结论②正确； ③∵抛物线与轴交于两点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故③错误； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴时，函数取得最大值， ∴当m为实数时， 即， 结论④正确． 综上所述，正确的结论有：②④． 17．（2026·河南郑州·一模）某同学利用数学绘图软件探究函数的图象，在输入一组a、b的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b的值应满足（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：设虚线为（显然，）， 由图中可知，当时，， 因为， 所以， 当时，， 因为， 所以， 所以在m的左右两侧时，符号是不同的，即， 当时，，而，所以，故C正确． 18．（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限∴ ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， ∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限 ∴， ∴，∴ ∴一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴一次函数的图象大致是： 19．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的对称轴； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的值； ②若点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①或6或；②或 【详解】（1）解：代入抛物线解析式得，， ∴， ∴对称轴为直线． （2）解：①当，时，抛物线， ，， 为，解得或6或． ②当时，， ，其图象开口向下，对称轴， 的长随的增大而增大，，即的长随的增大而增大， ∴，即， 当时，， ，其图象开口向上，对称轴， 的长随的增大而增大，，即的长随的增大而增大， ∴，， ∴． 综上：或． 20．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时，． ①若，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①或；② 【详解】（1）解：∵抛物线经过点O， ∴； 将代入得， ， ∴； （2）解：①根据题意得，联立， 整理得， 解得或， 即或； ②由①可得直线和抛物线的交点横坐标分别为或， ， 当时，随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时， ∴， ∴； 当时，， ∴当时，取最大值，此时， ∴， ∴； 又∵， ∴． 题型三、二次函数与一元二次方程、不等式 21．（2026·陕西西安·三模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 1 5 0 7 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴的交点坐标为和 【答案】C 【详解】解：把表格中三组对应值， ， 代入， ，解得， 因此二次函数解析式为 ， 逐一判断选项： A．，∴图象开口向上，A错误； B．对称轴为，不是，B错误； C．开口向上，对称轴为，∴时，随的增大而增大，又，∴当时，随的增大而增大，C正确； D．令，得，因式分解得，解得或，因此图象与轴交点为和，D错误． 22．（2026·陕西西安·模拟预测）当时，二次函数的图象一定经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、三、四象限 【答案】B 【详解】∵ 二次函数为， ∴ 二次项系数， 抛物线开口向上， 当时，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线对称轴为， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即对称轴在y轴右侧， 计算判别式得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 说明抛物线与x轴有两个不同交点， 根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个不同交点，画出大致图形如下： ∴二次函数图象一定经过第一，第二，第四象限，不经过第三象限． 23．（2026·广东汕头·一模）已知二次函数，若关于的方程的实数根为，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数，二次项系数为， ∴抛物线开口向上， 令，则有，解得，， ∴抛物线与轴交点为和， 根据开口向上的抛物线的性质，可得当时，， 方程的实数根是抛物线与直线交点的横坐标， ∵，即， ∴两个交点都落在区间内， 又， ∴． 24．（2026·湖北·一模）已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，即，故选项B正确； ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即抛物线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴，故选项A正确； ∵抛物线开口向上，直线为对称轴， ∴时，取得最小值，最小值为， ∴对任意实数，有，即，故选项C正确； 当时，， ∵抛物线开口向上，两个x轴交点之间的函数值小于0，且， ∴，故选项D错误． 25．（2026·福建南平·一模）抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线过点，，且P、Q是两个不同交点， ∴，且， ∴其对称轴为： ∵抛物线向上平移2个单位得到，对称轴不变， ∴的对称轴仍为． ∵，，两点到对称轴的距离分别为： 当时（开口向上）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大． 要使恒成立，需，即： 解得或， 即或． ∵，∴． 当时（开口向下）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 要使恒成立，需， 即： 解得，即． ∵，∴． 综合两种情况可得：a的取值范围为：或． 26．（2026·浙江·模拟预测）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由（为常数）可知，抛物线的对称轴为直线，因为在的图象上有且仅有一个二倍点， 如图所示，当抛物线与相切时，，即，令，可得，当抛物线过点时，可得，所以． 27．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，的取值范围是或，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：把点代入二次函数得：， ∵时，的取值范围是或， ∴抛物线的开口向上，即，当时，即方程有两个不相等的实数根，这两个根分别为，， 令， 根据一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴方程可为，， ∵，且， ∴， ∴， ∴m的值可能是5． 28．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数 （且为常数）． (1)当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若点，在该抛物线上，且，求的取值范围； (2)当时，始终成立，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为；的取值范围为或； (2)的取值范围为且． 【详解】（1）解：当时，， ∴顶点坐标为； 由知，抛物线表达式为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上且， ∴点离对称轴更远， ∴，整理得：， ∴或， 解得：或 ， ∴的取值范围为或 ； （2）解：∵， ∴ ， 令 ， ∴ ∴其对称轴为， 当时，时，随的增大而增大， ∵在对称轴右侧， ∴时， ，解得， ∴当时，始终成立， 当时，时，随的增大而减小， ∵在对称轴右侧， ∴， 解得：， ∴当时，始终成立， ∴综上可得：的取值范围为且． 29．（2026·黑龙江双鸭山·二模）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的右边），交轴于点，其对称轴为，抛物线经过点，与x轴交于另一点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一动点，作轴，交抛物线于点，直接写出点自点运动至点的过程中，线段长度的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)线段长度的最大值为． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴抛物线， 令， 解得，， ∵抛物线与轴交于，两点，点在点的右边， ∴，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由， 解得或， ∵轴， ∴点和点的横坐标相等， 设，则， 根据题意可得或， 当时，点在点上方，， ∵，∴当时，， 当时，点在点下方，， ∵，∴当时，， ∵，∴线段长度的最大值为． 30．（2026·湖南怀化·二模）已知一次函数的图象分别交轴，轴于点，过两点的二次函数的图象与轴交于另一点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图1，，为上方抛物线上两动点，分别过点作轴的垂线，与线段交于点．若，探究线段与能否互相垂直且平分？若能互相垂直且平分，求出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由； (3)如图2，点在轴正半轴上，连接，当时，在二次函数图象上存在点使得，求点到轴的距离． 【答案】(1)，，B (2)不能，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，∴点的坐标为， 当时，，解得，∴点的坐标为， ∵二次函数的图象过点，，∴， 将代入中，得，解得， ∴二次函数的表达式为， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵为二次函数图象与轴的交点， ∴点与点关于直线对称， ∴点的坐标为； （2）解：与不能互相垂直且平分， 理由如下：由（1）得，二次函数的表达式为， ∵，均与轴垂直，， ∴，， ， ， ∴，， ∵， ∴当线段与互相垂直且平分时，四边形为菱形， 则，即，解得， 此时，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴四边形不是菱形， ∴线段与不能互相垂直且平分； （3）解：如图，过点作轴于点，则， 当时，． ∵， ∴， ∴． 设点的坐标为，∴， 则， 如解图1，当点在轴右侧时，， ∵， ∴， ∴，解得， ∵点在轴右侧， ∴， ∴点到轴的距离为， 如解图2，当点在轴左侧时，， ∴，解得， ∵点在轴左侧， ∴， ∴点到轴的距离为， 综上所述，当时，点到轴的距离为或． 题型四、二次函数实际应用（最值、建模） 31．（2026·甘肃武威·二模）某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 32．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 33．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：每件利润为元， 实际每天销售量为：， ∴． 34．（2026·天津红桥·一模）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（O为原点，高）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．有下列结论： ①该球经过区域； ②该球飞行的水平距离为时的高度大于飞行的水平距离为时的高度； ③C为球门的高上一点，．若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】根据题意，抛物线顶点坐标为，设抛物线顶点式：，代入得： ，解得， ∴原抛物线解析式为：； 判断①： 是处的线段，代入得： ，∴球与轴交点在点上方，不经过区域，①错误． 判断②： 飞行水平距离对应横坐标，抛物线开口向下，对称轴为，水平距离对应时，水平距离对应时，，因此高度在时小于时，结论②错误． 判断③： 球员向正方向移动后，新点坐标为，抛物线形状不变（不变）、最大高度不变，新顶点坐标为，新抛物线解析式为：． 代入得：． 是处的区域，，因此球经过区域，③正确． 综上，正确结论为③，共1个． 35．（2026·天津河西·一模）要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管，并在水管顶端处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，有下列结论： 水柱落地处距池中心的距离为； 水管的长度为； 水柱到达最高点时的高度为． 其中，正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵水柱落地时高度，代入得， 解得 ，（距离为正，舍去负根） ∴水柱落地处距点距离为， ∴正确； ∵是池中心，长度对应 ， 代入得， ∴长度为， ∴正确； ∵，抛物线开口向下，顶点为， ∴水柱最高点高度为， ∴③正确． 36．（2026·山东济南·二模）如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，点为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论：①当时，；②；③连接，有最小值为；④当与相似时，．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：由图2知，当时，， 时，，故① 错误； 时，，，， 在中，， ， ， ，故②正确； 如图，连接， ，点为中点， ， ， ， 当时，取最小值，最小值为8， 的最小值为， 有最小值为，故③正确； 当与相似时， ， 或， 或， 解得或，故④ 错误； 综上可知，正确结论的个数是2． 37．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒，则与之间的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，当点落在边上时， 在中，，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当点与点重合时，此时， 即，解得 ； 当点与点重合时，此时， 即，解得 ； 如图1，当时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积， 即； 此时，与之间的函数图象为开口向上的抛物线，且为对称轴的右半段， 如图2，当时，正方形与重叠部分图形的面积为五边形的面积， 此时， ，， ， ， ， ， ， ， ； ，对称轴为直线， 此时，与之间的函数图象为开口向下的抛物线，且包含对称轴， 如图3，当时，正方形与重叠部分图形的面积为的面积， 此时， ， ． ，对称轴为直线， 此时，与之间的函数图象为开口向上的抛物线，且为对称轴的左半段； 综上，与之间的函数图象大致是选项D所示． 38．（2026·广东深圳·二模）综合与实践 【问题背景】“尖鼻蛙”是“蛙界”跳远之王．对蛙类的立定跳远项目进行比较与测量，可以为研究蛙类跳跃极限、“仿蛙机器人”跳跃性能等，提供参考数据． 【模型构建】如图1，当“尖鼻蛙”以倾斜角起跳（以下简称“起跳”）时，若以地面上的起跳点为坐标原点，以地面上水平向右的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则其运动路线可以近似地用公式表示，其中，（m/s）是起跳时的速度． 【模型应用】 (1)如图1，当“尖鼻蛙”起跳速度m/s时，则其跳远距离______m，在这个过程中，“尖鼻蛙”离地的最大高度是______m． (2)如图1，若“尖鼻蛙”起跳速度为，从起跳到落地的过程中： ①求其离地的最大高度是多少？（用含的代数式表示） ②记①中离地的最大高度为h，记，求证：． (3)如图2，“尖鼻蛙”连续两次起跳，共跳了8m远．在起跳点正上方1.25m处，设有一条平行于地面的观测线．若在两次跳跃过程中，“尖鼻蛙”均没有触碰到．设两次离地的最大高度分别为，． ①填空：______m； ②设其第一次起跳的速度为（m/s），求的取值范围． 【答案】(1)1， (2)①；② (3)①2；② 【详解】（1）解：当时，， 令得，解得，， 则； 对称轴为，当时，， 即“尖鼻蛙”离地的最大高度是； （2）①解法一：根据二次函数最值，知 最大高度为； 解法二：根据二次函数对称轴，知 当时， 最大高度为； ②证明：令，即， 解得，， ， 而，， 故； （3）①设第一次跳远距离为，最大高度为，设第二次跳远距离为，最大高度为， 由（2）可知，，， 由题可知，，则，解得， 即； ②由题意得，两次跳跃的高度和均小于1.25， 由①得，， 故，． 由（2）得，，即，， 解得． 39．（2026·云南昆明·二模）普洱茶是云南的特色产品，某茶叶销售店以每饼120元的成本购进一批普洱茶饼，根据市场调研，销售单价不低于成本单价，也不高于每饼200元，已知每季度销售量（单位：饼）与销售单价（单位：元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象． (1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； (2)设该茶叶销售店每季度销售茶叶获得的利润为元，求的最大值． 【答案】(1) (2)48000元 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 由题意得：， 解得：， 与的函数解析式为； （2）解：由（1）得：， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，最大，元 40．（2026·广东深圳·二模）央视春晚的舞台上，武术机器人凭借科技与武术的完美融合，上演了一场精彩绝伦的腾空跳跃表演．数学小组发现机器人跳跃轨迹呈抛物线形状，并进行以下研究： 信息1：机器人跳跃的轨迹看作一个点的运动轨迹，每次跳跃轨迹形状不变． 信息2：如图1，以机器人起跳点为坐标原点建立平面直角坐标系，当机器人与点的水平距离为2米时达到最高点，最大高度为2米． 请根据上述信息解决下列问题： (1)求图1中抛物线的函数表达式； (2)在点正前方的水平地面上有一个正方形台阶，其中米，米． ①若机器人向右移动一段距离后再跳跃能越过正方形台阶，则机器人至少需向右平移多少米？ ②如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，设置滑梯，其中米，米，机器人从滑梯上起跳，起跳点的横坐标记为米，跳跃后落在台阶上（含点、），求的取值范围． 【答案】(1) (2)①机器人至少需向右平移米；② 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点为，且过原点， 设， 将代入得：， 解得：， （2）解：①米，米，正方形台阶， 米，米， ， 设机器人向右平移米，则， 将代入得：， 整理得：， 解得：，（舍去）； 答：机器人至少需向右平移米． ②设直线的解析式为， 代入，得 ，解得：， ， 设起跳点的坐标为， 起跳点从变为， 原抛物线的顶点变为， 新抛物线的解析式为， 当新抛物线经过点时，，解得：，（舍去） 当新抛物线经过点时，，解得：，（舍去） 结合图象可得． 题型五、二次函数线段、周长、面积等问题 41．（2026·湖南娄底·二模）如图，二次函数的图象经过点，点，，是此二次函数图象上的三个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知，，且． ①若直线，分别交y轴于点，求证：； ②过点作轴的垂线分别交，于点，设，试探究当取何值时，取得最大值？请求出的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①设，则，， ∴，，， 设直线的表达式为，把点和代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴， 同理可得直线的表达式为， 当时，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∴， ②设的表达式为，把点代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴， 由于直线的表达式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，的值最大，． 42．（2026·山东烟台·一模）已知抛物线经过三点，直线交抛物线于A，D两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方拋物线上的一点，作轴，垂足为，交于点，且点将线段分为的两部分．求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的任意一点，连接，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线交抛物线于A，D两点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴，， ∵点将线段分为的两部分， ∴当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：如图所示，连接， ∵点Q是抛物线的对称轴上的一点，∴由对称性可得， ∴， ∴当B、Q、G三点共线时，有最小值； 在中，当时，，∴， 设直线的解析式为， ∴，∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴当最小时，点Q的坐标为． 43．（2026·湖北随州·二模）如图，直线分别交x，y轴于点B，C，抛物线L：经过B，C两点，且与x轴交于另一点A，其顶点为M，点P是x轴上方的抛物线L上一动点（不与点M，C重合），点P的横坐标为m． (1)直接写出a，c的值； (2)将抛物线L向左上方平移得到抛物线G，使抛物线G经过点C，过点M作轴交抛物线G于点N，交于点D，若，试判断抛物线G的顶点Q是否在直线上，并说明理由； (3)过点P作x轴的垂线交于点E，交（2）中的抛物线G于点F，过点P作x轴的平行线与抛物线L的另一个交点为H，连接，设的面积为． ①求关于m的函数解析式； ②经过探究发现：针对的不同取值，满足条件的点P的个数不同．如果对在某个范围内的每个确定值，满足条件的点P只有一个，直接写出此时线段的最小值． 【答案】(1)， (2)点Q在直线上，见解析 (3)①；② 【详解】（1）解：对于直线， 当时，； 当时，，解得 ∴， 将点，代入， 则，解得； （2）解：由（1）得抛物线的表达式为，∴ 当时，，解得，∴ 当时，，∴， ∵将抛物线L向左上方平移得到抛物线G，使抛物线G经过点C， ∴设抛物线的表达式为 当时， ∴ ∵ ∴，解得 ∴抛物线的表达式为 而，∴ 当时， ∴点在直线上； （3）解：①由题意得，，则，， ∴， 当时，如图： 则 ∴； 当时，如图： 则 ∴； 当时，如图： 则，， ∴ 综上：； ②画出关于的函数图象，如图： 则可求，， 而，则顶点， ∴根据函数图象可得，时，有4个点P； 时，有3个点P； 时，有2个点P； 时，只有1个点P， 当时，解得或 ∴当时，只有1个点P， ∵， ∴ 对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当，随着的增大而增大， ∴． 44．（2026·山东东营·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上一动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，坐标为或 (3) 【详解】（1）设交点式： ， 将代入得， 解得， 所以二次函数的表达式为； （2）存在， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴，， ， 分三种情况讨论直角顶点： 若直角顶点为：代入，解得，此时与重合，舍去； 若直角顶点为：代入，解得，得； 若直角顶点为：代入，解得（舍去）或，得． （3）设， ∵点，点， ∴同理可求得直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，得的纵坐标． ∵和点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，最大， 此时． ∴当S取得最大值时，． 45．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴的左右两个交点分别为点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上取点D，使，求点D的坐标； (3)若抛物线：的对称轴与抛物线的对称轴相同，过点C的直线l：交抛物线于点P，问是否存在某种情况，使抛物线与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段的中点？若存在这种情况，请求出a和k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得， ∴； （2）解：令， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 以为直角顶点，为直角边，构造等腰直角三角形，作轴， 则，，， ∴，点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， ∵的对称轴与的对称轴相同， ∴， ∴， ∴； 把代入，得， ∴， 令，整理，得， ∴ ∴中点的横坐标为， 令，整理，得， ∵抛物线与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段的中点， ∴方程有两个相等的实数根为， ∴， 解得或或或， ∵， ∴． 题型六、二次函数特殊三角形、特殊四边形问题 46．（2026·四川泸州·二模）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)动点在抛物线的对称轴上，且在轴下方，作射线，将射线绕点逆时针旋转后与抛物线交于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，交轴于点， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵，∴对称轴为直线， 设， ∵旋转， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 过Q作垂直直线于H， 则， ， ∴， ∴，， ∴， ∵Q在抛物线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：平移后的抛物线表达式为， ∴其对称轴为直线， 当，即时，如图， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值为， 当时，y有最大值为， ∴， 解得（不符题意，舍去）； 当，即时， 此时当时，y有最小值为， 若当时，y有最大值为， 则，解得或（不符题意，舍去）； 若当时，y有最大值为，则， 解得或（不符题意，舍去）； 当，即时，如图， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为， 当时，y有最小值为， ∴，解得（不符题意，舍去）； 综上，或． 47．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图，若二次函数的图象交x轴于点和点，与y轴交于点C，P为该函数图象上不与顶点重合的任意一点，且点P的横坐标为m． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点P在第一象限内的图象上，且的面积，求点P的坐标； (3)若该二次函数图象的顶点为D，过点P作对称轴的垂线，垂足为E，设． ①求DE的长（用含n的式子表示）； ②定义：对于平面内两点M，N，若点Q满足，则称点Q为线段的中垂点．若点F是线段的中垂点，且为直角三角形，求直角的直角顶点不在二次函数图象内部的m的取值范围． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)①②或 【详解】（1）解：将点和点代入得， ，解得， ∴； （2）解：如图所示，连接，过点作轴，交于点， 当时，， ∴； 假设直线的解析式为，将和代入得， 解得 ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 假设点P的坐标为，，则， ∴， ∴， 解得或， 当时，， ∴点P的坐标为（与顶点重合，舍去）； 当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：设点P的横坐标为， ①如图所示， 由（2）得：， 当时，， ∴， ∴点P的纵坐标为：， ∴点P的坐标为， ∴； 当时，， ∴， ∴点P的纵坐标为：， ∴点P的坐标为， ∴； 综上，； ②如图所示，过点作于点， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ，，， ∵直角的直角顶点不在二次函数图象内部， ∴， 令， 则， 整理得， 解得（舍去）或， 即， ∵ ∴解得， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上，m的取值范围为或． 48．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 49．（2026·江苏苏州·一模）如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式：； （2）解：设直线的解析式将，代入得 ，解得， 直线的解析式为， 点，， ， △的面积减去△的面积得出△的面积， ， ，二次函数开口向下， 当时，有最大值是； （3）解：如图， 点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点， 是的中点， 的横坐标为， 的中点是顶点的横坐标， ， 解得， 50．（2026·吉林四平·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，顶点为，点是该抛物线上的动点，其横坐标为，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，以、为邻边作平行四边形． (1)求该抛物线对应的函数解析式及点的坐标； (2)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求的值； (3)当平行四边形的面积被轴平分时，求的值； (4)当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为， (2)的值为或 (3)， (4)或 【详解】（1）解：因为抛物线与轴交于点，顶点为， 所以， 解得， 故抛物线的解析式为， 令时，得， 故； （2）解：设， 根据题意，得， 因为该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5，顶点为，， ∴或， 当时，最高点为，最低点为， ，解得（舍），； 当时，最高点为，最低点为， ， 解得（舍），． 综上，的值为或． （3）解：当平行四边形的面积被轴平分时，根据题意，得， 因为，，必须为正数， 故， 解得，． （4）解：延长，交抛物线与点G，设， 根据题意，得， 解得， 故， 当时，点P在对称轴的右侧， 当点P与点G重合时，四边形不存在， 当点P在点G的上方时，如图所示，抛物线在平行四边形内部的部分都在对称直线的左侧， 因为抛物线开口向上， 所以对称轴左侧随的增大而减小，符合要求， 故； 当点P在点G的下方时，如图所示，抛物线在平行四边形内部的部分都在对称直线的左侧， 因为抛物线开口向上， 所以对称轴左侧随的增大而减小，符合要求， 当点P与点A重合时，四边形不存在， 故；   当时，点P在对称轴的作出，如图，抛物线不能落在平行四边形内部，不符合要求； 综上所述，符合要求的m的范围是：或 ． 题型七、二次函数相似三角形问题 51．（2026·广东肇庆·一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为点A (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当最大值时，求点D的坐标； (3)如图1，点P在x轴上，点D在抛物线上，当P、D、B、C四点能构成平行四边形时，P点坐标是多少，不写过程，直接写出P点坐标 【答案】(1) (2)点坐标为 (3)符合条件的点坐标为：、、、． 【详解】（1）解：对，令，得，故； 令，得，故． 将、代入抛物线， 得，解得​， ∴抛物线解析式为． （2）令抛物线， 解得或， ∴， ∴． 设， 过作轴交直线于，过A作轴交直线于N， 则， ∴． 对，令，得， 故， ∴， ∵和同高， 故​， 又， ∴， ∴​， ∴， ， ∴当时，​​取最大值， 此时的纵坐标为， ∴​​最大时，点坐标为 （3）设， ∵P、D、B、C四点构成平行四边形， ∴分三种对角线情况： 情况1：与为对角线， ∵对角线中点相同： 中点：，中点为，即 中点：，即， ∴， 即， ∴， 解得或， 当，，，与C重合，舍去； 当，， 情况2：与为对角线， 中点：，即 中点：，即 ∴， 即， ∴， ∴，， 解得， 当，，； 当，， 情况3：与为对角线， 中点：，即， 中点：，即， ∴，即， ∴， 解得或， 当，，与C重合，舍去； 当，，． 故符合条件的点坐标为：、、、． 52．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点的抛物线与直线相交于，两点． (1)分别求点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)为第二象限内的抛物线上一动点，作直线交轴于点． （ⅰ）如图，连接，当，且面积为时，求k的值； （ⅱ）直线交抛物线于另一点，连接，作直线交轴于点．当时，求出此时的值；并在此条件下继续探究：随着点的运动，抛物线的对称轴上是否存在定点，始终满足？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，抛物线的解析式为； (2)（ⅰ）； （ⅱ），抛物线的对称轴上存在定点，始终满足，点的坐标为或． 【详解】（1）解：中， 令，， 解得， ∴点的坐标为， 把点和的坐标代入， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：（ⅰ）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴． （ⅱ）设，， 作轴于点，作轴于点，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 由得， ∴、为的两个根， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为，， 由得或， ∴， ∵，， ∴的中点横坐标为， 设直线的解析式为，则， ∴，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴上存在定点，始终满足，点的坐标为或． 53．（2026·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值为 (3)存在，最小值为 【详解】（1）解：是边长为4的等边三角形，二次函数的图象经过点A，B，O， ∴，，，， 如图所示，过点作于点E， ∴，， ∴， ∴， 把点的坐标，代入二次函数解析式得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：存在，最大值为，理由如下， ，，， ∴，， ∴点是线段的中点，则，即， 设点， 如图所示，过点作轴于点F，过点作轴于点G， ∴，，，，， ∴ ， 当时， ①式 ， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示，过点作轴于点F，交于点， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示， ∴，，，，， ∴ ， ∵， ∴该情况不符合题意； ∵， ∴面积的最大值是； （3）解：存在，最小值为，理由如下， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点D是的中点， ∴， 设，则，则， ∴， 如图所示， ∵轴于点， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作，使得，连接， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，过点P作y轴的平行线，过点作于点，过点作于点T， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴的最小值是． 54．（2026·山东烟台·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，N的坐标为或 【详解】（1）解：， ，， 将点A、C代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得，， ， 如图，过点P作轴交于点G，过点Q作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ，解得， ， 、所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， ， 解得：， ， 分的面积为两部分， 以为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得，， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点N，使得，理由如下： 在y轴上取点， 当N在y轴正半轴时，如图，      ，，，，， ，， ， ， 又，， ，即， ， ， ； 当N在y轴负半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ,满足条件， 综上，N的坐标为或． 55．（2026·湖南长沙·一模）若某函数的图象与轴、轴分别交于两点（与不重合），且，则称该函数为“等截距函数”．例如，函数的图象与轴交于，与轴交于，且，则称函数为“等截距函数”． (1)下列函数中，是“等截距函数”的在括号内打“√”，不是的在括号内打“×”； ①（）；②（）；③（）． (2)抛物线与轴交于两点（点在原点右侧），与轴交于点，“等截距函数”的图象经过两点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． ①如图1，连接与相交于点，当时，求点的坐标； ②如图2，平分交轴于点，过点的直线与线段分别交于，当直线绕点旋转时，为定值，请求出该定值． 【答案】(1)①√；②√；③× (2)①或；② 【详解】（1）解：①当时，，当时，，且， ∴是“等截距函数”； ②当时，，当时，，且， ∴是“等截距函数”； ③当时，，当时，，且， ∴不是“等截距函数”； （2）解：①对于，当时，， ∴． ∵“等截距函数”的图象经过两点， ∴， ∴． 把代入，得 ， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则． 过点作轴交于点，过点作轴交于点，则， ， ∴，， ，， ∵， ，， ∴， ， 解得，， 或； ②解，得， ∴， ∴． ∵， ∴， 作于点H，作于点K， ∵平分，，∴． ∵，， ∴，∴，∴． ∵，∴，∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮押题04:二次函数 押题依据 猜押考点 2025 年考查省份 考情分析 押题依据 二次函数定义、图像与性质 全国所有省份（必考）：北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆 基础 + 中档题，选择 / 填空 / 解答，6–10 分；考查开口方向、对称轴、顶点、增减性、与坐标轴交点；2025 重点：顶点坐标、对称轴、图像平移、系数符号判断。 中考核心函数，代数基础；衔接一次函数、反比例函数、几何；命题稳定、重数形结合。 二次函数解析式求法（待定系数法） 江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、云南、广西 中档高频题，解答题，6–8 分；考查一般式、顶点式、交点式、待定系数法；2025 侧重：三点式、顶点式、交点式灵活选用。 二次函数核心技能，中考必考；2025 真题高频，重运算与建模能力。 二次函数与一元二次方程、不等式 江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档必考题，选择 / 填空 / 解答，8–12 分；考查根的判别式、韦达定理、函数值符号、不等式解集；2025 侧重：图像与 x 轴交点、不等式解集、参数范围。 代数综合核心，考查转化思想；2025 真题高频，重逻辑推理与数形结合。 二次函数实际应用（最值、建模） 全国所有省份（必考）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档必考题，解答题，8–12 分；考查利润最值、面积最值、增长率、几何建模；2025 侧重：二次函数利润最值、面积最值、方案选择。 中考核心应用，考查建模；2025 真题稳定考查，重实际问题转化能力。 二次函数综合压轴（与几何、一次函数） 全国所有省份（高频）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 压轴题，解答压轴，10–14 分；考查动点、存在性、最值、相似、圆、一次函数综合；2025 侧重：动点最值、等腰 / 直角三角形存在性、面积最值、函数几何综合。 中考代数压轴核心，综合度最高；2025 真题高频，重综合分析与创新思维。 押题预测 题型一、二次函数定义、图像与性质 1．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 3．（2026·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（a为常数，且）的图象经过、，当时，y值随x值的增大而减小，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川成都·二模）关于二次函数的部分图象如图，点，对称轴为直线．下列说法错误的是（     ） A． B．b2－4ac＞0 C．方程的根为：， D． 5．（2026·广东深圳·二模）新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴是直线，下列结论中错误的是（   ） A． B． C．当时，随的增大而增大 D． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图象向右平移3个单位后经过坐标原点，点，在该函数图象上，则下列关于该二次函数的说法错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．顶点在第二象限 C．与直线的交点横坐标是和0 D．若，则 8．（2026·安徽合肥·二模）已知点、都在关于的函数（、、为常数，且）的图象上，且满足，则（   ） A．可以找到一个实数，使得抛物线与轴没有交点 B．无论实数取任何值，抛物线与轴都只有一个交点 C．可以找到一个实数，使得抛物线与轴只有一个交点 D．无论实数取任何值，抛物线与轴都会有两个交点 9．（2026·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴自左向右依次交于A，B两点． (1)求A点坐标； (2)两抛物线交于点，点是新抛物线上一动点，若时，恒有，求t的取值范围； (3)当时（不与A，B重合），新抛物线上y最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值． 10．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数） (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标； (2)若该二次函数图象经过点，且，求b的取值范围； (3)若，，且当时，的最大值与最小值的差为4，求c的值． 题型二、二次函数的图像与系数的关系 11．（2026·山东聊城·二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④ 12．（2026·河南南阳·一模）如图是二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2026·四川成都·二模）已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 14．（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 15．（2026·湖南株洲·一模）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①，②，③，④，正确的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 16．（2026·山东济宁·二模）如图，二次函数的部分图象与x轴、y轴分别交于点A，B．若抛物线的对称轴，点A的坐标为，则下列结论：①；②；③；④（m为实数），其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 17．（2026·河南郑州·一模）某同学利用数学绘图软件探究函数的图象，在输入一组a、b的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b的值应满足（   ） A．， B．， C．， D．， 18．（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 19．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的对称轴； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的值； ②若点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 20．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时，． ①若，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 题型三、二次函数与一元二次方程、不等式 21．（2026·陕西西安·三模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 1 5 0 7 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴的交点坐标为和 22．（2026·陕西西安·模拟预测）当时，二次函数的图象一定经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、三、四象限 23．（2026·广东汕头·一模）已知二次函数，若关于的方程的实数根为，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·湖北·一模）已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 25．（2026·福建南平·一模）抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 26．（2026·浙江·模拟预测）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，的取值范围是或，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 28．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数 （且为常数）． (1)当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若点，在该抛物线上，且，求的取值范围； (2)当时，始终成立，求的取值范围． 29．（2026·黑龙江双鸭山·二模）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的右边），交轴于点，其对称轴为，抛物线经过点，与x轴交于另一点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一动点，作轴，交抛物线于点，直接写出点自点运动至点的过程中，线段长度的最大值． 30．（2026·湖南怀化·二模）已知一次函数的图象分别交轴，轴于点，过两点的二次函数的图象与轴交于另一点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图1，，为上方抛物线上两动点，分别过点作轴的垂线，与线段交于点．若，探究线段与能否互相垂直且平分？若能互相垂直且平分，求出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由； (3)如图2，点在轴正半轴上，连接，当时，在二次函数图象上存在点使得，求点到轴的距离． 题型四、二次函数实际应用（最值、建模） 31．（2026·甘肃武威·二模）某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 32．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 33．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 34．（2026·天津红桥·一模）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（O为原点，高）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．有下列结论： ①该球经过区域； ②该球飞行的水平距离为时的高度大于飞行的水平距离为时的高度； ③C为球门的高上一点，．若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 35．（2026·天津河西·一模）要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管，并在水管顶端处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，有下列结论： 水柱落地处距池中心的距离为； 水管的长度为； 水柱到达最高点时的高度为． 其中，正确的结论是（   ） A． B． C． D． 36．（2026·山东济南·二模）如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，点为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论：①当时，；②；③连接，有最小值为；④当与相似时，．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒，则与之间的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 38．（2026·广东深圳·二模）综合与实践 【问题背景】“尖鼻蛙”是“蛙界”跳远之王．对蛙类的立定跳远项目进行比较与测量，可以为研究蛙类跳跃极限、“仿蛙机器人”跳跃性能等，提供参考数据． 【模型构建】如图1，当“尖鼻蛙”以倾斜角起跳（以下简称“起跳”）时，若以地面上的起跳点为坐标原点，以地面上水平向右的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则其运动路线可以近似地用公式表示，其中，（m/s）是起跳时的速度． 【模型应用】 (1)如图1，当“尖鼻蛙”起跳速度m/s时，则其跳远距离______m，在这个过程中，“尖鼻蛙”离地的最大高度是______m． (2)如图1，若“尖鼻蛙”起跳速度为，从起跳到落地的过程中： ①求其离地的最大高度是多少？（用含的代数式表示） ②记①中离地的最大高度为h，记，求证：． (3)如图2，“尖鼻蛙”连续两次起跳，共跳了8m远．在起跳点正上方1.25m处，设有一条平行于地面的观测线．若在两次跳跃过程中，“尖鼻蛙”均没有触碰到．设两次离地的最大高度分别为，． ①填空：______m； ②设其第一次起跳的速度为（m/s），求的取值范围． 39．（2026·云南昆明·二模）普洱茶是云南的特色产品，某茶叶销售店以每饼120元的成本购进一批普洱茶饼，根据市场调研，销售单价不低于成本单价，也不高于每饼200元，已知每季度销售量（单位：饼）与销售单价（单位：元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象． (1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； (2)设该茶叶销售店每季度销售茶叶获得的利润为元，求的最大值． 40．（2026·广东深圳·二模）央视春晚的舞台上，武术机器人凭借科技与武术的完美融合，上演了一场精彩绝伦的腾空跳跃表演．数学小组发现机器人跳跃轨迹呈抛物线形状，并进行以下研究： 信息1：机器人跳跃的轨迹看作一个点的运动轨迹，每次跳跃轨迹形状不变． 信息2：如图1，以机器人起跳点为坐标原点建立平面直角坐标系，当机器人与点的水平距离为2米时达到最高点，最大高度为2米． 请根据上述信息解决下列问题： (1)求图1中抛物线的函数表达式； (2)在点正前方的水平地面上有一个正方形台阶，其中米，米． ①若机器人向右移动一段距离后再跳跃能越过正方形台阶，则机器人至少需向右平移多少米？ ②如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，设置滑梯，其中米，米，机器人从滑梯上起跳，起跳点的横坐标记为米，跳跃后落在台阶上（含点、），求的取值范围． 题型五、二次函数线段、周长、面积等问题 41．（2026·湖南娄底·二模）如图，二次函数的图象经过点，点，，是此二次函数图象上的三个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知，，且． ①若直线，分别交y轴于点，求证：； ②过点作轴的垂线分别交，于点，设，试探究当取何值时，取得最大值？请求出的最大值． 42．（2026·山东烟台·一模）已知抛物线经过三点，直线交抛物线于A，D两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方拋物线上的一点，作轴，垂足为，交于点，且点将线段分为的两部分．求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的任意一点，连接，当取最小值时，求点的坐标． 43．（2026·湖北随州·二模）如图，直线分别交x，y轴于点B，C，抛物线L：经过B，C两点，且与x轴交于另一点A，其顶点为M，点P是x轴上方的抛物线L上一动点（不与点M，C重合），点P的横坐标为m． (1)直接写出a，c的值； (2)将抛物线L向左上方平移得到抛物线G，使抛物线G经过点C，过点M作轴交抛物线G于点N，交于点D，若，试判断抛物线G的顶点Q是否在直线上，并说明理由； (3)过点P作x轴的垂线交于点E，交（2）中的抛物线G于点F，过点P作x轴的平行线与抛物线L的另一个交点为H，连接，设的面积为． ①求关于m的函数解析式； ②经过探究发现：针对的不同取值，满足条件的点P的个数不同．如果对在某个范围内的每个确定值，满足条件的点P只有一个，直接写出此时线段的最小值． 44．（2026·山东东营·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上一动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 45．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴的左右两个交点分别为点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上取点D，使，求点D的坐标； (3)若抛物线：的对称轴与抛物线的对称轴相同，过点C的直线l：交抛物线于点P，问是否存在某种情况，使抛物线与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段的中点？若存在这种情况，请求出a和k的值；若不存在，请说明理由． 题型六、二次函数特殊三角形、特殊四边形问题 46．（2026·四川泸州·二模）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)动点在抛物线的对称轴上，且在轴下方，作射线，将射线绕点逆时针旋转后与抛物线交于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请求出的值． 47．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图，若二次函数的图象交x轴于点和点，与y轴交于点C，P为该函数图象上不与顶点重合的任意一点，且点P的横坐标为m． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点P在第一象限内的图象上，且的面积，求点P的坐标； (3)若该二次函数图象的顶点为D，过点P作对称轴的垂线，垂足为E，设． ①求DE的长（用含n的式子表示）； ②定义：对于平面内两点M，N，若点Q满足，则称点Q为线段的中垂点．若点F是线段的中垂点，且为直角三角形，求直角的直角顶点不在二次函数图象内部的m的取值范围． 48．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 49．（2026·江苏苏州·一模）如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 50．（2026·吉林四平·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，顶点为，点是该抛物线上的动点，其横坐标为，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，以、为邻边作平行四边形． (1)求该抛物线对应的函数解析式及点的坐标； (2)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求的值； (3)当平行四边形的面积被轴平分时，求的值； (4)当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 题型七、二次函数相似三角形问题 51．（2026·广东肇庆·一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为点A (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当最大值时，求点D的坐标； (3)如图1，点P在x轴上，点D在抛物线上，当P、D、B、C四点能构成平行四边形时，P点坐标是多少，不写过程，直接写出P点坐标 52．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点的抛物线与直线相交于，两点． (1)分别求点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)为第二象限内的抛物线上一动点，作直线交轴于点． （ⅰ）如图，连接，当，且面积为时，求k的值； （ⅱ）直线交抛物线于另一点，连接，作直线交轴于点．当时，求出此时的值；并在此条件下继续探究：随着点的运动，抛物线的对称轴上是否存在定点，始终满足？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 53．（2026·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 54．（2026·山东烟台·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 55．（2026·湖南长沙·一模）若某函数的图象与轴、轴分别交于两点（与不重合），且，则称该函数为“等截距函数”．例如，函数的图象与轴交于，与轴交于，且，则称函数为“等截距函数”． (1)下列函数中，是“等截距函数”的在括号内打“√”，不是的在括号内打“×”； ①（）；②（）；③（）． (2)抛物线与轴交于两点（点在原点右侧），与轴交于点，“等截距函数”的图象经过两点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． ①如图1，连接与相交于点，当时，求点的坐标； ②如图2，平分交轴于点，过点的直线与线段分别交于，当直线绕点旋转时，为定值，请求出该定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $