专题31 平面向量的内积（讲义）-2027年云南省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题31 平面向量的内积 【复习目标】 1. 知道两个向量的内积与向量内积的性质及几何应用； 2. 会计算两个向量的内积，知道用向量的内积判定两个向量是否垂直. 【考点1 向量的内积】 1.对于非零向量和，作称射线OA、OB所成的最小正角为向量与的夹角，记作．当和同向时，=0；当和反向时，=π ．因此，0≤≤π ．当=时，称向量与向量互相垂直，记作⊥． 2．向量内积的定义 (1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的 (也称 )； (2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； (3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 3.向量的内积满足下面的运算规律： 【即时训练】 1．已知直角三角形中边，且，则的值是（    ） A．24 B．12 C．16 D．8 2．已知向量与向量的夹角为120°，，则（    ） A．3 B． C． D．1 3．已知两个非零向量与的夹角为锐角，则（　　） A． B． C． D． 4．已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 5．若向量与的夹角为，，且，则的模为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 6．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，若，且，则（    ） A．1 B． C． D． 8．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 9．已知向量，的夹角为，，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 10．已知向量满足，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 11．设向量，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 12．已知向量满足，与的夹角为，则（    ） A． B． C．5 D．3 13．已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 14．是边长为2的等边三角形，则（    ） A． B． C． D．2 15．若，则（    ） A． B． C． D． 【考点2 向量内积的性质及坐标表示】 1．向量数量积的性质 设都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (3)； (4) 2．向量内积的坐标表示 (1)若，则； (2)向量数量积：若，则； (3)若向量，则 【即时训练】 16．如果，且，则（    ） A．3 B． C．4 D． 17．已知， ，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知，，若，则为（      ）． A． B．2 C．8 D． 19．已知向量，，，，则（    ） A． B． C． D． 20．如果（    ） A． B．3 C． D．7 21．已知，，且，则（    ）． A． B． C． D． 22．向量与垂直，则 的值为（    ） A．8 B． C．2 D． 23．已知平面向量，，则（    ） A． B．0 C． D．3 24．已知，则（   ） A．3 B． C． D． 25．已知平面向量，平面向量.若，则（ ） A． B． C． D． 1.（2024云南）已知向量与互相垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 2.（2024云南）已知向量，，，则__________． 3.（2023云南）已知向量与，且，则__________ 4.（2022云南）已知，，且，则（ ）． A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题31 平面向量的内积 【复习目标】 1. 知道两个向量的内积与向量内积的性质及几何应用； 2. 会计算两个向量的内积，知道用向量的内积判定两个向量是否垂直. 【考点1 向量的内积】 1.对于非零向量和，作称射线OA、OB所成的最小正角为向量与的夹角，记作．当和同向时，=0；当和反向时，=π ．因此，0≤≤π ．当=时，称向量与向量互相垂直，记作⊥． 2．向量内积的定义 (1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； (2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； (3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 3.向量的内积满足下面的运算规律： 【即时训练】 1．已知直角三角形中边，且，则的值是（    ） A．24 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】由向量内积的定义结合三角形中的条件直接计算即可. 【详解】因为直角三角形中边，且， 可得， 所以. 故选：C. 2．已知向量与向量的夹角为120°，，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题利用，再结合向量内积的定义计算即可. 【详解】因为向量与向量的夹角为120°，， 所以. 则. 故选：. 3．已知两个非零向量与的夹角为锐角，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的定义求解. 【详解】因为两个非零向量与的夹角为锐角，所以， 即， 故选：A. 4．已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】. 故选：C 5．若向量与的夹角为，，且，则的模为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】结合向量运算律和内积定义求解即可. 【详解】由可得： ，解得. 故选：C. 6．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的充要条件即可求解. 【详解】因为向量， 所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 7．已知向量，若，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积定义求解即可. 【详解】. 故选：A. 8．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】利用向量内积的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 9．已知向量，的夹角为，，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据向量模的计算公式，向量的内积即可求解. 【详解】 . 故选：D. 10．已知向量满足，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C 11．设向量，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的定义式计算即可. 【详解】∵，，， ∴. 故选：A. 12．已知向量满足，与的夹角为，则（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据平面向量内积公式即可求解. 【详解】因为，与的夹角为 故选:D. 13．已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式计算角的余弦值，再结合夹角范围求解即可. 【详解】. ∵，∴. 故选：C. 14．是边长为2的等边三角形，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先将向量转化为共起点向量，再由向量内积的运算计算即可. 【详解】因为是边长为2的等边三角形， 所以的度数为，， 所以有. 故选:D. 15．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义式即可求解. 【详解】因为, 所以, 又因为, 所以. 故选：. 【考点2 向量内积的性质及坐标表示】 1．向量数量积的性质 设都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (3)； (4) 2．向量内积的坐标表示 (1)若，则； (2)向量数量积：若，则； (3)若向量，则 【即时训练】 16．如果，且，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直内积为零，求解即可. 【详解】因为且， 则，解得. 故选：C. 17．已知， ，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为， ，且， 所以，则. 故选：B. 18．已知，，若，则为（      ）． A． B．2 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解. 【详解】∵，，， ∴，解得. 故选：B． 19．已知向量，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两向量垂直的坐标表示即可求出的值. 【详解】向量，，且， 则，又因为， 所以 故选：D. 20．如果（    ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 21．已知，，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的内积为易得答案. 【详解】因为, 所以. 故选:C. 22．向量与垂直，则 的值为（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量与垂直， 所以，解得. 故选：B． 23．已知平面向量，，则（    ） A． B．0 C． D．3 【答案】C 【分析】根据向量内积的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：C. 24．已知，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量模的坐标表示求值即可. 【详解】已知，则， 故选：D. 25．已知平面向量，平面向量.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为平面向量，平面向量， 且，则， 解得. 故选：A. 1.（2024云南）已知向量与互相垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【分析】根据向量垂直则，列出方程即可得解. 【详解】向量与互相垂直，所以， 则，解得， 故选：. 2.（2024云南）已知向量，，，则__________． 【答案】 【分析】根据向量模长先求未知数，再代入易得向量内积. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案：. 3.（2023云南）已知向量与，且，则__________ 【答案】2或. 【分析】由向量内积的坐标运算求解参数即可. 【详解】因为向量与，且， 所以， 解得或. 故答案为：2或. 4.（2022云南）已知，，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据向量垂直的内积为易得答案. 【详解】因为, 所以. 故选:C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $