专题8 几类常见的函数（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 几类常见的函数 【复习目标】 1. 理解一次函数、反比例函数以及二次函数的定义，掌握几种常见函数的图像与性质. 2. 会求二次函数的解析式，会求二次函数的最值. 3.能运用函数知识解决简单的实际问题. 【考点1 一次函数】 (1)一次函数的定义： 一般地，形如的函数叫一次函数.其中时，函数 叫作正比例函数，其图像是过原点的一条直线. (2)一次函数的图像与性质 图像 象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 与轴的交点 与轴的交点 单调性 单调递增 单调递减 奇偶性 当时，一次函数是奇函数，否则，函数非奇非偶函数 【即时训练】 1．下列函数中是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义判断即可. 【详解】A选项为反比例函数，B选项为二次函数，C选项为一次函数， D 选项的指数为，不是一次函数； 故选：C 2．若，，则直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据所给条件，画出直线在直角坐标系中的图形即可判断. 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 由图可知，直线所以不经过第三象限. 故选：C. 3．函数，（   ） A．最大值为5 B．最大值为-6 C．最大值为1 D．无最大值 【答案】A 【分析】根据为一次函数，分析可得当x=1时有最大值，代入即可得答案. 【详解】因为，为一次函数，在R上单调递增， 所以最大值为. 故选：A 4．下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，逐项判断函数在上的单调性作答. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递增，B是； 对于C，函数在上单调递减，C不是； 对于D，函数在上不单调，D不是. 故选：B 5．若函数，在其定义域上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质列出不等式，求解即可得到答案. 【详解】根据一次函数的性质可得，解得. 故选：A. 6．若直线不经过第一象限，则的取值范围是（　　 ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据一次函数的图像与系数的关系即可得出结论. 【详解】由一次函数的图像不经过第一象限， ∴，. 故选：D. 7．如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是 A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a 【答案】B 【分析】根据斜率的大小，判断出三者的大小关系. 【详解】根据图像可知，，而，所以，故选B. 8．已知一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)经过(1，－1)和(2，1)两点，则该一次函数的斜率和截距分别是 A．－2，1 B．1，－2 C．2，－3 D．－3，2 【答案】C 【分析】一次函数f(x)＝kx＋b的斜率和截距分别是k，b，列方程组解出k，b即可. 【详解】由题意得，因此斜率和截距分别是2，－3. 故选：C. 【考点2 反比例函数】 1. 反比例函数的定义： 一般地，形如的函数叫反比例函数，其图像是由两个分支组成的曲线. 2. 反比例函数的图像与性质． 图像 象限 一、三 二、四 单调性 在每个象限内，单调递减 在每个象限内，单调递增 奇偶性 奇函数 【即时训练】 9．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点， ∴ 把，代入，得， 解得 ． 10．反比例函数的图像可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图像性质，当时，图像位于第一、三象限；当 时，图像位于第二、四象限解答即可． 【详解】解：∵ 反比例函数 中，， ∴ 该函数的图像位于第一、三象限，即选项A符合题意． 11．反比例函数的图象特征是(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．只在第一象限 D．只在第四象限 【答案】B 【详解】解：∵对于反比例函数 ， ∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限． 12．反比例函数的图象经过点和．则m的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】把点坐标代入解析式，即可求出k的值，再将点坐标代入解析式解出m即可． 【详解】解：把代入解析式得： ， 解得：， ∴反比例函数， 将点坐标代入解析式得：． 13．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意． 【考点3 二次函数】 1、二次函数的定义 形如的函数叫一元二次函数，其中为常数. 2、二次函数的解析式 ①一般式：； ②顶点式：，其中顶点为； ③两点式：，其中抛物线与轴的交点为. 3、二次函数的图像与性质 图像 开口方向 向上 向下 开口大小 越大，开口越小；越小，开口越大 顶点坐标 对称轴 单调性 在上单调递减， 在上单调递增 在上单调递增， 在上单调递减 最大值与最小值 当时， 当时， 奇偶性 当时，二次函数是偶函数，图像关于轴对称，否则，函数非奇非偶函数 定点 二次函数图像一定过点，即 【即时训练】 14．如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】求出函数的解析式，代入可得. 【详解】设点在函数的图象上，则点在函数的图象上， 所以，即，所以. 15．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质求最小值. 【详解】，其图象是对称轴为，开口向上的抛物线， 所以当时，y有最小值，最小值为. 故选：C. 16．已知函数，的最小值是：（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用二次函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，在上单调递增，则最小值为. 故选：B 17．已知二次项系数为的二次函数的图象为如图所示的曲线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可得二次函数解析式，代入即可求得结果. 【详解】二次项系数为，由图象可知：， . 故选：C. 18．已知二次函数在区间上是增函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数的性质计算可得. 【详解】由题意可得二次函数的开口向上，对称轴， 因为二次函数在区间上是增函数， 所以. 故选：A. 19．函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性. 【详解】解：函数对称轴为，开口向上， 所以函数，的单调减区间为. 故选：D 20．将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数平移规则得出解析式即可. 【详解】将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位， 则平移后所得抛物线表达式为. 故选：B. 21．已知二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则的值分别是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数对称轴及所过的点列方程求参数即可. 【详解】由题意，且，则. 故选：C 22.已知二次函数的图象经过点且对称轴为. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）二次函数图象经过点和对称轴为， ，， . （2），， ，， 不等式的解集. 【考点4 函数的应用】 应用函数解决实际问题，即把实际问题加以抽象概括建立相应的数学模型，审题是关键，弄清题目中数量关系建立数学模型是难点，同时还要注意实际问题对变量的限制条件，解函数应用题的一般步骤：(1)审题；(2)建模；(3)求解；(4)作答. 【即时训练】 23. 企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为万元，两者满足关系：． (1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值； (2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）． 【答案】(1)1965万元 (2)22.5万台 【解析】（1）设利润为． 则， 当时，， 所以产量为45万台时，甲企业获利最大为1965万元. （2）设利润为． 设乙企业产量为x万台，此时甲依旧按照45万台产量生产， 对于乙企业，每万台产品的销售收入为， 则 ． 当时，最大， 所以乙企业产量为22.5万台，获得利润最大． 24.有100米长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？ 【答案】矩形的长为50米，宽为25米时，这块菜地的面积最大 【解析】设所围矩形的长为x(米)，宽为y(米)，则有2y＋x＝100， ∴ ， 所围矩形的面积 ，当且仅当米时，平方米，此时宽为25米． 答：矩形的长为50米，宽为25米时，这块菜地的面积最大． 1.（2022·天津·真题T03）函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域是实数集R，关于原点对称， 令，则， 所以是奇函数，即函数是奇函数. 故选：A. 2.（2026·天津·真题T15）已知二次函数，且 （1）求常数b的值； （2）求的对称轴方程； （3）求函数. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式代入求解即可. （2）根据二次函数的对称轴求解即可. （3）根据一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 因为二次函数，且， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，. 所以对称轴为. 【小问3详解】 不等式，即，得. 因式分解得，解得. 因此解集为. 3.（2025·天津·真题T15）已知二次函数，且， （1）求实数c； （2）解不等式； （3）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数解析式，及函数值，代入即可求解； 根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解； 根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求得函数的最值. 【小问1详解】 因为二次函数，且， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 又，即， 所以，即， 解得， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 因为，函数图像开口向上，对称轴为轴， 所以当时，；. 4.（2024·天津·真题T15）已知二次函数，且满足条件． （1）求实数m； （2）求不等式的解集； （3）当x为何值时，函数取得最小值，并求出最小值． 【答案】（1） （2） （3）当时，函数取得最小值，最小值为-1. 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解； （3）利用二次函数性质求解. 【小问1详解】 将代入函数解析得，解得. 【小问2详解】 二次函数，不等式可化为, ，解得或， 因此，所求不等式的解集为. 【小问3详解】 二次函数，开口向上， 当时，函数取得最小值. 5.（2023·天津·真题T15）已知二次函数． （1）求函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求不等式的解集； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）对称轴为，顶点坐标为 （2） （3）最大值为9，最小值为 【解析】 【分析】（1）将二次函数解析式化简为顶点式求解即可； （2）借助一元二次不等式求解即可； （3）根据函数的对称轴与开口方向确定函数的单调性，进而求解最值即可； 【小问1详解】 因为二次函数， 所以其对称轴为，顶点坐标为； 【小问2详解】 由，得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 由题意，， 所以函数的对称轴为，图象开口向上， 因为，所以在上单调递增， 所以， 所以函数在区间上的最大值为9，最小值为. 6.（2022·天津·真题T15）已知函数，求 （1）函数图象与坐标轴的交点坐标 （2）不等式的解集 （3）函数的单调递减区间 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出对应的x的值,，令代入函数解析式中求出函数的值即可求解. （2）根据一元二次不等式的解法即可求解. （3）根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 在函数中，令，则，解得或， 所以函数图象与x轴的交点坐标为； 在函数中，令，则， 所以函数图象与y轴的交点坐标为. 【小问2详解】 由，则，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 函数的图像为开口向上的抛物线，其对称轴为， 所以函数的单调递减区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 几类常见的函数 【复习目标】 1. 理解一次函数、反比例函数以及二次函数的定义，掌握几种常见函数的图像与性质. 2. 会求二次函数的解析式，会求二次函数的最值. 3.能运用函数知识解决简单的实际问题. 【考点1 一次函数】 (1)一次函数的定义： 一般地，形如_____________的函数叫一次函数.其中时，函数 叫做_________其图像是过原点的___________. (2)一次函数的图像与性质 图像 象限 与轴的交点 与轴的交点 单调性 奇偶性 【即时训练】 1．下列函数中是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函数，（   ） A．最大值为5 B．最大值为-6 C．最大值为1 D．无最大值 4．下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．若函数，在其定义域上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 6．若直线不经过第一象限，则的取值范围是（　　 ） A． B． C． D．0 7．如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是 A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a 8．已知一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)经过(1，－1)和(2，1)两点，则该一次函数的斜率和截距分别是 A．－2，1 B．1，－2 C．2，－3 D．－3，2 【考点2 反比例函数】 1. 反比例函数的定义： 一般地，形如____________的函数叫反比例函数，其图像是由两个分支组成的曲线. 2. 反比例函数的图像与性质． 图像 象限 单调性 奇偶性 【即时训练】 9．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A．6 B． C． D． 10．反比例函数的图像可能是（   ） A．B．C．D． 11．反比例函数的图象特征是(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．只在第一象限 D．只在第四象限 12．反比例函数的图象经过点和．则m的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 13．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点3 二次函数】 1、二次函数的定义 形如____________的函数叫一元二次函数，其中为常数. 2、二次函数的解析式 ①一般式：____________； ②顶点式：____________，其中顶点为________； ③两点式：____________，其中抛物线与轴的交点为_______. 3、二次函数的图像与性质 图像 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 单调性 最大值与最小值 奇偶性 定点 【即时训练】 14．如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 15．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数，的最小值是：（    ） A． B．0 C．4 D．8 17．已知二次项系数为的二次函数的图象为如图所示的曲线，则（    ） A． B． C． D． 18．已知二次函数在区间上是增函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 20．将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 21．已知二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则的值分别是（  ） A． B． C． D． 22.已知二次函数的图象经过点且对称轴为. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【考点4 函数的应用】 应用函数解决实际问题，即把实际问题加以抽象概括建立相应的数学模型，审题是关键，弄清题目中数量关系建立数学模型是难点，同时还要注意实际问题对变量的限制条件，解函数应用题的一般步骤：(1)审题；(2)建模；(3)求解；(4)作答. 【即时训练】 23. 企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为万元，两者满足关系：． (1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值； (2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）． 24.有100米长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？ 1.（2022·天津·真题T03）函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 2.（2026·天津·真题T15）已知二次函数，且 （1）求常数b的值； （2）求的对称轴方程； （3）求函数. 3.（2025·天津·真题T15）已知二次函数，且， （1）求实数c； （2）解不等式； （3）求函数在上的最大值和最小值. 4.（2024·天津·真题T15）已知二次函数，且满足条件． （1）求实数m； （2）求不等式的解集； （3）当x为何值时，函数取得最小值，并求出最小值． 5.（2023·天津·真题T15）已知二次函数． （1）求函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求不等式的解集； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 6.（2022·天津·真题T15）已知函数，求 （1）函数图象与坐标轴的交点坐标 （2）不等式的解集 （3）函数的单调递减区间 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $