第五单元 长方体和正方体的体积（期末知识清单）五年级数学下学期（冀教版）

第五单元：长方体和正方体的体积 知识清单 （知识总结梳理+6大考点典例精讲+变式训练+课后高频精炼） 知识点01：体积、容积的意义、单位及换算 1.体积的概念：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.容积的概念：容器所能容纳物体的体积，通常叫做容器的容积。 3.常用的体积单位：立方米、立方分米、立方厘米。 4.常用的容积单位：升、毫升。 5.体积(容积)单位之间的进率：相邻的两个常用体积(或容积)单位之间的进率是 1000。 6.体积单位与容积单位之间的换算：1 立方厘米=1 毫升 1 立方分米=1升 知识点02：体积、容积的计算 1.长方体和正方体的体积与容积都可以用“底面积×高”来计算。 2.求体积用从外面测量的数据，求容积用从里面测量的数据。 3.长方体的体积(或容积)=长×宽×高，用字母表示为V=abh。 4.正方体的体积(或容积)=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a³。 知识点03：解决问题 利用体积、容积知识解决生活中的问题，比如土石方。生活中，计量沙、土、石子等的体积时，常常把“立方米”简称为“方”。 考点1：体积的认识 【典型例题】一个棱长为1厘米的正方体木块，所占的空间是（    ）。 A．1厘米 B．1平方厘米 C．1立方厘米 【变式训练1】你的拳头的体积（    ）。 A．小于1立方分米 B．等于1立方分米 C．大于1立方分米 【变式训练2】冰壶属于冬奥会比赛项目，冰壶的形状和大小如图所示，它的体积大约是8（    ）。 A．dm3 B．cm2 C．cm3 考点2：长方体的体积 【典型例题】一个长方体长5cm，宽4cm，高3cm。它的体积是（    ）cm3。 A．60 B．94 C．20 【变式训练1】家具厂订购50根方木，每根方木横截面的面积是0.024平方米，长3米。这些木料一共是（    ）立方米。 A．0.072 B．36 C．3.6 【变式训练2】31．如果一个长方体的长变为原来的2倍，宽变为原来的3倍，高变为原来的4倍，那么体积将变为原来的（    ）倍。 A．10 B．12 C．24 考点3：正方体的体积 【典型例题】一个正方体的棱长是5dm，它的体积是（    ）dm3。 A．150 B．125 C．25 【变式训练1】一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2；8 B．4；8 C．8；4 【变式训练2】“六一”儿童节，数学老师奖励聪聪一个魔方。如图，这个魔方是由棱长为1cm的小正方体拼接成，魔方的体积是（    ）cm3。 A．64 B．48 C．27 考点4：体积单位的换算 【典型例题】8立方米＝( )立方分米      2800立方厘米＝( )立方分米 【变式训练1】8m2＝( )dm2                  120cm2＝( )dm2 3400cm3＝( )dm3                0.5m3＝( )dm3 【变式训练2】如图是一个长方体分别从它的前面和上面看到的平面图形，这个长方体的体积是 dm3。 考点5：组合图形的体积 【典型例题】如图，由棱长是3和5的两个正方体搭成的图形，它的表面积是( )，体积是( )。 【变式训练1】如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块体积是1立方分米，这堆小方块的总体积是( )立方分米，露在外面的面积是( )。 【变式训练2】计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 考点6：体积的实际问题 【典型例题】一个正方体的水箱有64升的水，把这样满满的一箱水倒入另一只内长80厘米，宽25厘米的长方体水箱中，水深是多少厘米？ 【变式训练1】某小学建一个长方体游泳池，长80米，宽25米，深2米。 （1）在游泳池的底部和四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积有多少平方米？ （2）如果在游泳池内注水到1.2米的高度，那么需要注入多少立方米的水？ 【变式训练2】体育馆要修建一个长50米，宽18.5米，深1.6米的儿童游泳池。 （1）它的占地面积是多少平方米？ （2）这个游泳池最多能容纳水多少升？ （3）如果在四周和底部贴上瓷砖，则瓷砖的面积是多少平方米？ 一、选择题 1．把自己的拳头伸进装满水的盆里，溢出的水的体积（    ）。 A．大于1mL，小于1L B．大于1L，小于1m3 C．大于1L，小于1mL D．大于1dm3，小于1L 2．把一根长1米的长方体木材锯成2个长0.5米的小长方体后，表面积增加12平方厘米，这根木材原来的体积是（    ）。 A．700立方厘米 B．60立方厘米 C．800立方厘米 D．600立方厘米 3．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的表面积扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2；8 B．4；8 C．2；6 D．4；6 4．如图，小禾在一个长方体容器中摆了若干个体积为1cm3的小正方体。这个容器的容积是（    ）cm3。 A．72 B．84 C．90 D．108 5．一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加（    ）立方厘米。 A．abh B．2ab C．2ah D．ab（h＋2） 二、填空题 6．用一根长36厘米的铁丝围成一个正方体，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 7．将正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的( )倍；体积扩大到原来的( )倍。 8．一个正方体的棱长之和是180cm，它的体积是( )。 9．一根长6分米的长方体木料，把它锯成2段，表面积就增加了64平方分米，原长方体木料的体积是( )立方分米。 10．下图是一个长方体一个顶点处的3条棱（单位：cm）。用铁丝焊接这样一个框架，至少需要铁丝( )cm；给框架焊上铁皮，至少需要铁皮( )；用做成的铁皮箱子装水，最多能装( )L。 11．要在平地上挖一个长20米、宽8米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出( )方的土，土坑占地面积是( )平方厘米。 12．一种家用电器的外包装是一个长方体纸箱，长5分米，宽3分米，高4分米，它的棱长和是( )分米，做这个立体纸箱需要( )平方分米的硬纸板（接头处不计），这个纸箱所占的空间是( )立方分米。 13．某城市要挖一个长150米，宽40米，深5米的地下车库，一共需要挖出土石( )方。 14．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，这个长方体的表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 三、判断题 15．洗衣机的体积就是它的容积。( ) 16．棱长是9cm的正方体，它的体积大于表面积。( ) 17．棱长是6厘米的正方体，表面积和体积相等。( ) 18．为了身体健康我们每天要多喝水，一天喝8杯水，也就是大约1200升最为合适。( ) 19．一个正方体的棱长越长，它的体积就越大。( ) 四、计算题 20．求如图组合体的表面积和体积。（单位：分米） 五、解答题 21．在一个长15厘米，宽11厘米，高9厘米的长方体里裁一个最大的正方体。这个正方体的体积是多少立方厘米？ 22．工人叔叔用1600立方米的砂石去铺一条长1000米，宽8米的砂石路，路的厚度是多少厘米？ 23．在一个底面积是78平方厘米的盛水容器中放入一块石头（石头完全浸没在水里且没有溢出），水面高度由4厘米上升到9厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 24．一个长方体的高如果增加2厘米，就成为一个正方体，这时的表面积比原来增加了48平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？ 25．如图所示，在长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多少立方厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元：长方体和正方体的体积 知识清单 （知识总结梳理+6大考点典例精讲+变式训练+课后高频精炼） 知识点01：体积、容积的意义、单位及换算 1.体积的概念：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.容积的概念：容器所能容纳物体的体积，通常叫做容器的容积。 3.常用的体积单位：立方米、立方分米、立方厘米。 4.常用的容积单位：升、毫升。 5.体积(容积)单位之间的进率：相邻的两个常用体积(或容积)单位之间的进率是 1000。 6.体积单位与容积单位之间的换算：1 立方厘米=1 毫升 1 立方分米=1升 知识点02：体积、容积的计算 1.长方体和正方体的体积与容积都可以用“底面积×高”来计算。 2.求体积用从外面测量的数据，求容积用从里面测量的数据。 3.长方体的体积(或容积)=长×宽×高，用字母表示为V=abh。 4.正方体的体积(或容积)=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a³。 知识点03：解决问题 利用体积、容积知识解决生活中的问题，比如土石方。生活中，计量沙、土、石子等的体积时，常常把“立方米”简称为“方”。 考点1：体积的认识 【典型例题】一个棱长为1厘米的正方体木块，所占的空间是（    ）。 A．1厘米 B．1平方厘米 C．1立方厘米 【答案】C 【分析】物体所占空间的大小叫物体的体积。常用常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。一个棱长为1厘米的正方体的体积是1立方厘米。据此解答。 【详解】通过分析可得：一个棱长为1厘米的正方体木块，所占的空间是1立方厘米。 故答案为：C 【变式训练1】你的拳头的体积（    ）。 A．小于1立方分米 B．等于1立方分米 C．大于1立方分米 【答案】A 【分析】棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，据此分析。 【详解】根据分析，拳头的体积小于1立方分米。 故答案为：A 【变式训练2】冰壶属于冬奥会比赛项目，冰壶的形状和大小如图所示，它的体积大约是8（    ）。 A．dm3 B．cm2 C．cm3 【答案】A 【分析】根据实际情况可知，cm3是较小的体积单位，像橡皮、骰子这类较小物体的体积常用cm3作单位；体积不算小也不算特别大时常用dm3，像常见的电饭煲、小型收纳箱这类物品的体积一般用dm3作单位，据此选择。 【详解】A．dm3是体积单位，冰壶的体积大约是8dm3，符合题意； B．cm2是面积单位，不符合题意； C．cm3是体积单位，8cm3太小，不符合题意。 故答案为：A 考点2：长方体的体积 【典型例题】一个长方体长5cm，宽4cm，高3cm。它的体积是（    ）cm3。 A．60 B．94 C．20 【答案】A 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，把题目中这个长方体的长、宽、高代入公式计算，据此解答。 【详解】5×4×3 ＝20×3 ＝60（cm3） 所以，它的体积是60cm3。 故答案为：A 【变式训练1】家具厂订购50根方木，每根方木横截面的面积是0.024平方米，长3米。这些木料一共是（    ）立方米。 A．0.072 B．36 C．3.6 【答案】C 【分析】根据长方体的体积＝横截面的面积×长，据此求出一根方木的体积，再乘方木的数量，即可求出这些木料的体积。据此解答。 【详解】0.024×3×50 ＝0.072×50 ＝3.6（立方米） 这些木料一共是3.6立方米。 故答案为：C 【变式训练2】如果一个长方体的长变为原来的2倍，宽变为原来的3倍，高变为原来的4倍，那么体积将变为原来的（    ）倍。 A．10 B．12 C．24 【答案】C 【分析】假设原来长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米，根据长方体体积＝长×宽×高，分别计算出变化前后的体积，用变化后的体积÷原来的体积，即可确定变化前后体积之间的关系。 【详解】假设原来长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米。 原来体积：4×3×2＝24（立方厘米） 变化后体积：（4×2）×（3×3）×（2×4） ＝8×9×8 ＝576（立方厘米） 576÷24＝24 体积将变为原来的24倍。 故答案为：C 考点3：正方体的体积 【典型例题】一个正方体的棱长是5dm，它的体积是（    ）dm3。 A．150 B．125 C．25 【答案】B 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把题目中的数据代入公式计算即可求得这个正方体的体积，据此解答。 【详解】5×5×5 ＝25×5 ＝125（dm3） 所以，它的体积是125dm3。 故答案为：B 【变式训练1】一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2；8 B．4；8 C．8；4 【答案】B 【分析】根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方体的体积公式V＝a3，以及积的变化规律可知，一个正方体棱长扩大到原来的2倍，则它的表面积扩大到原来的22倍，它的体积扩大到原来的23倍。 【详解】2×2＝4 2×2×2＝8 一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的（4）倍，体积扩大到原来的（8）倍。 故答案为：B 【变式训练2】“六一”儿童节，数学老师奖励聪聪一个魔方。如图，这个魔方是由棱长为1cm的小正方体拼接成，魔方的体积是（    ）cm3。 A．64 B．48 C．27 【答案】A 【分析】从图可知，这个魔方是由棱长为1cm的小正方体拼接成一个棱长为4cm的正方体，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，即可求出魔方的体积。 【详解】1×4＝4（cm） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 魔方的体积是64cm3。 故答案为：A 考点4：体积单位的换算 【典型例题】8立方米＝( )立方分米      2800立方厘米＝( )立方分米 【答案】 8000 2.8 【分析】①1立方米＝1000立方分米，高级单位换算成低级单位，乘进率； ②1立方分米＝1000立方厘米，低级单位换算成高级单位，除以进率。 【详解】①8×1000＝8000（立方分米） ②2800÷1000＝2.8（立方分米） 【点睛】本题主要考查单位之间的换算，低级单位变高级单位除以进率，高级单位变低级单位乘进率。 【变式训练1】8m2＝( )dm2                  120cm2＝( )dm2 3400cm3＝( )dm3                0.5m3＝( )dm3 【答案】 800 1.2 3.4 500 【分析】1dm2＝100cm2，1m2＝100dm2，1dm3＝1000cm3，1m3＝1000dm3，高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率，计算解答即可。 【详解】8×100＝800，所以8m2＝800dm2； 120÷100＝1.2，所以120cm2＝1.2dm2； 3400÷1000＝3.4，所以3400cm3＝3.4dm3； 0.5×1000＝500，所以0.5m3＝500dm3。 【变式训练2】如图是一个长方体分别从它的前面和上面看到的平面图形，这个长方体的体积是 dm3。 【答案】1.2 【分析】根据从前面、上面看到的平面图形可知，这个长方体的长、宽、高分别是20cm、5cm和12cm。长方体体积＝长×宽×高，将数据代入公式，即可求解。再根据1dm3＝1000cm3进行单位换算即可。 【详解】20×5×12 ＝100×12 ＝1200（cm3） 1200cm3＝1.2dm3 所以，这个长方体的体积是1.2dm3。 考点5：组合图形的体积 【典型例题】如图，由棱长是3和5的两个正方体搭成的图形，它的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 186 152 【分析】通过平移，将小正方体上面的面平移到下面，它的表面积＝大正方体的表面积＋小正方体1个面的面积×4，正方体表面积＝棱长×棱长×6；它的体积＝大正方体的体积＋小正方体的体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【详解】5×5×6＋3×3×4 ＝150＋36 ＝186（） 5×5×5＋3×3×3 ＝125＋27 ＝152（） 它的表面积是186，体积是152。 【变式训练1】如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块体积是1立方分米，这堆小方块的总体积是( )立方分米，露在外面的面积是( )。 【答案】 12 34平方分米/34dm2 【分析】通过观察可以看出一共有12个小正方体，因为每个小方块体积是1立方分米，所以用乘法即可求出这堆小方块的总体积；可以从前、后、左、右、上五个方向观察各有几个小正方形的面，再相加即可求出小正方形面的总个数，然后求出1个小正方形面的面积，进而求出露在外面的面积。 【详解】1×12＝12（立方分米） 这堆小方块的总体积是12立方分米。 前后面：8×2＝16（个） 左右面：6×2＝12（个） 上面：6个， 16＋12＋6＝34（个） 因为每个小方块体积是1立方分米，所以棱长是1分米， 露在外面的面积是：1×1×34＝34（平方分米） 露在外面的面积是34平方分米。 【变式训练2】计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 【答案】2532dm2，6688dm3；150dm2，113dm3 【分析】第一个组合体，通过平移，表面积＝完整的大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方体4个面的面积和＝（长×高＋宽×高）×2；体积＝大长方体体积＋小长方体体积，长方体体积＝长×宽×高； 第二个组合体，挖去一个长方体，减少了3个面，又出现了同样的3个面，因此表面积＝完整的正方体表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6；体积＝正方体体积－长方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】第一个组合体： 表面积：（37×16＋37×10＋16×10）×2＋（16×6＋8×6）×2 ＝（592＋370＋160）×2＋（96＋48）×2 ＝1122×2＋144×2 ＝2244＋288 ＝2532（dm2） 体积：37×16×10＝5920（dm3） 16×8×6＝768（dm3） 5920＋768＝6688（dm3） 第二个组合体： 表面积：5×5×6＝150（dm2） 体积：5×5×5－2×2×3 ＝125－12 ＝113（dm3） 第一个组合体的表面积是2532dm2，体积是5920dm3；第二个组合体的表面积是150dm2，体积是113dm3。 考点6：体积的实际问题 【典型例题】一个正方体的水箱有64升的水，把这样满满的一箱水倒入另一只内长80厘米，宽25厘米的长方体水箱中，水深是多少厘米？ 【答案】32厘米 【分析】1升等于1000立方厘米，所以64升换算成立方厘米为：64×1000＝64000（立方厘米）； 长方体水箱底面积＝长×宽，据此求出长方体的底面积，根据长方体体积公式V＝Sh（V是体积，S是底面积，h是高），这里的高就是水深，已知水的体积为64000立方厘米，底面积已经求出，根据长方体体积公式，体积除以底面积可得到水深。 【详解】64×1000＝64000（立方厘米） 64000÷（80×25） ＝64000÷2000 ＝32（厘米） 答：水深32厘米。 【变式训练1】某小学建一个长方体游泳池，长80米，宽25米，深2米。 （1）在游泳池的底部和四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积有多少平方米？ （2）如果在游泳池内注水到1.2米的高度，那么需要注入多少立方米的水？ 【答案】（1）2420平方米；（2）2400立方米 【分析】（1）游泳池是无盖的，所以贴瓷砖的面积是这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式求出这5个面的总面积即可。 （2）根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】（1）80×25＋80×2×2＋25×2×2 ＝2000＋320＋100 ＝2420（平方米） 答：贴瓷砖的面积有2420平方米。 （2）80×25×1.2＝2400（立方米） 答：需要注入2400立方米的水。 【变式训练2】体育馆要修建一个长50米，宽18.5米，深1.6米的儿童游泳池。 （1）它的占地面积是多少平方米？ （2）这个游泳池最多能容纳水多少升？ （3）如果在四周和底部贴上瓷砖，则瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】（1）925平方米 （2）1480000升 （3）1144.2平方米 【分析】（1）把这个儿童游泳池看作是一个长50米，宽18.5米，高1.6米的无盖长方体，要求它的占地面积，也就是求这个长方体的底面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入相应数值计算，即可解答。 （2）这个游泳池最多能容纳水多少升，也就是求这个长方体的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算；再根据1立方米 ＝ 1000升，把立方米换算成以升为单位，即可解答。 （3）要求瓷砖的面积，也就是求这个长方体四周和底面的面积之和；根据长方体的侧面积＝底面周长×高，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】（1）50×18.5＝925（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是925平方米。 （2）50×18.5×1.6 ＝925×1.6 ＝1480（立方米） 1480×1000＝1480000（升） 答：这个游泳池最多能容纳水1480000升。 （3）（50＋18.5）×2×1.6＋50×18.5 ＝68.5×2×1.6＋925 ＝137×1.6＋925 ＝219.2＋925 ＝1144.2（平方米） 答：瓷砖的面积是1144.2平方米。 一、选择题 1．把自己的拳头伸进装满水的盆里，溢出的水的体积（    ）。 A．大于1mL，小于1L B．大于1L，小于1m3 C．大于1L，小于1mL D．大于1dm3，小于1L 【答案】A 【分析】将自己的一只拳头伸进装满水的盆中，溢出来的水的体积是拳头的体积，1个粉笔盒的体积接近于1dm3，以此为照，一只拳头的体积比粉笔盒的体积小一些，1dm3＝1L。据此再结合题干中的具体数据进行选择。 【详解】A．溢出来的水比粉笔盒的体积小一些，也就是大于1mL，小于1L，符合题意； B．溢出来的水大于1L，数据偏大，不符合题意； C．溢出来的水大于1L，数据偏大，不符合题意； D．1dm3等于1L，溢出来的水的体积数据偏大，不符合题意； 故答案为：A 2．把一根长1米的长方体木材锯成2个长0.5米的小长方体后，表面积增加12平方厘米，这根木材原来的体积是（    ）。 A．700立方厘米 B．60立方厘米 C．800立方厘米 D．600立方厘米 【答案】D 【分析】根据题意，这个长方体木料锯成2个小长方体后，表面积增加了2个横截面面积，据此用12除以2即可求出木料的横截面面积。根据长方体的体积＝底面积×高＝横截面面积×长，代入数据计算即可解答。 【详解】1米＝100厘米 12÷2×100 ＝6×100 ＝600（立方厘米） 则这根木材原来的体积是600立方厘米。 故答案为：D 3．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的表面积扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2；8 B．4；8 C．2；6 D．4；6 【答案】B 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。据此解答。 【详解】2×2＝4 2×2×2＝8 一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 故答案为：B 4．如图，小禾在一个长方体容器中摆了若干个体积为1cm3的小正方体。这个容器的容积是（    ）cm3。 A．72 B．84 C．90 D．108 【答案】C 【分析】因为小正方体的体积是1 cm3，所以小正方体的棱长是1cm。从图中可以看出，长方体容器的长、宽、高分别可以摆6个、5个、3个小正方体，那么长方体的长、宽、高分别是6 cm、5 cm、3 cm，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体容器的容积，据此解答即可。 【详解】6×5×3 ＝30×3 ＝90（cm3） 因此，这个容器的容积是90cm3。 故答案为：C 5．一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加（    ）立方厘米。 A．abh B．2ab C．2ah D．ab（h＋2） 【答案】B 【分析】如果高增加2厘米，则其增加的体积等于长a厘米、宽b厘米、高2厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【详解】a×b×2＝2ab（立方厘米） 所以一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加2ab立方厘米。 故答案为：B 二、填空题 6．用一根长36厘米的铁丝围成一个正方体，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 54 27 【分析】用一根长36厘米的铁丝围成一个正方体，即正方体的总棱长为36厘米，则正方体的棱长为36÷12＝3（厘米），再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，据此代入数值进行计算即可。 【详解】36÷12＝3（厘米） 3×3×6＝54（平方厘米） 3×3×3＝27（立方厘米） 则表面积是54平方厘米，体积是27立方厘米。 7．将正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的( )倍；体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 9 27 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，假设原来正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为3a；分别求出变化前后的表面积、体积，进而得出表面积、体积的变化情况；据此解答。 【详解】假设原来正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为3a 原来的表面积：a×a×6＝6a2 现在的表面积：3a×3a×6＝54a2 原来的体积：a×a×a＝a3 现在的体积：3a×3a×3a＝27a3 54a2÷6a2＝9 27a3÷a3＝27 表面积扩大到原来的9倍；体积扩大到原来的27倍。 8．一个正方体的棱长之和是180cm，它的体积是( )。 【答案】3375cm3/3375立方厘米 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12的逆运算，用棱长总和除以12可得棱长，再根据，代入数据计算即可得解。 【详解】（cm） （cm3） 一个正方体的棱长之和是180cm，它的体积是3375cm3。 9．一根长6分米的长方体木料，把它锯成2段，表面积就增加了64平方分米，原长方体木料的体积是( )立方分米。 【答案】192 【分析】由题意可知，表面积增加的是长方体的由宽和高组成的两个长方形的面积，用64除以2得到由宽和高组成的一个长方形的面积，再根据，用宽和高组成的一个长方形的面积再乘长方体的长，即可得解。 【详解】 （立方分米） 一根长6分米的长方体木料，把它锯成2段，表面积就增加了64平方分米，原长方体木料的体积是192立方分米。 10．下图是一个长方体一个顶点处的3条棱（单位：cm）。用铁丝焊接这样一个框架，至少需要铁丝( )cm；给框架焊上铁皮，至少需要铁皮( )；用做成的铁皮箱子装水，最多能装( )L。 【答案】 40 66 0.036 【分析】分析题目，一个顶点处的三条棱就是长方体的一组长宽高，据此根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可，注意体积单位要根据1L＝1000mL＝1000cm3换算成L。 【详解】（4＋3＋3）×4 ＝10×4 ＝40（cm） （4×3＋4×3＋3×3）×2 ＝（12＋12＋9）×2 ＝33×2 ＝66（cm2） 4×3×3 ＝12×3 ＝36（cm3） 36cm3＝36mL＝0.036L 用铁丝焊接这样一个框架，至少需要铁丝40cm；给框架焊上铁皮，至少需要铁皮66cm2；用做成的铁皮箱子装水，最多能装0.036L。 11．要在平地上挖一个长20米、宽8米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出( )方的土，土坑占地面积是( )平方厘米。 【答案】 80 1600000 【分析】第一问就是要求长方体的体积，根据1方＝1立方米，先把50厘米转化为0.5米，再根据，代入数据计算后把单位转化为方即可。 第二问就是要求长方体的底面积，土坑占地面积是一个长是20米，宽是8米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，再根据1平方米＝10000平方厘米，把单位转化为平方厘米即可。 【详解】50厘米＝0.5米 （立方米）＝80（方） （平方米）＝1600000（平方厘米） 要在平地上挖一个长20米、宽8米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出80方的土，土坑占地面积是1600000平方厘米。 12．一种家用电器的外包装是一个长方体纸箱，长5分米，宽3分米，高4分米，它的棱长和是( )分米，做这个立体纸箱需要( )平方分米的硬纸板（接头处不计），这个纸箱所占的空间是( )立方分米。 【答案】 48 94 60 【分析】已知长方体纸箱的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算，求出它的棱长和； 求做这个立体纸箱需要硬纸板的面积，就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解； 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个纸箱所占的空间大小。 【详解】（5＋3＋4）×4 ＝12×4 ＝48（分米） （5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方分米） 5×3×4 ＝15×4 ＝60（立方分米） 它的棱长和是48分米，做这个立体纸箱需要94平方分米的硬纸板（接头处不计），这个纸箱所占的空间是60立方分米。 13．某城市要挖一个长150米，宽40米，深5米的地下车库，一共需要挖出土石( )方。 【答案】30000 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答。1立方米＝1方。 【详解】150×40×5 ＝6000×5 ＝30000（方） 一共需要挖出土石30000方。 14．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，这个长方体的表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 4 8 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，一个长方体的长、宽、高都扩大几倍，表面积扩大到原来的倍数×倍数，体积扩大到原来的倍数×倍数×倍数。 【详解】2×2＝4、2×2×2＝8 这个长方体的表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 三、判断题 15．洗衣机的体积就是它的容积。( ) 【答案】× 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积；容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。 体积和容积的计算方法相同，但容积的尺寸是在容器里面量长、宽、高；因为容器的壁是有一定的厚度，从里面量的尺寸比从外面量的长、宽、高的尺寸要小，所以同一个物体的体积比它的容积大。 【详解】洗衣机的体积大于它的容积，洗衣机的体积不是它的容积。 原题说法错误。 故答案为：× 16．棱长是9cm的正方体，它的体积大于表面积。( ) 【答案】× 【分析】正方体的表面积是指它的6个面的总面积；正方体的体积是指正方体所占空间的大小；据此判断即可。 【详解】由分析可知： 表面积和体积是不同的量，无法进行比较。则原题干说法错误。 故答案为：× 17．棱长是6厘米的正方体，表面积和体积相等。( ) 【答案】× 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，表面积的单位是面积单位，体积的单位是体积单位，面积和体积不是同类量，二者无法比较大小，据此解答。 【详解】表面积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 体积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 所以，棱长是6厘米的正方体，表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米，二者计量单位不相同无法比较大小。 故答案为：× 18．为了身体健康我们每天要多喝水，一天喝8杯水，也就是大约1200升最为合适。( ) 【答案】× 【分析】1升＝1000毫升，一杯水的体积较少，用毫升作单位比较合适，所以一天喝8杯水，也就是大约1200毫升最为合适。 【详解】我们一天喝的水的体积用毫升作单位比较合适，也即1200毫升水，本题说法错误。 故答案为：× 19．一个正方体的棱长越长，它的体积就越大。( ) 【答案】√ 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，由此可知，正方体的体积与棱长有关，棱长越长，体积就越大，据此分析。 【详解】根据分析，一个正方体的棱长越长，它的体积就越大，说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 20．求如图组合体的表面积和体积。（单位：分米） 【答案】694平方分米；1034立方分米 【分析】 如图，将组合体分成2个长方体，组合体的表面积＝上边小长方体前、后、左、右4个面的面积和＋下边完整大长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； 组合体的体积＝2个长方体的体积和，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】6＋8＝14（分米） 9－4＝5（分米） 6×4×2＋11×4×2＋（14×11＋14×5＋11×5）×2 ＝48＋88＋（154＋70＋55）×2 ＝136＋279×2 ＝136＋558 ＝694（平方分米） 11×6×4＋14×11×5 ＝264＋770 ＝1034（立方分米） 组合体的表面积是694平方分米，体积是1034立方分米。 五、解答题 21．在一个长15厘米，宽11厘米，高9厘米的长方体里裁一个最大的正方体。这个正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】729立方厘米 【分析】根据题意，将一个长15厘米，宽11厘米，高9厘米的长方体截成一个体积最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。 【详解】9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方厘米） 答：这个正方体的体积是729立方厘米。 22．工人叔叔用1600立方米的砂石去铺一条长1000米，宽8米的砂石路，路的厚度是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】需要计算铺路所需的砂石厚度，已知砂石体积为1600立方米，路的长为1000米，宽为8米；根据长方体体积＝长×宽×厚度，代入已知数值计算出厚度；最后根据1米＝100厘米，将米换算成厘米为单位；据此解答。 【详解】1600÷1000÷8 ＝1.6÷8 ＝0.2（米） 0.2×100＝20（厘米） 答：路的厚度是20厘米。 23．在一个底面积是78平方厘米的盛水容器中放入一块石头（石头完全浸没在水里且没有溢出），水面高度由4厘米上升到9厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】390立方厘米 【分析】根据题意，把一块石头浸没在底面积是78平方厘米的盛水容器中，水面高度由4厘米上升到9厘米，上升了（9－4）厘米；那么水上升部分的体积就是这块石头的体积，根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算，求出这块石头的体积。 【详解】78×（9－4） ＝78×5 ＝390（立方厘米） 答：这块石头的体积是390立方厘米。 24．一个长方体的高如果增加2厘米，就成为一个正方体，这时的表面积比原来增加了48平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】144立方厘米 【分析】根据题意，长方体的高如果增加2厘米，就成为一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；增加的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是2厘米，长是原来长方体的长或宽；用增加的表面积除以4，求出一个面的面积，再除以2，即是原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽减法2厘米，即是原来长方体的高； 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。 【详解】长、宽：48÷4÷2＝6（厘米） 高：6－2＝4（厘米） 体积：6×6×4＝144（立方厘米） 答：原长方体的体积是144立方厘米。 25．如图所示，在长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多少立方厘米？ 【答案】90立方厘米 【分析】长方体容器的长＝长方形硬纸板的长－小正方形的边长×2，长方体容器的宽＝长方形硬纸板的宽－小正方形的边长×2，长方体容器的高＝小正方形的边长，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出容积。 【详解】（13－2×2）×（9－2×2）×2 ＝（13－4）×（9－4）×2 ＝9×5×2 ＝90（立方厘米） 答：这个容器的容积是90立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $