2026届高考数学模拟卷（六）（新课标Ⅱ卷）

**基本信息** 2026年高考数学模拟卷（新课标Ⅱ卷），难度0.65，以机器人产业调查、正三角形活动区域等真实情境为载体，融合函数单调性、立体几何证明等核心知识，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|函数、三角、立体几何、概率、椭圆、复数|多选题第11题以封闭曲线为背景，考查几何直观与空间观念| |填空题|3题15分|三角求值、导数计算、几何面积|第14题正三角形光照面积问题，体现数学建模与应用意识| |解答题|5题77分|立体几何证明、函数单调性、数列推理、统计分布列、双曲线综合|第18题结合机器人产业调查，考查数据分析与运算能力；第17题数列证明，培养逻辑推理与创新意识|

2026年高考数学模拟卷（六）（新课标Ⅱ卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅱ卷地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆、陕西、四川、宁夏、内蒙古、青海、西藏。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·云南·模拟）下列函数中，在其定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用解析式，结合指数函数、对数函数单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，函数在定义域上不单调，A错误； 对于B，函数在定义域上单调递减，B正确； 对于C，函数在定义域上单调递增，C错误； 对于D，函数在定义域上单调递增，D错误. 故选：B 2．（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明. 【详解】对于A：当时，不等式不成立，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误. 3．（2026·广西贵港·三模）若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由角的终边经过点，得， 所以. 4．（2026·甘肃·一模）直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定两直线的方向向量，结合向量夹角公式求解即可. 【详解】直线的斜率，可取方向向量. 直线的斜率，可取方向向量. 设两直线的夹角为，则， 所以. 5．（2026·辽宁朝阳·三模）已知直线a，b与平面，能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与位置关系不确定，可相交，可平行，A项不合题意； 与不一定垂直，B项不合题意； 与可以平行，不一定垂直，C项不合题意； ，则在平面内存在直线，且，则，又    ，则，D项符合题意． 6．（2026·辽宁辽阳·二模）小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记“小张第一次拨打错误”为事件，“第三次恰好拨打正确”为事件； 易知, 因此小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是. 7．（2026·云南昆明·二模）设椭圆，点和均为椭圆的顶点，直线与椭圆交于两点．当四边形面积取最大值时，实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据顶点得出椭圆，再联立得出韦达定理，最后表示面积应用三角换元得出面积最大时参数值. 【详解】由和可得，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因为直线，将其与联立消去，可得， 由解得， 由韦达定理得，所以， 因为，所以四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑， 令，则，则，则， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. 此时，所以，故当四边形面积取最大值时，此时的值为. 8．（2026·重庆·模拟预测）已知关于复数的方程的四个互异复根在复平面上顺次连接构成一个凸四边形．若这四个顶点恰好共圆，则当该圆的半径最小时a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求出复数的方程的四个互异复根，在复平面用坐标表示，再根据四点共圆设出圆的方程和半径，借助列出等式，最终用表示半径，利用均值不等式求出半径最小时的值. 【详解】原方程为，解得，， 对应复平面上的点为，. 四个点关于x轴对称，因此若四点共圆，圆心在轴上， 设圆心为，半径为R ， ，得 ， 整理得，因此半径平方. 由基本不等式，等号成立当且仅当： ， 因为，故，此时圆半径最小. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·重庆·模拟）若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．A的真子集个数为7 C． D． 【答案】BC 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】， 由，，， 作出图，如图所示， 由图可知，，，故A错误，正确； 集合的真子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：BC. 10．（2026·四川广元·三模）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则（   ） A．直线与平面平行 B．四面体的外接球的表面积为 C．三棱锥的体积为 D．平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】利用向量法判断位置关系后可判断A的正误，利用空间距离计算外接球的球心后求得半径，再结合公式求出表面积后判断B，利用等积转化求出体积后判断C，利用向量法求出面面角的余弦值后可判断D的正误. 【详解】 以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 对于A，，， 设平面的法向量为，则， 所以，取， 因为，故直线与平面不平行，故A错误； 对于B，设四面体的外接球的球心为，半径为， 则， 故即， 故，故外接球的表面积为，故B正确； 对于C，因为到平面的距离即为棱长， 故，故C正确； 对于D，因为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 故D正确. 11．（2026·哈尔滨·模拟）曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（   ） A． B． C．当时,的最大值是 D．当时, 【答案】ACD 【详解】当时，曲线C：，即， 当时，，即， 当时，曲线C：， 当时，，即，这是一个顶点为和的直线段， 在区间内，由于，， 故时的图象比时更靠近坐标轴，，故A正确， 当时，曲线C：，即，其面积为， 当时，曲线C：， 当时，，即， 在区间内，由于，，进而有， 故时其图像在单位圆的外部， 故，故B错误， 当时，曲线C：，易知， 由对称性可设，，则，， 当时，，即，代入上式得 ，对称轴为， 故的最大值为，故C正确， 当时，当时，曲线C：，即， 当时，，即， 令，则， ， 设，则， 易知，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，，所以D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·西藏林芝·二模）已知，则______． 【答案】 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【详解】对求导， 可得， 所以，解得. 13．（2026·陕西咸阳·模拟）若，则_________． 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式和组合数的性质可求解. 【详解】因为二项式展开式的通项为且， 且， 则. 14．（2026·黑龙江·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为6m的正三角形活动区域，点在边上，且，小王同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为________ 【答案】 【分析】通过正弦定理、割补法计算平面几何图形面积，基本不等式求解. 【详解】依题意，要使手电筒在内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过边，如图，在正中，，，，设， 由正弦定理得：，则， ，则， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，最大值为． 若，，， 若，，， 所以，最大值为． 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九题17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·辽宁锦州·二模）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，且，，，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）根据平面，得，根据三角形性质得，进而得到平面，面面垂直的判定即可得出结果； （2）建立空间直角坐标系，设，平面法向量，求出坐标，法一：根据直线与平面所成角的向量求解；法二：由题知平面，所以为与平面所成角的平面角，最后根据三角形性质求解. 【详解】（1）因为平面，在平面内，所以，   在中，，，，所以，   又，为的中点，所以，   又， 在平面内，所以平面，   又平面， 所以平面平面； （2）以为原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，   则，，，， 设，平面法向量. 则，，， 令则， 取平面的法向量， 所以， 解得.   法一：即，，取平面的法向量 设直线与平面所成角为， 则.   所以，直线与平面所成角的正切值为.   法二：由题知平面，所以为与平面所成角的平面角，   ，在中，，，， 所以，直线与平面所成角的正切值为. 16．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）当时，利用导数求单调区间即可； （2）易知时不符合题意，时，利用导数结合隐零点问题求解． 【详解】（1）当时，，． 由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，，不满足题意． 所以，此时 ，显然是上的增函数， 且时，时， 所以存在唯一正实数使得，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增． 由题意 ． 将 代入上式整理得：，解得：． 此时，代入后． 化简得： ，解得：． 令 ，其中．则， 所以是区间上的增函数． 所以 ，代入得到a的取值范围是． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）首项为的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②． (1)证明：中相邻两项不可能同时为非负数； (2)记，若对任意成立，求的通项公式； (3)对于给定的正整数，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)当为奇数时，的最大值为；当为偶数时，的最大值为. 【分析】（1）假设数列中存在、同时为非负数，分两种情况、讨论，结合不等式的基本性质推出矛盾，即可证得结论成立； （2）根据数列的单调性可知数列的偶数项、、、、是单调递增数列，进而得出，，即可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可得出数列的通项公式； （3）由（1）知，当时，，推导出；当时，，推导出，然后分为奇数、偶数两种情况讨论，结合并项求和法以及不等式的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）假设数列中存在、同时为非负数， 因为， 若，则有，与已知矛盾． 若，则有，与已知矛盾． 所以假设不成立，即中相邻两项不可能同时为非负数． （2）因为，． 因为对任意成立，所以为单调递增数列． 即数列的偶数项、、、、是单调递增数列． 由题意计算得出，， 因为数列单调递增，所以当时，恒成立， 所以时，，，即，． 所以，， 则， 又，， 所以是以，公差为的等差数列，. （3）由（1）知，当时，， 根据，有，所以， 当时，， 根据，有，所以， 所以当为奇数时，，则的最大值为； 当为偶数时，，的最大值为. 18．（2026·山西晋中·三模）“十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性转变. 某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到如下的统计表： 类型 医疗机器人 特种机器人 表演机器人 服务机器人 工业机器人 人数 10 40 30 10 10 (1)先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人. （i）分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数； （ii）再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为，关注“表演机器人”的人数为，设，求的分布列. (2)该兴趣小组调查某款表演机器人，得知输入动作指令后其能准确完成指令的概率为，若输入次动作指令，其能准确完成指令的次数为，记事件的概率为，假设每次输入指令相互独立，且，则当为何值时，的值最大？ 【答案】(1)（i）4，3； （ii）的分布列为 0 1 2 3 (2)或时，取得最大值. 【分析】（1）（i）按分层抽样比例计算，从100人中抽取10人，得出关注特种机器人4人、表演机器人3人；（ii）确定的所有可能取值，用组合数计算各取值概率，列出分布列； （2）利用二项分布概率公式，通过相邻两项比值法判断单调性，求得最大时的值. 【详解】（1）（i）由题可知，抽取的10人中，关注“特种机器人”的有人， 关注“表演机器人”的有人. （ii）的所有可能取值为， ， ， ， . 则的分布列为 0 1 2 3 （2）由题可知，，故. 令，则， 令，可得，令， 可得，令，可得， 所以或时，取得最大值. 19．（2026·云南曲靖·二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，O为坐标原点．设点P、Q、R是上不同的三点，点Q、点P分别在的左支、右支上． (1)已知点在上，过作x轴的平行线，与双曲线的两条渐近线交于M、N两点，． （i）求的标准方程； （ii）的外心为D（异于原点O），若直线、、、的斜率均存在且不为0，分别记为、、、，探究是否为定值．（注：） (2)设直线与直线交于点E，直线与直线交于点G，求证：． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ），是定值． (2)证明见解析 【分析】（1）（i）由点在曲线上并求出的坐标，应用向量的坐标表示列方程求参数值，即可得；（ii）设、不过原点O，，，，，应用点差法得到、，进而得到、的垂直平分线的方程、，最后得到，即可得结论； （2）设直线的方程为，且，，联立双曲线及韦达定理得、且直线为，直线为，联立得，应用分析法及向量平行的坐标表示证明结论. 【详解】（1）（i）由题得，过与x轴平行的直线，双曲线的渐近线， 所以，不妨令， 则，所以， 所以，，则的标准方程为； （ii）根据条件知，的三边中至多有一边经过原点O， 不妨设、不过原点O，，，，， 如图，则，， 两式相减，得， 所以，，同理， 于是线段的垂直平分线的方程为， 整理，得， 同理线段的垂直平分线的方程为， 所以，， 两式相减，得， 整理，得， 即，又，， 所以，于是，是定值； （2）设直线的方程为，，， 联立，消y，得， 所以，，，， 把代入得，则直线为． 由题，，如图，则直线为， 联立直线与直线的方程，得， ，又， 要证明，只需证明， 即证明， 把，代入上式，得 ， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（六）（新课标Ⅱ卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅱ卷地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆、陕西、四川、宁夏、内蒙古、青海、西藏。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·云南·模拟）下列函数中，在其定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·广西贵港·三模）若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃·一模）直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁朝阳·三模）已知直线a，b与平面，能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁辽阳·二模）小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·云南昆明·二模）设椭圆，点和均为椭圆的顶点，直线与椭圆交于两点．当四边形面积取最大值时，实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 8．（2026·重庆·模拟预测）已知关于复数的方程的四个互异复根在复平面上顺次连接构成一个凸四边形．若这四个顶点恰好共圆，则当该圆的半径最小时a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·重庆·模拟）若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．A的真子集个数为7 C． D． 10．（2026·四川广元·三模）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则（   ） A．直线与平面平行 B．四面体的外接球的表面积为 C．三棱锥的体积为 D．平面与平面的夹角的余弦值为 11．（2026·哈尔滨·模拟）曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（   ） A． B． C．当时,的最大值是 D．当时, 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·西藏林芝·二模）已知，则______． 13．（2026·陕西咸阳·模拟）若，则_________． 14．（2026·黑龙江·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为6m的正三角形活动区域，点在边上，且，小王同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为________ 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九题17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·辽宁锦州·二模）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，且，，，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正切值. 16．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）首项为的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②． (1)证明：中相邻两项不可能同时为非负数； (2)记，若对任意成立，求的通项公式； (3)对于给定的正整数，求的最大值． 18．（2026·山西晋中·三模）“十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性转变. 某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到如下的统计表： 类型 医疗机器人 特种机器人 表演机器人 服务机器人 工业机器人 人数 10 40 30 10 10 (1)先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人. （i）分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数； （ii）再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为，关注“表演机器人”的人数为，设，求的分布列. (2)该兴趣小组调查某款表演机器人，得知输入动作指令后其能准确完成指令的概率为，若输入次动作指令，其能准确完成指令的次数为，记事件的概率为，假设每次输入指令相互独立，且，则当为何值时，的值最大？ 19．（2026·云南曲靖·二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，O为坐标原点．设点P、Q、R是上不同的三点，点Q、点P分别在的左支、右支上． (1)已知点在上，过作x轴的平行线，与双曲线的两条渐近线交于M、N两点，． （i）求的标准方程； （ii）的外心为D（异于原点O），若直线、、、的斜率均存在且不为0，分别记为、、、，探究是否为定值．（注：） (2)设直线与直线交于点E，直线与直线交于点G，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $