第9讲 天体运动题型 专项训练-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 以六大题型系统覆盖天体运动核心考点，通过模拟题构建"概念-规律-应用"的完整认知链，强化物理观念与科学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |开普勒定律|4题|椭圆轨道参量比较|从面积定律到周期定律的递进应用| |万有引力与重力|4题|极地赤道重力差计算|重力与万有引力的矢量关系推导| |天体质量密度|4题|环绕模型参数求解|引力提供向心力的方程建构| |人造卫星参量|4题|轨道周期速度关联|圆周运动规律与航天实践结合| |宇宙速度与变轨|4题|椭圆轨道能量分析|离心运动与近心运动的条件判断| |双星及多星|4题|质心运动模型应用|牛顿运动定律在多体系统的迁移|

第9讲 天体运动题型 题型一 开普勒三定律的理解和应用 1．（2026•丰台区模拟）如图所示为某彗星绕太阳转动的椭圆轨道示意图。a、b分别为彗星绕太阳运行的近日点和远日点，c、d为椭圆短轴与轨道的交点，彗星先后经过a、d、b、c、a，下列说法正确的是（　　） A．彗星在近日点的速度比远日点的速度小 B．彗星在近日点的加速度比远日点的加速度小 C．从d运行到b的过程中，太阳对彗星的万有引力对彗星一直做负功 D．彗星从a运行到d的时间等于从d运行到b的时间 2．（2026•重庆模拟）我国北斗卫星导航系统（BDS）已经开始提供全球服务，具有定位、导航、授时、5G传输等功能，A、B为北斗系统中的两颗工作卫星。如图所示，A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O为地心，在两卫星运行过程中，A、B连线和O、A连线的夹角最大为θ，则A、B两卫星（　　） A．做圆周运动的线速度的比值为 B．做圆周运动的周期的比值为 C．与地心O的连线在相等时间内扫过的面积的比值为 D．做圆周运动的加速度的比值为sin2θ 3．（2026春•番禺区校级期中）如图所示是地球绕太阳运动的椭圆轨迹，短轴和长轴的四个位置所对应的节气分别是春分、秋分、夏至和冬至。假设地球只受到太阳的引力，下列说法正确的是（　　） A．火星与太阳连线单位时间扫过的面积等于地球与太阳连线单位时间扫过的面积 B．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，，则地球与土星对应的k值不同 C．春分和秋分时，地球运动的加速度相同 D．从冬至到春分，地球的运行时间小于公转周期的 （多选）4．（2026春•河西区期中）“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳运动的公转轨道是一个椭圆，将地球绕日一年转360度分为24份，约15度为一个节气。如图所示为地球公转位置与节气的对照图。下列说法正确的是（　　） A．太阳不在椭圆的中心，而是在其中一个焦点上 B．地球公转到夏至时的速度比冬至时的速度大 C．地球每转过相同的角度，地球与太阳的连线扫过的面积都相等 D．所有行星绕太阳公转时，其轨道半长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相等 题型二 万有引力与重力的关系 1．（2026•九龙坡区校级模拟）中国计划在2030年前实现首次载人登月。已知月球的自转周期约为27d，月球和地球均可视为均质圆球，月球半径约为地球半径的0.27倍，月球上极地与赤道的重力加速度大小之差为Δg1，地球上极地与赤道的重力加速度大小之差为Δg2。据此可以推算出，Δg1：Δg2约为（　　） A．1.0×10﹣2 B．1.7×10﹣3 C．3.7×10-4 D．6.2×10﹣5 2．（2026•香坊区校级三模）我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°，经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为g，则E位置的重力加速度为（　　） A．g B．g C．g D．g 3．（2026•宜春模拟）2025年8月6日，揽月月面着陆器（首次载人月球探测器）着陆起飞综合验证试验在位于河北省怀来县的地外天体着陆试验场圆满完成。现已知地球表面重力加速度g，地球半径R，月球环绕地球运行的周期T，忽略地球自转，求月球离地球表面的高度H（　　） A． B． C． D． （多选）4．（2026春•武昌区校级期中）在万有引力定律建立的过程中，“月一地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与地球对苹果的力是同一种力，从而实现了“地上物理学”和“天上物理学”的统一，即都遵从与距离的平方成反比的规律。设月球在半径为r（r＝60R，R为地球半径）的轨道上绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T，向心加速度为a；物体在地面处的重力加速度为g，物体在月球所在轨道处的加速度为g′，忽略地球自转的影响。下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 题型三 天体的密度和质量 1．（2026•沧州二模）Kepler﹣725c（开普勒﹣725c）是由中国科学院云南天文台牵头，联合德国汉堡天文台、西交利物浦大学和中国科学院南京天文光学技术研究所等机构于2025年发现的系外行星。Kepler﹣725c环绕恒星Kepler﹣725运行，其公转轨道半长轴是地球的0.674倍，公转周期约为207天。根据以上信息可以判断，恒星Kepler﹣725和太阳的质量的比值约为（　　） A．0.0095 B．0.095 C．0.95 D．9.5 2．（2026春•嵩明县期中）木星的卫星中有四颗是伽利略发现的，被称为伽利略卫星，这四颗卫星分别被命名为木卫一、木卫二、木卫三和木卫四，其中木卫二的周期为木卫一周期的两倍。已知木卫一的运行半径为r，周期为T，木星的半径为R，万有引力常量为G，木星卫星的运动近似为匀速圆周运动，木星可视为质量分布均匀的球体。下列判断正确的是（　　） A．木星的质量为 B．木星的平均密度为 C．木卫二与木卫一的轨道半径之比为：1 D．木卫二与木卫一的向心力之比为1：2 3．（2026春•沈河区校级期中）已知万有引力恒量G后，要计算地球的质量，还必须知道某些数据，现在给出下列各组数据，可以算出地球质量的有（　　） A．地球绕太阳运行的周期T和地球离太阳中心的距离R B．月球绕地球运行的周期T和地球的半径R C．人造地球卫星在地面附近运行的速度和运动周期T D．静止卫星离地面的高度 （多选）4．（2026•长沙模拟）火星是太阳系中距离太阳第四近的行星，也是太阳系里四颗类地行星之一。作为地球的近邻，火星拥有与地球相似的自转周期T自和四季变化，是目前人类深空探测的重点目标。观察测出：火星半径为R，绕太阳做圆周运动的半径为r、周期为T1；火星表面附近的卫星绕火星做圆周运动的周期为T2。已知万有引力常量为G，则根据题中给定条件（　　） A．能求出火星的密度 B．能求出火星与卫星间的万有引力 C．能求出太阳与火星间的万有引力 D．能求出火星同步轨道离火星表面距离 题型四 人造地球卫星及其参量 1．（2026春•浑南区校级期中）探索精神是人类进步的动力源泉。在向未知宇宙探索的过程中，有一宇宙飞船飞到了某行星附近，绕着该行星做匀速圆周运动，测出宇宙飞船运动的周期为T，线速度大小为v，已知引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．该宇宙飞船的轨道半径为 B．该行星的质量为 C．该行星的平均密度为 D．该行星表面的重力加速度为 2．（2026•沧州模拟）某时刻一颗赤道卫星和一颗极地卫星恰好处在地球赤道表面N点的正上方P点和Q点，赤道卫星和极地卫星周期分别为1.5T和T，它们均可视为做匀速圆周运动。地球可看作质量分布均匀的球体，N点的重力加速度近似为g。根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．经过6T，两星第一次同时到N点正上方 B．可求出图示时刻PQ高度差 C．已知图示时刻PQ高度差，可求出地球半径 D．可以求出两星离地球表面的高度之比 3．（2026•绵阳三模）某颗低轨卫星绕地球运动的轨道是椭圆，运行过程中受到地球的引力大小随时间变化的情况如图所示，则卫星（　　） A．绕地球运行的周期为T0 B．到地心的最远距离是最近距离的2倍 C．运行过程中最大速度大小是最小速度大小的2倍 D．运行过程中最大加速度大小是最小加速度大小的2倍 （多选）4．（2026春•琼山区校级期中）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功对接天和空间站核心舱。已知地球半径为R，空间站绕地球做圆周运动的轨道半径为kR，周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．空间站的线速度大小为 B．地球的质量为 C．地球的平均密度为 D．地球的平均密度为 题型五 宇宙速度及卫星变轨问题 1．（2026•雨花区校级一模）如图所示，质量相等、周期均为T的两颗人造地球卫星，1轨道为圆、2轨道为椭圆（不考虑卫星之间引力）。A、B两点是椭圆长轴两端，A距离地心为r。C点为椭圆短轴端点且是两轨道的交点，到地心距离为2r，卫星1的速率为v，下列说法正确的是（　　） A．C点到椭圆中心的距离为r B．卫星1和卫星2运动到C点时加速度不同 C．卫星2在C点的向心加速度等于 D．卫星2由A到C的时间等于 2．（2026春•常熟市期中）飞船变轨返航过程可简化为如图所示模型，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于P、Q两点，则飞船（　　） A．在轨道Ⅱ经过Q点的加速度大于在轨道Ⅲ经过Q点的加速度 B．在轨道Ⅰ上的速度小于在轨道Ⅲ上的速度 C．在轨道Ⅱ上运动时有vP＜vQ D．在轨道Ⅰ上P点的速度小于在轨道Ⅱ上P点的速度 3．（2026•安徽模拟） 2025年5月29日，天问二号在西昌卫星发射中心成功发射，天问二号计划对小行星2016HO3进行探测、采样并返回地球，此后对主带彗星311P开展科学探测，天问二号到达小行星时从轨道Ⅰ的P点变轨到椭圆轨道Ⅱ，如图所示，则天问二号（　　） A．在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上的机械能小 B．在轨道Ⅰ上P点的速度比在轨道Ⅱ上P点的速度小 C．在轨道Ⅰ上P点的加速度比在轨道Ⅱ上P点的加速度小 D．若知道天问二号在轨道Ⅱ的运行周期、轨道Ⅱ的长轴长及引力常量G，就可以求出小行星的质量 （多选）4．（2026春•九龙坡区校级月考）中国预计在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。如图是“嫦娥一号奔月”的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”，以下说法正确的是（　　） A．发射速度必须达到第三宇宙速度 B．轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ时，在Q点需点火反冲减速 C．轨道Ⅲ上Q点的加速度大于轨道Ⅰ上Q点的加速度 D．16h轨道与24h轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比相等 题型六 双星及多星题型 1．（2026春•和平区校级期中）由A、B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动。A、B之间的距离为L，周期为T，轨道半径之比rA：rB＝3：5，引力常量为G，下列判断正确的是（　　） A．A、B的线速度大小之比为vA：vB＝5：3 B．A、B的质量之比为mA：mB＝3：5 C．A、B的总质量为 D．A、B的总质量一定的情况下，L越大，T越小 2．（2026春•海淀区校级期中）假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m和M的A、B两颗星体组成，相距L，在二者间万有引力作用下，这两颗星各自绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，如图所示，已知引力常量为G，则下列说法不正确的是（　　） A．A的质量小于B的质量 B．A的线速度大于B的线速度 C．A的动能大于B的动能 D．两颗星做圆周运动的周期为2 3．（2026春•南京月考）如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，运动周期为T，则（　　） A．A的质量一定大于B的质量 B．A的线速度一定大于B的线速度 C．A的向心力一定大于B的向心力 D．M一定时，L越大，T越小 （多选）4．（2026春•香坊区校级期中）我国“天关”卫星发现一个位于“小麦哲伦云”星系内的双星系统EPJ0052。如图所示，某双星系统中恒星A、B均绕O点做匀速圆周运动，恒星A、B到O点的距离分别为rA、rB，已知恒星A的质量为mA，角速度大小为ω，不考虑其他天体对恒星A、B的万有引力。下列说法正确的是（　　） A．恒星A对恒星B的万有引力大于恒星B对恒星A的万有引力 B．恒星A对恒星B的万有引力大小为 C．恒星B的线速度大小为ωrB D．恒星B的质量为 综合提升 一．选择题 1．（2026春•雁塔区校级期中）如图所示，椭圆轨道Ⅰ是实践一Ⅰ科学卫星的轨道，其轨道的近地点离地高度为300km，远地点离地高度为1800km。圆轨道是乾坤一号卫星的轨道，其轨道离地高度为300km，P为两轨道的切点，已知地球半径为6400km，下列说法正确的是（　　） A．实践﹣Ⅰ科学卫星和乾坤一号卫星的运行周期之比为 B．在P点，实践﹣Ⅰ科学卫星的加速度更大 C．乾坤一号卫星想从轨道Ⅱ变到轨道Ⅰ，需要在P点减速 D．实践﹣Ⅰ科学卫星在远地点的速度大小大于乾坤一号卫星的运行速度大小 2．（2026•河池一模）火星是人类探索地外行星的重要目标，已知火星质量约为地球质量的，火星半径约为地球半径的，忽略地球和火星的自转影响，下列关于火星表面重力加速度g火与地球表面重力加速度g的比值，说法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•青岛模拟）2026年我国将要发射“嫦娥七号”探测器，对月球南极开展环境与资源勘查。探测器由轨道器、着陆器等组成。如图所示，轨道器在半径为r的圆形极月轨道上运行，运行周期为T。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，忽略月球自转。下列说法正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的质量为 C．月球表面的重力加速度为 D．月球表面的重力加速度为 4．（2026•重庆模拟）天问二号的成功发射开启了人类对小行星的探测之旅。如图所示，已知小行星的半径为R，天问二号绕小行星做匀速圆周运动，运行周期为T，在A点时天问二号测出其对小行星的观察张角为2θ＝60°，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．天问二号离地的高度为 B．小行星的质量为 C．小行星的第一宇宙速度为 D．天问二号的环绕速度大于小行星的第一宇宙速度 5．（2026•邢台模拟）如图所示，嫦娥六号在地月转移轨道合适位置制动后进入周期为12小时的环月椭圆轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ的P点制动后进入周期为4小时的椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的Q点制动后进入周期约为128分钟的圆轨道Ⅲ。O点为月球球心，月球的质量为M，万有引力常量为G，取无穷远势能为零，嫦娥六号与月球间的引力势能为Ep（m为嫦娥六号的质量，r0为嫦娥六号与月球中心的距离）。已知OQ＝r、OP＝kr。则下列说法正确的是（　　） A．椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的半长轴之比为9：1 B．嫦娥六号在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的P点加速度大小均为 C．嫦娥六号在轨道Ⅱ上经过P点的线速度大小为 D．嫦娥六号在Q点制动，从轨道Ⅱ变到轨道Ⅲ的过程中，制动力所做的功W 6．（2026春•沙河口区校级月考）假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m和M的A、B两颗星体组成。这两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，A、B两颗星的距离为L，引力常量为G，则（　　） A．因为OA＞OB，所以m＞M B．两颗星做圆周运动的周期为 C．若星体A“吸食”星体B上一些物质，其他量不变，则星体A的周期将缓慢增大 D．若星体A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则星体A的轨道半径将缓慢增大 二．多选题 （多选）7．（2026•攀枝花二模）二十四节气是我国农耕文明的智慧结晶，其确立源于地球绕太阳的公转运动。如图所示，地球沿椭圆轨道绕太阳运行，轨道上春分、秋分两点位于椭圆短轴的两端附近，夏至、冬至两点位于椭圆长轴的两端附近，且冬至点接近近日点，夏至点接近远日点。已知地球在冬至（近日点）时与太阳中心的距离为r1，公转速率为v1，所受万有引力为F1在夏至（远日点）时与太阳中心的距离为r2，公转速率为v2，所受万有引力为F2，下列说法中正确的有（　　） A．地球在冬至时绕太阳公转的线速度最大 B．一年内冬至到春分的时间与春分到夏至的时间相等 C． D．v1：v2＝r1：r2 （多选）8．（2026•成都模拟）1610年，伽利略用他的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，它们的运动可视为匀速圆周运动，轨道半径的对数lgR与周期的对数lgT关系如图，则（　　） A．木卫四的加速度比木卫一的大 B．四颗卫星中，木卫一的速度最大 C．图线斜率等于 D．图线纵截距仅与木星的质量有关 （多选）9．（2026•湖南模拟）2025年，中国空间站进入常态化运营阶段。如图所示，中国空间站在离地球表面高度为h的圆轨道Ⅰ上运行。神舟二十号载人飞船在半径为r1的圆轨道Ⅱ上运行，天舟九号货运飞船在完成补给后脱离空间站，正沿椭圆转移轨道Ⅲ（近地点在P点，远地点在Q点，轨道Ⅰ和轨道Ⅱ相切于Q点）独立飞行，为受控再入大气层做准备（已知地球半径为R，引力常量为G，不计大气阻力）。下列说法正确的是（　　） A．若通过观测得知空间站的运行周期为T，则可以求出地球的密度 B．天舟九号在椭圆轨道Ⅲ上由P点向Q点的独立飞行过程中，其机械能不变 C．天舟九号在椭圆轨道Ⅲ上经过P点时的加速度大小大于在轨道Ⅱ上经过P′点时的加速度大小 D．若神舟二十号载人飞船在轨道Ⅱ的P′点向前加速后（加速时间极短），其将可能沿轨道Ⅲ运行并与在Q点的空间站相遇 （多选）10．（2026•淄博二模）某研究机构提出“人造月亮”的设想，若发射成功，天空中将会同时出现月亮和“人造月亮”，月亮A和“人造月亮”B绕地球（球心为O）的运动均可视为匀速圆周运动，如图所示，设∠BAO＝θ，运动过程中θ的最大正弦值为p，月亮A、“人造月亮”B绕地球运动的半径分别为rA、rB，角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，向心加速度大小分别为aA、aB。则（　　） A． B． C． D． （多选）11．（2026•辽宁模拟）目前，我国已有近千颗卫星在轨运行。质量为m的某卫星发射初期先进入近地圆轨道稳定运行，后在近地点进行加速进入椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再次加速后，进入预定圆轨道稳定运行。已知卫星近地圆轨道半径为R，预定圆轨道半径为2R，地球表面的重力加速度为g。若仅考虑地球引力，取无穷远处势能为零，则该卫星距离地心r处的引力势能表达式为（r≥R）。不考虑地球自转，且除近地点和远地点外，其余位置发动机不提供动力，则（　　） A．卫星在椭圆轨道近地点的速率为 B．第一次点火时卫星获得的机械能为 C．卫星在预定圆轨道上稳定的运行速率为 D．第一次点火和第二次点火卫星增加的机械能之比为1：1 （多选）12．（2026春•两江新区校级月考）宇宙中相距较近的两颗恒星组成一个系统，在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上同一点做周期相同的匀速圆周运动，如图所示，a、b两颗恒星的质量分别为m1、m2，现测得a、b的轨道半径之比为1：3，a、b中心间距离为L，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．a、b的质量之比m1：m2＝3：1 B．a、b做圆周运动的线速度之比为3：1 C．a、b做圆周运动的加速度之比为1：3 D．a、b做圆周运动的角速度为 三．解答题 13．（2026春•黄浦区校级月考）如图，某同学研究卫星先环绕地球运动，之后再做变轨的过程。设卫星质量为m，先在近地圆轨道上绕地球运行。已知地球质量为M，引力常量为G，地球半径为R。 （1）求卫星变轨前的运行速率v0； （2）研究变轨时，在地表附近的A点短暂启动发动机，使卫星进入椭圆轨道，该轨道的远地点B距地心为8R。已知卫星的引力势能可表示为（r为卫星到地心的距离，设无限远处引力势能为零）。 Ⅰ.求卫星在近地轨道和在椭圆轨道环绕地球的周期比值（保留三位小数）； Ⅱ.求变轨前卫星的机械能EA； Ⅲ.求短暂启动过程中发动机对卫星做的功W。（提示：结合开普勒第二定律va•ra＝vb•rb，其中ra、rb分别表示近地点和远地点与地球球心的距离） 14．（2026春•潍坊期中）某行星半径为R，质量为m的物体在“赤道”处所受重力大小为F1，在“北极”处所受重力大小为F2。行星视为均匀球体。 （1）求该行星的自转周期T； （2）若要使赤道上的物体“飘起来”（对行星表面无压力），求该行星的最小自转周期Tmin。 15．（2026春•西城区校级期中）1798年，英国物理学家卡文迪什通过实验测定了引力常量G的值，他还把自己的实验说成是“称量地球的重量”。由于地面的重力加速度g和地球半径R在测定G值之前就已知道，一旦测得引力常量G，就可以算出地球的质量M。 他的计算思路是：若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力。 （1）请写出卡文迪什计算地球质量的过程； （2）若已知球体积公式为，写出计算地球平均密度ρ的过程。 16．（2026春•武昌区校级期中）某卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，其轨道半径约为地球半径的倍。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。求： （1）该卫星绕地球运动的向心加速度大小和线速度大小； （2）地球的密度。 17．（2026春•东湖区校级月考）如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡面上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为θ，已知该星球半径为R，引力常量为G，不计一切阻力及摩擦，忽略星球的自转，求： （1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的“第一宇宙速度”。 18．（2026春•沙河口区校级期中）“食双星”是指两颗恒星在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动。由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但由于两颗恒星的彼此掩食，会造成其亮度发生周期性变化，观测者可以通过观察双星的亮度研究双星。如图，t1时刻，由于较亮的恒星遮挡较暗的恒星，造成亮度L减弱，t2时刻则是较暗的恒星遮挡较亮的恒星，从t2时刻起经过t2﹣t1的时间，再次观察到较亮的恒星遮挡较暗的恒星。若较亮的恒星与较暗的恒星的质量分别为m1、m2。已知万有引力常量为G，求： （1）“食双星”的运动周期T； （2）两颗恒星间的距离X。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 天体运动题型 题型一 开普勒三定律的理解和应用 1．（2026•丰台区模拟）如图所示为某彗星绕太阳转动的椭圆轨道示意图。a、b分别为彗星绕太阳运行的近日点和远日点，c、d为椭圆短轴与轨道的交点，彗星先后经过a、d、b、c、a，下列说法正确的是（　　） A．彗星在近日点的速度比远日点的速度小 B．彗星在近日点的加速度比远日点的加速度小 C．从d运行到b的过程中，太阳对彗星的万有引力对彗星一直做负功 D．彗星从a运行到d的时间等于从d运行到b的时间 【答案】C 【分析】根据开普勒第二定律分析解答；根据牛顿第二定律列式求解；根据速率变化和万有引力做功的情况分析解答；根据路程和平均速率的信息进行判断。 【解答】解：A.根据开普勒第二定律可知，彗星在近日点的速度大于它在远日点的速度，故A错误； B.根据牛顿第二定律有，解得，则彗星在近日点的加速度a大于远日点的加速度，故B错误； C.从d运行到b的过程中万有引力与速度方向夹角一直为钝角，彗星速度一直减小，因此动能一直减小，太阳对彗星的万有引力对彗星一直做负功，故C正确； D.彗星从a到d的路程等于从d到b的路程，但由于前一段平均速率更大，可知从a运行到b的时间小于从d运行到b的时间，故D错误。 故选：C。 2．（2026•重庆模拟）我国北斗卫星导航系统（BDS）已经开始提供全球服务，具有定位、导航、授时、5G传输等功能，A、B为北斗系统中的两颗工作卫星。如图所示，A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O为地心，在两卫星运行过程中，A、B连线和O、A连线的夹角最大为θ，则A、B两卫星（　　） A．做圆周运动的线速度的比值为 B．做圆周运动的周期的比值为 C．与地心O的连线在相等时间内扫过的面积的比值为 D．做圆周运动的加速度的比值为sin2θ 【答案】D 【分析】先根据A、B连线与OA夹角最大时的几何关系得到两卫星的轨道半径关系，再利用万有引力提供向心力推导线速度、周期、加速度及扫过面积的比值。 【解答】解：A、A、B连线与O、A连线的夹角最大时，OB与AB垂直，结合几何关系有rB＝rAsinθ 由万有引力提供向心力，有 代入数据可得 则做圆周运动的线速度的比值为，故A错误； B、由开普勒第三定律可得 代入数据可得，故B错误； C、t时间内，卫星与地心的连线扫过的面积 代入数据可得，故C错误； D、结合万有引力提供向心力 代入数据可得 做圆周运动的加速度的比值为，故D正确。 故选：D。 3．（2026春•番禺区校级期中）如图所示是地球绕太阳运动的椭圆轨迹，短轴和长轴的四个位置所对应的节气分别是春分、秋分、夏至和冬至。假设地球只受到太阳的引力，下列说法正确的是（　　） A．火星与太阳连线单位时间扫过的面积等于地球与太阳连线单位时间扫过的面积 B．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，，则地球与土星对应的k值不同 C．春分和秋分时，地球运动的加速度相同 D．从冬至到春分，地球的运行时间小于公转周期的 【答案】D 【分析】AB.根据开普勒第二定律和开普勒第三定律进行分析解答；C.根据牛顿第二定律列式解答；D.根据椭圆轨道上的变速运动特点进行分析解答。 【解答】解：A．根据开普勒第二定律可知，同一轨道上行星和太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，故火星与太阳连线单位时间扫过的面积不等于地球与太阳连线单位时间扫过的面积，故A错误； B．根据开普勒第三定律有，k值与中心天体有关，则地球与土星对应的k值相同，故B错误； C．对地球，解得，由于春分和秋分时地球与太阳距离r相同，故地球运动的加速度大小相同，但方向不同，故C错误； D．越靠近太阳速度越快，可知从冬至到春分的时间小于春分到夏至的时间，故从冬至到春分，地球的运行时间小于公转周期的，故D正确。 故选：D。 （多选）4．（2026春•河西区期中）“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳运动的公转轨道是一个椭圆，将地球绕日一年转360度分为24份，约15度为一个节气。如图所示为地球公转位置与节气的对照图。下列说法正确的是（　　） A．太阳不在椭圆的中心，而是在其中一个焦点上 B．地球公转到夏至时的速度比冬至时的速度大 C．地球每转过相同的角度，地球与太阳的连线扫过的面积都相等 D．所有行星绕太阳公转时，其轨道半长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相等 【答案】AD 【分析】结合开普勒三大定律，分别分析太阳在椭圆轨道的位置、不同节气的公转速度、相同角度扫过的面积以及行星轨道半长轴与周期的关系，逐一判断选项正误。 【解答】解：A.根据开普勒第一定律，行星绕太阳运动的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，故A正确； B.根据开普勒第二定律，行星在近日点公转速度最大，远日点公转速度最小。夏至时地球位于远日点附近，冬至时位于近日点附近，因此地球公转到夏至时的速度比冬至时小，故B错误； C.开普勒第二定律描述的是行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，并非转过相同角度扫过的面积相等，故C错误； D.根据开普勒第三定律，所有绕太阳公转的行星，其轨道半长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相等，该比值仅与中心天体太阳的质量有关，故D正确。 故选：AD。 题型二 万有引力与重力的关系 1．（2026•九龙坡区校级模拟）中国计划在2030年前实现首次载人登月。已知月球的自转周期约为27d，月球和地球均可视为均质圆球，月球半径约为地球半径的0.27倍，月球上极地与赤道的重力加速度大小之差为Δg1，地球上极地与赤道的重力加速度大小之差为Δg2。据此可以推算出，Δg1：Δg2约为（　　） A．1.0×10﹣2 B．1.7×10﹣3 C．3.7×10-4 D．6.2×10﹣5 【答案】C 【分析】星球极地与赤道的重力加速度差，本质是赤道上物体随星球自转所需的向心加速度，和星球半径成正比，和自转周期的平方成反比；先写出月球和地球各自的重力加速度差的关系，再将两者作比，把题目给出的月球半径与地球半径的比例、月球自转周期与地球自转周期的比例代入，通过化简计算，就能得到两者重力加速度差的比值，选出对应选项。 【解答】解：在均匀球体表面： 极地：万有引力全部提供重力，物体无自转向心力需求； 赤道：万有引力需同时提供重力和随星球自转的向心力。 因此，极地与赤道的重力加速度差，等于赤道处物体随星球自转的向心加速度，即： 其中，T为星球自转周期，R为星球半径。 设月球的自转周期、半径、重力加速度差分别为T1、R1、Δg1；地球的对应量为T2、R2、Δg2 根据上述原理，有 整理得 代入数据得 故ABD错误，C正确。 故选：C。 2．（2026•香坊区校级三模）我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°，经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为g，则E位置的重力加速度为（　　） A．g B．g C．g D．g 【答案】C 【分析】利用极点处万有引力等于重力、赤道处万有引力与重力的差提供向心力，联立求出自转角速度；计算目标纬度处的向心加速度，通过矢量合成的余弦定理，结合万有引力加速度与向心加速度的矢量差，推导出该位置的重力加速度。 【解答】解：设星球质量为M、半径为R、自转角速度为ω。 在极点A处，物体不受自转影响，万有引力全部表现为重力，有 在赤道D处，万有引力一部分提供重力，一部分提供自转所需的向心力，有 解得。 在E位置，物体做圆周运动的轨道半径为，对应的向心加速度为。 由于重力加速度是万有引力加速度与向心加速度的矢量差，根据余弦定理可得，因此E位置的重力加速度为，故ABD错误，C正确。 故选：C。 3．（2026•宜春模拟）2025年8月6日，揽月月面着陆器（首次载人月球探测器）着陆起飞综合验证试验在位于河北省怀来县的地外天体着陆试验场圆满完成。现已知地球表面重力加速度g，地球半径R，月球环绕地球运行的周期T，忽略地球自转，求月球离地球表面的高度H（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据万有引力提供向心力和黄金代换式列式解答。 【解答】解：根据，又由mg，联立解得H，故B正确，ACD错误。 故选：B。 （多选）4．（2026春•武昌区校级期中）在万有引力定律建立的过程中，“月一地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与地球对苹果的力是同一种力，从而实现了“地上物理学”和“天上物理学”的统一，即都遵从与距离的平方成反比的规律。设月球在半径为r（r＝60R，R为地球半径）的轨道上绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T，向心加速度为a；物体在地面处的重力加速度为g，物体在月球所在轨道处的加速度为g′，忽略地球自转的影响。下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据万有引力与距离平方成反比的规律，对比地面重力加速度g与月球轨道处加速度g'，利用r＝60R推导两者关系；再结合匀速圆周运动向心加速度公式分析月球向心加速度a的表达式，同时明确a与g'的关系，逐一判断选项。 【解答】解：AB、根据， 又r＝60R，整理可得 故A正确，B错误。 CD、根据万有引力提供向心力可得 解得 故C正确，D错误。 故选：AC。 题型三 天体的密度和质量 1．（2026•沧州二模）Kepler﹣725c（开普勒﹣725c）是由中国科学院云南天文台牵头，联合德国汉堡天文台、西交利物浦大学和中国科学院南京天文光学技术研究所等机构于2025年发现的系外行星。Kepler﹣725c环绕恒星Kepler﹣725运行，其公转轨道半长轴是地球的0.674倍，公转周期约为207天。根据以上信息可以判断，恒星Kepler﹣725和太阳的质量的比值约为（　　） A．0.0095 B．0.095 C．0.95 D．9.5 【答案】C 【分析】根据开普勒第三定律对应的表达式结合题中给定的条件列式求解。 【解答】解：设Kepler﹣725c的轨道半长轴为a1、周期为T1、中心天体（恒星Kepler﹣725）质量为M1；地球的轨道半长轴为a2、周期为T2、中心天体（太阳）质量为M2。由题意知a1＝0.674a2，T1＝207天，T2＝365 天（地球公转周期），根据，可得，代入数据计算将0.674、，代入上式，得0.95，故C正确，ABD错误。 故选：C。 2．（2026春•嵩明县期中）木星的卫星中有四颗是伽利略发现的，被称为伽利略卫星，这四颗卫星分别被命名为木卫一、木卫二、木卫三和木卫四，其中木卫二的周期为木卫一周期的两倍。已知木卫一的运行半径为r，周期为T，木星的半径为R，万有引力常量为G，木星卫星的运动近似为匀速圆周运动，木星可视为质量分布均匀的球体。下列判断正确的是（　　） A．木星的质量为 B．木星的平均密度为 C．木卫二与木卫一的轨道半径之比为：1 D．木卫二与木卫一的向心力之比为1：2 【答案】C 【分析】以万有引力提供卫星圆周运动的向心力为核心依据，先通过木卫一的轨道半径与周期计算木星质量，再结合球体体积公式推导木星密度，接着利用开普勒第三定律分析木卫二与木卫一的轨道半径之比，最后结合向心力公式分析向心力之比，逐一判断选项。 【解答】解：A、根据万有引力提供向心力 解得木星的质量为 故A错误； B、木星的体积为 木星的平均密度为 联立解得木星的平均密度 故B错误； C、根据开普勒第三定律 其中T2＝2T 解得木卫二与木卫一的轨道半径之比为 故C正确； D、木星卫星受到的向心力为 由于木星卫星的质量关系未知，故无法比较木卫二与木卫一的向心力，故D错误。 故选：C。 3．（2026春•沈河区校级期中）已知万有引力恒量G后，要计算地球的质量，还必须知道某些数据，现在给出下列各组数据，可以算出地球质量的有（　　） A．地球绕太阳运行的周期T和地球离太阳中心的距离R B．月球绕地球运行的周期T和地球的半径R C．人造地球卫星在地面附近运行的速度和运动周期T D．静止卫星离地面的高度 【答案】C 【分析】根据以地球为中心天体求地球的质量，应使用万有引力提供向心力的原理来解，若以太阳为中心天体，则无法求解地球的质量，结合各选项提供的条件利用相应的表达式列式判断各选项的正误。 【解答】解：A.根据，以太阳为中心天体列相关公式时，地球质量都会被约掉，所以无法求解，故A错误； B.已知月球运行周期T和轨道半径r，由万有引力提供向心力，有，可得地球质量为，但题中给定的是地球半径R（r未知），故不可求解地球质量，故B错误； C.由万有引力提供向心力，有，又，联立两式即可求出地球质量M，故C正确； D.同步卫星周期可作为已知量，但由于地球半径未知，所以无法确定其轨道半径不能用相关方程求解，故D错误。 故选：C。 （多选）4．（2026•长沙模拟）火星是太阳系中距离太阳第四近的行星，也是太阳系里四颗类地行星之一。作为地球的近邻，火星拥有与地球相似的自转周期T自和四季变化，是目前人类深空探测的重点目标。观察测出：火星半径为R，绕太阳做圆周运动的半径为r、周期为T1；火星表面附近的卫星绕火星做圆周运动的周期为T2。已知万有引力常量为G，则根据题中给定条件（　　） A．能求出火星的密度 B．能求出火星与卫星间的万有引力 C．能求出太阳与火星间的万有引力 D．能求出火星同步轨道离火星表面距离 【答案】AC 【分析】火星表面附近的卫星绕火星做圆周运动，根据万有引力提供向心力列式。火星绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力列式，根据题目中已知物理量判断能够求出的物理量。 【解答】解：A、火星表面附近的卫星绕火星做圆周运动，根据万有引力提供向心力得 Gm卫R 可得火星的质量M火 火星的密度为ρ，G、T2已知，可以求出火星的密度，故A正确； B、由于卫星的质量不能求出，所以不能求出火星与卫星间的万有引力，故B错误； C、火星绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力得：F引＝M火r，结合M火，能求出太阳与火星间的万有引力，故C正确； D、火星同步轨道卫星的运行周期等于火星的自转周期，根据万有引力提供向心力得 Gm同（R+h） 结合M火，能T自没有具体数值，所以不能求出火星同步轨道离火星表面距离，故D错误。 故选：AC。 题型四 人造地球卫星及其参量 1．（2026春•浑南区校级期中）探索精神是人类进步的动力源泉。在向未知宇宙探索的过程中，有一宇宙飞船飞到了某行星附近，绕着该行星做匀速圆周运动，测出宇宙飞船运动的周期为T，线速度大小为v，已知引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．该宇宙飞船的轨道半径为 B．该行星的质量为 C．该行星的平均密度为 D．该行星表面的重力加速度为 【答案】C 【分析】由匀速圆周运动线速度与周期的关系解答A选项；根据万有引力提供向心力解答B选项；飞船在行星附近飞行，轨道半径r近似等于行星半径R，根据密度公式与球体积公式解答C选项；行星表面重力加速度等于近地飞船的向心加速度，据此解答D选项。 【解答】解：A．由匀速圆周运动线速度与周期的关系：，解得轨道半径为：，故A错误； B．根据万有引力提供向心力得： 可得行星质量为： 将代入解得：，故B错误； C．飞船在行星附近飞行，轨道半径r近似等于行星半径R。 行星的平均密度为： 行星体积为： 与，联立解得：，故C正确； D．行星表面重力加速度等于近地飞船的向心加速度，则有： 代入，解得：，故D错误。 故选：C。 2．（2026•沧州模拟）某时刻一颗赤道卫星和一颗极地卫星恰好处在地球赤道表面N点的正上方P点和Q点，赤道卫星和极地卫星周期分别为1.5T和T，它们均可视为做匀速圆周运动。地球可看作质量分布均匀的球体，N点的重力加速度近似为g。根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．经过6T，两星第一次同时到N点正上方 B．可求出图示时刻PQ高度差 C．已知图示时刻PQ高度差，可求出地球半径 D．可以求出两星离地球表面的高度之比 【答案】C 【分析】BCD.根据万有引力提供向心力和黄金代换式结合各选项提供条件分析解答；D.根据相同时间内各自运动的圈数结合地球自转的特点分析解答。 【解答】解：BCD.设赤道卫星和极地卫星距离地球表面的距离分别为h1和h2，地球的半径为R，则根据万有引力提供向心力可得 ，，又由黄金代换式mg，可得，。若h1﹣h2＝Δh已知，三个方程有三个未知量h1、h2和R，则可求解地球半径R；但通过前两个方程不能求解h1﹣h2，也不能求解，故C正确，BD错误； A.经过6T，两星第二次同时回到原来的位置，同时由于地球自转的周期未知，则不能确定是否都同时到N点正上方，故A错误。 故选：C。 3．（2026•绵阳三模）某颗低轨卫星绕地球运动的轨道是椭圆，运行过程中受到地球的引力大小随时间变化的情况如图所示，则卫星（　　） A．绕地球运行的周期为T0 B．到地心的最远距离是最近距离的2倍 C．运行过程中最大速度大小是最小速度大小的2倍 D．运行过程中最大加速度大小是最小加速度大小的2倍 【答案】D 【分析】根据万有引力的大小变化周期与卫星的运行周期关系进行分析解答；根据万有引力的表达式列式求解；根据开普勒第二定律列式解答；根据牛顿第二定律列式求解。 【解答】解：A.由题意知，引力大小随时间周期性变化，周期为T0，但卫星绕地球运行的周期是指卫星完成一次完整椭圆轨道运动的时间，可得绕地球运行的周期为2T0，故A错误。 B.设引力最大时对应最近距离r1，最小时对应最远距离r2，已知最大引力Fmax＝2F0，最小引力Fmin＝F0，则，解得，即最远距离是最近距离的倍，故B错误。 C.根据开普勒第二定律，设卫星在近地点（距离r1）和远地点（距离r2）的速度分别为v1、v2，则有v1r1＝v2r2，又由，代入得，即最大速度是最小速度的倍，故C错误。 D.根据牛顿第二定律，卫星的加速度，最大加速度对应最大引力2F0，最小加速度对应最小引力F0，则，即最大加速度是最小加速度的2倍，故D正确。 故选：D。 （多选）4．（2026春•琼山区校级期中）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功对接天和空间站核心舱。已知地球半径为R，空间站绕地球做圆周运动的轨道半径为kR，周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．空间站的线速度大小为 B．地球的质量为 C．地球的平均密度为 D．地球的平均密度为 【答案】AD 【分析】根据线速度和周期的关系式列式解答；根据万有引力提供向心力和质量—密度公式列式联立求解。 【解答】解：A．根据题意，线速度的定义式可得，空间站的线速度大小为，故A正确； BCD．由万有引力提供向心力有，解得地球的质量为，地球的体积为，则地球的密度为，得ρ，故D正确，BC错误。 故选：AD。 题型五 宇宙速度及卫星变轨问题 1．（2026•雨花区校级一模）如图所示，质量相等、周期均为T的两颗人造地球卫星，1轨道为圆、2轨道为椭圆（不考虑卫星之间引力）。A、B两点是椭圆长轴两端，A距离地心为r。C点为椭圆短轴端点且是两轨道的交点，到地心距离为2r，卫星1的速率为v，下列说法正确的是（　　） A．C点到椭圆中心的距离为r B．卫星1和卫星2运动到C点时加速度不同 C．卫星2在C点的向心加速度等于 D．卫星2由A到C的时间等于 【答案】C 【分析】利用开普勒第三定律确定椭圆轨道的半长轴，通过椭圆几何关系计算短半轴；根据万有引力提供向心力判断两卫星在C点的加速度；结合向心加速度的定义与几何关系，计算椭圆轨道卫星在C点的向心加速度；依据开普勒第二定律，分析卫星在椭圆轨道上的运动时间。 【解答】解：A.因为两卫星的周期均为T，根据开普勒第三定律，椭圆轨道半长轴等于圆轨道半径，有a＝2r；椭圆的焦距c＝a﹣r＝2r﹣r＝r，C点在椭圆的短轴上，所以C点到椭圆轨道中心的距离，故A错误。 B.根据万有引力提供向心力有，可得加速度，两颗卫星质量相等，运动到C点时到地心距离相等，所以在C点受到的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知在C点时加速度相同，故B错误。 C.卫星1做匀速圆周运动，在C点的加速度为，方向指向地心，卫星2和卫星1运动到C点时加速度相同，则卫星2加速度的大小为；卫星2在C点的向心加速度由万有引力的法向分量提供，为an＝a2cosθ，由几何关系，可得卫星2在C点的向心加速度，故C正确。 D.根据开普勒第二定律可知，卫星2在离地球较近的时候速度较大，所以卫星2由A到C的时间小于，故D错误。 故选：C。 2．（2026春•常熟市期中）飞船变轨返航过程可简化为如图所示模型，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于P、Q两点，则飞船（　　） A．在轨道Ⅱ经过Q点的加速度大于在轨道Ⅲ经过Q点的加速度 B．在轨道Ⅰ上的速度小于在轨道Ⅲ上的速度 C．在轨道Ⅱ上运动时有vP＜vQ D．在轨道Ⅰ上P点的速度小于在轨道Ⅱ上P点的速度 【答案】D 【分析】根据万有引力提供向心力判断同一位置的加速度和不同圆轨道的线速度；利用开普勒第二定律分析椭圆轨道上近地点与远地点的线速度关系；结合离心运动条件，分析飞船从低轨道变轨到高轨道时在P点的速度变化。 【解答】解：A.根据牛顿第二定律有，可得加速度，飞船在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过Q点时与地心的距离相同，所以飞船在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过Q点的加速度大小相等，故A错误。 B.由万有引力提供向心力有，可得线速度 ，轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅲ的半径Ⅲ，所以飞船在轨道Ⅰ上的运行速度大于在轨道Ⅲ上的运行速度，故B错误。 C.飞船在椭圆轨道Ⅱ上运动时，遵循开普勒第二定律，P点是近地点，Q点是远地点，所以飞船在P点的线速度大于Q点的线速度，即vP＞vQ，故C错误。 D.飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，需要在P点点火加速，通过向后喷气获得推力，使飞船做离心运动，从而进入更高的椭圆轨道，所以飞船在轨道Ⅱ上P点的速度大于在轨道Ⅰ上P点的速度，故D正确。 故选：D。 3．（2026•安徽模拟） 2025年5月29日，天问二号在西昌卫星发射中心成功发射，天问二号计划对小行星2016HO3进行探测、采样并返回地球，此后对主带彗星311P开展科学探测，天问二号到达小行星时从轨道Ⅰ的P点变轨到椭圆轨道Ⅱ，如图所示，则天问二号（　　） A．在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上的机械能小 B．在轨道Ⅰ上P点的速度比在轨道Ⅱ上P点的速度小 C．在轨道Ⅰ上P点的加速度比在轨道Ⅱ上P点的加速度小 D．若知道天问二号在轨道Ⅱ的运行周期、轨道Ⅱ的长轴长及引力常量G，就可以求出小行星的质量 【答案】D 【分析】分析天问二号从高轨道变轨到低轨道的过程，明确制动减速时发动机做负功，机械能减小，从而比较两轨道在P点的速度；根据万有引力提供向心力的公式，判断同一位置的加速度大小；结合开普勒第三定律，利用椭圆轨道的半长轴、周期和引力常量，推导小行星质量。 【解答】解：AB.天问二号从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，需要在P点制动减速，发动机做负功，因此机械能减小，在轨道Ⅰ上P点的速度比在轨道Ⅱ上P点的速度大，故AB错误。 C.由万有引力提供向心力有，可知加速度的大小仅与天问二号到小行星中心的距离r有关。在P点，天问二号到小行星中心的距离r是固定的，所以它在轨道Ⅰ上P点的加速度与在轨道Ⅱ上P点的加速度相等，故C错误。 D.设某圆周轨道半径为r，由万有引力提供向心力有；若椭圆的长轴长为2a，在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期为T，根据开普勒第三定律有，解得，若知道天问二号在轨道Ⅱ的运行周期、轨道Ⅱ的长轴长及引力常量G，就可以求出小行星的质量，故D正确。 故选：D。 （多选）4．（2026春•九龙坡区校级月考）中国预计在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。如图是“嫦娥一号奔月”的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”，以下说法正确的是（　　） A．发射速度必须达到第三宇宙速度 B．轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ时，在Q点需点火反冲减速 C．轨道Ⅲ上Q点的加速度大于轨道Ⅰ上Q点的加速度 D．16h轨道与24h轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比相等 【答案】BD 【分析】根据宇宙速度的定义判断“嫦娥一号”的发射速度要求；结合卫星变轨原理，分析从高轨道到低轨道的减速操作；根据万有引力与加速度的关系，判断卫星在同一点的加速度是否相等；依据开普勒第三定律，验证绕同一中心天体的轨道半长轴与周期的关系。 【解答】解：A.第三宇宙速度是脱离太阳系的最小发射速度，而“嫦娥一号”并未脱离太阳系，只是前往月球，所以发射速度只需大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度即可，故A错误。 B.从轨道Ⅲ（高轨道）变轨到轨道Ⅱ（低轨道），需要在Q点点火反冲减速，让万有引力大于所需向心力，使卫星做近心运动，进入更低轨道，故B正确。 C.在Q点，卫星受到的月球万有引力相同，根据，轨道Ⅲ和轨道Ⅰ在Q点的轨道半径r相同，所以加速度相等，故C错误。 D.根据开普勒第三定律，绕同一中心天体运动的行星，其轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比为定值，16h轨道与24h轨道均为绕地球的轨道，所以二者半长轴的三次方与公转周期的平方之比相等，故D正确。 故选：BD。 题型六 双星及多星题型 1．（2026春•和平区校级期中）由A、B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动。A、B之间的距离为L，周期为T，轨道半径之比rA：rB＝3：5，引力常量为G，下列判断正确的是（　　） A．A、B的线速度大小之比为vA：vB＝5：3 B．A、B的质量之比为mA：mB＝3：5 C．A、B的总质量为 D．A、B的总质量一定的情况下，L越大，T越小 【答案】C 【分析】双星运动，角速度相等，万有引力相等，二者距离为轨道半径之和，万有引力提供向心力，根据相应的表达式分析。 【解答】解：A、两颗星做圆周运动，角速度相同，由v＝ωr可知vA：vB＝3：5，故A错误； B、二者之间的万有引力提供向心力，有mAω2rA＝mBω2rB，代入数据可得mA：mB＝5：3，故B错误； C、万有引力提供向心力，有，，又L＝rA+rB，代入数据可得A、B总质量mA+mB，故C正确； D、由C选项表达式可知总质量一定的情况下，L越大，T越大，故D错误。 故选：C。 2．（2026春•海淀区校级期中）假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m和M的A、B两颗星体组成，相距L，在二者间万有引力作用下，这两颗星各自绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，如图所示，已知引力常量为G，则下列说法不正确的是（　　） A．A的质量小于B的质量 B．A的线速度大于B的线速度 C．A的动能大于B的动能 D．两颗星做圆周运动的周期为2 【答案】D 【分析】双星运动中，根据图片判断半径，二者距离为半径之和，二者角速度相同，万有引力提供向心力，然后根据表达式分析。 【解答】解：B、两颗星做圆周运动，角速度相同，由图可知A的轨迹半径较大，由v＝ωr可知，A星球线速度较大，故B正确； A、万有引力提供向心力，Mω2r，代入数据可得，所以A的质量较小，故A正确； C、动能，代入数据可得，所以A的动能较大，故C正确； D、rA+rB＝L，T，代入数据可得T，故D错误。 题目让选错误的，故选：D。 3．（2026春•南京月考）如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，运动周期为T，则（　　） A．A的质量一定大于B的质量 B．A的线速度一定大于B的线速度 C．A的向心力一定大于B的向心力 D．M一定时，L越大，T越小 【答案】B 【分析】利用双星系统中万有引力提供向心力的特点，推导出质量与轨道半径的反比关系；根据线速度与角速度的关系，结合角速度相等、轨道半径不同的条件，判断线速度大小关系；依据牛顿第三定律，分析向心力的关系；通过联立向心力方程推导出双星周期公式，分析间距对周期的影响。 【解答】解：A.设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度均为ω，根据万有引力提供向心力有、，距离关系为RA+RB＝L，联立解得，因为RA＞RB，所以A的质量一定小于B的质量，故A错误。 B.根据线速度与角速度的关系有vA＝ωRA、vB＝ωRB，因为角速度相等，轨道半径RA＞RB，所以A的线速度大于B的线速度，故B正确。 C.两星的向心力均由彼此间的万有引力提供，根据牛顿第三定律，这两个力大小相等，所以A的向心力等于B的向心力，故C错误。 D.根据万有引力提供向心力有、，联立可得，所以M一定，L越大，T越大，故D错误。 故选：B。 （多选）4．（2026春•香坊区校级期中）我国“天关”卫星发现一个位于“小麦哲伦云”星系内的双星系统EPJ0052。如图所示，某双星系统中恒星A、B均绕O点做匀速圆周运动，恒星A、B到O点的距离分别为rA、rB，已知恒星A的质量为mA，角速度大小为ω，不考虑其他天体对恒星A、B的万有引力。下列说法正确的是（　　） A．恒星A对恒星B的万有引力大于恒星B对恒星A的万有引力 B．恒星A对恒星B的万有引力大小为 C．恒星B的线速度大小为ωrB D．恒星B的质量为 【答案】BCD 【分析】利用牛顿第三定律判断两恒星间万有引力的关系，结合向心力公式分析恒星A的向心力来源，依据双星系统角速度相同的特点推导恒星B的线速度，通过万有引力提供向心力的等式得出两恒星的质量与轨道半径的关系。 【解答】解：A.恒星A对恒星B的万有引力与恒星B对恒星A的万有引力，是一对作用力与反作用力。根据牛顿第三定律，作用力与反作用力大小始终相等、方向相反，所以这两个引力的大小是相等的，故A错误。 B.恒星A绕O点做匀速圆周运动，向心力由恒星B对它的万有引力提供，可得恒星A所需的向心力。由于恒星A、B间的万有引力是一对相互作用力，所以恒星A对恒星B的万有引力大小也等于，故B正确。 C.双星系统的核心特点是两颗恒星的角速度大小始终相同，设为ω。恒星B绕O点做匀速圆周运动的轨道半径为rB，根据线速度与角速度的关系，其线速度大小为vB＝ωrB，故C正确。 D.恒星A对恒星B的万有引力与恒星B对恒星A的万有引力大小相等，所以有，可得恒星B的质量，故D正确。 故选：BCD。 综合提升 一．选择题 1．（2026春•雁塔区校级期中）如图所示，椭圆轨道Ⅰ是实践一Ⅰ科学卫星的轨道，其轨道的近地点离地高度为300km，远地点离地高度为1800km。圆轨道是乾坤一号卫星的轨道，其轨道离地高度为300km，P为两轨道的切点，已知地球半径为6400km，下列说法正确的是（　　） A．实践﹣Ⅰ科学卫星和乾坤一号卫星的运行周期之比为 B．在P点，实践﹣Ⅰ科学卫星的加速度更大 C．乾坤一号卫星想从轨道Ⅱ变到轨道Ⅰ，需要在P点减速 D．实践﹣Ⅰ科学卫星在远地点的速度大小大于乾坤一号卫星的运行速度大小 【答案】A 【分析】根据开普勒第二定律分析解答；根据牛顿第二定律分析解答；根据卫星变轨时加减速运动知识分析解答；根据万有引力提供向心力导出圆轨道线速度与轨道半径的关系，结合卫星变轨时速度变化知识分析解答。 【解答】解：A．根据开普勒第三定律有，解得，故A正确； B．根据ma，可得a，可知P点两个卫星加速度相同，故B错误； C．从圆轨道Ⅱ变到椭圆轨道Ⅰ（远地点更高），需要在P点加速（做离心运动），故C错误； D．根据，可知，乾坤一号卫星的运行速度大于实践﹣Ⅰ科学卫星在远地点所对应圆轨道的速度，而实践﹣Ⅰ科学卫星进入远地点所对应圆轨道需要在远地点加速，所以实践﹣Ⅰ科学卫星在远地点的速度小于对应圆轨道的速度，也小于乾坤一号卫星的运行速度，故D错误。 故选：A。 2．（2026•河池一模）火星是人类探索地外行星的重要目标，已知火星质量约为地球质量的，火星半径约为地球半径的，忽略地球和火星的自转影响，下列关于火星表面重力加速度g火与地球表面重力加速度g的比值，说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据万有引力与重力加速度的关系，忽略自转影响时，行星表面物体的重力等于万有引力，由此推导重力加速度的表达式，再结合已知的质量、半径比值计算重力加速度之比。 【解答】解：设地球质量为M，半径为R，表面重力加速度为g；火星质量为M火，半径为R火，表面重力加速度为g火。忽略自转影响，行星表面物体的重力等于万有引力 化简得 同理，火星表面重力加速度 两式相比 已知 代入得 因此，火星表面重力加速度与地球表面重力加速度的比值为，故D正确，ABC错误。 故选：D。 3．（2026•青岛模拟）2026年我国将要发射“嫦娥七号”探测器，对月球南极开展环境与资源勘查。探测器由轨道器、着陆器等组成。如图所示，轨道器在半径为r的圆形极月轨道上运行，运行周期为T。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，忽略月球自转。下列说法正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的质量为 C．月球表面的重力加速度为 D．月球表面的重力加速度为 【答案】D 【分析】轨道器绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列式，即可求解月球的质量；忽略月球自转，在月球表面，根据重力等于万有引力列式，即可求解月球表面的重力加速度。 【解答】解：AB、轨道器绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：Gmr，可得月球的质量M，故AB错误； CD、忽略月球自转，在月球表面，根据质量为m′的重力等于月球对物体的万有引力，即有m′g＝G，结合M，解得月球表面的重力加速度为g，故C错误，D正确。 故选：D。 4．（2026•重庆模拟）天问二号的成功发射开启了人类对小行星的探测之旅。如图所示，已知小行星的半径为R，天问二号绕小行星做匀速圆周运动，运行周期为T，在A点时天问二号测出其对小行星的观察张角为2θ＝60°，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．天问二号离地的高度为 B．小行星的质量为 C．小行星的第一宇宙速度为 D．天问二号的环绕速度大于小行星的第一宇宙速度 【答案】B 【分析】根据几何关系，即可得到天问二号离地的高度；小行星对天问二号的万有引力提供向心力，即可得到小行星的质量；根据第一宇宙速度的定义，可判断其是否为选项中的表达式；根据万有引力提供向心力，可得到线速度表达式，比较天问二号的环绕速度、小行星的第一宇宙速度。 【解答】解：A、根据几何关系，可得到天问二号离地的高度满足：，解得：h＝R，故A错误； B、小行星对天问二号的万有引力提供向心力，可得：，解得小行星的质量：，故B正确； C、第一宇宙速度与近地卫星的速度相等，由圆周运动特点，可知：，近地卫星与天问二号轨道半径不同，周期不同，可知其速度不等于，故C错误； D、根据万有引力提供向心力，可得：，解得线速度：，天问二号比近地卫星的轨道半径大，即天问二号的环绕速度小于小行星的第一宇宙速度，故D错误。 故选：B。 5．（2026•邢台模拟）如图所示，嫦娥六号在地月转移轨道合适位置制动后进入周期为12小时的环月椭圆轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ的P点制动后进入周期为4小时的椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的Q点制动后进入周期约为128分钟的圆轨道Ⅲ。O点为月球球心，月球的质量为M，万有引力常量为G，取无穷远势能为零，嫦娥六号与月球间的引力势能为Ep（m为嫦娥六号的质量，r0为嫦娥六号与月球中心的距离）。已知OQ＝r、OP＝kr。则下列说法正确的是（　　） A．椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的半长轴之比为9：1 B．嫦娥六号在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的P点加速度大小均为 C．嫦娥六号在轨道Ⅱ上经过P点的线速度大小为 D．嫦娥六号在Q点制动，从轨道Ⅱ变到轨道Ⅲ的过程中，制动力所做的功W 【答案】C 【分析】利用开普勒第三定律，由轨道周期比求出半长轴比；根据万有引力定律分析同一点的加速度；结合开普勒第二定律和机械能守恒，推导椭圆轨道上近地点与远地点的线速度；用万有引力提供向心力求出圆轨道速度，再通过动能定理计算变轨过程中的制动力做功。 【解答】解：A.根据开普勒第三定律有，已知轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的周期之比为T1：T2＝12：4＝3：1，解得半长轴之比，故A错误。 B.嫦娥六号在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的P点时，加速度由万有引力决定，公式为，故B错误。 C.设嫦娥六号在轨道Ⅱ上经过Q点和P点的线速度大小vQ和vP，根据开普勒第二定律可得vQr＝vPkr；根据在P、Q两点嫦娥六号的机械能相等可得，解得vQ，vP，故C正确。 D.设嫦娥六号在轨道Ⅲ上速度大小为v3，由万有引力提供向心力有，可得v3；嫦娥六号在Q点制动从轨道Ⅱ变到轨道Ⅲ的过程中，由动能定理可得，解得，故D错误。 故选：C。 6．（2026春•沙河口区校级月考）假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m和M的A、B两颗星体组成。这两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，A、B两颗星的距离为L，引力常量为G，则（　　） A．因为OA＞OB，所以m＞M B．两颗星做圆周运动的周期为 C．若星体A“吸食”星体B上一些物质，其他量不变，则星体A的周期将缓慢增大 D．若星体A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则星体A的轨道半径将缓慢增大 【答案】B 【分析】利用双星系统中两星向心力大小相等、角速度相同的特点，推导出轨道半径与质量的反比关系；分别对两星列万有引力提供向心力的方程，联立得到双星周期公式；根据周期公式和轨道半径公式，分析总质量、间距变化对周期及轨道半径的影响。 【解答】解：A.根据双星系统中两星向心力相等的规律，由万有引力提供向心力可得m•OA＝M•OB，已知OA＞OB，可推导出星体A的质量m小于星体B的质量M，故A错误。 B.根据万有引力提供向心力，对A有OA，对B有，将两式相加并代入OA+OB＝L，解得周期，故B正确。 C.若星体A吸食星体B上的物质，两星的总质量M+m保持不变，两星间距L不变，根据周期公式可知周期不会发生变化，故C错误。 D.由双星系统轨道半径公式，可知若星体A不断吸附宇宙尘埃导致自身质量m缓慢增大，而星体B的质量M和两星间距L不变，则分母M+m会增大，轨道半径OA会缓慢减小，故D错误。 故选：B。 二．多选题 （多选）7．（2026•攀枝花二模）二十四节气是我国农耕文明的智慧结晶，其确立源于地球绕太阳的公转运动。如图所示，地球沿椭圆轨道绕太阳运行，轨道上春分、秋分两点位于椭圆短轴的两端附近，夏至、冬至两点位于椭圆长轴的两端附近，且冬至点接近近日点，夏至点接近远日点。已知地球在冬至（近日点）时与太阳中心的距离为r1，公转速率为v1，所受万有引力为F1在夏至（远日点）时与太阳中心的距离为r2，公转速率为v2，所受万有引力为F2，下列说法中正确的有（　　） A．地球在冬至时绕太阳公转的线速度最大 B．一年内冬至到春分的时间与春分到夏至的时间相等 C． D．v1：v2＝r1：r2 【答案】AC 【分析】利用开普勒第二定律分析线速度大小与运动时间，结合万有引力定律分析引力比值，逐一判断选项。 【解答】解：A.根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，冬至点接近近日点，此时地球绕太阳公转的线速度最大，故A正确； B.冬至到春分地球在近日点附近运动，公转速度较快；春分到夏至地球向远日点运动，公转速度较慢，两段轨道弧长相近但速度不同，运动时间不相等，故B错误； C.根据万有引力定律，可得， 因此，故C正确； D.根据开普勒第二定律，近日点和远日点的面积速度相等，即 化简得v1：v2＝r2：r1，故D错误。 故选：AC。 （多选）8．（2026•成都模拟）1610年，伽利略用他的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，它们的运动可视为匀速圆周运动，轨道半径的对数lgR与周期的对数lgT关系如图，则（　　） A．木卫四的加速度比木卫一的大 B．四颗卫星中，木卫一的速度最大 C．图线斜率等于 D．图线纵截距仅与木星的质量有关 【答案】BD 【分析】根据万有引力提供向心力得到的表达式，两边取对数，得到lgr与lgT的关系，结合图像、万有引力定律、向心力公式等进行解答。 【解答】解：AB．由图可知，木卫四的轨道半径最大，木卫一的轨道半径最小，由万有引力提供向心力有，，解得，可知，木卫四的加速度比木卫一的小，四颗卫星中，木卫一的速度最大，故A错误，B正确。 CD．根据题意，由万有引力提供向心力有，整理可得，两边取对数有 可知图线斜率等于，图线纵截距与木星的质量有关，故C错误，D正确； 故选：BD。 （多选）9．（2026•湖南模拟）2025年，中国空间站进入常态化运营阶段。如图所示，中国空间站在离地球表面高度为h的圆轨道Ⅰ上运行。神舟二十号载人飞船在半径为r1的圆轨道Ⅱ上运行，天舟九号货运飞船在完成补给后脱离空间站，正沿椭圆转移轨道Ⅲ（近地点在P点，远地点在Q点，轨道Ⅰ和轨道Ⅱ相切于Q点）独立飞行，为受控再入大气层做准备（已知地球半径为R，引力常量为G，不计大气阻力）。下列说法正确的是（　　） A．若通过观测得知空间站的运行周期为T，则可以求出地球的密度 B．天舟九号在椭圆轨道Ⅲ上由P点向Q点的独立飞行过程中，其机械能不变 C．天舟九号在椭圆轨道Ⅲ上经过P点时的加速度大小大于在轨道Ⅱ上经过P′点时的加速度大小 D．若神舟二十号载人飞船在轨道Ⅱ的P′点向前加速后（加速时间极短），其将可能沿轨道Ⅲ运行并与在Q点的空间站相遇 【答案】ABC 【分析】不知道轨道半径和地球半径，无法求出地球的密度；根据机械能守恒定律的守恒条件进行分析；根据牛顿第二定律分析；根据变轨原理进行分析。 【解答】解：A、若通过观测得知空间站的运行周期为T，中国空间站在离地球表面高度为h的圆轨道Ⅰ上运行，地球半径为R，则轨道半径为r＝R+h，根据万有引力提供向心力，则有：m（R+h），解得M 根据密度计算公式可得：ρ，其中：V 由此可得地球的密度：，故A正确； B、天舟九号在椭圆轨道Ⅲ上由P点向Q点的独立飞行过程中，只有万有引力做功，其机械能守恒，故B正确； C、P点到地心的距离小于P′点到地心的距离，根据牛顿第二定律可得ma，解得a。所以天舟九号在椭圆轨道Ⅲ上经过P点时的加速度大小大于在轨道Ⅱ上经过P′点时的加速度大小，故C正确； D、若神舟二十号载人飞船在轨道Ⅱ的P′点向前加速后，其速度方向在轨道Ⅱ的P′点相切，不可能沿轨道Ⅲ运行并与在Q点的空间站相遇，故D错误。 故选：ABC。 （多选）10．（2026•淄博二模）某研究机构提出“人造月亮”的设想，若发射成功，天空中将会同时出现月亮和“人造月亮”，月亮A和“人造月亮”B绕地球（球心为O）的运动均可视为匀速圆周运动，如图所示，设∠BAO＝θ，运动过程中θ的最大正弦值为p，月亮A、“人造月亮”B绕地球运动的半径分别为rA、rB，角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，向心加速度大小分别为aA、aB。则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据运动过程中θ的最大正弦值为p，满足的几何关系求解两月亮的轨道半径关系，结合万有引力提供向心力导出角速度、线速度和向心加速度的关系式列式解答，逐一分析判断各选项的正误。 【解答】解：A.依题意，运动过程中θ的最大正弦值为p，满足sinθp，则，故A错误； B.根据mrω2，得ω，可得，故B正确； C.根据，得v，可得，故C正确； D.根据ma，得a，可得p2，故D错误。 故选：BC。 （多选）11．（2026•辽宁模拟）目前，我国已有近千颗卫星在轨运行。质量为m的某卫星发射初期先进入近地圆轨道稳定运行，后在近地点进行加速进入椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再次加速后，进入预定圆轨道稳定运行。已知卫星近地圆轨道半径为R，预定圆轨道半径为2R，地球表面的重力加速度为g。若仅考虑地球引力，取无穷远处势能为零，则该卫星距离地心r处的引力势能表达式为（r≥R）。不考虑地球自转，且除近地点和远地点外，其余位置发动机不提供动力，则（　　） A．卫星在椭圆轨道近地点的速率为 B．第一次点火时卫星获得的机械能为 C．卫星在预定圆轨道上稳定的运行速率为 D．第一次点火和第二次点火卫星增加的机械能之比为1：1 【答案】BC 【分析】由万有引力提供向心力求出近地圆轨道速度，用开普勒第二定律关联椭圆轨道近地点、远地点速度，结合引力势能公式与机械能守恒，求出椭圆轨道近地点速度，计算两次点火的机械能增量。由万有引力提供向心力求出预定圆轨道速度，计算其机械能；与椭圆轨道机械能做差，得到第二次点火的机械能增量，验证两次点火的机械能增量之比。 【解答】解：A.对绕地球做匀速圆周运动的卫星，根据万有引力提供向心力有，忽略地球自转，地球表面物体的重力等于万有引力，即，可得卫星的运行速度。卫星在近地点加速后进入椭圆轨道，设椭圆轨道近地点速度为v1，远地点速度为v2，根据开普勒第二定律有Rv1＝2Rv2，可得；由题意可知在椭圆轨道运行时卫星机械能守恒，引力势能，解得椭圆轨道近地点速度，故A错误。 B.近地圆轨道的机械能，椭圆轨道的机械能。第一次点火是卫星从近地圆轨道变轨到椭圆轨道，增加的机械能为椭圆轨道机械能与近地圆轨道机械能的差值，即，故B正确。 C.卫星在预定圆轨道做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有，结合地球表面物体的重力等于万有引力，即，可得卫星在预定圆轨道的运行速度，故C正确。 D.第二次点火是卫星从椭圆轨道变轨到预定圆轨道，预定圆轨道的机械能，因此第二次点火增加的机械能。第一次点火增加的机械能为，可知两次点火增加的机械能之比为R：，故D错误。 故选：BC。 （多选）12．（2026春•两江新区校级月考）宇宙中相距较近的两颗恒星组成一个系统，在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上同一点做周期相同的匀速圆周运动，如图所示，a、b两颗恒星的质量分别为m1、m2，现测得a、b的轨道半径之比为1：3，a、b中心间距离为L，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．a、b的质量之比m1：m2＝3：1 B．a、b做圆周运动的线速度之比为3：1 C．a、b做圆周运动的加速度之比为1：3 D．a、b做圆周运动的角速度为 【答案】ACD 【分析】利用双星系统中向心力相等的特点，推导出质量与轨道半径的关系；根据线速度、向心加速度公式，结合角速度相同的特点，推导线速度和加速度的关系；通过联立两星的向心力方程，推导角速度公式。 【解答】解：A.双星系统中，两颗恒星彼此间的万有引力提供向心力，有，可得m1r1＝m2r2，表明天体的质量与轨道半径成反比。已知a、b的轨道半径之比为1：3，可得质量之比m1：m2＝r2：r1＝3：1，故A正确。 B.线速度v＝ωr，双星系统中两颗恒星的角速度ω完全相同，所以线速度之比等于轨道半径之比，即v1：v2＝r1：r2＝1：3，故B错误。 C.向心加速度a＝ω2r，双星系统的角速度ω相同，所以向心加速度之比等于轨道半径之比，即a1：a2＝r1：r2＝1：3，故C正确。 D.由万有引力提供向心力，对a、b两颗恒星分别有、，将两式相加并结合r1+r2＝L，解得角速度，故D正确。 故选：ACD。 三．解答题 13．（2026春•黄浦区校级月考）如图，某同学研究卫星先环绕地球运动，之后再做变轨的过程。设卫星质量为m，先在近地圆轨道上绕地球运行。已知地球质量为M，引力常量为G，地球半径为R。 （1）求卫星变轨前的运行速率v0； （2）研究变轨时，在地表附近的A点短暂启动发动机，使卫星进入椭圆轨道，该轨道的远地点B距地心为8R。已知卫星的引力势能可表示为（r为卫星到地心的距离，设无限远处引力势能为零）。 Ⅰ.求卫星在近地轨道和在椭圆轨道环绕地球的周期比值（保留三位小数）； Ⅱ.求变轨前卫星的机械能EA； Ⅲ.求短暂启动过程中发动机对卫星做的功W。（提示：结合开普勒第二定律va•ra＝vb•rb，其中ra、rb分别表示近地点和远地点与地球球心的距离） 【答案】（1）卫星变轨前的运行速率为； （2）Ⅰ.卫星在近地轨道和在椭圆轨道环绕地球的周期比值为； Ⅱ.变轨前卫星的机械能为； Ⅲ.短暂启动过程中发动机对卫星做的功W为。 【分析】（1）根据万有引力提供向心力列式求解线速度； （2）Ⅰ.根据开普勒第三定律求解卫星在近地轨道和在椭圆轨道环绕地球的周期比值； Ⅱ.根据动能和引力势能的表达式求解机械能； Ⅲ.根据机械能守恒定律和开普勒第二定律结合功能关系列式求解相应的功。 【解答】解：（1）卫星变轨前在近地轨道上环绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得，解得； （2）Ⅰ.椭圆轨道的半长轴 由开普勒第三定律得 解得卫星在近地轨道和在椭圆轨道环绕地球的周期比值； Ⅱ.变轨前卫星的动能为，变轨前卫星的引力势能为，变轨前卫星的机械能为EA＝EkA+EpA，解得； Ⅲ.变轨后卫星在椭圆轨道上运动，设其在A、B点的速度大小分别为vA、vB，变轨后卫星从A到B的过程，根据机械能守恒定律有 根据开普勒第二定律，取极短时间Δt，有 可得vA＝8vB 联立解得， 变轨的瞬间卫星的引力势能不变，根据功能关系，点火过程中发动机对卫星做的功为 解得。 答：（1）卫星变轨前的运行速率为； （2）Ⅰ.卫星在近地轨道和在椭圆轨道环绕地球的周期比值为； Ⅱ.变轨前卫星的机械能为； Ⅲ.短暂启动过程中发动机对卫星做的功W为。 14．（2026春•潍坊期中）某行星半径为R，质量为m的物体在“赤道”处所受重力大小为F1，在“北极”处所受重力大小为F2。行星视为均匀球体。 （1）求该行星的自转周期T； （2）若要使赤道上的物体“飘起来”（对行星表面无压力），求该行星的最小自转周期Tmin。 【答案】（1）该行星的自转周期T为； （2）若要使赤道上的物体“飘起来”（对行星表面无压力），该行星的最小自转周期Tmin为。 【分析】（1）在北极，物体所受重力等于万有引力；在赤道，万有引力等于重力与物体随行星自转所需向心力之和，由此可求出向心力大小，再结合向心力公式即可推导出自转周期； （2）物体“飘起来”时，万有引力完全提供向心力，结合万有引力与向心力的关系，即可求出最小自转周期。 【解答】解：（1）设行星质量为M，万有引力常量为G物体在“赤道“处 物体在“北极“处 解得 （2）赤道上的物体恰好“飘起来“，有 解得： 答：（1）该行星的自转周期T为； （2）若要使赤道上的物体“飘起来”（对行星表面无压力），该行星的最小自转周期Tmin为。 15．（2026春•西城区校级期中）1798年，英国物理学家卡文迪什通过实验测定了引力常量G的值，他还把自己的实验说成是“称量地球的重量”。由于地面的重力加速度g和地球半径R在测定G值之前就已知道，一旦测得引力常量G，就可以算出地球的质量M。 他的计算思路是：若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力。 （1）请写出卡文迪什计算地球质量的过程； （2）若已知球体积公式为，写出计算地球平均密度ρ的过程。 【答案】（1）卡文迪什计算地球质量的过程为：在地球表面，物体所受重力等于地球对物体的万有引力。设物体质量为m，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G，重力加速度为g。 由万有引力定律和重力公式有 消去m，解得地球质量； （2）若已知球体积公式为，计算地球平均密度ρ的过程为：密度定义式为，地球体积，将 代入得。 【分析】（1）以不考虑地球自转时地面物体重力等于万有引力为核心依据，通过列写重力与万有引力的等式推导出地球质量的表达式； （2）再结合球体体积公式，用质量除以体积推导出地球平均密度的表达式，完成推导。 【解答】解：（1）在地球表面，物体所受重力等于地球对物体的万有引力。设物体质量为m，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G，重力加速度为g。 由万有引力定律和重力公式有 消去m，解得地球质量。 （2）密度定义式为，地球体积，将 代入得。 答：（1）卡文迪什计算地球质量的过程为：在地球表面，物体所受重力等于地球对物体的万有引力。设物体质量为m，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G，重力加速度为g。 由万有引力定律和重力公式有 消去m，解得地球质量； （2）若已知球体积公式为，计算地球平均密度ρ的过程为：密度定义式为，地球体积，将 代入得。 16．（2026春•武昌区校级期中）某卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，其轨道半径约为地球半径的倍。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。求： （1）该卫星绕地球运动的向心加速度大小和线速度大小； （2）地球的密度。 【答案】（1）该卫星绕地球运动的向心加速度大小为，线速度大小为； （2）地球的密度为。 【分析】（1）根据牛顿第二定律、黄金代换式以及万有引力提供向心力等列式联立求解； （2）根据黄金代换式和质量—密度的公式列式解答。 【解答】解：（1）根据万有引力提供向心力有，在地球表面有，则卫星绕地球运动的向心加速度大小为，根据匀速圆周运动的规律有，解得； （2）由于忽略地球自转的影响，在地表有，解得，则地球的平均密度约为，联立可得地球的密度。 答：（1）该卫星绕地球运动的向心加速度大小为，线速度大小为； （2）地球的密度为。 17．（2026春•东湖区校级月考）如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡面上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为θ，已知该星球半径为R，引力常量为G，不计一切阻力及摩擦，忽略星球的自转，求： （1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的“第一宇宙速度”。 【答案】（1）该星球表面的重力加速度为。 （2）该星球的第一宇宙速度为。 【分析】（1）利用平抛运动的水平、竖直分运动规律，结合小球落在斜面上的位移偏角关系，推导出星球表面的重力加速度。 （2）根据万有引力提供向心力、星球表面物体的重力等于万有引力，推导出星球的第一宇宙速度。 【解答】解：（1）设该星球表现的重力加速度为g，根据平抛运动规律有，水平方向有x＝v0t，竖直方向有 小球落在斜面上，平抛位移与水平方向的夹角的正切值 解得该星球表面的重力加速度。 （2）第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据万有引力提供向心力有 根据星球表面物体的重力等于万有引力有 解得该星球的第一宇宙速度。 答：（1）该星球表面的重力加速度为。 （2）该星球的第一宇宙速度为。 18．（2026春•沙河口区校级期中）“食双星”是指两颗恒星在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动。由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但由于两颗恒星的彼此掩食，会造成其亮度发生周期性变化，观测者可以通过观察双星的亮度研究双星。如图，t1时刻，由于较亮的恒星遮挡较暗的恒星，造成亮度L减弱，t2时刻则是较暗的恒星遮挡较亮的恒星，从t2时刻起经过t2﹣t1的时间，再次观察到较亮的恒星遮挡较暗的恒星。若较亮的恒星与较暗的恒星的质量分别为m1、m2。已知万有引力常量为G，求： （1）“食双星”的运动周期T； （2）两颗恒星间的距离X。 【答案】（1）“食双星”的运动周期为2（t2﹣t1）。 （2）两颗恒星间的距离为。 【分析】（1）通过亮度变化图像分析出两次遮挡的时间间隔，得出双星系统的运动周期。 （2）分别对两颗恒星应用万有引力提供向心力的公式，结合双星间距与轨道半径的关系，联立求解出两颗恒星间的距离。 【解答】解：（1）从亮度变化图像可以看出，t1时刻较亮的恒星遮挡住较暗的恒星，t2时刻较暗的恒星遮挡住较亮的恒星。即t1～t2时间里，双星系统恰好绕转了半圈，所以“食双星”的运动周期为T＝2（t2﹣t1）。 （2）对较亮的恒星，根据万有引力提供向心力，可得 对较暗的恒星，根据万有引力提供向心力，可得 由题意知两颗恒星间的距离X＝r1+r2 联立可得。 答：（1）“食双星”的运动周期为2（t2﹣t1）。 （2）两颗恒星间的距离为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $