专题02实数专项训练（13大重点题型精讲+压轴训练突破）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

**基本信息** 以14类题型为框架，构建“概念辨析-运算应用-综合探究”三阶训练体系，通过典例提炼可迁移方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题型1-5（每题3题）|平方根性质辨析、有理数分类标准|从定义到性质，构建实数概念网络| |运算应用|题型6-11（每题3题）|夹逼法估算、数轴化简策略|运算规则与数形结合双向迁移| |综合探究|题型12-14（压轴8道）|新定义转化、规律归纳法|从单一知识到跨模块综合，提升应用意识|

专题02实数专项训练 ☘题型梳理归纳 题型1区分算术平方根、平方根、立方根 题型2.已知平方根反求原数 题型3利用正数两平方根互为相反数求值 题型4利用立方根性质求值 题型5有理数、无理数分类判断 题型6估算无理数介于哪两个整数之间 题型7求无理数整数部分、小数部分 题型8实数多种方法比较大小 题型9实数基础混合运算 题型10直接开平方法解方程 题型11数轴结合根式绝对值化简 题型12新定义下的实数运算 题型13实数的规律探究题 题型14压轴题8道 👍核心题型精讲 题型1区分算术平方根、平方根、立方根 1．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根，解决此题的关键在于掌握平方根和算术平方根的意义．根据平方根和算术平方根的定义计算即可判断． 【详解】解：A、，故A选项运算错误； B、，故B选项运算错误； C、，故C选项运算正确； D、无意义，故D选项运算错误． 故选：C． 2．64的算术平方根是______． 【答案】8 【详解】解：的算术平方根是． 3．下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则． 利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：①，成立； ②，成立； ③，不成立； ④，成立． 故答案为：③． 题型2.已知平方根反求原数 1．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】B 【分析】根据题意列方程求解即可； 【详解】解：∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得：． 2．若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，且9的算术平方根是b， ∴， ∴， 故答案为． 3．已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据题意正确列式是解题的关键． （1）由题得，求出，继而得到，求出； （2）由得到，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：的平方根为， ， ； 的算术平方根为， ， ； （2）解：， ， 的平方根为 题型3利用正数两平方根互为相反数求值 1．若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个非负数都为零据此列式解答即可． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴ ，， 解得，， ∴． 故选：C． 2．若一个正数的平方根是和，则这个正数是 _____． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用，根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再代入求出一个平方根，进而根据平方根求出这个正数即可，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是， 故答案为：． 3．若与是同一个正数的两个平方根，求的值是多少？ 【答案】100 【分析】本题考查平方根．根据一个正数的两个平方根互为相反数解答即可． 【详解】解：∵与是同一个正数的两个平方根， ∴， 解得：， ， ， ∴的值为100． 题型4利用立方根性质求值 1．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 2．若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值． (1)方程两边同时除以，再把两边同时开平方得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值； (2)把常数项移到等号右边，再把两边同时开立方得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值． 【详解】（1）解：， 方程两边同时除以得：， 两边同时开平方得：， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 两边同时开立方得：， 移项可得：， 合并同类项得：． 题型5有理数、无理数分类判断 1．在实数 ，，，，，，中，有理数的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在实数 ，，，，，，中，有理数有 ，，，，，，共个． 2．在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 【答案】(1)，0，2，， (2)，，（两个2之间依次多一个1） (3)，0，2， (4) 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数． 根据有理数，无理数，整数和分数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：是有理数的有，0，2，，， 故答案为：，0，2，，． （2）解：是无理数的有，，（两个2之间依次多一个1）， 故答案为：，，（两个2之间依次多一个1）． （3）解：是整数的有，0，2，， 故答案为：，0，2，． （4）解：是分数的有， 故答案为：． 3．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． (1)如果，其中，为有理数，那么______，_______； (2)如果，其中，为有理数，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，得到解答即可． （2）根据，变形得，根据所给定的性质，得到，解答即可． 本题考查了无理数，有理数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 解得， 故答案为：，． （2）解：， 变形得， ，， ，， ． 题型6估算无理数介于哪两个整数之间 1．估计的值在（    ） A．5.4和5.5之间 B．5.5和5.6之间 C．5.6和5.7之间 D．5.7和5.8之间 【答案】A 【分析】本题估计无理数的大小，利用被开方数越大，对应的算术平方根越大的性质，计算边界值的平方再比较，即可得到的范围． 【详解】解：∵，， 又∵ ， ∴ ， 即的值在和之间． 2．如果为两个连续的正整数，则___________； 【答案】3 【分析】先估算出的取值范围，再推得的取值范围，根据，是连续正整数确定，的值，代入计算即可． 【详解】解： ，即 ∴ ，且为两个连续的正整数 ， ． 3．【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 【答案】(1)9.22 (2)②的形式精确度更高，理由见解析 (3)或． 【分析】本题考查完全平方公式的应用及无理数近似值的估算． （1）先通过夹逼法确定的整数范围：，因此设（），和题干的对应；利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项（因为，远小于一次项，对结果影响可忽略），把二次方程降为一次方程求解；最后计算近似值，结果精确到0.01． （2）这一问是误差分析，本质是比较两种近似方法的误差大小：两种方法的误差都来自“忽略的二次项”：形式①忽略，形式②忽略；误差的大小由和的大小决定：、越小，、就越小，忽略带来的误差就越小，精确度越高；计算两种形式的、，对比大小即可得出结论。 （3）先找相邻的两个完全平方数，确定的整数范围；结合的要求，选择“整数”或“整数”的形式；注意：更接近，因此优先设（也可设）． 【详解】（1）解：因为，所以 即 因为比较小，所以将忽略不计， 所以，即 得， 故 （2）解：②的形式精确度更高 理由： ∵更接近 ∴②的形式精确度更高 （答案不唯一）比如： ∵85更接近81 ∴②的形式精确度更高 （3）解：因为，，且， 所以， 又，因此可设或（二者均可以） 【点睛】这道题完整呈现了古代开平方近似算法的核心逻辑： 夹逼定界：先确定无理数的整数范围，把开平方转化为“整数±小量”的形式； 平方降次：利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项，把二次方程转化为一次方程求解； 误差分析：通过比较忽略的小量大小，判断近似值的精确度； 方法迁移：将方法推广到任意无理数的近似计算． 易错点： （1）中展开完全平方公式时符号错误，或忽略的合理性； （2）中混淆误差来源，错误认为、越大精确度越高； （3）中设式错误，未满足的要求，或选错整数基准． 题型7求无理数整数部分、小数部分 1．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值. 【详解】解：∵ ∴ 即不等式两边同时加3，得，即 ∵在整数与之间 ∴ 故选：A. 2．已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 【答案】 【分析】先估算和的范围，确定和的值，再代入方程，利用有理数和无理数的性质（无理数的系数必须为零）求解和，最后计算即可． 本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的整数部分． ∵， ∴的整数部分为2，小数部分． 代入方程得， 整理得， 由于为有理数，为无理数， ∴且， 解得． ∴． 故答案为：． 3．阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 【答案】(1)的整数部分是3，小数部分为 (2)6 【分析】本题考查了估算无理数的大小估算，立方根，平方根的含义，求代数式的值． （1）根据题干中的方法即可求出结果； （2）根据题意可得，，，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分是3，小数部分为． （2）解：∵a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分， ∴，，， ∴. 题型8实数多种方法比较大小 1．在，0，3， 这四个数中，最大的数是（      ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】先对进行估算，再根据实数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：，则， ∴， ∴最大的数为． 2．在实数，，0，中，最小的是 _______． 【答案】 【分析】利用实数大小的比较方法按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 3．在数轴上表示下列各数（无理数近似表示），并用“”连接． 0，，， ________________________． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了数轴，实数的大小比较，熟练掌握如何把实数表示在数轴上是解题的关键． 先把各数表示在数轴上，然后把各数按照从左到右的顺序排列，并用小于号连接起来即可． 【详解】解：各数表示在数轴上为， 根据数轴可知． 故答案为：． 题型9实数基础混合运算 1．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，判断式子正负，实数的运算，由数轴得到，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由数轴得：，， ∴， ∴，故选项不符合题意； B、由数轴得：，， ∴，， ∴，故选项不符合题意； C、由数轴得：， ∴，， ∴，故选项不符合题意； D、由数轴得：， ∴，， ∴，故选项符合题意； 故选：D． 2．计算：____． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算，先判断绝对值内的符号，再去绝对值，最后进行加法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型10直接开平方法解方程 1．一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，理解平方根的定义是解题的关键． 先移项，然后利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴，即，． 故选C． 2．若，则_____________． 【答案】7或 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义直接开平方得，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 或． 故答案为：7或． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查运用平方根解方程，掌握平方根的计算方法是关键，根据题意，去分母，去括号，移项，整理为，再运用平方根的计算即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 整理得，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得，． 题型11数轴结合根式绝对值化简 1．如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据无理数的取值范围判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示实数的点可能是点B． 2．点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是__． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算及数轴上点的坐标特征，关键是通过不等式确定目标实数的取值范围，再对应到数轴上的点．首先估算的取值范围，进而推导的范围，最后匹配数轴上的点． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，即， ∴， 观察数轴可知，点在负数区域，点、在大于1的区域，只有点在0到之间的正数区域，故表示的点是； 故答案为：． 3．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 【答案】(1)0；；5.3；； (2)见解析 (3)4，0，；，5.3；，． 【分析】此题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的分类等知识，熟练掌握实数的分类是关键． （1）根据A、B、C、D在数轴上的位置进行解答即可； （2）根据实数与数轴的关系进行解答即可； （3）根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】（1）解：根据A、B、C、D在数轴上的位置可知，点A表示数0，点B表示数，点C表示数，点D表示数， 故答案为：0，，，； （2）解：如图所示： ； （3）解：整数：{4，0，…}； 分数：{，…}； 无理数：{，…}． 题型12新定义下的实数运算 1．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解.根据差倒数写出，得到规律即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，，，， ∴个数一循环， ， ∴． 故选：A． 2．规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则可以化简为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减．根据新定义可得，再根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．定义一种新运算“⊕”：⊕，比如：1⊕． (1)求4⊕的值； (2)若⊕，求x的值． (3)若关于x的方程2 ⊕的解为正整数，求整数k的值． 【答案】(1) (2) (3)1，2，3，6 【分析】本题主要考查新定义，有理数的运算以及解一元一次方程，准确理解新定义是解题的关键． （1）根据定义得到4⊕，即可得到答案； （2）根据定义得到⊕，解一元一次方程即可得到答案； （3）2 ⊕，根据解为正整数且为整数即可求出答案． 【详解】（1）解：4⊕； （2）解：⊕， 解得； （3）解：2 ⊕， ， ， 由于方程的解为正整数，即x为正整数，且为整数， 故当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故整数的值为1，2，3，6． 题型13实数的规律探究题 1．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，通过计算出，，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， ，则表示的数为， ∵， ∴， 同理可得， ……， 以此类推，可知， ∴， 故选：D． 2．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是___________． 【答案】33 【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 3．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律探究，解题的关键是读懂题意，找出各式之间的关． （1）利用题中等式的计算规律得出结果； （2）第n个等式的左边为，等式右边为，结果为； （3）将原式变形为，按照（2）得出的等式关系，即可求出结果． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 故答案为：，； （2）解：结合①②③，得： ； （3）解：． ✍压轴精练 一、单选题 1．我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ； 时，的值有个； ； ； 当时，的值为． 以上结论中正确的结论有个（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义通过估算无理数的值，找到数字变化的规律，再用规律去解答题． 【详解】解：表示距离最近的正整数， ，所以正确； 当时，为，，，，，一共有个， 所以错误； ，，，，，，，，，，，， ， 所以正确； 由，，，，，，，，，，，；可得个，个，个，个， 所以； 故正确； ， ， 所以正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的知识和发现规律并运用规律解题的方法，难度较大． 2．如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 【答案】C 【分析】通过设未知数，利用平方根的定义分情况列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设第四个数为， ∵ 四个有理数之和的平方是， ∴ 四个有理数之和为或， ① 当四个数之和为时，，解得； ② 当四个数之和为时，，解得； ∴ 第四个数是11或7． 3．若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出的值是解本题的关键． 先计算的值，找到规律，并进行化简即可． 【详解】解：，； ， ， ，， ……， 由此发现，， ∴， ∴ ． 故选：C 二、填空题 4．若，是两个连续整数，且，则 _______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 通过估算的范围，确定连续整数和的值． 【详解】， ，即， ， 和是两个连续整数，且， ，， ． 故答案是：． 5．化简：（1）______；（2）______；（3）______． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的性质、绝对值等知识点，掌握相关定义和性质成为解题的关键． （1）直接根据算术平方根的定义求解即可； （2）直接根据二次根式的性质求解即可； （3）先判断的正负，然后根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）由，则． 三、解答题 6．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 7．如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【答案】(1) (2)1或2或3，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 4的算术平方根为， 而2是有理数，2的算术平方根为， 故答案为：； （2）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）解：若1次运算就是， ∴ ∴ ∴解得或， ∴x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴ ∴ ∴解得或 ∵ ∴不符合题意，或 综上所述，或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 8．【阅读理解】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．请你运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a，b为有理数，那么______；______； (2)如果，其中a，b为有理数，求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题考查了实数的运算，还涉及到二元一次方程组． （1）a，b是有理数，则，都是有理数，根据如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．即可确定； （2）首先把已知的式子化成的形式，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由可得： ，， 解得：，， 故答案为：2，； （2）整理，得， ∵a、b为有理数， ∴， 解得：， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实数专项训练 ☘题型梳理归纳 题型1区分算术平方根、平方根、立方根 题型2.已知平方根反求原数 题型3利用正数两平方根互为相反数求值 题型4利用立方根性质求值 题型5有理数、无理数分类判断 题型6估算无理数介于哪两个整数之间 题型7求无理数整数部分、小数部分 题型8实数多种方法比较大小 题型9实数基础混合运算 题型10直接开平方法解方程 题型11数轴结合根式绝对值化简 题型12新定义下的实数运算 题型13实数的规律探究题 题型14压轴题8道 👍核心题型精讲 题型1区分算术平方根、平方根、立方根 1．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．64的算术平方根是______． 3．下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 题型2.已知平方根反求原数 1．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 2．若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 3．已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 题型3利用正数两平方根互为相反数求值 1．若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若一个正数的平方根是和，则这个正数是 _____． 3．若与是同一个正数的两个平方根，求的值是多少？ 题型4利用立方根性质求值 1．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 2．若与互为相反数，则的值为______． 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 题型5有理数、无理数分类判断 1．在实数 ，，，，，，中，有理数的个数为（ ） A． B． C． D． 2．在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 3．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． (1)如果，其中，为有理数，那么______，_______； (2)如果，其中，为有理数，求的值． 题型6估算无理数介于哪两个整数之间 1．估计的值在（    ） A．5.4和5.5之间 B．5.5和5.6之间 C．5.6和5.7之间 D．5.7和5.8之间 2．如果为两个连续的正整数，则___________； 3．【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 题型7求无理数整数部分、小数部分 1．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 3．阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 题型8实数多种方法比较大小 1．在，0，3， 这四个数中，最大的数是（      ） A． B．3 C．0 D． 2．在实数，，0，中，最小的是 _______． 3．在数轴上表示下列各数（无理数近似表示），并用“”连接． 0，，， ________________________． 题型9实数基础混合运算 1．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：____． 3．计算： (1)； (2)． 题型10直接开平方法解方程 1．一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 2．若，则_____________． 3．解方程：． 题型11数轴结合根式绝对值化简 1．如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是__． 3．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 题型12新定义下的实数运算 1．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 2．规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则可以化简为_____． 3．定义一种新运算“⊕”：⊕，比如：1⊕． (1)求4⊕的值； (2)若⊕，求x的值． (3)若关于x的方程2 ⊕的解为正整数，求整数k的值． 题型13实数的规律探究题 1．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是___________． 3．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． ✍压轴精练 一、单选题 1．我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ； 时，的值有个； ； ； 当时，的值为． 以上结论中正确的结论有个（    ） A． B． C． D． 2．如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 3．若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．若，是两个连续整数，且，则 _______． 5．化简：（1）______；（2）______；（3）______． 三、解答题 6．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 7．如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 8．【阅读理解】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．请你运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a，b为有理数，那么______；______； (2)如果，其中a，b为有理数，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $