专题02 平面向量(8大题型65题）（期末真题汇编，江西专用）高一数学下学期北师大版

**基本信息** 江西多地高一下期末联考及名校试题汇编，聚焦平面向量8大考点，涵盖选择（含多选）、填空、解答题，突出易错点（如向量概念辨析）、重难点（如基本定理应用、几何物理应用）及创新题型（如文化情境、新定义运算），适配期末综合复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|38题|平面向量概念（考点01）、线性运算（考点02）、数量积（考点05）|多选聚焦概念辨析（如向量共线充要条件），单选结合图形（如平行四边形向量表示）| |填空题|13题|共线问题（考点03）、模长与垂直（考点06）|融入内心、单位向量等几何背景（如考点01第7题）| |解答题|14题|数量积应用（考点05）、创新题（考点08）|结合赵爽弦图（考点08第63题）、新定义运算（如“⊗变换”），体现文化传承与思维创新|

专题02 平面向量 高频考点概览 考点01平面向量的概念（易错） 考点02 平面向量的线性运算（重点） 考点03 向量共线问题 考点04 平面向量基本定理的应用（重难） 考点05 平面向量的数量积（重点） 考点06 向量的夹角、模长及垂直问题 考点07 平面向量在物理、几何中的应用（重难） 考点08 平面向量的创新题(重难) 考点01 平面向量的概念 1．（24-25高一下·江西吉安·期末）下列四个命题中，其中正确的命题是（    ） A．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 B．若三点A，B，C满足，则该三点一定是的顶点 C．不等式中两个等号不可能同时成立 D．若向量不共线，则向量与向量必不共线 2.（多选）(25-26高一下·江西·期末）下列说法正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则，，，四点不一定在同一直线上 B．若向量与方向相同且，则向量 C．若向量与平行，且，则或 D． 3．（多选）（24-25高一下·江西抚州六校联考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（多选）（25-26高一下·江西南昌数校联考）下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，，则 5．（多选）（25-26高一下·江西九江·期末）下列说法中正确的有（    ）． A．零向量的方向是任意的 B．单位向量都相等 C．相等向量的长度一定相等 D．共线向量一定在同一条直线上 6．（多选）（25-26高一下·江西赣州期末联考）（多选）下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 7．（2025·江西吉安期末）已知点为的内心，，则__________． 考点02 平面向量的线性运算 8．（25-26高一下·江西抚州·期末）化简：（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·江西宜春·期末）如图，平行四边形．中，，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·江西九江·期末）在平行四边形ABCD中，，，则（    ）． A． B． C． D． 12．（24-25高一下·江西九江·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一·江西吉安期末联考）已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知为单位向量，，且，则的坐标为______． 考点03 向量共线问题 15．（24-25高一·江西吉安·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一下·江西抚州·期末）已知是同一平面内的两个不共线的向量，若，且，则（    ） A．. B． C． D． 17．（25-26高一下·江西赣州·期末）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一下·江西吉安·期末）若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 19．（25-26高一下·江西宜春·期末）如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 20．（多选）（25-26高一下·江西南昌部分学校期末联考）在中，点在上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则（   ） A． B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 21．（2025高一·江西抚州期末）已知向量，，，若，则______． 22．（25-26高一下·江西九江·期末）已知是两个不共线的单位向量，向量，若与共线，则__________． 23．（25-26高一下·江西吉安·期末）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为_____. 考点04 平面向量基本定理的应用 24．（25-26高一下·江西南昌·期末）设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 25．（24-25高一下·江西·期末）在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·江西吉安五校期末）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·江西抚州·六校联考）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 29．（24-25高一下·江西宜春·期末）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 考点05 平面向量的数量积 30．（24-25·江西景德镇一中·期末）对于向量和实数，下列命题中真命题是(    ) A．若，则或 B．若，则或 C．若，则或 D．若，则 31．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知，，则在方向上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·江西赣州·期末）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·江西景德镇一中·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 34．（2025·江西师大附中期末）在平行四边形中，，，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 35．（24-25高一下·江西全南中学·期末）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为___________.(用坐标表示) 36．（24-25高一下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，已知，，． (1)若四边形是平行四边形，求的坐标； (2)若，求的值． 37．（24-25高一下·江西·期末）已知向量． (1)若，求的值； (2)若在上的投影数量为，求x的值. 38．（24-25高一下·江西景德镇一中·期末）如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心. (1)若，，，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，求的最大值. 考点06 向量的夹角、模长及垂直问题 39．（24-25高一下·江西丰城中学·期末）已知向量，且，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 40．（24-25高一下·江西·期末）已知平面向量，满足，，在方向上的投影向量为，则，的夹角为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知向量，，“”是“与的夹角为钝角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（24-25高一下·江西吉安五校·期末）已知单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知单位向量，的夹角为，则=（   ） A．1 B．2 C． D．3 44．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知向量与的夹角为，，，则（   ） A．1 B． C． D． 45．（24-25高一下·江西江科附中·期末）若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 46．（24-25高一下·江西新余·期末）已知平行四边形满足，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知向量，，若，则（    ） A．-2 B．4 C．1 D．-1 48．（25-26高一上·江西景德镇·期末）若向量的夹角为，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 50．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量，且，则_________． 51．（24-25·高一下·江西丰城中学期末）已知向量，，若，则实数______. 52．（24-25高一下·江西·期末）已知向量，，，． (1)若，求实数的值； (2)若与共线，求与的夹角的余弦值． 考点07 平面向量在物理、几何中的应用 53．（24-25高一下·山东济南·期末）在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（   ） A． B． C． D． 54．（24-25高一下·重庆北碚·期中）已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 55．（24-25高一下·江西赣州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 56．（24-25高一下·江西九江·期末）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 57．（24-25高一下·江西宜春·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 考点08 平面向量创新题 58．（24-25高一下·江西·期末）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（    ）    A．1 B． C． D．5 59．（24-25高一下·江西南昌·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 60．（24-25高一下·江西·期末）古代中国的太极八卦图是在一个圆中，以圆心为界，画出的两个全等的阴阳鱼．阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物之间互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的“矛盾对立统一”的辩证法．图2（正八边形）是从图1（八卦模型图）抽象出来，并以正八边形的中心O为旋转中心顺时针旋转22.5°而得到，点P在正八边形的边上运动，若，则的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 61．（24-25高一下·江西吉安·期中）对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量.现对于非零向量与，作如上变换，则下列说法正确的是（   ） A．存在单位向量，使得 B．对任意、，恒成立 C．若，则的最大值为 D．，则 62．（24-25高一下·江西宜春·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．和不能构成一组基底 63．（24-25高一下·江西抚州部分学校期末联考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设（，），若，则______. 64．（24-25高一下·江西吉安五校·期末检测）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. (1)已知向量，求； (2)设向量，且，证明：； (3)已知向量，若，求的值. 65．（24-25高一下·江西抚州·期末）对于平面向量，定义“变换”：， (1)若向量，，求； (2)求证：； (3)已知，，且与不平行，，，求证：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量 高频考点概览 考点01平面向量的概念（易错） 考点02 平面向量的线性运算（重点） 考点03 向量共线问题 考点04 平面向量基本定理的应用（重难） 考点05 平面向量的数量积（重点） 考点06 向量的夹角、模长及垂直问题 考点07 平面向量在物理、几何中的应用（重难） 考点08 平面向量的创新题(重难) 考点01 平面向量的概念 1．（24-25高一下·江西吉安·期末）下列四个命题中，其中正确的命题是（    ） A．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 B．若三点A，B，C满足，则该三点一定是的顶点 C．不等式中两个等号不可能同时成立 D．若向量不共线，则向量与向量必不共线 【答案】D 【详解】对于A，当且时，不存在实数满足；当且时，任意实数均满足，故A错误； 对于B，当A，B，C三点共线时，满足，但它们构不成三角形，故B错误； 对于C，当时，不等式化为，此时不等式中两个等号同时成立，故C错误； 对于D，向量不共线，向量，，，均不为零向量； 假设与共线，则存在实数使，即； ，解得无解； 假设不成立； 向量与不共线，故D正确. 2.（多选）(25-26高一下·江西·期末）下列说法正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则，，，四点不一定在同一直线上 B．若向量与方向相同且，则向量 C．若向量与平行，且，则或 D． 【答案】ACD 【详解】选项A：向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以重合或平行，因此四点不一定在同一直线上； 选项B：向量之间不能比较大小，只有向量的模才可以比较大小； 选项C：， ，都是非零向量， ， 与的方向相同或相反，即或； 选项D：由向量减法的三角形法则，结合三角不等式两边之差小于第三边，两边之和大于第三边可得. 3．（多选）（24-25高一下·江西抚州六校联考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由向量既有大小又有方向判断选项A；由相等向量的定义判断选项B；分析当为零向量时的情况判断选项C；根据相等向量的传递性判断选项D. 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若是零向量，零向量平行于任意向量，此时即使满足、，但和也可以不平行，C错误； 由得、与同向；由得、与同向，因此、与同向，即，D正确. 4．（多选）（25-26高一下·江西南昌数校联考）下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】对于选项A：向量不能比较大小，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，即模长相等，但的方向不确定，不一定相同， 所以不一定成立，故C错误； 对于选项D：例如，对于任意，均有，， 但不一定共线，故D错误. 5．（多选）（25-26高一下·江西九江·期末）下列说法中正确的有（    ）． A．零向量的方向是任意的 B．单位向量都相等 C．相等向量的长度一定相等 D．共线向量一定在同一条直线上 【答案】AC 【详解】对于选项A：零向量的方向是任意的，故A正确； 对于选项B：单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故B错误； 对于选项C：相等向量的模长和方向均相同，所以相等向量的长度一定相等，故C正确； 对于选项D：共线向量可能在同一条直线上，也可能在平行线上，故D错误. 6．（多选）（25-26高一下·江西赣州期末联考）（多选）下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确． 故选：ABC． 7．（2025·江西吉安期末）已知点为的内心，，则__________． 【答案】 【分析】先根据三角形内心向量性质得出向量关系，再根据向量表示唯一性确定值． 【详解】点为的内心，即为角平分线交点，如下图所示，的角平分线交于， 则， ，故， ， ， ， ． 故答案为：． 考点02 平面向量的线性运算 8．（25-26高一下·江西抚州·期末）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法和减法运算化简即可. 【详解】. 9．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 10．（25-26高一下·江西宜春·期末）如图，平行四边形．中，，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平行四边形．中，，，为的中点，所以. 11．（25-26高一下·江西九江·期末）在平行四边形ABCD中，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合向量加减法的运算法则求解即可. 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形， 则，， 所以. 12．（24-25高一下·江西九江·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 13．（24-25高一·江西吉安期末联考）已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】点、，且， 设点的坐标为，则， 所以，，，求得，，故点的坐标为， 故选：A． 14．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知为单位向量，，且，则的坐标为______． 【答案】 【分析】设，利用向量的模长为1与，建立方程，求解即得. 【详解】依题意，设，则①， 又，且，则得②， 将②代入① ，可得，因，解得， 故得，则的坐标为. 故答案为：. 考点03 向量共线问题 15．（24-25高一·江西吉安·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合向量共线的坐标运算可得，代入运算求解即可. 【详解】因为，， 若，则，即， 所以. 故选：A. 16．（25-26高一下·江西抚州·期末）已知是同一平面内的两个不共线的向量，若，且，则（    ） A．. B． C． D． 【答案】A 【详解】由，设，则， 故，消去得. 17．（25-26高一下·江西赣州·期末）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量的中线公式及“爪子”定理，得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为点是的中点，则，又，则， 又三点共线，则，所以，得到， 由，得到，所以， 又，则， 当且仅当，即时取等号， 所以. 18．（25-26高一下·江西吉安·期末）若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【详解】因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故A错误； 因为，， 由，所以，所以三点共线，故B正确； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故C错误； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故D错误. 19．（25-26高一下·江西宜春·期末）如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由及点共线，得， 而，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 20．（多选）（25-26高一下·江西南昌部分学校期末联考）在中，点在上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则（   ） A． B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由得，， 又共线，则，所以，A正确； 对于B，由得，， 当且仅当时取等号，即的最小值为，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，C正确； 对于D，由得，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，D正确． 21．（2025高一·江西抚州期末）已知向量，，，若，则______． 【答案】/ 【分析】根据向量的坐标运算先求，再根据向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】由题得，又， 则，解得． 故答案为：. 22．（25-26高一下·江西九江·期末）已知是两个不共线的单位向量，向量，若与共线，则__________． 【答案】 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】与共线，则存在唯一实数，使得. . 由于是两个不共线的单位向量. ，解得. 23．（25-26高一下·江西吉安·期末）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为_____. 【答案】 【分析】根据两个向量方向相同可直接构造方程组求得结果. 【详解】与方向相同， 存在正实数，使得， 又向量不共线，，解得：（舍去）或，的值为. 故答案为：. 考点04 平面向量基本定理的应用 24．（25-26高一下·江西南昌·期末）设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】，是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以假设不成立. 所以与不共线，所以A能作为基底； 对于B，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底； 对于C，因为， 所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以假设不成立， 所以与不共线，能作为基底. 25．（24-25高一下·江西·期末）在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则即可求解. 【详解】 ∵，，∴，. ∵，分别是，的中点，∴，. 又，，∴，即. 故选：A. 26．（24-25高一下·江西吉安五校期末）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 27．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解. 【详解】由已知为线段上一点， 设，， 则， 又， 则， 所以， 则， 解得， 故选：D. 28．（24-25高一下·江西抚州·六校联考）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 29．（24-25高一下·江西宜春·期末）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断向量组中两个向量是否共线． 【详解】由已知是平面内的一个基底， 则若共线，则存在实数，使得，即，与是基底矛盾，因此不共线， 若共线，则存在实数，，所以，与是基底矛盾，因此不共线， 因为，所以不共线，共线， 因此D不能作为基底， 故选：D． 考点05 平面向量的数量积 30．（24-25·江西景德镇一中·期末）对于向量和实数，下列命题中真命题是(    ) A．若，则或 B．若，则或 C．若，则或 D．若，则 【答案】B 【分析】根据数量积的性质判断A，C，D，根据数乘向量的运算的定义判断B. 【详解】对于选项A，C，D，设，，， 则，但且， A错， ， 但且，C错， 由，但 ，D错， 由可得或，B对， 故选：B． 31．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知，，则在方向上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算以及数量投影的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以在方向上的投影数量为. 故选：D. 32．（24-25高一下·江西赣州·期末）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影公式计算即可得出结果． 【详解】根据题意， 则在方向上的投影向量为. 故选：A 33．（24-25高一上·江西景德镇一中·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 34．（2025·江西师大附中期末）在平行四边形中，，，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值. 【详解】如图： 以为基底，则，，. 且，， 所以. 故选：D 35．（24-25高一下·江西全南中学·期末）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为___________.(用坐标表示) 【答案】 【分析】根据向量投影的计算公式求出向量在向量方向上的投影，再结合投影向量的定义求出投影向量. 【详解】根据向量投影的计算公式，向量在向量方向上的投影为. 已知，，则. . 所以向量在向量方向上的投影为. 根据投影向量的定义，向量在向量方向上的投影向量为. 将，，代入可得： . 故答案为：. 36．（24-25高一下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，已知，，． (1)若四边形是平行四边形，求的坐标； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可； （2）根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示求解即可. 【详解】（1）设，因为，，， 所以，， 因为四边形是平行四边形，所以， 即，解得，则D的坐标为. （2）因为，，， 所以，，， 所以， 因为， 所以，解得． 37．（24-25高一下·江西·期末）已知向量． (1)若，求的值； (2)若在上的投影数量为，求x的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的坐标，再根据向量数量积的坐标运算公式计算的值； （2）根据向量投影数量的公式列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】（1）若，则，故， 所以． （2）因为在上的投影数量是，所以， 解得． 38．（24-25高一下·江西景德镇一中·期末）如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心. (1)若，，，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，求的最大值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标运算求得的值. （2）设，求得关于的表达式，进而求得的取值范围. （3）设，，将表示为关于的表达式，求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】（1）以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系.，， 所以. （2）设，， 则，. ， 由于，根据对勾函数的性质可知. （3）； . 设，，则这两个式子为， 化简得 解得 所以， 设，， 令， 所以由对勾函数的性质得， 所以当时，即点与点重合时，取到最大值. 【点睛】求解平面向量数量积有关问题，有两个求解思路，一个是利用平面向量的基本定理，通过转化的方法来求得数量积；另一个思路是根据图形的特征，通过建立平面直角坐标系，利用坐标法来进行求解. 考点06 向量的夹角、模长及垂直问题 39．（24-25高一下·江西丰城中学·期末）已知向量，且，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】应用向量垂直的坐标表示列方程，求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：A 40．（24-25高一下·江西·期末）已知平面向量，满足，，在方向上的投影向量为，则，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意根据投影向量公式可得，再利用向量夹角公式即可求解. 【详解】由题知，所以， 所以，， 解得， 所以，又，所以． 故选：. 41．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知向量，，“”是“与的夹角为钝角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示列式求解参数，再结合充分，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由向量与的夹角为钝角，得，且不共线， 则，解得且， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 42．（24-25高一下·江西吉安五校·期末）已知单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对等式两边同时平方，即可求出结果. 【详解】化简得， ， ，， ， 故选:C. 43．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知单位向量，的夹角为，则=（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】对两边平方再开方可得答案. 【详解】. 故选：C. 44．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知向量与的夹角为，，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律运算求解. 【详解】因为向量与的夹角为，，，则， 可得，所以. 故选：D. 45．（24-25高一下·江西江科附中·期末）若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】由向量均是单位向量，且， 则， 所以. 故选：A. 46．（24-25高一下·江西新余·期末）已知平行四边形满足，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得，将上式两边平方，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，又， 所以， 又，所以， 又，所以，解得（负值舍去）， 故选：B 47．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知向量，，若，则（    ） A．-2 B．4 C．1 D．-1 【答案】D 【分析】由数量积为0列方程求解即可. 【详解】已知向量，，若，则，解得. 故选：D. 48．（25-26高一上·江西景德镇·期末）若向量的夹角为，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两边平方得，结合条件可得，又由，可得，即可得出答案. 【详解】由两边平方得. 即，也即，所以. 又由，得，即. 所以 故选：A 49．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将向量问题几何化，设终点为定点（距原点），终点在与夹角的射线上，终点在以为圆心、半径为的圆上；则即点到圆上点的距离，其最小值为点到射线的距离减去圆半径，即可得答案． 【详解】 如图，令，，，则，， 又，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以的最小值为， 又，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为，即的最小值为． 50．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量，且，则_________． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积及模的坐标运算即可求解． 【详解】因为，所以，解得， 所以，则， 故答案为：． 51．（24-25·高一下·江西丰城中学期末）已知向量，，若，则实数______. 【答案】8 【分析】利用向量垂直可得数量积为零，结合坐标运算可得答案. 【详解】由题意知. 因为，所以，即，解得. 故答案为:8 52．（24-25高一下·江西·期末）已知向量，，，． (1)若，求实数的值； (2)若与共线，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：先求出的模，利用建立方程求解即得；解法二：设，利用条件求得的值，即得向量坐标，利用的坐标式计算求解即得； （2）解法一：设，利用条件求得，即得，利用向量夹角的公式求解即得；解法二：由（1）中求得的的坐标，结合与共线求出，即得，再利用向量夹角的坐标式求解即可. 【详解】（1）解法一：由可得， 因为，且，， 所以， 解得. 解法二：设，依题意可得解得或 当时，； 当时， ① 当时，，由，可得，解得； ② 当时，， 由，可得，解得. 综上，. （2）解法一：因为与共线，所以可设，即， 则有，解得，故． 由，可得， 又， 而， 故． 解法二：由（1）知，①当时，，， 因为与共线，所以，解得， 所以，， 则； ② 当时，，， 因为与共线，所以，解得， 所以，， 则 综上，与的夹角的余弦值为. 考点07 平面向量在物理、几何中的应用 53．（24-25高一下·山东济南·期末）在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用面积比可得，结合等面积法可得,即可利用向量的模长求解. 【详解】由, 由于，则,, 因此, 又, 化简得， 故, 因此, 故选：B 54．（24-25高一下·重庆北碚·期中）已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】通过平方，求得，结合余弦定理求得，再结合面积公式求得点D到的距离，进而可求解. 【详解】已知，， 对平方得. 因为，， 设，，则， 所以，即，解得，有. 在中，由余弦定理有，可得， 设点到的距离为，有. 已知，设点D到的距离为， 由，解得， 则的最小值为. 故选：C 故选：B 55．（24-25高一下·江西赣州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设航船方向与河岸夹角为，根据求出即可求解. 【详解】设航船方向与河岸夹角为， 所以，所以， ， 分钟. 故选：C. 56．（24-25高一下·江西九江·期末）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得对物体所做的功. 【详解】由题意可得， 又因为，所以对物体所做的功为. 57．（24-25高一下·江西宜春·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 【答案】13 【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【详解】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13 考点08 平面向量创新题 58．（24-25高一下·江西·期末）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（    ）    A．1 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据已知构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标，由向量共线的坐标表示列方程求参数值. 【详解】因为，所以， 以C为坐标原点，AC所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，    如图所示，则， 设，则，， 由，所以，可得. 59．（24-25高一下·江西南昌·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交与点，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】∵是的垂心，延长交与点，   ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 60．（24-25高一下·江西·期末）古代中国的太极八卦图是在一个圆中，以圆心为界，画出的两个全等的阴阳鱼．阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物之间互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的“矛盾对立统一”的辩证法．图2（正八边形）是从图1（八卦模型图）抽象出来，并以正八边形的中心O为旋转中心顺时针旋转22.5°而得到，点P在正八边形的边上运动，若，则的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，确定当P点位于线段上时，才会取到最大值；设P点在线段上，设，结合平面向量基本定理以及向量的坐标运算，求出表达式，即可求得答案. 【详解】以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， ， 由于，结合正八边形的对称性。 可知当P点位于线段上时，才会取到最大值； 不妨设P点在线段上，设，即， 则， 则， 即，则， 即，当时，取到最大值， 故选：D． 61．（24-25高一下·江西吉安·期中）对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量.现对于非零向量与，作如上变换，则下列说法正确的是（   ） A．存在单位向量，使得 B．对任意、，恒成立 C．若，则的最大值为 D．，则 【答案】BCD 【分析】利用变换规则，结合向量模长公式可判断A；根据变换规则，结合数量积的坐标运算判断B; 根据变换规则，结合平面向量的坐标运算以及向量的模长公式判断C；先求出，再依次化简即可判断D. 【详解】设单位向量，则，， 而，，所以不存在单位向量，使得，A选项错误; 已知，，则， 又，， 计算， 所以恒成立，B选项正确; 由，则，， ，， ，， 设，的夹角为，对平方得 ， 即当时，取得的最大值为，C选项正确; 已知，则， 即， 设，则， 所以， 所以，D选项正确 故选：BCD. 62．（24-25高一下·江西宜春·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．和不能构成一组基底 【答案】ACD 【分析】利用相等向量的定义可判断A选项；利用平面向量的加法可判断B选项；利用平面向量加法的平行四边形法则可判断C选项；推导出，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意知，，，， 所以，，所以，，所以，， 又因为，由相等向量的定义可知，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，根据平面向量的加法法则可知， 为以、为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以，，所以，， 又因为，故，C对； 对于D选项，连接，如下图所示：    由正八边形的几何性质可得， ，， 又因为，则为等腰三角形，则， 所以，， 所以，，所以，， 因为，所以，，故和共线，即和不能构成一组基底，D对. 故选：ACD. 63．（24-25高一下·江西抚州部分学校期末联考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设（，），若，则______. 【答案】3 【分析】因为大三角形是等边三角形，所以可以通过建系的方法进行求解. 【详解】不妨设，则，如图，由题可知. 由， 得，所以，所以，，. 又，所以，所以， 所以，即. 所以，，， 因为，所以， 解得，所以. 故答案为：3 64．（24-25高一下·江西吉安五校·期末检测）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. (1)已知向量，求； (2)设向量，且，证明：； (3)已知向量，若，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由向量夹角公式求出，再得出，根据新定义求解； （2）类比（1）求出，得出，利用新定义证明即可； （3）根据（2）代入求解推出，再由三角恒等变换求解. 【详解】（1）设的夹角为，则， 所以， 所以， 故. （2）设的夹角为， 则， 所以 ， 则， 于是，. （3）由题意，， 则由（2）的公式可得：， 又，则得， 故. 65．（24-25高一下·江西抚州·期末）对于平面向量，定义“变换”：， (1)若向量，，求； (2)求证：； (3)已知，，且与不平行，，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接代入公式即可得到答案； （2）计算得，从而，再展开计算即可证明； （3）方法一：根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为，再代入公式证明即可. 【详解】（1）因为向量 所以 所以. （2）因为. 所以 . . ，所以. （3）方法一：， ， 由（2）可得， 又因为 ，即， 可得， 且在内单调递减，， 可知， 所以. 所以 方法二:设， ， 因为， ， 所以 ， 所以. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $