专题01 三角函数（7大题型63题）（期末真题汇编，江西专用）高一数学下学期北师大版

**基本信息** 三角函数专题汇编，涵盖7个核心考点，精选江西多地期末及联考真题，注重易错点突破与实际应用，如筒车、潮汐等情境，体现知识迁移与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（单选+多选）|38题|任意角与弧度制、三角函数概念及求值、图象性质等|基础题占比60%，含易错点标注，多选考查综合辨析| |填空|7题|扇形面积、三角函数求值|聚焦高频计算，如扇形弧长与面积互化| |解答|7题|图象变换、实际应用（弹簧/筒车）、交汇题（与函数零点）、创新题（双曲函数）|分层设计，从图象变换到实际建模，创新题结合双曲函数拓展|

专题01 三角函数 高频考点概览 考点01任意角与弧度制（易错） 考点02三角函数的概念及求值（易错） 考点03 三角函数的图象与性质（高频） 考点04 函数的图象及图象变换（重难） 考点05 三角函数的实际应用（难点） 考点06 三角函数与其他知识的交汇题（难点） 考点07 三角函数的创新题（重难） 考点01 任意角与弧度制 1．（24-25高一下·江西新余期末）与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西南昌·期末）在半径为的圆中，面积为的扇形的圆心角等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高一下·江西·期末）已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽·月考）已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．2 5．（24-25高一下·江西丰城中学·期末）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形面积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知扇形的弧长为6，半径为4，则扇形的面积为__________. 7．（24-25高一上·江西科技学院附中·期末）已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____. 考点02 三角函数的概念及求值 8．（24-25高一上·江西南昌二中·期末）（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江西宜春·期末）若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 11．（24-25高一·江西九江期末）已知，则可能为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第三或四象限角 12.（24-25高一下·江西赣州·期末）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·江西科技学院附中·期末）已知，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 14．（2025·高一下江西抚州六校期末联考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·江西余江一中期末）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 16．（多选）（24-25高一下·江西抚州·期末）已知且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知，则________. 20．（24-25高一下·江西·期末）已知锐角满足，则_____. 21．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知，则____________. 考点03 三角函数的图象和性质 22．（24-25高一下·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·江西萍乡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·江西·期末）已知函数，若对于任意，总存在，使，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数，若，则（ ） A． B．3 C．7 D．8 26．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·江西吉安·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 30.(多选)（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上没有零点 D．的最小正周期为 31．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为_____. 32．（24-25高一下·江西南昌部分学校期末联考）已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 33．（24-25高一下·江西九江·期末）已知函数的最小正周期为是曲线的一条对称轴. (1)求； (2)求的单调递增区间. 34．（24-25高一下·江西新余·期末）将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为（    ） 考点04 函数的图象及其变换 A． B． C． D． 35．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 36．（24-25高一下·江西抚州·期末）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·江西·期末）已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·江西萍乡·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有点（   ） A．左移个单位 B．右移个单位 C．左移个单位 D．右移个单位 39．（24-25高一下·江西九江·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．11 B．13 C．14 D．15 40．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则ω的取值范围为（   ） A． B． C． D． 41．（多选）（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数的图象关于点中心对称 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为奇函数 42．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（   ） A．图像关于轴对称 B．图像关于中心对称 C．在最小值为 D．在上单调递增 43．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 44．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为. (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域. 考点05 三角函数的实际应用 45．（24-25高一下·江西吉安·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 46．（24-25高一下·江西九江·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 47．（24-25高一下·江西·阶段检测）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 48．（24-25高一下·江西九江·期末）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 49．（24-25高一下·江西南昌部分学校期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 50．（24-25高一下·江西抚州·期末）某地一天从6~14时的温度变化曲线如图所示，则这段曲线近似满足函数（    ）    A． B． C． D． 51．（24-25高一下·抚州六校期末联考）大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设． (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用． 考点06 三角函数与其他模块的交汇题 52．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 53．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 54．（2025高一·江西吉安·期末）函数，若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．（25-26高一下·江西南昌期末联考）已知且满足，，互不相同，集合，集合，则满足的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 56．（2025·江西赣州期末联考）已知函数，则图象如图可能对应的函数为（    ） A． B． C． D． 57．（25-26高一上·江西宜春·期末联考）已知函数，若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 考点07 三角函数的创新题 58．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 59．（24-25高一下·江西抚州·期末联考）声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（    ）. A．函数具有奇偶性 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 60．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）设函数，下述四个结论： ①是偶函数②的图象关于直线对称 ③的最小值为④在上不单调 其中所有正确结论的编号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 61.（24-25高一下·江西新余·期末联考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 62．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 63．（24-25高一下·江西赣州·期末）在数学中，三角函数的孪生兄弟是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论： (2)求函数的最小值； (3)求证：对，. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数 高频考点概览 考点01任意角与弧度制（易错） 考点02三角函数的概念及求值（易错） 考点03 三角函数的图象与性质（高频） 考点04 函数的图象及图象变换（重难） 考点05 三角函数的实际应用（难点） 考点06 三角函数与其他知识的交汇题（难点） 考点07 三角函数的创新题（重难） 考点01 任意角与弧度制 1．（24-25高一下·江西新余期末）与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在中与角终边相同的角，再写成集合的形式即可判断. 【详解】因， 故与角终边相同的角的集合可表示为，C项正确， 而A，B，D项中的角都与终边不同. 故选：C. 2．（24-25高一下·江西南昌·期末）在半径为的圆中，面积为的扇形的圆心角等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据扇形的面积公式直接计算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：A 3．（24-25高一下·江西·期末）已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长公式即可求解. 【详解】该扇形的弧长为． 故选：. 4．（24-25高一下·安徽·月考）已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据扇形弧长公式计算求解. 【详解】设扇形的圆心角为，由扇形的弧长公式可得 故选：B. 5．（24-25高一下·江西丰城中学·期末）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出扇形的半径，再根据公式可求扇形的面积. 【详解】因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，故半径为， 故面积为， 故选：B. 6．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知扇形的弧长为6，半径为4，则扇形的面积为__________. 【答案】12 【分析】由扇形的面积公式直接可求 【详解】根据题意扇形的面积. 故答案为：12. 7．（24-25高一上·江西科技学院附中·期末）已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____. 【答案】 【分析】根据弧度值的定义，结合扇形面积公式求解即可. 【详解】由题意，，故这个扇形的半径，面积为. 故答案为： 考点02 三角函数的概念及求值 8．（24-25高一上·江西南昌二中·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】由题意， 故选：D 9．（24-25高一下·江西宜春·期末）若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义进行求解 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：D. 10．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系，已知角的余弦值，求正切值. 【详解】已知知α为锐角，则， 则. 11．（24-25高一·江西九江期末）已知，则可能为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第三或四象限角 【答案】A 【分析】根据题意得与的符号，利用三角函数的概念即可判断角所在的象限. 【详解】因为，所以或， 所以可能为第一象限角或第二象限角． 故选：A． 12.（24-25高一下·江西赣州·期末）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意有求参数y，再由正弦函数的定义求. 【详解】由题意，且，解得， 所以. 13．（24-25高一下·江西科技学院附中·期末）已知，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】由条件得到判断. 【详解】解：因为，且， 所以， 所以是第一象限角， 故选：A 故选：C. 14．（2025·高一下江西抚州六校期末联考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【详解】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 15．（24-25高一上·江西余江一中期末）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角和的终边关于轴对称，可得，，代入各个选项，根据诱导公式即可判断． 【详解】由角和的终边关于轴对称，可得，， 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确， 对于D，由，故D错误， 故选：C． 16．（多选）（24-25高一下·江西抚州·期末）已知且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】计算即可得出A；根据A判断范围，再利用齐次化思想得到，即可得出B. C；利用齐次化思想得到D. 【详解】由，得，所以，A正确； 因为，所以，，则， 而，得出或， 若，则，与矛盾. 故，故C错误； ，B正确； ，D错误． 故选：AB 17．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据同角三角函数关系、诱导公式和余弦的二倍角公式求解判断即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以，，， 故选：ABD. 18．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据同角三角函数关系、诱导公式和余弦的二倍角公式求解判断即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以，，， 故选：ABD. 19．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知，则________. 【答案】 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】根据题意，， 则. 故答案为： 20．（24-25高一下·江西·期末）已知锐角满足，则_____. 【答案】 【分析】由结合诱导公式即可计算求解. 【详解】因为锐角满足， 所以. 故答案为： 21．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知，则____________. 【答案】 【分析】利用弦化切可求三角函数式的值. 【详解】. 故答案为：. 考点03 三角函数的图象和性质 22．（24-25高一下·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为， 则由，，可得函数的图象的对称中心的横坐标为，， 又，所以当时，取的最小值， 故选：C 23．（24-25高一下·江西萍乡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性与零点个数，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， ，即函数为奇函数，排除BC选项， 由可得或，解得， 故函数有无数个零点，排除A选项. 故选：D. 24．（24-25高一下·江西·期末）已知函数，若对于任意，总存在，使，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件求在的值域，再逐一验证各选项能否使的值域取遍区间中的每一个值即可. 【详解】由题意得当时，． 令，解得． 故当，即时，需要满足可以取遍区间中的每一个值． 当时，，无法满足； 当时，，无法满足； 当时，，无法满足； 当时，，可以取遍． 故选：D． 25．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数，若，则（ ） A． B．3 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由可得，再根据正弦函数的奇偶性求解即可. 【详解】由题意可知，则， 所以， 故选：C 26．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数图象性质得出对称轴表达式即可. 【详解】根据函数的图象可知曲线的图象如下图： 因此对称轴方程满足，即可得， 所以对称轴方程为. 故选：A 27．（24-25高一下·江西吉安·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和周期性的性质，判断即可. 【详解】A中， 故是最小正周期为的偶函数，不符合题意，A错误； B中的最小正周期，且， 故是最小正周期为的奇函数，B正确； C中是偶函数，但不是周期函数，其图象大致如下： 不符合题意，C错误； D中是周期为的奇函数，D错误. 故选：B. 28．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，结合条件可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上至少有3个零点， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 29．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为奇函数化简不等式，再结合函数的单调性及定义域进行求解即可. 【详解】∵设，，所以为奇函数. 易知在区间上单调递增，所以在区间上单调递增. 因为不等式，即得， 所以，所以， 因为函数的定义域为，所以且， 所以， 又函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：A. 30.(多选)（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上没有零点 D．的最小正周期为 【答案】ACD 【分析】利用奇偶函数判定知识及正余弦函数知识可对A、B判断求解；令，即，即，但其方程无解，从而可对C判断求解；利用反证法假设存在，使得对任意的恒成立，从而不存在，从而可对D判断求解. 【详解】对于A，，其定义域为且关于原点对称， ，即为偶函数，故A正确； 对于B，，其定义域为且关于原点对称， ，即为偶函数，故B错误； 对于C，令，即，即，， 又，则无解，所以在上没有零点，故C正确； 对于D，，因为，即， 假设存在，使得对任意的恒成立， 令，则，所以，即，， 因为，这样的不存在， 所以的最小正周期为，故D正确； 故选：ACD. 31．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】， 又函数在单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 32．（24-25高一下·江西南昌部分学校期末联考）已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 【答案】(1)定义域为；值域为. (2)最小正周期；函数为非奇非偶函数；函数的递增区间为，没有递减区间. 【分析】（1）（2）由正切函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间得到函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间. 【详解】（1）令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为， ∴的值域为. （2）∵函数中，∴函数的最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数为非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中，. ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 33．（24-25高一下·江西九江·期末）已知函数的最小正周期为是曲线的一条对称轴. (1)求； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1)2， (2) 【分析】（1）根据周期可先求，再利用对称轴可求； （2）由（1）得的解析式，再利用整体代换法求单调增区间即可. 【详解】（1）依题意得，， 由，得， ，. （2）由（1）得，， ， 令，得， 的单调递增区间为. 34．（24-25高一下·江西新余·期末）将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为（    ） 考点04 函数的图象及其变换 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数图象平移变换的法则求解． 【详解】将图像向左平移个单位， 得到． 故选：A． 35．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由单调区间的长度小于等于半个周期可求出的取值范围，根据正弦函数图象向左平移个单位之后与原图象关于轴对称可求出的表达式，根据的范围进行判断即可. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为函数在上单调， 则，可得，又，所以，， 因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称． 则，即， 因为，所以或6，满足条件，A正确． 故选：A 36．（24-25高一下·江西抚州·期末）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移的法则先得到的解析式，再由是奇函数，得到，即，再利用和角的正弦公式及商数关系即可求出值. 【详解】由函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 可得. 因为函数的定义域为，且是奇函数， 所以，即， 即， 即，所以. 故选：B 37．（24-25高一下·江西·期末）已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移可得，再利用函数是奇函数，得到，，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度得到 ， 又是奇函数，所以， 得，，当时，. 故选：D. 38．（24-25高一下·江西萍乡·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有点（   ） A．左移个单位 B．右移个单位 C．左移个单位 D．右移个单位 【答案】C 【分析】根据平移变换求出相应解析式一一与比对得解· 【详解】因为向左平移个单位可得， 向左平移个单位可得， 向右平移个单位可得， 向右平移个单位可得， 故C正确，ABD错误. 故选：C 39．（24-25高一下·江西九江·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．11 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求解即可. 【详解】依题意得，为偶函数， 则，即. 故选：B. 40．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则ω的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由求出，利用图象平移规律求出得到函数，再根据的单调性可得答案. 【详解】由得即， 因为，所以，可得， 将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到函数， 由得， 所以的单调递增区间为， 可得，则， 解得，又因为对，在上都不单调， 所以，解得， 综上，. 故选：B. 41．（多选）（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数的图象关于点中心对称 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为奇函数 【答案】BCD 【分析】根据图像先求，进而得即可判断AB，计算是否为0即可判断C，根据图像的变换得即可判断D. 【详解】由图可知，，所以，故A错误； 由，由，解得，故B正确； 所以，又，故C正确； 将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数，又为奇函数，故D正确. 故选：BCD. 42．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（   ） A．图像关于轴对称 B．图像关于中心对称 C．在最小值为 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据图像得出，由过，两点，代入函数式，即可确定，进而得出，即可根据正弦函数图象和性质判断选项. 【详解】由图知,可得，又， 解得：或，又 若无解；若，则，所以，向右平移得到， 对于A：因为，所以是奇函数，关于原点对称，故A错误； 对于B：令，故对称中心,故B错误； 对于C:因为，则，所以在区间的最小值为：，故C正确； 对于D：因为，所以，所以在此区间不单调，故D错误； 故选：ABD 43．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先根据图象确定的值，进而确定函数的解析式，然后根据正弦函数的性质求得单调递减区间. （2）先根据图象的变换求出函数的解析式，然后根据的范围确定的最大值和最小值，要使得不等式恒成立，则最大值小于等于，从而求出的取值范围. 【详解】（1）设的最小正周期为，所以，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又，所以，， 即，，又， 所以，所以. 令，，解得，， 即的单调递减区间为，. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为. 当，， 所以，， 若对任意的，，都有，则， 解得，即的取值范围是. 44．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为. (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】(1)；单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据条件求出、，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先根据三角函数的变换规则求出的解析式，由的取值范围，求出的取值范围，结合正弦函数的性质求得值域. 【详解】（1）因为函数的一个零点为0，所以，即，得， 因为，所以. 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以. 因为，，所以， 所以函数的解析式为， 由，，解得，， 所以的单调递减区间为. （2）把的图象向右平移个单位得到 ， 再将向上平移个单位得到， 所以， 因为，所以. 当时，即时，， 当时，即时，， 所以函数在的值域为. 考点05 三角函数的实际应用 45．（24-25高一下·江西吉安·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 46．（24-25高一下·江西九江·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D 47．（24-25高一下·江西·阶段检测）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【分析】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解. 【详解】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C 48．（24-25高一下·江西九江·期末）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【详解】由的最值，即可判断A，由周期即可判断B，由的值可得，代入计算，即可判断C，求解不等式，即可判断D. 【分析】由数据知，所以，A错误；，故B错误； 由，得，故C正确； 由，得，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误. 故选：C. 49．（24-25高一下·江西南昌部分学校期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分别求出、、的值，即可得出函数解析式. 【详解】根据题意，设， 由题意可知，为第一象限角，且， 又因为，则，， 函数的最小正周期为， 所以， 所以点的纵坐标与时间的函数关系为. 故选：C. 50．（24-25高一下·江西抚州·期末）某地一天从6~14时的温度变化曲线如图所示，则这段曲线近似满足函数（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的图象，取特殊点排除选项，再验证符合要求即可. 【详解】观察图象知，当时，， 此时，取最小值，不符合要求，排除A； ，取最大值1，不符合要求，排除C； 当时，， 此时，取最大值1，不符合要求，排除D， ，取最小值，符合要求， 当时，，此时，取最大值1，符合要求，B符合要求. 故选：B 51．（24-25高一下·抚州六校期末联考）大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设． (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)，； (2)． (3)当米时，照明装置费用最低，最低费用为元． 【分析】（1）利用直角三角形边角关系列式求出函数关系及定义域. （2）由（1）的结论，利用正余弦齐次式法计算得解. （3）确定费用最低的条件，并设，利用辅助角公式及和和角的正弦公式求出的范围，再借助函数单调性求出最小值. 【详解】（1）在中，由，得，， 又中，由勾股定理得， 因此， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. （2）由（1）知， 因此， 于是. （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得， 设，则，， ，由，得， ，于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元． 考点06 三角函数与其他模块的交汇题 52．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以，故. 故选：B. 53．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性可得周期性，即可作出两函数图象，根据图象交点个数即可求解. 【详解】由于是定义域为的奇函数，故，故， 所以，当时，， 又由，可得， 故是周期函数，且周期为4， 当时，，则， 又，所以时， 当时，，则， 又由，得到，所以当时，， 当时，，则， 所以当时，， 故 在同一坐标系中，作出的图象如下, 又当时，，而，故当后，两个函数图象再无交点， 由函数图象可知：的图象有4个不同的交点，故有4个零点， 故选：A 54．（2025高一·江西吉安·期末）函数，若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明为奇函数，再证明为增函数，结合函数性质化简不等式得，令换元可得，转化为求的最小值. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因， 由，可得是奇函数． 又，因在上单调递增且恒为正， 故在上为减函数，则在上单调递增． 故不等式 等价于， 则有（*）． 因为，令，则， 由（*）可得，即,使． 令，，则， 故．即的取值范围是. 故选：C. 55．（25-26高一下·江西南昌期末联考）已知且满足，，互不相同，集合，集合，则满足的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，两类情况讨论求解即可. 【详解】因为，， 所以， 由，可知且， 所以，或 当时，或 ， 由和的图象可知，它们在有且仅有一个交点， 即有唯一，使得成立， 此时集合的个数为1， 当时，即， 若，令， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理和函数单调性可知，在 上存在唯一零点， 即有唯一，使得成立， 此时集合的个数为1， 综上可知：集合的个数为2， 故选：B 56．（2025·江西赣州期末联考）已知函数，则图象如图可能对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题图和排除法，利用奇偶性的定义判断、的奇偶性，利用指数函数、余弦函数及函数的定义域判断即可. 【详解】因为的定义域为R，又，所以是奇函数， 又因为的定义域为R，且， 所以是偶函数， 由图象知：函数定义域为R，且图象关于原点对称， 所以函数为奇函数， 而，故A错误； ，故B错误； 定义域为，故D错误； 的定义域为R，为奇函数，C正确， 故选：C 57.（25-26高一上·江西宜春·期末联考）已知函数，若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的单调性和奇偶性，再根据指数函数和幂函数，以及三角函数的性质，即可判断的大小，再根据函数的性质，即可判断选项. 【详解】时，，，， 所以，同理时，也有，所以是偶函数， 当时，单调递增， ，， 则，， 所以，所以. 故选：C 考点07 三角函数的创新题 58．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义，把问题转化为两个函数图象交点个数，数形结合求解. 【详解】由，得，令函数与， 依题意，所求问题即为函数与在上的交点个数， 在同一坐标系内作出函数与在上的图象，    观察图象得函数与在上的图象有2个交点， 所以函数在区间上的零点个数为2. 故选：A 59．（24-25高一下·江西抚州·期末联考）声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（    ）. A．函数具有奇偶性 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 【答案】C 【分析】根据定义法证明即可判断A；根据验证法计算即可判断B；根据即可判断C；判断的最小正周期为，即可判断D. 【详解】A选项，易知的定义域为， 又 ，故是奇函数，A正确； B选项，时，， 故，在上都是增函数， 在上单调递增，B正确； C选项，由， 得的最大值，故的振幅必然大于的振幅， 即声音甲的响度一定大于纯音的响度，C错误； D选项，对于， 因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为，其频率， 纯音的最小正周期为，其频率， 声音乙的频率更低，比低沉，D正确. 故选：C. 60．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）设函数，下述四个结论： ①是偶函数②的图象关于直线对称 ③的最小值为④在上不单调 其中所有正确结论的编号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】利用奇偶性恒等式可判断①，利用对称性恒等式可判断②，利用分段讨论去绝对值，化为一般三角函数可判断③，利用正弦函数单调性可判断④. 【详解】①因为，所以是偶函数，①正确； ②因为， 所以的图象不关于直线对称，②错误； ③因为 所以 当时，， 当时，， 综合得，即的最小值为，③错误； ④由，化简， 令，则，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 故在上不单调，④正确. 故选：B 61．（24-25高一下·江西新余·期末联考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【分析】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【详解】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 62．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立适当平面直角坐标，设盛水筒经过秒后到水面的距离为米，结合题意先依次得到筒车半径、和，，进而求出，接着求出盛水槽的正上方所对的弦距离水面的高度为，再解不等式即可求解. 【详解】以筒车中心为原点，与水面平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 设盛水筒经过秒后到水面的距离为米， 由题可知筒车半径为6，点的纵坐标为3，则， 又由题知，， 则，， 作弦平行且等于盛水槽，则在中， ，则（H为中点）， 则距离水面的高度为， 盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽， 即当时符合题意， 故，即，解得， 因为，所以盛水筒转一圈的过程中，有秒能把水倒入盛水槽. 故选：A. 63．（24-25高一下·江西赣州·期末）在数学中，三角函数的孪生兄弟是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论： (2)求函数的最小值； (3)求证：对，. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断； （2），设，则，利用单调性求最值； （3）当时，，，利用和的奇偶性和单调性证明，当时，，设，即可得证. 【详解】（1）因的定义域为， 由可得函数为奇函数. （2） ， 设，则，当且仅当时取“=”， 则在上单调递增， 所以. 所以函数的最小值为. （3）① 当时，，. 对于，因，则为偶函数； 设，则， 因为，所以，，， 所以，即在上单调递增. 所以当时，. 对于，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增， 所以当时，. 所以； ② 当时，. 由可得， 所以， 即. 综上可得：对，. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $