精品解析：西藏自治区林芝市2025-2026学年第二学期高三模拟考试数学试题

林芝市2025-2026学年第二学期高三年级模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示列方程，求解得到的值. 【详解】平面向量共线的充要条件为：若，且，则. 已知，，且， 将坐标代入上述充要条件可得： 整理得，解得. 2. 若，则的真子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 4. 已知的展开式中的系数为35，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. -90 B. 97 C. 160 D. -145 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二项式展开式的通项，拆分出项的构成，列方程求出参数的值，再通过赋值法（令）计算展开式所有项的系数和. 【详解】的展开式通项为. 中项由两部分构成：与. 因此的系数为. 由题意，解得. 令，得展开式所有项的系数和为. 5. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，结合韦达定理构造一元二次方程求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由题意可知. 因为是递增的等比数列，所以， 又，所以，是方程的两根，解得，. 所以，所以. 故选：C. 6. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆的圆心为，在直线上， 圆的半径为，两平行直线与的距离为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线被圆C截得的弦长. 7. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知得，的面积， 所以. 由余弦定理得，， 所以. 因为，所以， 化简得，， 即， 解得，或. 因为，所以，所以. 8. 已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为为上一点，且轴，点在线段上，直线分别交轴于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，求出点的方程，再根据即可求出. 【详解】不妨设点在第一象限， 由题意得，， 设，则， 故直线的方程为，令，则，故； 直线的方程为，令，则，故， 因为，则，得， 则的离心率为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得分． 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】因为，则，故A错误； 是纯虚数，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 曲线在处的切线与直线垂直 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数单调性与导数的关系可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；由导数的几何意义以及数形结合可判断C选项；设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点的坐标代入切线方程得，令，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 由可得，故函数的单调递减区间是，A对； 对于B选项，因为，且， 故曲线在处的切线方程为，B错； 对于C选项，由可得，故函数的单调递增区间为， 故函数的极大值为，作出函数的图象如下图所示： 由于，故当点与原点重合时，点P到直线距离取最小值， 且最小值为，C对； 对于D选项，设切点为，则切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，可得， 令，其中，则， 由可得或，由可得， 所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为， 故函数的极小值为，极大值为，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算________． 【答案】5 【解析】 【详解】 13. 在中，若，则角________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知， 根据正弦定理可得， 由余弦定理可知，将上述等式代入，得， 又，故. 14. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【详解】对求导， 可得， 所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式及前项和公式进行基本量的计算，求得，从而得到的通项公式； （2）由（1）的结论求得等差数列的前项和，从而得到，根据裂项相消求和法，可求得数列的前项和． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 即，解得. 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 所以 . 16. 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如表： 男生（人） 女生（人） 运动达标 80 40 运动不达标 20 60 用频率估计概率． （1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； （2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 数学期望 【解析】 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； 【小问1详解】 由题意，可估计从该校的男生中任选一人“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； 【小问2详解】 由表中数据可估计从该校男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为 数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，、分别为，中点． （1）求证：平面平面； （2）若点E为中点，求直线与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正三角形的中线性质与矩形对边中点连线的垂直关系，推导出线面垂直；再结合面面垂直的判定定理，由线面垂直推出面面垂直； （2）取线段的中点，过点作，垂足为，求证以及平面，结合长度信息求出即可. 【小问1详解】 因为侧面为正三角形，为的中点，所以， 因为是矩形，且分别为中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面 【小问2详解】 取线段的中点，过点作，垂足为，连接， 因为E为中点，所以， 因为底面为矩形，所以， 因为为中点，所以， 则四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为，， 所以在中， 因为，所以在中，， 因为，， 所以， 则，则， 则直线与平面所成角的余弦值为. 18. 设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点． （1）求抛物线的方程； （2）当最小时，求直线的方程； （3）设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义可得2，代入可得抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立方程，通过韦达定理得到两根关系，利用抛物线焦半径性质，结合的结论，将目标式转化为单变量函数，利用基本不等式求最小值，得到等号成立条件后反推直线参数，最终得到直线方程； （3）先求出点的坐标，设以为直径的圆经过轴上的两个定点，，根据写出圆的方程，运用韦达定理和椭圆方程化简可求得、的坐标，即可证明圆恒过这两个定点. 【小问1详解】 由抛物线的定义可得，解得2. 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知抛物线的焦点， 设直线的方程为，，. 联立直线与抛物线的方程， 可得. 所以，. 根据抛物线的定义，，， 又因为，所以. . 根据基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当且时等号成立. 联立，解得或 当，时，； 当，时，. 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 已知，，则直线的方程为，直线的方程为. 令，可得，. 根据圆的性质，若点在以为直径的圆上，则. 所以. 又因为，所以， 代入上式可得. 由（2）可知，代入上式可得，即， 解得或. 所以以为直径的圆经过轴上的两个定点和. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将函数化简为的形式，从而得到伴随向量的坐标，再根据向量模长的计算公式即可求出； （2）根据题意求出的解析式，并据此设，又由列出关于x的方程，最后借助三角函数值域及一元二次不等式解出该方程即可． （3）先根据伴随函数的定义求出函数的表达式，再化简方程，原方程可等价为，令，分类讨论并画出的图象，然后将问题转化为两个函数有交点问题，最后根据函数图象的交点情况即可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 ， 所以，． 【小问2详解】 由伴随向量的定义可知， 又， 所以可得，解得，因此， 所以， 即，设点， 又，由， 得， 展开并化简可得（*），令，且， 方程变为，即， 解得，又，所以，此时且， 所以，对应，即． 【小问3详解】 函数为向量的伴随函数，所以， 又关于的方程为， 所以可得， 即， 记， 化简得，作出函数的图像， 方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 等价于图象与直线有四个交点，故， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 林芝市2025-2026学年第二学期高三年级模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2. 若，则的真子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 3 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的展开式中的系数为35，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. -90 B. 97 C. 160 D. -145 5. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. D. 6. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为为上一点，且轴，点在线段上，直线分别交轴于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得分． 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 曲线在处的切线与直线垂直 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算________． 13. 在中，若，则角________． 14. 已知，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如表： 男生（人） 女生（人） 运动达标 80 40 运动不达标 20 60 用频率估计概率． （1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； （2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，、分别为，中点． （1）求证：平面平面； （2）若点E为中点，求直线与平面夹角的余弦值． 18. 设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点． （1）求抛物线的方程； （2）当最小时，求直线的方程； （3）设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $