精品解析：山东淄博市淄博中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试卷

2025-2026学年高1下学期05月期中（淄博中学） 一、单选题 1. 若，则　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法法则计算可得． 【详解】解：， ， 则， 故选：． 2. 下列关于空间几何体的说法，错误的是（ ） A. 棱柱的侧棱都互相平行且相等 B. 正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 D. 圆柱的侧面展开图是矩形 【答案】C 【解析】 【详解】A：根据棱柱的定义，其侧棱互相平行且相等，对； B：根据正棱锥的定义，其底面是正多边形且顶点在底面的射影是底面中心，对； C：由棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面截去上面的小棱锥得到，即各侧棱的延长线交于一点， 如上图，上下底面是两个全等的矩形，且相互平行，上底的长与下底的宽对应平行，四个侧面都是等腰梯形， 此时四条侧棱所在直线不交于同一点，故仅通过两个面互相平行，其余各面都是梯形不能保证侧棱延长交于一点，错， D：圆柱侧面展开图，即沿一条母线展开侧面为矩形，对. 3. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量定义结合题设直接计算即可得解. 【详解】由题在上的投影向量为. 故选：C. 4. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，为异面直线，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，由，得，而，因此，C正确. 故选：C. 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 6. 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据余弦定理得到，再根据正弦定理得到答案. 【详解】不妨设，根据余弦定理：，故. ，则，，故. 故选：. 【点睛】本题考查了余弦定理和正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 7. 如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知则四边形ABCD的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析直观图等腰梯形，结合斜二测的 夹角，求出直观图腰长，再按斜二测规则还原，得到原图形上下底和腰长，并在还原后的直角梯形中，用勾股定理算出斜边，最后将四条边长相加，得到四边形的周长即可. 【详解】由题意可知， 直观图 为等腰梯形， ，， 过点 作 于 ，， 则 ， 在中，，， 根据斜二测画法规则还原原图形，如图： 则 ， ， ∵ 在轴上， ， 作于，则，， ， 四边形 的周长为： ， 故四边形的周长为. 8. 在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积与体积公式求解即可. 【详解】因为，，则，故. 又平面，，可将三棱锥补成长方体，如图： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长. 设三棱锥的外接球半径为， 则，故. 因此该球的表面积为， 体积为. 二、多选题 9. 已知复数，则（ ） A. B. z的虚部为 C. 为纯虚数 D. 【答案】BC 【解析】 【详解】， 所以，z的虚部为，为纯虚数，，A、D错误，B、C正确. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若则或 B. 在中，若点满足，则为的垂心 C. 已知非零向量，若，则的夹角为锐角 D. 若是所在平面上的一点，且满足，则为等腰三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的数量积定义即可判断AC；根据题意，结合向量的运算得 ， ，即可判断B；根据向量的数量积判断得 ，又根据E为AB中点，即可判断D. 【详解】对于A，若则或，或，A错误； 对于B，由， 同理可得，所以P为的垂心，故B正确； 对于C，设与的夹角为，则由得 ，又因为 ， 所以，所以C错误； 对于D，如图， 取AB中点为E，连接CE， 因为， 所以，又E为AB中点，所以， 故三角形ABC的形状一定是等腰三角形，所以D正确. 故选：BD 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【详解】 对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题 12. 如图所示，在正方体中，则四棱锥的体积与正方体体积的比为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令正方体棱长为，求出正方体的体积及四棱锥的体积即可判断. 【详解】设正方体棱长为，则，. 所以四棱锥的体积与正方体体积的比为. 故答案为：. 13. 已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 14. 已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，将表示成关于t的函数，根据二次函数最值即可求解． 【详解】∵，∴， 整理可得， ∵对任意，上式恒成立，∴； 由题意知，∴，∴． ∴． 故答案为：. 四、解答题－问答题 15. 已知向量，若，与的夹角为． （1）求； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用平面向量的数量积定义计算得，再结合模长及数量积公式计算求解； （2）应用夹角余弦公式结合数量积公式及模长公式计算求解. 【小问1详解】 因为，与的夹角为，所以， ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）可知， ∴． ∵， 设与的夹角为， ∴． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求； （2）设为边上一点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； （2）先由余弦定理求得，再求即可． 【小问1详解】 由得． 由，得． 由余弦定理，，，， 代入并整理得，故． 【小问2详解】 在中，已知，，， 则由余弦定理的推论得． 因为，所以为直角三角形，则， 即，解得． 17. 如图，一个圆锥的顶点是，是底面的圆心，是底面的一条直径，. （1）若和圆锥底面所成角大小是，求该圆锥的表面积； （2）若是中点，､是底面圆上两点，劣弧的长为，，是线段上一点，求证：平面平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面角的定义结合圆锥的表面积公式求解即可； （2）根据弧长公式可得，利用平行四边形的性质证明线线平行，再根据面面平行的判定定理证明即可. 【小问1详解】 连接，由题可得，因为， 所以， 所以圆锥的表面积为. 【小问2详解】 因为分别为的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 劣弧的长为，则，则， 因为，所以为等边三角形， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面. 18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，并且． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可得的大小； （2）利用正弦定理，表示出的周长，利用三角函数求出最大值即可． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得，即， ，因为，所以． 【小问2详解】 由（1）得，且， 由正弦定理得：， ∴， ， ∵，∴，∴， ∴当时，的最大值为， ∴周长的最大值是． 19. 如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． （1）求证：D，B，F，E四点共面． （2）设平面平面，求证：． （3）棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【小问1详解】 证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． 【小问2详解】 证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． 【小问3详解】 存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高1下学期05月期中（淄博中学） 一、单选题 1. 若，则　　 A. B. C. D. 2. 下列关于空间几何体的说法，错误的是（ ） A. 棱柱的侧棱都互相平行且相等 B. 正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 D. 圆柱的侧面展开图是矩形 3. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，为异面直线，，，则 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为 A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知则四边形ABCD的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题 9. 已知复数，则（ ） A. B. z的虚部为 C. 为纯虚数 D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若则或 B. 在中，若点满足，则为的垂心 C. 已知非零向量，若，则的夹角为锐角 D. 若是所在平面上的一点，且满足，则为等腰三角形 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 三、填空题 12. 如图所示，在正方体中，则四棱锥的体积与正方体体积的比为__________. 13. 已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 14. 已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______． 四、解答题－问答题 15. 已知向量，若，与的夹角为． （1）求； （2）求与夹角的余弦值． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求； （2）设为边上一点，且，求的长． 17. 如图，一个圆锥的顶点是，是底面的圆心，是底面的一条直径，. （1）若和圆锥底面所成角大小是，求该圆锥的表面积； （2）若是中点，､是底面圆上两点，劣弧的长为，，是线段上一点，求证：平面平面. 18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，并且． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值． 19. 如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． （1）求证：D，B，F，E四点共面． （2）设平面平面，求证：． （3）棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $