2026年中考数学必考知识点一轮专题特训-二次函数与角度综合题

**基本信息** 聚焦二次函数与角度综合，通过15道典例系统整合待定系数法、对称构造、函数建模等方法，构建“代数表达-几何转化-逻辑推理”的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|1-3题|待定系数法求解析式、面积公式应用|二次函数图像性质→交点坐标→一次函数关系| |角度转化|4-8题|对称点构造、全等/相似三角形判定|角度关系→几何模型（如等腰直角三角形）→代数方程求解| |动态综合|9-15题|平移变换、动点轨迹分析、最值函数建模|二次函数平移→参数变化→几何量（角度、周长）的函数表达|

2026年中考数学必考知识点专题特训-二次函数与角度综合题 1．如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点，连接交直线于点，若，求点的坐标； (3)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)求抛物线的解析式并直接写出点的坐标； (2)在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的面积为10．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图1，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标； (4)如图2，过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于，两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若，直接写出点的坐标． 3．已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 4．如图，在平面直角坐标系中抛物线交y轴于点；交x轴正半轴于点；交x轴负半轴于点A；连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接、，设的面积为S，求出S的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 5．已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 6．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)如图2，连接，为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (2)如图3，连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出其中一个点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．已知，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，连接并延长交所在直线于点D．是否存在点Q，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为． (1)若，求顶点的坐标及线段的长； (2)连接，，，若，求点的坐标． 10．已知二次函数，其图象过点． (1)求二次函数的解析式 ； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位后，如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接，抛物线上存在点Q，使得．请求出直线的解析式． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为交轴于两点，与轴交于点，连接． (1)求三点的坐标； (2)如图1，是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，求的最大值及点的坐标． (3)如图2，将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件点的坐标． 12．已知抛物线过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，把直线向下平移，平移后的直线交轴于点，交轴左侧的抛物线于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，且位于第四象限，当时，求点的坐标． 13．如图，二次函数与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)请求出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，则直线必过定点的坐标为________（请直接写出答案） 14．如图1，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的拋物线上，连接，交直线于点，连接，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求的最大值； (3)当时，点坐标为____________； (4)如图2，为直线上的一点，且，当的周长最小时，点坐标为_________． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作于点 轴交于点，点是直线上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及此时的最小值： (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一种结果的解答过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学必考知识点专题特训-二次函数与角度综合题》参考答案 1．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）确定直线的解析式为：，设，确定直线的解析式为，得到点D的横坐标为，根据题意，得，解答即可． (3) 作点关于y轴的对称点M，根据题意，得，， 故，过点A作，交于点，， 解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得 解得， 抛物线的解析式为. （2）解：根据抛物线的解析式为， 令，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 设， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点D的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 故或． （3）解：作点关于y轴的对称点M， 根据题意，得，， 故， 过点A作，交于点， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入解析式， 得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得， 故； 2．(1)该抛物线的解析式为，点的坐标 (2)存在这样的点，坐标为， (3) (4)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式即可求解；然后确定对称轴，即可得出点B的坐标； （2）设，，然后利用面积建立方程求解即可； （3）过点作轴于，过点作轴于，则，确定，设点，则，，利用正切函数建立方程求解即可； （4）设，设直线的解析式为：，得出直线的解析式为：，设，，确定，，再利用两点间的距离公式得出，，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将，两点坐标代入得： ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为， 对称轴为， ∴点的坐标； （2）由得对称轴为直线； 假设在抛物线对称轴上存在点，使的面积为10． 设， ∴， ∴ 解得或， ∴存在这样的点，坐标为，． （3）如图1，过点作轴于，过点作轴于，则， ∵，， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； （4）点的坐标为． 理由如下：如图2，设，设直线的解析式为：， ∴，即， ∴直线的解析式为：， 设，， 由， 得，即：， ∴，， ∴ ∵线段的中点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． ∴点的坐标为． 3．(1)， (2)周长的最大值为 (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令求解点B坐标； （2）先求解直线，然后证明为等腰直角三角形，则，那么，故当取得最大值时，取得最大值，设，则，则，再由二次函数的性质求解的最大值，即可求解的最大值； （3）根据抛物线的解析式可得，；当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接，可得，则，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解；当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 则 解得 ∵ ∴， ∴解析式为： 令，则 解得， ∴； （2）解：设直线， 则代入点得，，解得 ∴直线 ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵轴， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，的最大值为 ∴周长的最大值为； （3）解：在中，当，则， 解得， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接， ∴，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点， 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 综上：的长为或． 4．(1) (2)的最大值为，点 (3)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）将代入，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设点，则点，，，根据二次函数的性质即可求解； （3）先求出新抛物线的表达式，分类讨论当点在轴下方和上方时，可分别求出直线的表达式，与抛物线联立即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：将代入得， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点； （3）解：如图，原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∵， 相当于抛物线先向左平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度， 则新抛物线的表达式为，即． 当点在轴下方时， 设直线交轴于点，过点作于点，此时， ∵为中点，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 当时，为等腰直角三角形， 设， 则在中，， ∴， ， ∵， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴， 设直线的函数表达式为， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴，即点的横坐标为； 当点在轴上方时，此时， 设直线与轴交于， ∵，， ∴在中，， ， 当时，， ∴在中，， ∴， 即， 设直线的解析式为：， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线，得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴， 即点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 5．(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设直线 为 ，代入 ， ，求得直线 的解析式为 ，要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上，分两种情况讨论即可； （3）设，，由题意可知，作轴于M则，，中直角边满足​或，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意知抛物线经过，，， 则解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线 为 ， 代入 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上， 情况一：点 必在过点 且平行于 的直线 上， 过点 作 设直线 为 代入 得 直线 的解析式为 联立直线 与抛物线： 解得或4， 当时，， 则， 情况二：在与 关于 对称的直线 上， 则直线 的解析式为 ， 联立直线 抛物线：，即， ，方程无解， ∴点 的坐标为 ； （3）解：设，， 由题意可知， 作轴于M则 ， ∵， 且，，， ∴中直角边满足 ​或，； ①     ，解得(舍) 或，​     代入得 ​， ② 解得， ， ， ∴点Q的坐标为或． 6．(1) (2)抛物线上存在点，使，此时点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）作，与x轴交于点E，则，证明，可得，点，过点B作，交抛物线于点D， 此时满足，则此时点D即为所求，求出直线的解析式为，可得直线的解析式为，然后联立得：，可求出点D的坐标；作，交y轴于点F，则此时满足，证明，，求出直线的解析式为，联立得：，求出点D的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线上存在点，使， 根据题意得：，， 对于， 当时，， ∴点，即， 如图，作，与x轴交于点E，则， ∵， ∴， ∴， ∴点， 过点B作，交抛物线于点D， ∴， ∴， 此时满足，则此时点D即为所求； 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 如图，作，交y轴于点F，则此时满足， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴同理直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述：抛物线上存在点，使，此时点的坐标为或． 7．(1)最大值为， (2)存在；点的坐标为或 【分析】（1）先求出的解析式，设，，表示出的长度，从而表示，然后根据二次函数的性质求出二次函数的最大值即可； （2）分两种情况①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点M；②当M点位于下方时，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，利用全等三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得到， ， 将代入得， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， ， ，， 为直线下方， ， ， ， 当时，的值最大，最大为， 则； （2）解：存在； ①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于与点M， ， ， ， ， ， 此时使得， ， ， ， 设直线得解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当M点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 则E即为M点， ； 综上所述，使得，M点的坐标为或． 8．(1) (2)存在，点的横坐标为或 【分析】（1）先根据已知条件求得、，然后代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出平移后的函数解析式为，然后分点在轴下方和上方两种情况，分别根据等腰三角形的判定与性质以及一次函数与二次函数的综合求解即可． 【详解】（1）解：∵中， ∴当时，，即， ． ， ，， ，． 将，代入， 得，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：， ， 直线的解析式为， 抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 新抛物线的解析式为． ①如图：当点在轴下方时． ，， ， 是的平分线． 点关于轴的对称点为， 直线的解析式为． 当时，解得（舍去）或， 点的横坐标为； ②如图：当点在轴上方时． ， 是等腰三角形， ． 设， ，解得或舍去， ， 直线的解析式为． 令，解得或 舍去， 点的横坐标为． 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】灵活运用分类讨论思想使解答全面是解题的关键． 9．(1)D的坐标为， (2) 【分析】（1）当时，抛物线的表达式为：，则抛物线的顶点坐标为：，令，则或 5 ，即可求解； （2）求出直线的表达式，的表达式，得到直线的表达式，求出，进而求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， 则抛物线顶点的坐标为， 令，则或， ，， ． （2）解：由题意，得点，，，的坐标分别为，，，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 则，， 解得：，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 如图，过点作交的延长线于点，垂足为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，解得， ． ，， ∴， ∴， 是的中点， ． 点在直线上， ， 解得：（舍去）或， ． 10．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质及平移，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，再根据对称轴公式即可得出答案； （2）求出抛物线的对称轴为直线，可得当时，y随x的增大而减小，即可得出答案； （3）分两种情况：当点在轴下方的抛物线上时；当点在轴上方的抛物线上时；先画出图形再根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y的值最大，为 即当时，二次函数的最大值为； （3）解：由已知可得二次函数解析式为：， 则点，点，， 当点在轴下方的抛物线上时，在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于轴于， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 设的解析式为：， ， 解得：， 的解析式为：， 当点在轴上方的抛物线上时，延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点， 设交抛物线于点， 轴，， ， 同理可得，直线的解析式为：， 综上所述直线的解析式为：和． 11．(1)，， (2)的最大值为1，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）令，求出的坐标，令，求出的坐标； （2）通过证明是等腰直角三角形，得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，其中，进而表示出，再利用二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数平移的性质得到新抛物线，由题意得，再分2种情况讨论：①当在轴上方时；②当在轴下方时，分别求出对应直线的解析式，再联立直线与抛物线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则，其中， 则 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1， 此时点的坐标为； （3）解：， ∵，， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线向上平移2个单位长度，向右平移1个单位长度得到新抛物线， ∴， ∵， ∴， ①当在轴上方时，记此时点为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ∴； ②当在轴下方时，记此时点为， 延长与交于点， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上，所有符合条件点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合、抛物线与坐标轴的交点、二次函数的最值问题、等腰直角三角形的性质与判定、求一次函数解析式，运用数形结合思想是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合和分类讨论能力，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）连接，求出，由平移的性质得到，点到的距离等于点，到的距离，进而得到，求出，再求出，令，即可解答； （3）过作，交于点，分别过点作轴的垂线交过点平行于轴的直线于点，由题意易得，证明，推出，进而得到，求出，令，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， 设抛物线解析式为， 将代入，， 解得， ，即； （2）解：连接， 设， 将代入得，解得， ， 平移， ， 点到的距离等于点，到的距离， ∴， 解得， ， 设，将代入得， ， 令， 解得（舍去）， 把代入， 此时； （3）解：如图：过作，交于点，分别过点作轴的垂线交过点平行于轴的直线于点，则四边形是矩形，，， ， ， ， ， 又， ， ， 设，将代入得：， 解得， ， 令， 解得（舍）， 将代入得， 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数与面积问题，二次函数与特殊三角形问题，涉及待定系数法，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的解析式等，构建全等三角形是解题的关键． 13．(1)，， (2)或 (3)． 【分析】（1）求出时x的值可得点A和点B的坐标，求出时y的值可得点C的坐标； （2）把解析式化为顶点式得到点D的坐标，当点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点 ，由抛物线的对称性可得，，证明得，求出直线的解析式为，联立，求解即可；当点在轴下方时，同理可求得直线的解析式为，联立：，求解即可； （3）设，求出直线，同理可得，直线的解析式为，直线的解析式为，因为直线经过定点，得到，求出直线解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得或， 当时，， ，，； （2）解：∵， ∴顶点的坐标为， ①当点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点， ，，， ，， 由抛物线的对称性可得， ， ， ， 又∵， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为（），将、两点坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为； ②点在轴下方时， 同理可求得直线的解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：设，，， 设直线的解析式为， 联立得， 由根与系数关系可知，， 直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为， 直线的解析式为， ，即， 直线经过定点， ， 整理得， 将代入中，得， 整理得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， 直线必过定点． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 14．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，求得抛物线与x轴的交点坐标，从而可得，作轴，交于点F，证明，可得，即可知当最大时，的值最大，利用待定系数法求直线的解析式，设、，求得，即可得出当时，取最大值，从而求得结果； （3）作关于的对称点，连接,则,，证明得出,根据题意得出在上，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （4）过点作，且得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，作关于的对称点，连接，，则，同理可得，设直线，交于点，根据题意可得，即重合时，的周长最小，设的上方上一点，且得，进而确定点的位置，当与点重合时，满足题意，则在直线上，求得直线的解析式为，进而联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴把点、代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵时，，解得：，， ∴， ∴， 如图，作轴，交于点F， ∵轴， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， ∴当最大时，的值最大， 设直线的解析式为：， ∵点，在直线上， 把点，代入可得，，解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为：，则点F的坐标为：， ∴， ∴当时，取最大值， ∴的最大值为； （3）解：如图，作关于的对称点，连接,则,， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵，则， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在上， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点坐标为； （4）解：∵直线的解析式为：， 过点作，且 则直线的解析式为 设， ∴，解得 ∴点 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于的对称点，连接，，则， 则， ∴的周长为 ∴当在上时，的周长最小 设直线，交于点，即重合时，的周长最小 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式 联立 解得： ∴ ∵直线的解析式为：， 设的上方上一点，且， ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴当与点重合时，满足题意，则在直线上 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数图象与x轴交点坐标、相似三角形的判定与性质、二次函数最值，轴对称的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．(1) (2)，3 (3)或． 【分析】（1）由抛物线与x轴交于可得①，由抛物线的对称轴直线方程可得②，①②联立可求出，，即可求出抛物线的解析式； （2）由运用待定系数法求出直线的解析式为，设，易得，；，可得可求出当时，有最大值，此时； 先求得直线的解析式为，设，如图：过E作轴，则，由平行线的性质以及三角函数可得，即，如图：如图：连接，过P点作的延长线于G，则，然后根据三角形三边关系以及垂线段最短即可解答； （3）先求出平移后抛物线解析式及点，再求得平移后的函数解析式；如图：取点P关于y轴的对称点，即，，连接并延长交于点R，与y轴交于点F，结合已知条件和三角形内角和定理可得，再求得直线的解析式为可得；直线的解析式为，联立可得；再运用两点间距离公式、勾股定理逆定理、正切的定义可得；设，则，然后再解绝对值方程即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴①， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即②， 由①②联立得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设， 如图：过E作轴，则， ∴， ∵ ∴， ∴， 如图：连接，过P点作的延长线于G，则 ∴要求的最小值，只需求得最小值， 由三角形的三边关系可知：， 又由垂线段最短可知：的最小值为， ∴的最小值为． （3）解：由（2）知，当取得最大值时，点， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即抛物线向右平移4个单位，再向上平移4个单位， ∴点P的对应点M的坐标为，即， ∵， ， 如图：取点P关于y轴的对称点，即，，连接并延长交于点R，与y轴交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴； 设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得： ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵N为抛物线上的一动点． ∴设， ∴， ∴或， 当时，解得或（不合题意，舍去）； ∴； 当时，解得或（不合题意，舍去）； ∴． 综上，所有符合条件的点N的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的综合应用、二次函数的图象性质、解直角三角形、二次函数图像的平移等知识点，灵活运用相关性质内容是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $