湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期第十四次周考数学试卷

**基本信息** 高三周考数学卷聚焦函数、几何等核心知识，通过导数零点讨论、立体几何存在性问题等分层设问，考查抽象能力与推理能力，适配高考复习阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合运算、复数共轭、向量数量积|基础题占比60%，如集合交集运算考查数学抽象| |多选题|3|函数性质、三角函数图象|需综合推理，如结合函数对称性与单调性判断选项| |填空题|3|切线方程、函数单调性、解三角形|含动态最值问题，如三角形中线段长度最大值求解| |解答题|5|数列、立体几何、导数应用、解析几何|注重综合应用，如导数零点证明考查逻辑推理，双曲线斜率定值问题体现运算能力|

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期第十四次周考数学试卷 一、单选题 1．已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 2．复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．已知单位向量，满足，则（    ） A． B．1 C． D．0 5．已知中，，，，则下列结论正确的有（    ） A．为锐角三角形 B．面积为 C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 二、多选题 9．下列说法中，不正确的有（    ） A．集合的非空真子集有14个 B．的最小值为4 C．不等式的解集为 D．若，则实数的可能取值集合为 10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 11．已知函数满足对任意的都有，，若函数的图象关于点对称，且对任意的，，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C． D． 三、填空题 12．在点处的切线方程为____________． 13．若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________. 14．在中，内角，，所对的边分别为，，，若是边上的一点，且，．则的最大值是________． 四、解答题 15．在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 16．为等差数列的前n项和，且记，其中是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如. (1)求； (2)求数列的前1111项和. 17．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，异面直线与所成的角为 .    (1)在平面内是否存在一点M，使得直线平面，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的大小为 ，求P到直线的距离. 18．已知函数. (1)讨论的单调性并求极值； (2)设函数是函数的两个零点， （i）求的范围； （ii）求证：. 19．已知双曲线C的渐近线方程是，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的离心率e的值； (2)若动直线l：与双曲线C交于A，B两点，问直线MA，MB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D B A C D BCD BD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据一元二次不等式的解法解集合，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】且， 或. . 故选：A 2．B 【分析】根据给定条件，利用复数除法及共轭复数的意义求解即得. 【详解】依题意，复数， 所以复数的共轭复数是. 故选：B 3．B 【解析】利用指数函数和幂函数的单调性可比较大小并求出范围，求出的范围即可得出结果. 【详解】，， ，， . 故选：B. 4．D 【分析】首先根据题意得到，再计算即可. 【详解】∵，是单位向量，∴． ∵，∴，故， ∵． 故选：D 5．B 【分析】利用余弦定理结合角的取值范围可求得角的值，可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用正弦定理可判断C选项；利用平面向量数量积的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，最大，则， 因为，则，故为钝角三角形，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，由正弦定理可得，C错； 对于D选项，由平面向量数量积的定义可得，D错. 故选：B. 6．A 【分析】利用余弦的二倍角公式、同角间的三角函数关系变形，已知式由两角差的余弦公式展开化简得，再利用同角间三角函数关系变形得出，代入待求式变形后的式子计算可得． 【详解】（※） 而，则， 两侧平方可得，则， 代入（※）式可知， 故选：A． 7．C 【分析】求出函数的导数，再按分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为R，求导得 ，而， 当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，当时，， 函数有两个零点，当且仅当，令函数， 而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增， 又，因此不等式的解集为. 所以实数m的取值范围是. 8．D 【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值. 【详解】对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误； 对于B，取， 满足及， 因为，所以的图象不关于点对称， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，， 再令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，分别令和，代入已知等式， 得以下两个等式，， 两式相加易得，所以有， 即， 有， 即，所以为周期函数，且周期为3， 因为，所以，所以，， 所以， 所以 ，故D正确. 故选：D. 9．BCD 【分析】根据集合子集个数公式、基本不等式，结合不等式的性质、元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】A：因为集合的元素共有， 所以集合的非空真子集有，因此本选项说法正确； B：， 当且仅当时取等号，即，显然该方程无实数根，因此不等式的等号不成立，所以的最小值不是4，故本选项说法不正确； C：当时，即时，不等式显然成立， 当时，由， 所以不等式的解集为，因此本选项说法不正确； D：因为， 所以有，或，或， 当时，，此时， 当，，此时不符合集合元素互异性， 当时，，或， 当时，， 当时， ， 综上所述：实数的可能取值集合为，因此本选项说法不正确， 故选：BCD 10．BD 【分析】根据图像确定函数解析式，根据函数解析式和正弦函数的性质判断选项正误. 【详解】A选项：由题图可知，，则，由，得，根据图象的变化趋势与可知，， 由得，所以，解得，易知，故A错误； B选项：设的最小正周期为，由题图可知，，得，（利用图象判断函数的最小正周期的大致范围） 即，所以，所以，故， 所以，所以，故B正确； C选项：令，解得，取，得在上单调递增，故C错误； D选项：令，解得，取，得，所以的图象关于点对称，故D正确． 故选：BD. 11．BCD 【分析】对于A选项：根据函数的图象关于点对称,则函数的图象关于点对称，即可判断； 对于B选项：由A选项可知函数为奇函数，可推得，即可判断图象关于直线对称； 对于C选项：由可推出函数是周期为4的周期函数，结合函数奇偶性可推得，，即可判断C； 对于D选项： 由可得，推出函数在区间上单调递增，结合函数性质求得，，即可得. 【详解】A选项：由函数的图象关于点对称， 可得函数的图象关于点对称，所以函数为奇函数，故A不正确. B选项：由函数为奇函数可得， 故函数的图象关于直线对称，故B正确. C选项：由函数满足对任意的都有， 可得，所以函数是周期为4的周期函数. 因为为奇函数，所以，由得， 故，则， ， 所以，故C正确. D选项：由对任意，，都有， 即对任意的，，都有， 可得函数在区间上单调递增. 因为， ，且，所以，即,故D正确， 故选：. 【点睛】方法点睛：对于此类关于函数图象的对称问题，要理解并能应用以下常见结论： （1）对于函数，若其图象关于直线对称（当时，为偶函数），则①；②；③. （2）对于函数，若其图象关于点对称（当时，为奇函数），则①；②；③. （3）对于函数，若其图象关于点对称，则①；②；③. 12． 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 即， 故答案为： 13． 【分析】由题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题知，，解得：. 故答案为：. 14． 【分析】由向量数量积的定义及已知可得，进而有，结合、三角形面积公式得，应用基本不等式“1”的代换求的最值，即可得. 【详解】由，则，故， 由，则，又， 所以，可得， 由，当且仅当时取等号， 所以的最大值是. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. （2）由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得，   故边上的高为． 16．(1) (2)2226 【分析】（1）求得等差数列的通项公式，即可求得的值； （2）先得到数列的前9999项的通项公式，即可求得数列的前1111项和. 【详解】（1）设的公差为d，据已知有，解得 所以的通项公式为 则 （2）因为 所以数列的前项和为 17．(1)存在，在平面可以找到一点，使得直线平面 (2) 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，即，故，从而找到点M的位置； （2）先求出是二面角的平面角，大小为，得到，设，则，建立空间直角坐标系，求出方向上的单位向量，求出P到直线的距离. 【详解】（1）延长交直线于点， 点为的中点， ， ， ∴， ，即， 四边形为平行四边形，即. ， ∴，故， 平面平面， 平面， 平面， 平面， 故在平面内可以找到一点，使得直线平面；    （2）如图所示，，即， 且异面直线与所成的角为，即， 又平面， 平面. 平面， 又平面， 平面， 平面， ， 因此是二面角的平面角，大小为. . 不妨设，则. 以A为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， ， ，方向上的单位向量坐标为， 则在上的投影的绝对值为， 所以到直线的距离为. 18．(1)在上单调递增，在上单调递减； 的极大值为，无极小值. (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据的正负性得出单调性以及极值； （2）（i）将问题转化为与的函数图象存在两个交点即可. （ii）设，利用对称构造法设求证，再利用以及求证. 【详解】（1）的定义域为， ， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，无极小值. （2）（i）当时，当时，， 且时，时， 故的函数图象如图： 因为有两个零点，所以与的函数图象存在两个交点， 则，即， 故的范围为； （ii）不妨设，因为与的单调性相同，所以由（1）知， 先证， 要证，即证， 因为，在上单调递减， 所以只需证． 令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以，则， 因为，所以， 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以，则，则. 综上，. 19．(1)2 (2)是，3 【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，将点的坐标代入求解方程，利用离心率公式直接求解即可； （2）联立方程，韦达定理，代入两斜率之和表达式化简即可求解. 【详解】（1）由双曲线C的渐近线方程是，故设C：， 因为在双曲线C上，所以，所以：， 所以，，所以，所以； （2）设，，联立得， 则得且，，， 又， ， 所以 . 即直线MA，MB的斜率之和是3. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $