9.2 频率的稳定性-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

2 频率 基础夯实 》知识点一频率的稳定性 1已知数据，5,314,5，，8，其中无理数出 现的频率是 A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 2.某人在做抛掷硬币试验时，抛掷n次，正面朝上 有m次，若正面朝上的频率是p,则下列说法正 确的是 A.p一定等于0.5 B.多投一次，p更接近0.5 C.p一定不等于0.5 D.投掷次数逐渐增加，p稳定在0.5附近 3.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 70个，这些球除颜色外都相同.小明通过多 次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左 右，则袋子中的红球大约有 个 》知识点二用频率估计概率 4.小明做了1000次试验，其中钉尖着地的次数 是480次.下列说法错误的是 A.钉尖着地的频率是0.48 B.前500次试验结束后，钉尖着地的次数一 定是240次 C.钉尖着地的概率大约是0.48 D.随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳 定在0.48 5.如图，在由大小相同的小正方 形组成的网格中有一条“心形 线”.数学小组为了探究随机投 放一个点恰好落在“心形线” 内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如 下数据： 试验总次数 100 200 300 500 150020003000 落在“心形线 165 246 759996 1503 内部的次数 ⊙ 3 落在“心形线 0.6100.4650.5500.4920.5060.4980.501 内部的频率 第九章概率初步 的稳定性 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心 形线”内部的概率为 ( A.0.46 B.0.50 C.0.55 D.0.61 6.玉米是山西省主要农作物之一，某种业公司 在选育玉米种子时，在同一条件下对某个品 种的玉米种子进行了发芽试验，统计数 据如表： 试验种 100 200 500 100020005000 子粒数 发芽种 92 188 476 951 19004752 子粒数 据此估计该品种的玉米种子发芽的概率 为 (结果精确到0.01) 》知识点三事件的概率 7.下列事件中，发生的概率为0的是( A.下午考试小明能得满分 B.购买一张彩票就中奖 C.明天会下大雨 D.鸡蛋里挑骨头 8.下列选项中，各事件发生的概率大于0且小于1 的是 A.太阳从西方升起 B.小树会慢慢长高 C.水往低处流 D.明天晴天 》易错点对概率的意义理解不清致误 9.连续抛掷一枚质地均匀的硬币9次，出现了 8次正面朝上，则第10次抛掷该硬币出现正 面朝上的概率是 能力提升 10.在一个不透明的袋子中装有12个只有颜色 不同的球，其中1个红球、5个黄球、2个蓝 球和4个绿球，从中任意摸出一个球，某种 颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜 色最有可能是 51 练测考七年级数学下册LJ 频率 0.4 0.3 0.2 0.1 00 100200300400500600次数 A.红色 B.黄色 C.蓝色 D.绿色 11.近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁 的候鸟种群越来越多.为了解南迁到该区域 某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只， 戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发 现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡， 由此估计该湿地约有 只A种候鸟. 12.经过十字路口的汽车，它可能继续直行，也 可能向左转或向右转.交管部门在汽车行驶 高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此 十字路口向右转的频率为号，向左转和直行 的频事均为品 (1)假设平均每天通过该路口的汽车为 1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车 辆各是多少辆. (2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的 绿灯亮的时间均为30s,在绿灯总时间不变 的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概 率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时 间做出合理的调整 52 素养培优 13.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色 的球共40个，这些球除颜色外其余完全相 同.小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随 机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子 中，不断重复上述过程，表格是试验中的部 分统计数据： 摸球的 10 0 100 200 400 500 1000 次数n 摸到白球 > 10 28 45 97 127 252 的次数m 摸到白 球的频 0.4000.3500.2000.2800.2250.2430.2540.252 m n (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将 会接近 (精确到0.01) (2)试估算盒子里白球有 个 (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符 合(1)中结果的试验最有可能的是 (填写所有正确结论的序号) ①抛掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是 正面朝上； ②掷一枚质地均匀的正方体骰子（面的点数 分别为1到6)，落地时面朝上点数“大于 4”; ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取 一张，这张牌是“红桃”； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名 幸运观众，正好抽到甲」∠HBA=∠BAG ,∠CAE=20°，∠BAC=90°. .∠BAG=180°-90°-20°=70°」 ∴.∠HBA=70°. :∠ABC=60°，BC平分∠ABD, .∴.∠ABD=2∠ABC=120°， .∠DBH=120°-70°=50° ∴∠BDF=180°-50°=130° (2)设∠CAE=x,则∠BAG=90°-x,∠BDF=5x. 由(1)可知，∠ABD=120°，∠HBA=∠BAG=90°-x, ∴.∠DBH=120°-(90°-x)=30°+x, ,∴.∠BDF=180°-(30°+x)=150°-x=5x, 解得x=25°， ∴.∠CAE=25 8.C9.C10.100°11.72 滚动练习二(1~3节) 1.B2.C3.C4.D5.C6.55°7.1258.75° 9.解：(1)如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角 中，条件是两个角的和等于180°，结论是这两个角互为 补角. (2)等式两边都加上同一个数或同一个整式，等式仍然成立 中，条件是等式两边都加上同一个数或同一个整式，结论是 等式仍然成立 (3)两个钝角相等中，条件是两个角是钝角，结论是这两个 角相等. (4)如果a=b,b=c,那么a=c中，条件是a=b,b=c,结论是 a=c. 10.证明：BD∥GF,∴.∠1=∠ABD. .∠1=∠2，∴.∠2=∠ABD, .DE∥AB,.∠DEC=∠ABC 11.证明：.DE⊥BC,FG⊥BC, .∠DEB=∠FGB=90°， .FGDE,.∠F=∠FED. ,·FE∥AB,∴.∠FED+∠ADE=180°， .∴.∠F+∠ADE=180°. 12.证明：∠AED=∠C, .'.DE∥BC,.∠B+∠BDE=180° .∠DEF=∠B, ∴.∠DEF+∠BDE=180°， ..AB∥EF,.∠1=∠2. 13.解：AD∥EF理由如下： ∠1=∠2，∴.∠ABE=∠DBC ,∠3=∠ABE .∠3=∠DBC,.EF∥BC. .·∠ADC+∠C=180° .ADBC,.AD∥EF 14.解：(1)过点P作直线PH∥AB,如图1， 则∠AEP=∠EPH. AB∥CD,PH∥AB, .∴.PHCD,∴.∠HPF=∠PFC 图 :∠EPF=∠EPH+∠HPF, ∴.∠EPF=∠AEP+∠PFC. (2)过点P作直线PH∥AB,如图2， .∴.∠AEP+∠EPH=180°. .AB∥CD,PH∥AB, .PH//CD. ∴.∠HPF+∠PFC=180°， .∠AEP+∠EPH+∠HPF+∠PFC=36O°. H- .·∠EPF=∠EPH+∠HPF, .∴.∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°， 图2 答案：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360 (3)∠PEB,∠PFD的平分线交于点Q, LBEQ=LPEB,LDFQ=2 LPFD. ①当点P在线段EF左侧时，如图3， B .·∠PEB+∠EPF+∠PFD=360°， ∠EPF=70°， .∴.∠PEB+∠PFD=360°-70°=290°， 图3 LB0F=∠BEQ+∠DFQ=2(LPEB+∠PFD)=145: ②当点P在线段EF右侧时，如图4， ·∠EPF=∠PEB+∠PFD,∠EPF=70°， .∴.∠PEB+∠PFD=70°， C 1 ·∠EQF=LBEQ+∠DFQ=2(LPEB+ 图4 ∠PFD)=35°. 答案：35°或145 章末复习 核心考点练真题 1.B2.AC3.0(答案不唯一)4.五5.C6.B7.A 8.A9.B10.B11.D12.C13.C14.145° 新中考新考法 1.D解析：如图，过点E作EMAB. AB∥CD,.EMCD, .∠ABE+∠BEM=∠CDE+∠DEM=180°， .∠ABE+∠BEM+LCDE+∠DEM=360°， ..∠ABE+∠CDE+∠BED=360°. .·∠ABE=130°，∠CDE=145°， .∠BED=360°-130°-145°=85°.故选D 2.A3.B4.105 第九章概率初步 1可能性大小 1.D2.D3.D4.B5.必然6.C7.A8.甲9.B 10.B11.④12.红球或黄球13.⑤④③②① 14.解：(1)要使甲、乙两人赢的可能性相等，口袋里应放红球 1个、白球1个，蓝球2个. (2)要使甲赢的可能性比乙赢的可能性大，口袋里应放红 球2个、白球1个、蓝球1个 15.解：(1)当n=5或6时，这个事件必然发生 (2)当n=1或2时，这个事件不可能发生 (3)当n=3或4时，这个事件可能发生. 2频率的稳定性 1B2.D3214B5B60.957.D8D9. 2 10.D11.800 12.解：(1)汽车在此左转的车辆数为1000x3 =300(辆)， 10 2 汽车在此右转的车辆数为1000x- =400(辆)， 汽车在此直行的车辆数为1000×0=300（辆） 答：汽车在此左转、右转、直行的车辆各是300辆、400辆、 300辆. (2)根据频率估计概率的知识，可知： :汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30s, .可调整绿灯亮的时间如下： 左转绿灯亮的时间为30x3×1027(), 石转绿灯亮的时间为30x3X?=36(9 直行绿灯亮的时间为30x3×3 =27(s) 10 13.解：(1)由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.25. 答案：0.25 (2)根据题意，得40×0.25=10（个）. 答案：10 (3)①抛掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上 的概率为？，故此选项不符合题意， ②掷一枚质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到 6),落地时面朝上点数“大于4”的概率为。={故此选 项不符合题意； ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是 ~红桃的概米为经故此透项符合题感。 ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正 好抽到甲的概率为4，故此选项符合题意 答案：③④ 3等可能事件的概率 第1课时简单随机事件概率的计算 1082D3B4B5A6076&号 7 1 9.12 10.解：(1).·七年级5班共有50名同学，10名同学去社区 服务， ·.“随机抽取一位同学是被分配去社区服务”属于随机 事件. 答案：随机 (2)七年级5班共有50名同学，20名同学去敬老院 慰问， “·随机抽取一位同学是被分配去敬老院慰问的概率是 202 505 (3).:七年级5班共有50名同学，分配其中15名同学去 义务植树，5名同学去维护道路交通， ·.随机抽取一位同学是被分配去义务植树或维护道路交 通的概率是15+5.2 505 由题意，知盒子中球的总个数为 所以盒子中黑球的个数为15-4-6=5. 答案：5 (2)任意摸出一个球是黑球的概率是5-1 153 答案时 (3)能.由题意，知调整后盒子中球的总个数为4： 5=20, 20-15=5,则黑球的个数需要增加5个 微专题6方程思想在概率中的应用 【典题】解：(1)：摸到红球与摸到白球的可能性相等，且x+y=8, .x=y=4 (2)设取走x个白球，放入x个红球，则口袋中现在有白球 (4-)个，红球(4+)个，根据题态，得管名，解得=3。 .取走3个白球， 【针对训练】解：(1)根据题意，得100x030(个)， 答：袋中红球的个数为30 (2)设白球有x个，则黄球有(3x+10)个， 根据题意，得x+3x+10=100-30, 解得x=15, 则从袋中摸出一个球是白球的概率P=15-3 100201 (3)设需要把m个黄球改为红球，则 10010,解得m=40. 30+m7 答：需要把40个黄球改为红球 第2课时游戏的公平性 1.A2.C3.不公平4.C5.A6.2不能 7,解：(1)：在一个不透明的口袋中有6个除颜色外其他都相 同的小球，其中3个红球、2个黄球、1个白球， 、从袋中任意摸出一个球是白球的概率为6 (2)该游戏对双方是公平的.理由如下： ~小明获胜的概率为62' 31 小%获胜的匙率为分， .他们获胜的概率相等，.游戏对双方是公平的. 第3课时求简单的几何概率 1.C2.C 3.解：(1)根据规定，消费100元以上（含100元）才能获得一 次转转盘的机会，而99元小于100元，故不能获得相应的 优惠 (2)某顾客正好消费120元，超过100元，可以获得一次转 转盘的机会 转一次转丝铁得九折优惠的概术P(九折)-测！： 601 获得八折优惠的概率P(八折)= 3606 301 获得七折优惠的概率P(七折)=36012 3 4.C5.B6.A7.8839,D10.D 11.解：应选择B方式.理由如下：