18.1.2.2 直角三角形斜边上的中线 教学设计 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦直角三角形斜边上的中线性质及逆定理，通过直角三角形纸片翻折实验引发猜想，衔接矩形对角线相等且互相平分的性质，以“擦去半个矩形”建立图形转化联系，搭建从矩形到直角三角形的学习支架。 其特色在于“猜想—证明—应用”完整探究链，性质证明采用“补形成矩形”转化思想培养逻辑推理，逆定理通过等腰三角形性质推导发展几何直观，分层练习与作业设计强化应用意识。助力学生提升几何转化能力，为教师提供清晰教学路径与分层资源。

18.1.2.2 直角三角形斜边上的中线 教学设计 学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十八章 课题 18.1矩形 课时 3课时 课标要求 理解直角三角形斜边上中线的性质定理和逆定理的推导过程，掌握定理的符号语言表达形式；能运用这两个定理解决简单的几何证明与计算问题，包括求线段长度、判断三角形形状、证明角相等或线段相等。 教材分析 教材利用矩形对角线相等且互相平分的性质，通过“擦去半个矩形”的方式引出直角三角形斜边中线定理，体现了矩形与直角三角形之间的内在联系。这既是对矩形性质的应用与巩固，也为后续学习其他几何图形提供了转化思想的例子。本节包含一个性质定理及其逆定理，两个定理结构对称、互为逆命题，有利于学生从整体上把握知识之间的联系，学生可以深度体会图形之间的相互转化，感受几何知识体系的连贯性。 学情分析 学生已经掌握了等腰三角形的性质、矩形的定义及对角线性质，具备了一定的几何证明基础。但部分学生在面对需要自行构造辅助线的问题时，思想容易停留在模仿层面。对于逆命题的真假判断及证明，学生虽然有过类似经验，但独立完成时逻辑的严谨性仍有欠缺。此外，将直角三角形与矩形建立联系并进行灵活转化，对部分学生来说仍存在一定难度。 核心素养目标 1.在观察矩形分割的过程中，培养直观想象能力，能从图形变化中发现数量关系； 2.经历“猜想—证明—应用”的完整过程，提升逻辑推理素养，掌握几何定理的证明方法； 3.通过性质与逆命题的对比学习，体会数学知识的对称性与内在联系； 4.运用定理解决具体问题，发展数学抽象与模型意识。 教学重点 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理。 教学难点 逆定理的证明思路及辅助线的构造方法。 教学准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、引新 拿一张直角三角形纸片Rt△ABC，∠C = 90°。 沿斜边AB上的中线CD翻折，观察点A与点B是否重合？ 发现：点A与点B恰好重合，说明AD = BD = CD。 如果任意画一个直角三角形，斜边上的中线是否都等于斜边的一半？ 观察翻折过程，发现点A与点B重合。 通过直观翻折引发学生猜想，为后续几何证明提供直观经验与探究动力。 二、探究 思考 我们已经知道，矩形的两条对角线相等且互相平分，如图18.1.14①所示。在矩形中，。 若擦去半个矩形，如图18.1.14②，即斜边上的中线，由此，你能发现与斜边的关系吗？ 例7 如图18.1.15，在中，为斜边上的中线。求证： 将补成矩形，即可得到要求证的结论。 证明 如图18.1.16，延长至点，使，连结。 在四边形中， ∵ ， ∴ 四边形是平行四边形。 又∵ ， ∴ 四边形是矩形。 从而 由此，我们得到直角三角形的一个性质： 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 试一试 写出上述结论的逆命题，观察图18.1.17，试判断该逆命题是否成立。 图18.1.17中，。即边上的中线将整个三角形分成了两个等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，容易证明的和为，即该三角形确实是一个直角三角形。 试写出完整的证明过程。 已知：在△ABC中，D是AB中点，CD=AD=BD。求证：∠ACB=90°。 证明：∵AD=BD，CD=AD=BD，∴CD=AD，CD=BD。 在△ACD中，CD=AD，∴∠ACD=∠A。 在△BCD中，CD=BD，∴∠BCD=∠B。 ∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠A+∠B， 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+(∠A+∠B)=180°， ∴2(∠A+∠B)=180°，∴∠A+∠B=90°， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形。 于是有： 如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形。 观察矩形对角线互相平分的性质，类比得出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 阅读证明过程，理解“倍长中线”构造矩形的思路，并归纳定理。 写出逆命题，结合图形分析并完成证明。 利用矩形与直角三角形的关联，培养学生的类比推理与几何抽象能力。 通过证明巩固性质，体会构造法与转化思想，提升逻辑推理与数学表达能力。 通过逆命题探究，培养逆向思维与几何论证能力，深化学生对直角三角形判定定理的理解。 三、尝试 （课堂练习） 1.如图， 在△ABC中， 已知∠C=90°， AB=16， 则AB边上的中线CD=　 　． 解：∵CD是斜边上中线，∴，故答案为：8. 2.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，D是AB 的中点， 则 CD的长为　 　． 解：在Rt△ABC中，D是AB的中点,∴CD=AB=6,故答案为：6 3.直角三角形斜边上的中线长为5，则此直角三角形斜边长为　 　． 解：直角三角形斜边上的中线长为5，此直角三角形斜边长为. 4.在中，，点的中点，则的长为　 　． 解：在中，，点的中点， ∴是斜边上的中线，又∵， ∴，故答案为：． 5.在直角三角形中，两条直角边长分别为3cm和4cm，则斜边上的中线长为（　　）cm. A． B．2 C． D．3 解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长，∴斜边上的中线长为 6.如图， 在菱形ABCD中， ∠ABC=60°， E是BC的中点， F是DE上一点且满足BF⊥CF， 则 （　　） A． B． C． D． 解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，则∠H=90° ∴△DCH和△DEH都是直角三角形 ∵E是BC的中点,∴设BE=CE=a ∴BC=BE+CE=2a,∵四边形ABCD是菱形 ∴CD=BC=2a，AB∥CD, ∵∠ABC=60°,∴∠DCH=∠ABC=60° 在Rt△DCH中，∠CDH=90°-∠DCH=30° ∴,∴ ∵BF⊥CF,∴∠BFC=90°,∴△BFC是直角三角形 ∵E是BC的中点,∴,∴ 7.如图，在中，的中点，于点，连接，有． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． （1）证明：∵，∴四边形是平行四边形， ∵在中，点D是斜边的中点，∴，∴是菱形． （2）解：∵四边形是菱形∴， ∵点D是的中点，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形， ∴，∴． 独立完成计算与证明，运用定理及逆定理解决直角三角形相关问题。 检测学生的知识掌握情况，培养几何推理能力，形成完整认知结构。 四、总结提升 本节课通过矩形分割、倍长中线构造及逆命题证明，系统探究了直角三角形斜边中线的性质与判定。学生经历了“观察猜想—演绎证明—逆向思考”的完整过程，掌握了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”及其逆定理。希望大家课后进一步体会“直角三角形与矩形”的内在联系，并能灵活运用这两个定理解决相关问题。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。 板书 设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.已知直角三角形的两条直角边长为3、4，则斜边上的中线长为　 　. 解：直角三角形的斜边c=，故斜边上的中线长为2.5.故答案为：2.5. 2.已知两边的长分别为3和4，若要组成一个直角三角形，则斜边的中线长为　 　. 解：①3和4为直角边，则斜边c=，故斜边的中线为2.5； ②若4为斜边，则斜边的中线长为2；综上所述，斜边的中线长为2或2.5. 3.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH=2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为　 　 解：∵菱形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OF=4， ∵菱形ABCD的面积为12，∴， 解之：AC=6，∴OA=3，∴. 4.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=18°，在BC下方有一点D，∠DBC=42°，且则∠BDC的度数为　 　. 解：取的中点，连接， ∵的中点， ∴ 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即， ∴（等腰三角形两底角相等）， 在中，根据三角形内角和为， 可得， ∵，∴， 又∵，且，∴， ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）， ∴， 又∵，∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴ 在中，， ∴，故答案为： 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，菱形的对角线交于点，点的中点，连接，若，则的长为（　　） A．4 B．3 C． D． 解：∵菱形中，， ∴， ∵，∴， ∴， ∵M为的中点，∴． 6.如图，在△ABC中，D是AB的中点，BE⊥AC于点E。若DE=5，AE=8，则BE的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 解：∵ BE⊥AC，D为AB的中点,∴， 由勾股定理得，。 【综合拓展类作业】： 7.如图，在正方形ABCD中，点E，F(不在正方形的顶点上)分别在AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF. （1）求证： △ADE≌△CDF. （2）已知AG，CH 分别是△ADE的高线和△CDF的中线，若∠DAG=58°， 求∠DCH 的度数. （1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵，∴； （2）解：的高线， ∴，即． ∵． 斜边上的中线，， ． 教学反思 本节课从翻折实验引入，学生兴趣较高，能很快发现结论。性质定理的证明借助矩形完成，学生理解较为顺畅，对“补形成矩形”的方法印象深刻。逆定理的证明是本节课的难点，部分学生逻辑顺序不够清晰，需要在后续练习中加强训练。课堂练习环节，大多数学生能正确应用定理，但遇到需要逆向思考的问题时反应稍慢。后续教学中应增加变式训练，帮助学生灵活区分使用性质与逆定理的不同情境。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $