18.2.1 菱形的性质 教学设计 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦“18.2.1菱形的性质”核心知识点，通过折纸活动引导学生将矩形纸对折剪裁，直观感知菱形形成过程。基于平行四边形和矩形的已有知识，构建从一般到特殊的学习支架，梳理菱形与平行四边形的关系。 此资料以“观察—猜想—证明”为主线，发展学生几何直观与推理能力。如引导学生观察菱形对称性猜想性质，用等腰三角形“三线合一”证明对角线垂直，例题从角度计算到综合应用层次递进，培养应用意识。助力学生提升探究能力，为教师提供完整教学方案，高效落实课标要求。

18.2.1菱形的性质 教学设计 学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十八章 课题 18.2菱形 课时 2课时 课标要求 理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。能运用菱形的性质解决简单的几何计算与推理问题。在探索菱形性质的过程中，进一步体会图形变换研究几何图形中的作用。 教材分析 本节内容是学生在已经学习了平行四边形概念及性质、矩形性质的基础上，进一步学习另一种特殊的平行四边形——菱形。教材从折纸活动引入菱形概念，通过观察、猜想、证明等环节，引导学生发现并证明菱形的边、对角线等特殊性质，最后通过三个例题巩固性质的应用。菱形性质的学习不仅是对平行四边形知识的延伸，也为后续学习正方形等内容奠定基础。教材注重从一般到特殊的逻辑，突出图形性质的探究过程。 学情分析 八年级的学生已具备一定的观察、比较、归纳和简单推理能力，能够理解图形、符号和几何语言所表达的基本关系。在之前的学习中，他们已经掌握了平行四边形的概念和性质，也经历了矩形性质的学习过程，对“从一般到特殊”研究几何图形的基本思路有了一定了解，但尚未将其系统化地应用于菱形的自主探究中。学生在日常生活中已积累了大量关于图形对称和相等的朴素经验，但尚未将其严谨地概括为几何定理并加以证明，对于一些知识点的灵活迁移运用也还需要进一步引导。 核心素养目标 1.通过折纸活动观察菱形的形成过程，建立菱形与矩形之间的图形关联，发展空间观念； 2.经历“观察—猜想—证明”的完整探究过程，体会几何研究的逻辑思路； 3.在性质定理的证明中运用等腰三角形和平行四边形的已有知识，提升几何推理能力； 4.通过课本中的实际情境，感受菱形性质在生活中的应用价值。 教学重点 菱形的性质定理以及证明。 教学难点 菱形的性质定理运用。 教学准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、引新 做一做 将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图18.2.1所示的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？ 学生按照步骤折纸、沿虚线剪裁、展开图形，观察并描述所得图形的形状特征。 通过折纸操作激发兴趣，让学生在动手实践中直观感知菱形的形成过程，为抽象出菱形定义积累经验。 二、探究 这就是另一种特殊的平行四边形，即菱形。 如图18.2.2，菱形是有一组邻边相等的平行四边形。 思考 作为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质。观察图18.2.2所示的菱形，将你的发现填入下表。 如图18.2.3，我们发现，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线。 【提问】菱形有几条对称轴？对称中心在哪里？ 菱形有2条对称轴，分别为它的两条对角线所在的直线。 菱形的对称中心是两条对角线的交点（即点O）。 由此，很容易猜想菱形所具有的特殊性质： 菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等。 菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直。 对于性质定理1，如图18.2.4，我们很容易根据菱形的定义和平行四边形的性质加以证明。 对于性质定理2，如图18.2.5，我们可以依据性质定理1，找到其中的等腰三角形，由“等腰三角形的三线合一”得到结论。 请给出完整的证明过程。 性质定理1：菱形的四条边都相等。 已知：如图18.2.4，四边形  是菱形，即  是平行四边形，且 （一组邻边相等）。 求证：。 证明： ∵ 四边形  是菱形， ∴ 四边形  是平行四边形（菱形的定义）， ∴ ，（平行四边形的对边相等）。 又 ∵ （菱形的定义：一组邻边相等）， ∴ ， 即菱形的四条边都相等。 性质定理2：菱形的对角线互相垂直。 已知：如图18.2.5，四边形  是菱形，对角线  与  相交于点 。 求证：。 证明： ∵ 四边形  是菱形， ∴ （菱形的四条边都相等）， （平行四边形的对角线互相平分）。 在等腰三角形  中， ∵ ，， ∴  是底边  上的中线。 又 ∵ 等腰三角形底边上的中线也是底边上的高（等腰三角形的三线合一）， ∴ ， 即 。 例1 如图18.2.6，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B。试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形。 解：在菱形ABCD中， ∵∠B+∠BAD=180°，∠BAD=2∠B， ∴∠B=60°。 在菱形ABCD中， ∵AB=BC（菱形的四条边都相等），∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形。 菱形的应用非常广泛。有一种衣帽架，如图18.2.7所示，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用。 例2 如图18.2.8，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O。求这个菱形的两条对角线AC和BD的长。（保留根号） 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD，AB=AD（菱形的四条边都相等）。 又∵AO=AO， ∴△ABO≌△ADO。 ∴∠BAO=∠DAO=∠BAD=60°。 在△ABC中， ∵AB=BC，∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形。 ∴AC=AB=2(cm)。 在菱形ABCD中， ∵AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴△AOB为直角三角形。 ∴BO===。 ∴BD=2BO= (cm)。 例3 如图18.2.9，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E。求∠BCD的大小。 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DC=CB=BA（菱形的四条边都相等）。 又∵AE垂直平分CD， ∴AC=AD。 ∴AC=AD=DC=CB=BA， 即△ADC和△ABC都是等边三角形。 ∴∠ACD=∠ACB=60°。 ∴∠BCD=120°。 学生观察菱形图形，先回顾并填写表格中平行四边形的一般性质，再归纳菱形在边、角、对角线上的特殊性质，小组内交流后回答。 学生在教师引导下，先独立尝试证明性质定理1，再类比定理1的思路，完成定理2的证明。 学生先独立尝试完成三道例题，再小组内交流解题思路。 引导学生运用类比思想从一般到特殊自主探究菱形性质，通过观察和猜想培养几何直观，为后续证明性质定理做铺垫。 让学生经历几何定理的完整证明过程，训练逻辑推理能力。 通过三个层次递进的例题，帮助学生巩固菱形四条边相等、对角线互相垂直等性质的应用，提升几何解题能力。 三、尝试 （课堂练习） 1.菱形的两条对角线长分别是6和 8，则菱形的周长为　 　。 解：设菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶=8，𝐵𝐷=6，对角线相交于点𝑂。 ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴𝐴𝑂=𝐴𝐶=×8=4，𝐵𝑂=𝐵𝐷=×6=3，且∠𝐴𝑂𝐵=90°。 在𝑅𝑡𝛥𝐴𝑂𝐵中，由勾股定理得𝐴𝐵=5。 ∵菱形的四条边长度相等， ∴菱形的周长为4×𝐴𝐵=4×5=20 2.在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若 的面积为5，则菱形ABCD 的面积为　 　。 2. 解：∵ABCD为菱形,O为AC、BD的交点 ∴,∴ 3.如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则　 　。 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 4.如图，菱形ABCD中， AC交BD于点O， 于点E，连接OE， 则OE的长为　 　。 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD， ∵ ∴OB=，∴BD=12， ∵于点E，∴OE= 5.如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．不确定 解：在菱形中，,∴， ∵E，F分别是，的中点，∴。 6.如图所示，已知四边形为菱形，点为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点与点恰好重合在一起．已知菱形的边长为4，则线段的长为（　　） A． B．4 C． D． 解：四边形是菱形，， 线段沿折叠后点与点恰好重合在一起， ，， ， 。 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积． （1）证明： ∵ 菱形ABCD∴AD∥BC ，AD=BC ∵CF=BE,∴BC=EF ∴AD∥EF，AD=EF ∴四边形AEFD是平行四边形 ∵AE⊥BC,∴∠AEF=90° ∴平行四边形AEFD是矩形 （2）根据题意可知∠ABE=∠DCF，AB=CD，CF=BE ∴△ABE≌△DCF (SAS) ∴矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积 ∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形 AC=4，AO=2，AB=4， 由菱形的对角线互相垂直可得BO= 矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积 = 学生独立完成练习题。 通过基础练习及时检测学生对菱形性质的掌握情况。 四、总结提升 通过本节课的学习，我们认识了一类特殊的平行四边形——菱形，它不仅是中心对称图形，还是轴对称图形，有两条对称轴。我们从定义出发，通过观察、猜想和证明，得到了菱形的两条重要性质：四条边都相等，对角线互相垂直。在例题学习中，我们运用这些性质解决了求角度、求边长以及利用勾股定理计算对角线长度等问题。希望课后继续加强几何推理的规范表达，为后续学习正方形做好准备。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。 板书 设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.已知一菱形的边长为4，则其周长为　 　。 解：菱形的周长为． 2.已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=　 　。 解：根据菱形面积公式，计算如下：。 3.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F 的左侧)，且EF=1，则DE+BF的最小值为　 　。 解：如图， 作DM∥AC， 使得DM=EF =1， 连接BM交AC于F， ∵DM =EF，DM∥EF， ∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE=FM， ∴DE+BF =FM+FB= BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短， ∵四边形ABCD是菱形， AB=3， ∠BAD=60° ∴AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3， 在Rt△BDM中， ∴DE+BF的最小值为 4.如图，在菱形中，对角线与相交于点O．已知，，则的长为　 　。 解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴． 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，点E在AO上，AE=DE，若∠ADE=2∠ODE，则∠CDE的度数为（　　） A．60° B．64° C．70° D．72° 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD并且互相平分， ∴∠ADO=∠CDO， 在Rt△AOD中，∵ AE=DE ，∴∠DAO=∠ADE， ∵ ∠ADE=2∠ODE ，设∠ODE=x，∠DAO=∠ADE=2x， ∴x+2x+2x=90°，解得x=18°， ∴∠ADO=∠CDO=54°，∴∠CDE=∠CDO+∠ODE=72° 6.如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（　　） A．48 B．72 C．96 D．108 解：在菱形中，∴BO=DO，AO=CO， ∵，∴在Rt△BHD中，O为BD中点， ∴，∴， ∵，∴， ∴菱形的面积=。 【综合拓展类作业】： 7.如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积。 （1）证明：∵四边形是菱形，∴， 又∵，∴是等边三角形， ∵E是的中点，∴，∴， ∵E、F分别是、的中点，∴，， ∵四边形是菱形，∴且， ∴且，则四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是矩形； （2）解：∵是等边三角形，， ∴． 教学反思 本节课以折纸活动引入，学生参与度较高，对菱形“从哪里来”有了直观认识。在性质探究环节，学生能够较快发现菱形四条边相等，但对对角线互相垂直的猜想需要教师借助图形对称性加以引导。三个例题层次分明，例1帮助学生巩固边角关系，例2涉及勾股定理计算，例3综合运用垂直平分线性质。从作业反馈看，学生对“每条对角线平分一组对角”这一推论的理解还需在后续课时中进一步强化。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $