20.3乘法公式题型突破 （九大题型） 2025-2026学年人教版（五四制）数学七年级下册

**基本信息** 聚焦乘法公式（平方差、完全平方），通过八大题型构建"概念识别-技能应用-综合拓展"三阶巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|公式适用性判断、直接运算|以选择/填空题巩固公式结构特征，培养符号意识| |技能应用层|简便运算、面积验证|结合数字简便运算（如9.9²）和图形面积推导，发展运算能力与几何直观| |综合拓展层|化简求值、公式变形、几何应用|通过化简求值（含字母参数）和图形面积问题（如正方形阴影面积），提升推理意识与模型观念|

20.3乘法公式题型突破2025-2026学年人教版（五四制） 七年级下册（八大题型） 题型一：判断能否用平方差公式进行运算 1．下列整式乘以整式能用平方差公式计算的是（    ） A．； B．； C．； D．． 2.下列各式，能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b） C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（）（） 3.下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 4.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 题型二：运用平方差公式进行运算 1.在等式（﹣a﹣b）（　　）＝a2﹣b2中，括号里应填的多项式是（　　） A．﹣a+b B．a+b C．﹣a﹣b D．a﹣b 2.计算的正确结果是（ ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4．利用平方差公式计算： （1）（5+6x）（5﹣6x）；（2）（x﹣2y）（x+2y）；（3）（﹣m+n）（﹣m﹣n）． 5.运用乘法公式计算： （1）（2x+3y）2（2x﹣3y）2；（2）（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）． 题型三：运用完全平方公式进行运算 1.下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2.计算（﹣x+2）2的结果是（　　） A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4 3.下列各式正确的是（　　） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x）2＝x2+x C．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1 4．计算： ． 5．计算： （1）（2a+3b）2；（2）（4x﹣5y）2； （3）3（a﹣b）2；（4）（﹣a﹣2b）2． 题型四：利用乘法公式进行简便运算 1．计算 的值为（  ） A．1 B． C．0 D． 2.计算20242﹣2023×2025＝　 ． 3．利用平方差公式计算： （1）10002﹣9992；（2）（99）2﹣（100）2． 4．用完全平方公式进行计算： （1）9.92；（2）2022；（3）（29）2 5.利用乘法公式进行计算： （1）992；（2）20242﹣2023×2025． 题型五：乘法公式面积验证 1.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（　　） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 2.我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 3.如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（　　） A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2 B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2 C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 4.如图，正方形 ABCD，根据图形写出一个正确的等式：________． 5.如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式：　 　． 题型六：与乘法公式有关的化简求值问题 1.求值：（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2），其中． 2.先化简，再求值：（x+y）2+（3y+x）（3y﹣x），其中x＝2，y＝﹣1． 3.先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝． 4.先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x），其中． 5.（1）先化简，再求值：（x+2）（x﹣3）﹣x（x﹣3），其中x＝2； （2）已知x﹣y＝﹣3，求代数式（x﹣y）2•（y﹣x）+（x﹣y）3的值． 题型七：通过对完全平方公式变形求值 1．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 2.若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3.已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝　 　． 4.已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 　 ． 5.已知，．求： (1)； (2)的值． 题型八：平方差、完全平方公式在几何图形中的应用 1.有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（　　） A．13 B．19 C．11 D．21 2.现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．18 3．如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为： ；图②阴影部分面积为： ； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 ； (3)利用（2）中的结论，求的值． 4．阅读下列材料，完成后面的任务． 我们知道，完全平方公式有：；．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①；②．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如：若，求的值． 解：． 任务： (1)若，则______； (2)若，求的值； (3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 5．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】 20.3乘法公式题型突破2025-2026学年人教版（五四制） 七年级下册（八大题型） 题型一：判断能否用平方差公式进行运算 1．下列整式乘以整式能用平方差公式计算的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 2.下列各式，能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b） C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（）（） 【答案】B． 3.下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】． 4.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 题型二：运用平方差公式进行运算 1.在等式（﹣a﹣b）（　　）＝a2﹣b2中，括号里应填的多项式是（　　） A．﹣a+b B．a+b C．﹣a﹣b D．a﹣b 【答案】A． 2.计算的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B． 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4．利用平方差公式计算： （1）（5+6x）（5﹣6x）；（2）（x﹣2y）（x+2y）；（3）（﹣m+n）（﹣m﹣n）． 【答案】解：（1）原式＝52﹣（6x）2 ＝25﹣36x2； （2）原式＝x2﹣（2y）2 ＝x2﹣4y2； （3）原式＝（﹣m）2﹣n2 ＝m2﹣n2． 5.运用乘法公式计算： （1）（2x+3y）2（2x﹣3y）2；（2）（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）． 【答案】解：（1）原式＝（4x2﹣9y2）2 ＝16x4﹣72x2y2+81y4； （2）原式＝（x2﹣1）（x2+1）（x4+1） ＝（x4﹣1）（x4+1） ＝x8﹣1． 题型三：运用完全平方公式进行运算 1.下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.计算（﹣x+2）2的结果是（　　） A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4 【答案】A． 3.下列各式正确的是（　　） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x）2＝x2+x C．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1 【答案】B． 4．计算： ． 【答案】 5．计算： （1）（2a+3b）2；（2）（4x﹣5y）2； （3）3（a﹣b）2；（4）（﹣a﹣2b）2． 【答案】解：（1）原式＝（2a）2+2•2a•3b+（3b）2＝4a2+12ab+9b2； （2）原式＝（4x）2﹣2•4x•5y+（5y）2＝16x2﹣40xy+25y2； （3）原式； （4）原式＝[﹣（a+2b）]2＝（a+2b）2＝a2+4ab+4b2． 题型四：利用乘法公式进行简便运算 1．计算 的值为（  ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 2.计算20242﹣2023×2025＝　 ． 【答案】1． 3．利用平方差公式计算： （1）10002﹣9992；（2）（99）2﹣（100）2． 【答案】解：（1）原式＝（1000+999）×（1000﹣999） ＝1999×1 ＝1999； （2）原式＝（99100）×（99100） ＝200×（﹣1） ＝﹣200． 4．用完全平方公式进行计算： （1）9.92；（2）2022；（3）（29）2 【答案】解：（1）原式＝（10﹣0.1）2＝100﹣2+0.12＝98.01． （2）原式＝（200+2）2＝2002+2×200×2+22＝40000+800+4＝40804． （3）原式＝（30）2＝302﹣2×30900﹣30870.25． 5.利用乘法公式进行计算： （1）992；（2）20242﹣2023×2025． 【答案】解：（1）原式＝（100﹣1）2 ＝1002﹣2×100×1+12 ＝10000﹣200+1 ＝9801 （2）原式＝20242﹣（2024+1）（2024﹣1） ＝20242﹣（20242﹣12） ＝20242﹣20242+1 ＝1． 题型五：乘法公式面积验证 1.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（　　） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【答案】D． 2.我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 3.如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（　　） A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2 B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2 C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】C． 4.如图，正方形 ABCD，根据图形写出一个正确的等式：________． 【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2 5.如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式：　 　． 【答案】（a+b）2＝a2+2ab+b2． 题型六：与乘法公式有关的化简求值问题 1.求值：（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2），其中． 【答案】解：原式＝x2+2x+1﹣（x2﹣2x+x﹣2） ＝x2+2x+1﹣x2+2x﹣x+2 ＝3x+3， 当x时，原式＝3×（）+3＝2． 2.先化简，再求值：（x+y）2+（3y+x）（3y﹣x），其中x＝2，y＝﹣1． 【答案】解：原式＝x2+2xy+y2+9y2﹣x2 ＝2xy+10y2， 当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2×（﹣1）+10×（﹣1）2＝﹣4+10＝6． 3.先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝． 【答案】 解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy﹣4y2 ＝﹣7xy， 当x＝﹣4，y＝时，原式＝﹣7×（﹣4）×＝14． 4.先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x），其中． 【答案】解：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x） ＝x2﹣6x+9+x2﹣16+4x﹣2x2 ＝﹣2x﹣7， 当时， 原式． 5.（1）先化简，再求值：（x+2）（x﹣3）﹣x（x﹣3），其中x＝2； （2）已知x﹣y＝﹣3，求代数式（x﹣y）2•（y﹣x）+（x﹣y）3的值． 【答案】解：（1）（x+2）（x﹣3）﹣x（x﹣3） ＝（x+2﹣x）（x﹣3） ＝2（x﹣3）， 当x＝2时，原式＝2×（2﹣3）＝﹣2； （2）（x﹣y）2•（y﹣x）+（x﹣y）3 ＝﹣（x﹣y）3+（x﹣y）3 ＝0． 题型七：通过对完全平方公式变形求值 1．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 2.若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 3.已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝　 　． 【答案】5． 4.已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 　 ． 【答案】53． 5.已知，．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1)5(2)1 【详解】（1）解：∵，， ∴ 上两式子相加得， ∴． （2）解：∵，， ∴ 上两式子相减得， ∴． 题型八：平方差、完全平方公式在几何图形中的应用 1.有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（　　） A．13 B．19 C．11 D．21 【答案】B． 2.现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．18 【答案】C． 3．如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为： ；图②阴影部分面积为： ； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 ； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3)287200 【详解】（1）解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， 故答案为：； （3）解：原式 ． 4．阅读下列材料，完成后面的任务． 我们知道，完全平方公式有：；．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①；②．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如：若，求的值． 解：． 任务： (1)若，则______； (2)若，求的值； (3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)12(2)53(3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：12． （2）解：， ． ， ， ． （3）解：设，则． 根据题意可知， ， ， 阴影部分的面积为． 5．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)， (2) (3)①4；②750000 【详解】（1）解：根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得： ，． （2）以上结果可以验证的乘法公式是． （3）①，， ． ② ． 学科网（北京）股份有限公司 $