精品解析：2026年安徽省“c20”联盟合肥市第三十八中学等校中考考前模拟数学试题

数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共6页，“答题卷”共2页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 在实数0，，，中，最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“负数小于0，两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小”的规则即可求解． 【详解】解：∵ 所有负数都小于0， ∴ 0不是最小的， ， ∵，， ∴，即， 因此四个数中最小的是． 2. 年全球可再生能源投资报告显示，某新型薄膜太阳能电池的光电转换效率突破世界纪录，达到，而其核心光电转换层厚度仅为米．数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】比较小的数也能用科学记数法表示，一般形式为，其中，为整数，由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：． 3. 《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍（chú méng）”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是理解俯视图是从物体上面看所得到的图形，注意看得见的棱画实线． 【详解】解：刍甍的俯视图为． 4. 如图，烧杯中装有适量溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的值变化情况用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了酸碱中和反应中溶液的变化规律，解题的关键是明确碱性溶液大于7，酸性溶液小于7，中和反应中会随酸碱的反应逐渐变化． 先分析初始溶液（溶液，碱性，），再分析滴加稀盐酸时的反应过程（碱性逐渐减弱，逐渐减小，恰好反应时，盐酸过量后），最后结合选项图象进行判断． 【详解】解：选项A：从小于7开始上升，不符合初始碱性的情况，排除． 选项B：始终不变，不符合中和反应的变化，排除． 选项C：从大于7开始，逐渐减小至小于7，符合上述变化规律． 选项D：最终稳定在7，不符合盐酸过量后呈酸性的情况，排除． 故选C． 5. 在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先分别解两个一元一次不等式，求出不等式组的解集，再找出解集中的整数，统计个数即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式的解集为， 整数解包括：0，1，2，3，4，共5个． 6. 用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点，，，在同一条直线上，，，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出和的度数，利用平行线的性质求出的度数，最后根据三角形的外角性质即可求出的大小． 【详解】解： 在Rt中，， ， ∴ ， ∵， ∴ ， 在Rt中，， ，  ， 是的外角 ，  ，  ． 7. 已知点，都在反比例函数（为常数）的图象上，当时，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再结合m的范围判断两个点的位置，进而得到和的符号关系． 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵，可得， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴， ∴， 故选C． 8. 如图，四边形内接于，为的直径，，过点作的切线，交的延长线于点．若，，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先，连接，，利用切线的性质构造直角三角形，结合已知角求出圆心角的度数；其次，利用的条件，根据“圆中平行弦所夹的弧相等”这一性质，将转化为所求弧对应的圆心角；最后，结合直径求出半径，代入弧长公式计算即可得出答案． 【详解】连接，如图： 是的切线， ，即， 在中，， ，即圆心角， ，根据圆中平行弦所夹的弧相等，可知， ， 又直径， 半径， 根据弧长公式， 可得的长为． 9. 已知两个不为零的实数，满足，其中．则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】先对已知等式变形因式分解，结合得出的值，再代入 判断正负，即可得到结果． 【详解】解：∵ ，且， ∴两边同乘，得 展开整理得 因式分解得 ，即 ∵ ， ∴ ，可得 ∴ ∴ 将代入 得 ∵ ， ∴ ，即 ． 10. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点，连接，的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，分别交于点M，交于点N，证明是等腰直角三角形，，证明，得，得出的最大值为2，当且仅当与重合时取等号，四边形是正方形，且最大，最小，得出是直角三角形，由勾股定理得：． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点M，交于点N， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的角平分线上， ∵，是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， 又， ∴，解得 ∵在中，， ∴的最大值为2，当且仅当与重合时取等号， 当时，，且，即与重合，与重合,此时，四边形是正方形，且最大， ∵点在的角平分线上， ∴最大时，最小， 如图，当时，延长交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴,, ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：原式． 12. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，逆用幂的乘方和同底数幂的除法是解题的关键．利用指数运算法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 13. 考拉兹猜想(又称冰雹猜想、猜想)是全球知名的数学难题，至今未获得证明．其规则为：对任意正整数，重复以下变换：若它是奇数，则对它乘3加1；若它是偶数，则对它除以2．猜想断言：无论从哪个正整数开始，最终都会落入“”的循环，也就是一定会走到1．数学家已验证极大范围内的数均符合该猜想的规律．在正整数1，2，3，4中，随机选取两个不同的数，分别按上述规则进行一次操作后，两个结果均为偶数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先按照变换规则计算每个数操作一次后的结果，得到操作后为偶数的原数个数，再计算所有等可能的选取情况数，以及两个结果均为偶数的情况数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：对每个正整数进行一次变换： 是奇数，变换结果为，是偶数； 是偶数，变换结果为，是奇数； 是奇数，变换结果为，是偶数； 是偶数，变换结果为，是偶数； 因此变换后结果为偶数的原数为1，3，4，共3个，变换后结果为奇数的原数为2， 从4个数中随机选取2个不同的数，所有等可能的结果为：，共6种， 其中两个结果均为偶数的结果有，共3种， 根据概率公式可得． 14. 若关于的整式的系数，，，，均为整数，，且相邻两个系数的差（后项减前项）满足：对任意，，，都有，则称该整式为递增阶梯整式．当时，整式的取值称为该“递增阶梯整式”的全系数和，记作．请完成下列探究： （1）若某“递增阶梯整式”的相邻系数差均为2，且首项系数，则该整式的全系数和________； （2）若某“递增阶梯整式”满足，则所有满足条件的的值之和为________． 【答案】 ①. 25 ②. 7 【解析】 【分析】（1）根据题目条件求出所有系数，再根据全系数和的定义计算结果； （2）先根据相邻差的范围得到四个相邻差总和的取值范围，结合 建立关系式，得到的取值范围，筛选出符合条件的整数，计算其和． 【详解】解：（1）由题意得，，相邻系数差均为，因此 ， ， ， ， 全系数和； （2）设四个相邻差为，，，， 由题意得 （），且为整数， 设，则 ，即 . 因为 ，且 ，代入得 ， 整理得， 将代入不等式得 ， 解不等式得 ， 因为是整数，所以满足条件的为，， 所有满足条件的的值之和为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【解析】 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 16. 为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？ 【答案】2小时 【解析】 【分析】设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，列出一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，得 ， 解得， 答：小辰参与标注的时间是2小时． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似图形的性质画图即可． （3）作直线，交于点P，点P即为位似中心． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心， ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 将与联立，得：， 解得， 点的坐标为． 18. 如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，求树顶离水面的高度（结果保留一位小数，，，） 【答案】 【解析】 【分析】设，用三角函数解和，求出，再根据即可求解． 【详解】解：水平地面离水面的高度为，测量仪高， ， 由题意知，四边形为矩形， ， 设， 在中，， ， 在中，， ， 即， 解得， ， ， 即树顶离水面的高度为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 综合与实践 【项目背景】近年来，真无线蓝牙耳机成为大众常用的数码产品，续航时长是影响用户体验的核心指标．为验证某款耳机的省电模式优化效果，测评机构在统一的标准测试环境（固定音量、相同连接状态、统一播放内容）下，对50台同批次的该款耳机，分别在普通模式、省电模式下进行满电单次续航时长测试，对比验证省电模式的优化效果． 【数据收集与整理】收集这50台耳机在普通模式、省电模式下的单次续航时长（单位：小时，用表示续航时长），并进行分组如下： 组别 A B C D E 整理1：耳机在省电模式下的部分续航时长记录如下（含C组全部数据和D，E组部分数据）：14，14，14，14，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，16，16，16，16，17，17，18，… 整理2：将普通模式下的续航测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将省电模式下的续航测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50台耳机在普通模式下的续航优良率（测试成绩大于或等于16小时为优良）为． 【数据处理和应用】 （1）任务1：普通模式测试成绩在C组的有________人，并补全频数分布直方图； （2）任务2：省电模式下这50台耳机测试成绩的中位数是________，D组对应扇形的圆心角是________； （3）任务3：已知省电模式下的这50台耳机的平均续航为15.8小时；普通模式测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为11，13，15，17，19；若省电模式的平均续航比普通模式高出，就认为该省电模式的优化效果卓越．请你通过计算说明该款耳机的省电模式是否达到“效果卓越”？ 【答案】（1）12，图见解析 （2）16，115.2 （3）没有 【解析】 【分析】（1）根据这50台耳机在普通模式下的续航优良率（测试成绩大于或等于16小时为优良）为，得出D，E组有10人，进而求得D组的人数，根据频数直方图求得组的人数，进而补全统计图； （2）根据图②可得省电模式下这50台耳机测试成绩的中位数在D组，进而求得第25，26个数据，即可求得中位数，用D组人数占比乘以360度，可得对应圆心角的度数； （3）根据加权平均数的方法计算普通模式下的平均续航时间，进而即可求解． 【小问1详解】 解：这50台耳机在普通模式下的续航优良率（测试成绩大于或等于16小时为优良）为， D，E组人数之和为：， D组人数为：， C组人数为：， 补全频数分布直方图如图， 【小问2详解】 解：由图②知，省电模式下，A，B组人数之和为：， 由整理1的数据得，C组人数为：14人， ， 省电模式下这50台耳机测试成绩的中位数在D组，第25，26个数据分别是16，16， 中位数为； D组人数所占百分比为： D组对应扇形的圆心角是； 【小问3详解】 解：普通模式下平均续航时间为：（小时）， ， 该款耳机的省电模式没有达到“效果卓越”． 20. 如图，内接于，是的直径，的平分线交于点，在上取一点，使得． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见详解； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的证明以及勾股定理的应用，熟练运用圆周角定理、等腰三角形性质和勾股定理是解答本题的关键． （1）利用直径所对的圆周角为直角，结合等腰直角三角形的性质，通过角的等量代换证明平分； （2）先根据等腰直角三角形的性质求出的长度，再利用弧、弦的关系推出，设未知数结合勾股定理建立方程求解，最终得到的长度． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， 为等腰直角三角形， ， 平分， ， 又， ， ，， ，即平分； 【小问2详解】 解：在等腰直角三角形中，， ， 连接交于点， ， ， 且， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， 联立得，， 解得：， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践：线段拼接与几何量求和的计数规律探究 【情境引入】有一批小木棒，木棒长度分别为、、、…、（每根木棒长度为互不相等的正整数，每根木棒仅可使用一次）．将选取的木棒首尾顺次无缝拼接，形成一条新的线段，新线段的长度即为所选木棒的长度之和．小航同学获得了一次随机选取5根木棒拼接的机会，他想探究：按规则拼接后，能得到多少种不同长度的线段？为此，小航同学从最简单的情形入手，开启了如下探究之旅． 【模型建构与探究】 我们遵循“特殊情形入手→逐步递进归纳→验证猜想→通用建模”的思路开展探究． ★探究一：任取2根木棒拼接的长度种数 我们先研究从连续长度的木棒中，选取2根拼接的情况： 从长度为、、的3根木棒中，任取2根拼接，能得到多少种不同长度的线段？ 选取的2根木棒 、 、 、 拼接后总长度 从表格中可得结论：拼接后线段的最小长度为，最大长度为，共有3种不同的结果． 从长度为、、、的4根木棒中，任取2根拼接，能得到多少种不同长度的线段？ 选取的2根木棒 、 、 、 、 、 、 拼接后总长度 从表格中可得结论：拼接后线段的最小长度为，最大长度为，共有5种不同的结果． （1）从长度为、、、、的5根木棒中，任取2根拼接，这2根木棒拼接后的长度共有 种不同的结果． （2）规律猜想：从长度为、、…、（为正整数，且）的根木棒中，任取2根拼接，共有 种不同的长度结果． ★探究二：任取3根木棒拼接的长度种数 我们进一步研究选取3根拼接的情况： 从长度为、、、的4根木棒中，任取3根拼接，经操作发现，拼接后线段的最小长度为，最大长度为，共有4种不同的结果． （3）从长度为、、…、（为正整数，且）的根木棒中，任取3根拼接，猜想共有 种不同的长度结果． ★探究三：任取k根木棒拼接的通用规律 （4）从长度为、、、（为正整数，且）的根木棒中，任取根拼接，共有 种不同的长度结果． （5）若从长度为、、、（、为正整数，且）的根木棒中，任取根拼接，共有 种不同的长度结果． 【拓展延伸】 （6）现有一组线段，长度分别为、、、、（、均为正整数，且）．从中任取条（）首尾拼接，共有 种不同的长度结果（用含、、的代数式表示的结果）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】本题通过特殊情形归纳规律，发现任取k根木棒拼接后，所有不同长度是从最小和到最大和的连续正整数，因此总长度种数等于最大长度减去最小长度加1，依次推导各小题结论即可． 【小问1详解】 解：从到的木棒中任取2根，最小长度为，最大长度为，根据前面探究可知，到之间每个整数长度都可以得到，因此总种数为； 【小问2详解】 解：从到的木棒中任取2根，最小长度为，最大长度为，总种数为，验证得时结果为，时结果为，符合已知结论； 【小问3详解】 解：从到的木棒中任取3根，最小长度为，最大长度为，总种数为，验证得时结果为，符合已知结论； 【小问4详解】 解：从到的木棒中任取4根，最小长度为，最大长度为，总种数为； 【小问5详解】 解：从到的木棒中任取根，最小和，最大和，总种数为； 【小问6详解】 解：长度为的木棒总共有根，将，代入(5)的公式得：． 七、（本题满分12分） 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、． （1）求的值； （2）该二次函数图象的顶点为，与轴正半轴交于点，设点的横坐标为．抛物线与轴两个交点的横坐标之和为． （ⅰ）求顶点的坐标； （ⅱ）若、是该二次函数图象上不重合的两点，其中且． 求证：． 【答案】（1） （2）（i）顶点的坐标为（ii）见解析 【解析】 【分析】（1）根据A，B的坐标可得抛物线的对称轴为直线，可求的值； （2）（i）设抛物线与轴的两个交点为的横坐标分别为、，由两个交点的横坐标之和为得，由对称轴方程列方程，求出,可得二次函数解析式，配方后可得顶点坐标； （ii）由、是该二次函数图象上不重合的两点，得，由根与系数关系得出，，再证明等式左边=等式右边即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点、， ∴A，B两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 又抛物线的对称轴公式为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（i）由（1）知， ∴二次函数可化为， 设抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为、， ∵两个交点的横坐标之和为， ∴， ∴， 由根与系数的关系得，抛物线与轴的两个交点的横坐标之和为， ∴， 解得， ∴抛物线与轴的一个交点坐标为，代入得： ， 解得， ∴， ∴二次函数解析式为：， 配方得， ∴顶点的坐标为； （ii）证明：∵、是该二次函数图象上不重合的两点， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴， 设方程的两个根为，则： ，， ， ∴左边右边． 八、（本题满分14分） 23. 已知，在等腰中，，点为的中点，点为上一点，，交于点，过点作交的延长线于点． （1）如图1，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据证明即可得出； （ⅱ）根据直角三角形的性质得，从而，由得，等量代换得出，从而，证明，可证，由相似三角形的性质得，从而可证； （2）由求出，延长交的延长线于点H，证明得，可得，证明，得，，从而，结合D为中点，可求得． 【小问1详解】 证明：（ⅰ）∵等腰， ∴， ∵， ． ∵， ∴， ∴．．． ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （ⅱ）∵点为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得（负值舍去）， 如图2，延长交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共6页，“答题卷”共2页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 在实数0，，，中，最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 年全球可再生能源投资报告显示，某新型薄膜太阳能电池的光电转换效率突破世界纪录，达到，而其核心光电转换层厚度仅为米．数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍（chú méng）”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，烧杯中装有适量溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的值变化情况用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点，，，在同一条直线上，，，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，都在反比例函数（为常数）的图象上，当时，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，为的直径，，过点作的切线，交的延长线于点．若，，则的长为（） A. B. C. D. 9. 已知两个不为零的实数，满足，其中．则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点，连接，的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：________． 12. 若，，则______． 13. 考拉兹猜想(又称冰雹猜想、猜想)是全球知名的数学难题，至今未获得证明．其规则为：对任意正整数，重复以下变换：若它是奇数，则对它乘3加1；若它是偶数，则对它除以2．猜想断言：无论从哪个正整数开始，最终都会落入“”的循环，也就是一定会走到1．数学家已验证极大范围内的数均符合该猜想的规律．在正整数1，2，3，4中，随机选取两个不同的数，分别按上述规则进行一次操作后，两个结果均为偶数的概率是________． 14. 若关于的整式的系数，，，，均为整数，，且相邻两个系数的差（后项减前项）满足：对任意，，，都有，则称该整式为递增阶梯整式．当时，整式的取值称为该“递增阶梯整式”的全系数和，记作．请完成下列探究： （1）若某“递增阶梯整式”的相邻系数差均为2，且首项系数，则该整式的全系数和________； （2）若某“递增阶梯整式”满足，则所有满足条件的的值之和为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 18. 如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，求树顶离水面的高度（结果保留一位小数，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 综合与实践 【项目背景】近年来，真无线蓝牙耳机成为大众常用的数码产品，续航时长是影响用户体验的核心指标．为验证某款耳机的省电模式优化效果，测评机构在统一的标准测试环境（固定音量、相同连接状态、统一播放内容）下，对50台同批次的该款耳机，分别在普通模式、省电模式下进行满电单次续航时长测试，对比验证省电模式的优化效果． 【数据收集与整理】收集这50台耳机在普通模式、省电模式下的单次续航时长（单位：小时，用表示续航时长），并进行分组如下： 组别 A B C D E 整理1：耳机在省电模式下的部分续航时长记录如下（含C组全部数据和D，E组部分数据）：14，14，14，14，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，16，16，16，16，17，17，18，… 整理2：将普通模式下的续航测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将省电模式下的续航测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50台耳机在普通模式下的续航优良率（测试成绩大于或等于16小时为优良）为． 【数据处理和应用】 （1）任务1：普通模式测试成绩在C组的有________人，并补全频数分布直方图； （2）任务2：省电模式下这50台耳机测试成绩的中位数是________，D组对应扇形的圆心角是________； （3）任务3：已知省电模式下的这50台耳机的平均续航为15.8小时；普通模式测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为11，13，15，17，19；若省电模式的平均续航比普通模式高出，就认为该省电模式的优化效果卓越．请你通过计算说明该款耳机的省电模式是否达到“效果卓越”？ 20. 如图，内接于，是的直径，的平分线交于点，在上取一点，使得． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践：线段拼接与几何量求和的计数规律探究 【情境引入】有一批小木棒，木棒长度分别为、、、…、 （每根木棒长度为互不相等的正整数，每根木棒仅可使用一次）．将选取的木棒首尾顺次无缝拼接，形成一条新的线段，新线段的长度即为所选木棒的长度之和．小航同学获得了一次随机选取5根木棒拼接的机会，他想探究：按规则拼接后，能得到多少种不同长度的线段？为此，小航同学从最简单的情形入手，开启了如下探究之旅． 【模型建构与探究】 我们遵循“特殊情形入手→逐步递进归纳→验证猜想→通用建模”的思路开展探究． ★探究一：任取2根木棒拼接的长度种数 我们先研究从连续长度的木棒中，选取2根拼接的情况： 从长度为、 、的3根木棒中，任取2根拼接，能得到多少种不同长度的线段？ 选取的2根木棒 、 、 、 拼接后总长度 从表格中可得结论：拼接后线段的最小长度为，最大长度为，共有3种不同的结果． 从长度为、 、、的4根木棒中，任取2根拼接，能得到多少种不同长度的线段？ 选取的2根木棒 、 、 、 、 、 、 拼接后总长度 从表格中可得结论：拼接后线段的最小长度为，最大长度为 ，共有5种不同的结果． （1）从长度为、 、、、的5根木棒中，任取2根拼接，这2根木棒拼接后的长度共有 种不同的结果． （2）规律猜想：从长度为、 、…、 （为正整数，且）的根木棒中，任取2根拼接，共有 种不同的长度结果． ★探究二：任取3根木棒拼接的长度种数 我们进一步研究选取3根拼接的情况： 从长度为、、、的4根木棒中，任取3根拼接，经操作发现，拼接后线段的最小长度为，最大长度为 ，共有4种不同的结果． （3）从长度为、、…、 （为正整数，且）的根木棒中，任取3根拼接，猜想共有 种不同的长度结果． ★探究三：任取k根木棒拼接的通用规律 （4）从长度为、、、 （为正整数，且）的根木棒中，任取根拼接，共有 种不同的长度结果． （5）若从长度为、、、 （、为正整数，且 ）的根木棒中，任取根拼接，共有 种不同的长度结果． 【拓展延伸】 （6）现有一组线段，长度分别为、、、、（、均为正整数，且）．从中任取条（）首尾拼接，共有 种不同的长度结果（用含、、的代数式表示的结果）． 七、（本题满分12分） 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、． （1）求的值； （2）该二次函数图象的顶点为，与轴正半轴交于点，设点的横坐标为．抛物线与轴两个交点的横坐标之和为． （ⅰ）求顶点的坐标； （ⅱ）若、是该二次函数图象上不重合的两点，其中且． 求证：． 八、（本题满分14分） 23. 已知，在等腰中，，点为的中点，点为上一点，，交于点，过点作交的延长线于点． （1）如图1，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证： ． （2）如图2，若 ，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $