专题23 双曲线（讲义）-2027年云南省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 双曲线 【复习目标】 1. 会借助几何直观感知双曲线的定义及有关概念，会根据条件求双曲线标准方程，能感知利用双曲线标准方程分析双曲线的几何特征的过程； 2. 会用双曲线标准方程分析双曲线的几何特征，会用双曲线的图像和性质解决有关问题； 3. 会判断直线与圆锥曲线的位置关系，能运用圆锥曲线的几何性质求解有关问题. 【考点1 双曲线的定义及标准方程】 1.双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于)的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距． 2.双曲线的标准方程 焦点在轴上：（）；焦点在轴上：（） 【即时训练】 1．设动点M到点的距离减去它到点的距离等于2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义解答. 【详解】由题意得，M的轨迹为双曲线的下支，焦点在y轴， ∵，， ∴ 结合选项只有D符合． 故选:D. 2．焦点在x轴上的双曲线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点在x轴上的双曲线标准方程的形式可得结果. 【详解】焦点在x轴上的双曲线标准方程是：. 故选：A 3．已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ） A． B． C． 或 D． 【答案】D 【分析】根据已知方程表示双曲线，可列出相关的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以 即, 解得 ， 故选：D 4．已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程的特征进行求解即可. 【详解】由题意知，，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：A. 5．双曲线的焦距是（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】由双曲线的标准方程求出，再求出，即可求得焦距. 【详解】由双曲线可得， 故，， 故其焦距是. 故选：C. 6．双曲线的焦点坐标是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意知：双曲线的标准方程为：， 所以， ， 所以焦点坐标为和. 故选：B. 7．已知双曲线的焦点分别是、是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解标准方程. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为， ∵双曲线的焦点分别为、，∴， 又∵，∴， ∴， ∴双曲线的标准方程为. 故选:C. 8．已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由双曲线方程可求，据此可求解. 【详解】由双曲线的方程为，可知， 所以，焦距. 故选：D 9．双曲线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的焦点位置以及c的值即可求解焦点坐标. 【详解】双曲线的焦点在x轴上， 则有，则， 所以焦点坐标为. 故选：D. 10．若动点到点与的距离之差为2，则点的轨迹为（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．圆 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义即可解得. 【详解】由题，点到与的距离之差为，小于， 故由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的一支， 故选：C 【考点2 双曲线的性质】 标准方程 （） （） 图象 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 轴长 实轴：2a,虚轴：2b 渐近线 间的关系 离心率 ， 【即时训练】 11．双曲线的实轴长是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】将双曲线方程化为标准方程后，求出，据此可得解. 【详解】双曲线方程可变形为， 所以，，从而实轴长. 故选：C 12．双曲线：的虚半轴长为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】由双曲线的标准方程即可求解. 【详解】解：由双曲线的标准方程可知， 焦点在轴上，且， 即， 所以虚半轴长． 故选：D 13．双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出双曲线的标准方程即得解. 【详解】解：由题意知，，所以双曲线的标准方程为， 双曲线的渐近线方程为，即. 故选：D． 14．双曲线的实轴长为，焦点在轴上，且经过点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点位置设双曲线方程形式，由长轴长求出其中一个参数，再代点求出另一个参数即可求得方程. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以设方程为， 由实轴长可得：，则方程为， 代点可得：，解得， 则双曲线方程为：. 故选：A. 15．等轴双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】等轴双曲线：，，所以； 离心率. 故选：C. 16．若双曲线，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】由双曲线得焦点在轴上，且，所以渐近线方程为. 故选：B. 17．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程可求出a，b的值，进而求解. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，， 所以渐近线方程是． 故选：A 18．双曲线的顶点坐标和渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的方程求解即可. 【详解】因为双曲线方程为. 所以. 所以. 因为焦点在x轴，所以顶点坐标为.渐近线方程为. 故选：A. 19．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程直接写出渐近线方程. 【详解】由双曲线，得 所以双曲线的渐近线方程是. 故选：C. 20．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】双曲线方程为， 所以，， 所以离心率为. 故选：C. 21．已知双曲线的离心率为2，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线离心率与标准方程求参数即可. 【详解】由题意可知，，. 所以. 所以，即. 所以. 故选：D. 22．过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，判断出已知点不在渐近线上，进而求解. 【详解】在双曲线中， ，焦点在x轴， 渐近线方程为， 点不在渐近线方程上, 如图所示：    过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 过点与第三象限双曲线相切的直线； 过点与第四象限双曲线相切的直线； 过点与平行的直线； 过点与平行的直线. 共4条， 故选：D 23．若直线与双曲线相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与双曲线方程联立，结合一元二次方程解的情况即可解得. 【详解】因为直线与双曲线相交，则，则， 又知直线与双曲线相交，则，解得， 所以实数k的取值范围为. 故选：A. 24．求直线与双曲线的相交弦长. 【答案】 【分析】将直线方程和双曲线方程联立、消元后，设交点坐标为，由韦达定理可得的值，根据弦长公式可求解. 【详解】由直线方程与双曲线方程联立得， ，消元得，， 设交点坐标为，由题知 ， 所以弦长 25．已知双曲线的离心率为，实轴长为． (1)写出双曲线的渐近线方程； (2)直线与双曲线右支交于不同的两点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据双曲线离心率公式、长轴长定义，结合双曲线渐近方程进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】（1）由已知有，，所以， 所以双曲线方程为，或，渐近线方程为 （2）设两交点坐标分别为，， 联立，消去得， 由已知，因为直线与双曲线右支交于不同的两点， 所以解得， 实数的取值范围为. 26．已知双曲线的方程为，直线. (1)求双曲线的渐近线方程、离心率； (2)若直线与双曲线仅有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1)渐近线方程为和，离心率为 (2)或 【分析】（1）利用双曲线方程，直接求解渐近线方程，依题意可得、，根据，求出，即可求出离心率． （2）联立直线与双曲线方程，消元整理，再分二次项系数为零与二次项系数不为零两种情况讨论，分别求出． 【详解】（1）解：由，得渐近线方程，即双曲线的渐近线方程为和，∵，，∴，，，所以离心率． （2）把：代入双曲线得 ①当即时，直线与渐近线平行，相交于一点 ②当时，则由，得且，直线与双曲线相切于一点，解得： 综上：或 27．已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得求得离心率； （2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解. 【详解】（1）由题意知，且，     ， 所以双曲线的离心率． （2）由（1）知双曲线方程为， 将即代入，得，    因而， 所以． 28．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离比到点的距离大. (1)求动点的轨迹方程. (2)求过动点且垂直于轴的直线与点的轨迹交于，两点，求线段的长度. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据双曲线的定义和性质即可得到轨迹方程. （）将代入轨迹方程中即可得解. 【详解】（1）由题意可知，所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支. 设双曲线方程为. 且，，所以. 所以轨迹方程为. （2）由题意可知，将代入轨迹方程中得. 解得. 所以. 1.（2024云南）已知双曲线与抛物线有一个公共焦点，且双曲线的离心率为，求双曲线的标准方程． 【答案】 【分析】利用抛物线的标准方程，可求得双曲线的一个焦点，即可得到；再利用双曲线的离心率的计算公式，得到，再利用可得，进而得到双曲线的标准方程. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以双曲线的一个焦点为，所以； 又因为，所以，所以， 所以双曲线的标准方程为. 2.（2023云南）双曲线的离心率___________. 【答案】 【分析】根据双曲线的定义和基本性质及双曲线的离心率的定义直接求解即可. 【详解】在双曲线中，，即 因为在双曲线中，所以，即 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 双曲线 【复习目标】 1. 会借助几何直观感知双曲线的定义及有关概念，会根据条件求双曲线标准方程，能感知利用双曲线标准方程分析双曲线的几何特征的过程； 2. 会用双曲线标准方程分析双曲线的几何特征，会用双曲线的图像和性质解决有关问题； 3. 会判断直线与圆锥曲线的位置关系，能运用圆锥曲线的几何性质求解有关问题. 【考点1 双曲线的定义及标准方程】 1.双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于)的点的轨迹称为 ．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距． 2.双曲线的标准方程 焦点在轴上：（）；焦点在轴上：（） 【即时训练】 1．设动点M到点的距离减去它到点的距离等于2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．焦点在x轴上的双曲线标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ） A． B． C． 或 D． 4．已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．双曲线的焦距是（    ） A．4 B． C． D．8 6．双曲线的焦点坐标是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 7．已知双曲线的焦点分别是、是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．双曲线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 10．若动点到点与的距离之差为2，则点的轨迹为（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．圆 【考点2 双曲线的性质】 标准方程 （） （） 图象 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 轴长 实轴： ,虚轴： 渐近线 间的关系 离心率 ， 【即时训练】 11．双曲线的实轴长是（    ） A．2 B． C．4 D． 12．双曲线：的虚半轴长为（    ） A． B． C．4 D．2 13．双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 14．双曲线的实轴长为，焦点在轴上，且经过点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 15．等轴双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．1 16．若双曲线，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 17．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 18．双曲线的顶点坐标和渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 19．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 20．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．已知双曲线的离心率为2，则（    ） A．2 B． C． D． 22．过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 23．若直线与双曲线相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．求直线与双曲线的相交弦长. 25．已知双曲线的离心率为，实轴长为． (1)写出双曲线的渐近线方程； (2)直线与双曲线右支交于不同的两点，求实数的取值范围． 26．已知双曲线的方程为，直线. (1)求双曲线的渐近线方程、离心率； (2)若直线与双曲线仅有一个公共点，求实数的值. 27．已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 28．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离比到点的距离大. (1)求动点的轨迹方程. (2)求过动点且垂直于轴的直线与点的轨迹交于，两点，求线段的长度. 1.（2024云南）已知双曲线与抛物线有一个公共焦点，且双曲线的离心率为，求双曲线的标准方程． 2.（2023云南）双曲线的离心率___________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $