综合测试卷（四）-《数学 基础模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本专项以教材章节为基准，通过AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统整合统计概率、立体几何、解析几何及函数模块，构建跨章节知识网络，提升数学应用与应试能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计概率|7题|含频率分布直方图分析、分层抽样、古典概型|从数据收集（抽样）到数据处理（频率计算）再到概率应用，体现数据意识与模型观念| |立体几何|6题|涉及空间几何体识别、表面积体积计算、直观图|由几何体定义（如正三棱锥）到性质（轴截面特征）再到度量计算，发展空间观念与几何直观| |解析几何|7题|包含圆的方程、直线与圆位置关系、弦长计算|从坐标表示（中点坐标）到方程建立（圆的标准方程）再到位置关系判断，培养抽象能力与推理意识| |函数|8题|涵盖指数对数互化、函数定义域与最值、单调性|从函数概念（定义域）到性质（单调性）再到实际应用（翻译系统准确率），强化运算能力与应用意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．某校从高三抽取200名学生进行教学测试情况调研，发现他们的成绩者都在60∼120分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则成绩在内的学生人数为（   ）    A．72 B．80 C．104 D．128 2．某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 3．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该三棱锥的侧面积为（   ）. A．18 B．6 C． D． 4．一个正三棱柱的底面边长为4cm，高为5cm，它的侧面积为（    ）. A．12cm B．20cm C． D． 5．如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（ ） A． B． C． D． 6．已知正三角形的边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 7．圆的半径是（    ） A．2 B．4 C．16 D． 8．直线与圆的交点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．已知点，则线段的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 10．直线:与:交点的坐标为（ ） A． B． C． D． 11．下列指数式和对数式的相互转换正确的是（    ） A． B． C． D． 12．方程的解是（ ） A． B． C． D． 13．若且，则（ ） A．10或 B． C．100 D．10 14．设函数且在上的最大值和最小值之和为，则的值为（ ） A． B． C． D．3 15．某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有370名，若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.33.现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出（    ） A．20人 B．30人 C．33人 D．60人 16．如图，圆锥的轴截面为正三角形，点为顶点，点为底面圆心，过轴PO的三等分点（靠近点）作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则所得圆柱的体积与原圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 17．设，，，则（   ） A． B． C． D． 18．若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．0 C．5 D．9 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数大于4的概率是 __________. 20．已知圆锥展开图的侧面积为，且为半圆，则底面半径为_______． 21．已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程为__________. 22．已知圆与直线的相交弦长是，则圆的半径是______． 23．某科技公司研发的翻译系统，初始版本的翻译准确率为，后续每更新一个版本，准确率会在前一版本基础上提升（即变为前一版本的倍）．当准确率首次超过时，该系统已更新了_______个版本.（参考数据） 24．如图，在同一平面直角坐标系中，函数与（且）的图像可能是________．    三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知函数. (1)求函数的定义域； (2)当取得何值时，函数取得最小值，并求出函数的最小值. 26．(本题10分)“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①. (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②. (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 27．(本题12分)已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 28．(本题12分)已知某组合体的三视图如图所示. (1)说明该几何体由哪些简单几何体组成，并画出立体图形； (2)求该几何体的表面积和体积. 29．(本题14分)某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 30．(本题14分)已知圆的圆心坐标为且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与平行的直线的一般式方程； (3)直线与圆相交于和两点，求弦的长度. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．某校从高三抽取200名学生进行教学测试情况调研，发现他们的成绩者都在60∼120分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则成绩在内的学生人数为（   ）    A．72 B．80 C．104 D．128 【答案】C 【分析】先求出成绩在内的频率，再求学生人数即可. 【详解】由频率分布直方图可知， 成绩在内的频率为， 故成绩在内的学生人数为. 故选：C. 2．某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据简单随机抽样的性质求解即可． 从600名同学中抽取30人进行了解，每名同学被抽到的概率为． 故选：D． 3．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该三棱锥的侧面积为（   ）. A．18 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据正三棱锥的结构特征并结合侧面积公式运算求解.. 【详解】因为正三棱锥的底面边长为，侧棱为， 所以斜高， 该三棱锥的侧面积：. 故选：D 4．一个正三棱柱的底面边长为4cm，高为5cm，它的侧面积为（    ）. A．12cm B．20cm C． D． 【答案】D 【分析】根据棱柱侧面积公式求解即可；. 【详解】正三棱柱有三个侧面，每个侧面是一个矩形， 每个矩形的面积=底面边长×高， 三个侧面的总面积. 因此，正三棱柱的侧面积为. 故选：D 5．如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体即可解答． 四边形是矩形，， ，是长边， 则该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是选项中较高的圆柱体． 故选：B． 6．已知正三角形的边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜二测画法，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意得，正三角形的边长为4，则该正三角形的高为， 由斜二测画法可得，底边长不变还是4，原三角形的高在直观图中对应的线段长为， 该线段与底边的夹角为，则所得直观图的面积为. 故选：B. 7．圆的半径是（    ） A．2 B．4 C．16 D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求出半径即可得解. 【详解】圆的半径是， 故选：. 8．直线与圆的交点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】对于圆化为标准方程为：， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，此时直线与圆有个交点. 故选：C. 9．已知点，则线段的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式即可得解. 【详解】点， 则线段的中点坐标为， 故选：. 10．直线:与:交点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立两条直线的方程，求解方程组即可. 【详解】联立直线与的方程可得方程组，解得，， 所以，两直线交点的坐标为. 故选：A. 11．下列指数式和对数式的相互转换正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数式与对数式的互化公式即可选出正确答案. 【详解】指数式与对数式互化：且， A选项，，故A错误； B选项，，故B错误； C选项，，故C错误； D选项，，D正确. 故选：D 12．方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可. 由，得， 所以，， 解得. 故选：B 13．若且，则（ ） A．10或 B． C．100 D．10 【答案】A 【分析】利用换底公式可得，求解可得结果. 因为， 所以， 所以或， 所以或. 故选：A 14．设函数且在上的最大值和最小值之和为，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】结合函数与的单调性可知在单调递增或单调递减，从而可得函数在上的最值分别为，代入可求的值. 由换底公式可得， 又与在区间上具有相同的单调性， 故在上单调递增或单调递减，在上的最值分别为， 故，由题意，解得. 故选：B 15．某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有370名，若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.33.现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出（    ） A．20人 B．30人 C．33人 D．60人 【答案】B 【分析】先求出三年级的学生人数，再利用分层抽样的方法求解即可. 【详解】由题意知，全校二年级学生的人数为人， 所以全校三年级学生的人数为人； 所以需要从三年级学生中选出（人）. 故选：B. 16．如图，圆锥的轴截面为正三角形，点为顶点，点为底面圆心，过轴PO的三等分点（靠近点）作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则所得圆柱的体积与原圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥轴截面为正三角形以及截面位置关系，求出圆柱和圆锥的底面半径与高，再分别计算它们的体积并求比值. 【详解】设圆锥轴截面的边长为2a，则圆锥的底面半径为，高为， 由题意可知，，则圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 所以圆柱的体积与原圆锥的体积之比为． 故选：B. 17．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小. 【详解】因为对数函数在上单调递增，且， 所以，所以， 因为指数函数在上单调递增，且， 所以，所以， 又已知，所以， 故选：B. 18．若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．0 C．5 D．9 【答案】A 【分析】设，则利用函数单调性可得答案. 设，则（）， 对称轴为，所以在上单调递增， 所以. 故选：A. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数大于4的概率是 __________. 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知抛掷一枚质地均匀的骰子共有种可能， 其中朝上一面的点数大于4的有共种可能， 所以朝上一面的点数大于4的概率是， 故答案为：. 20．已知圆锥展开图的侧面积为，且为半圆，则底面半径为_______． 【答案】1 【分析】根据圆锥展开图的侧面积公式以及圆心角公式，建立方程即可解得. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则，解得. 故答案为：1. 21．已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程为__________. 【答案】 【分析】根据过圆内一点的最短弦与过此点的直径垂直，由两直线垂直斜率的关系求出最短弦所在直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程. 【详解】已知圆的方程为，即， 由此可知圆心的坐标为， 设点，因为，所以点在圆内， 圆心与点连线的斜率为， 因为过圆内一点的最短弦与过该点的直径垂直，设最短弦所在直线的斜率为， 则，即，解得， 故最短弦所在直线方程为，即. 故答案为：. 22．已知圆与直线的相交弦长是，则圆的半径是______． 【答案】4 【分析】由圆的方程得到圆心和半径，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式即可得解. 【详解】由圆可知，圆心， 且，即， 因为圆心到直线距离， 由题可得：，解得. 故答案为：4 23．某科技公司研发的翻译系统，初始版本的翻译准确率为，后续每更新一个版本，准确率会在前一版本基础上提升（即变为前一版本的倍）．当准确率首次超过时，该系统已更新了_______个版本.（参考数据） 【答案】9 【分析】设更新个版本，则准确率为，根据题意列不等式为，解不等式即可求解. 【详解】设更新个版本，初始版本的翻译准确率为， 每个版本准确率会变为前一版本的倍， 则准确率为， 当准确率首次超过，则， 即，所以， 所以当准确率首次超过时，该系统已更新了9个版本． 故答案为：9. 24．如图，在同一平面直角坐标系中，函数与（且）的图像可能是________．    【答案】① 【分析】根据题意，由函数与的图象都过，再由指数函数与对数函数的单调性，即可得到结果. 【详解】令，则 ，因此函数与图像均过，排除③④. 又因为与的单调性相反，故选①. 故答案为：①. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知函数. (1)求函数的定义域； (2)当取得何值时，函数取得最小值，并求出函数的最小值. 【答案】(1) (2)当时，函数取得最小值，其最小值为 【分析】（1）根据对数的真数大于零，列不等式组可求解； （2）根据对数的运算法则，可得，，采用换元法，令，， 利用对数函数的单调性，求的最大值可得结果. 【详解】（1）要使函数有意义，则有 ，解得， 所以函数的定义域为； （2）， 令，， 由可知， 当时，函数有最大值为9，且函数在定义域上是减函数， 所以当时，函数取得最小值，其最小值为. 26．(本题10分)“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①. (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②. (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 【答案】(1)400 (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据条形图和扇形统计图中的信息，计算相关比例，进行计算即可. （1）由条形图可知，无所谓的家长有80人，根据扇形统计图可知，无所谓的家长占，家长总人数为人；反对的人数为人. 如图所示： （2）表示“赞成”所占圆心角的度数为：； （3）由样本知，持“无所谓”态度的学生人数有30人，所以抽到的概率为：. 27．(本题12分)已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2)单调递减区间为 ，无增区间 (3) 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）依题意可得，再根据指数函数的性质判断即可； （3）根据指数函数的值域即可求解. （1）由题可得，因为且，所以； （2）函数为复合函数， 令，在上单调递增， ，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为 ，无增区间. （3）因为，则，所以，所以函数的值域为. 28．(本题12分)已知某组合体的三视图如图所示. (1)说明该几何体由哪些简单几何体组成，并画出立体图形； (2)求该几何体的表面积和体积. 【答案】(1)答案见解析 (2)表面积，体积为 【分析】(1)根据给定三视图，确定原几何体的构成及形状即可画出立体图形. (2)计算出几何体各表面图形的面积再求和即可，几何体的体积利用体积公式计算即得. （1）依题意，由几何体的三视图知，该几何体是上部为一个正四棱锥与下部为一个正四棱柱组合而成的，其立体图形，如图所示： （2）由(1)知，该几何体上部是正四棱锥，其底面边长为2，高为1，其下部是底面边长为2，高为1的正四棱柱， 正四棱锥的斜高为， 该几何体的表面是正四棱锥的侧面、正四棱柱的侧面和下底面，其表面积为， 该几何体的体积为， 所以该几何体的表面积为，体积为. 29．(本题14分)某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 【答案】(1)，76.5分，88 (2) 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得． 这次竞赛的平均成绩为分． 因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以第80百分位数在内． 设这次竞赛成绩的第80百分位数为，则，解得． （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人， 竞赛成绩在内的有人，记为，， 竞赛成绩在内的有4人，记为，，，． 所有选法有，，，，，，，，，，，， ，，，共15种， 其中恰有1人的竞赛成绩在内的选法有，，，，，，，， 共8种，故所求概率为． 30．(本题14分)已知圆的圆心坐标为且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与平行的直线的一般式方程； (3)直线与圆相交于和两点，求弦的长度. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据圆与直线相切的条件求出圆的半径，然后由圆的标准方程得出结果； （2）由两条直线平行求得的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解； （3）先求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式进行计算. 【详解】（1）圆心到直线的距离， 因为圆与直线相切， 所以圆的半径，， 则圆的标准方程为. （2）由题意，设的一般式方程为， 将点的坐标代入，得，解得， 所求直线的一般式方程为. （3）圆心到直线的距离为， 故弦的长度.    试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $