综合测试卷（三）-《数学 基础模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，采用AB卷分层训练与综合测试卷实战模拟结合，系统构建知识网络，提升空间观念、运算能力与数据意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何|5题|三视图判断、表面积体积计算|由直观图到三视图的转化，公式推导与实际应用结合| |统计与概率|4题|分层抽样、频率分布直方图分析|从数据收集到特征量（平均数、分位数）计算的逻辑链| |解析几何|6题|直线方程、圆的位置关系|斜率与直线方程形式互化，圆的方程与距离公式综合应用| |函数|7题|单调性、定义域、指数函数性质|概念生成（定义域）到性质应用（单调性、值域）的递进|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知正四棱锥如图所示，则该四棱锥的三视图中的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．某高中竞赛生中，一年级6人，二年级12人，三年级18人，采用分层抽样的方法从中抽6人，则需要从三年级抽（   ）人. A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列直线方程中，斜率为 的是（　） A． B． C． D． 4．直线与轴的交点坐标是（　） A． B． C． D． 5．圆锥底面直径为6，高为4，则母线长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知圆的半径为，圆心与点关于点对称，则圆的标准方程为（   ）. A． B． C． D． 7．选手射中10环的概率为，中9环的概率为，射中不低于9环的概率为（   ） A．0.7 B．0.12 C．0.3 D．0.88 8．如果一组数据中，每个数减去同一个非零常数，则这组数（   ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数改变，方差改变 C．平均数不变，方差改变 D．平均数改变，方差不变 9．已知直线，直线与垂直且过点，则的方程是（    ） A． B． C． D． 10．若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为（    ） A．0或2 B．0或 C．0或 D．或2 11．已知一个圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 12．为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额（单位：元）都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（ ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 13．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 14．若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 15．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 16．若函数且的图像不经过第二象限，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 17．已知函数，若，则（   ） A．2 B．1 C．16 D．4 18．设，那么m等于（ ） A． B．9 C．18 D．27 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．在平面直角坐标系中，点，，且，则实数的值为__________. 20．已知球的半径为3cm，则其体积为________. 21．已知一个直三棱柱的三视图及有关尺寸如图所示，则此三棱柱的表面积为________.    22．平行线与之间的距离为__________ 23．已知指数函数 是减函数，则 的取值范围是 __________（用区间表示）. 24．函数的值域是_____． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知直线和直线． (1)当时，求a的值； (2)当时，求a的值． 26．(本题10分)某学校为了了解高一学生的数学学习情况，随机抽取了100名学生的数学成绩（满分100分），将成绩分成5组：，已知第一组的频率为0.10，第二组的频率为0.20，第四组的频率为0.30，第五组的频率为0.15. (1)求第三组的频率； (2)估计这100名学生数学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)估计这100名学生数学成绩的70%分位数. 27．(本题12分)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高.（结果保留）    (1)求这个陀螺的表面积； (2)求这个陀螺的体积. 28．(本题12分)已知直线与圆相交于两点． (1)求弦长； (2)求弦垂直平分线的方程． 29．(本题14分)已知直线经过点． (1)求实数a的值； (2)解关于x的不等式； (3)求函数在上的值域． 30．(本题14分)一种圆柱形饮料罐，底面直径为 8 厘米，高为 12 厘米. (1)求该饮料罐的表面积（包括上下底面）； (2)若要将 24 罐这样的饮料装在一个长方体纸箱中，怎样摆放才能使纸箱的表面积最小？此时纸箱的表面积是多少？ 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知正四棱锥如图所示，则该四棱锥的三视图中的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据正四棱锥的结构特点及俯视图的定义可判断结果. 【详解】在俯视图中，正四棱锥的底面正方形直接呈现为视图的轮廓，侧棱在底面正方形的投影为正方形的对角线， 所以只有B选项符合. 故选：B 2．某高中竞赛生中，一年级6人，二年级12人，三年级18人，采用分层抽样的方法从中抽6人，则需要从三年级抽（   ）人. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据分层抽样方法即可求解. 【详解】设需要从三年级中抽人，因为一年级6人，二年级12人，三年级18人， 所以采用分层抽样的方法从中抽6人，则，解得. 故选：C. 3．下列直线方程中，斜率为 的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜截式方程或一般式方程求解即可. 【详解】选项A.直线的斜率为1，不符. 选项B.直线的斜率为，符合. 选项C.直线化为，则斜率为，不符. 选项D.直线化为，则斜率为1，不符. 故选：B. 4．直线与轴的交点坐标是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，然后求出对应的值即可. 【详解】对于直线，令，得，解得， 所以直线与轴的交点坐标是. 故选：B. 5．圆锥底面直径为6，高为4，则母线长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用圆锥的底面半径、高和母线构成直角三角形这一性质，通过勾股定理求解母线长. 【详解】由题意，底面半径，高，则母线. 故选：C. 6．已知圆的半径为，圆心与点关于点对称，则圆的标准方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程结合中点坐标公式即可求解. 【详解】设圆心为,因为圆心与点关于点对称，所以, 解得，所以圆心为，又因为圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：C. 7．选手射中10环的概率为，中9环的概率为，射中不低于9环的概率为（   ） A．0.7 B．0.12 C．0.3 D．0.88 【答案】A 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】不低于9环包括射中10环和射中9环， 射中10环和射中9环这两个事件是互斥事件， 因此射中不低于9环的概率为：， 故选：A 8．如果一组数据中，每个数减去同一个非零常数，则这组数（   ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数改变，方差改变 C．平均数不变，方差改变 D．平均数改变，方差不变 【答案】D 【分析】根据平均数以及方差的概念以及公式求解即可. 【详解】设原数据为，原平均数为，原方差为，每个数据减去同一个非零常数后， 新数据为. 新平均数，因此平均数改变. （人教版）新方差，因此方差不变. （高教版）新方差，因此方差不变. 故选：D. 9．已知直线，直线与垂直且过点，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直求出的斜率，再根据斜截式方程求解即可. 【详解】因为两直线垂直，斜率乘积为，所以直线的斜率为，又因为直线过点， 所以直线的斜截式方程为 故选：A. 10．若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为（    ） A．0或2 B．0或 C．0或 D．或2 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标，代入点到直线距离公式即可得解. 【详解】因为圆的圆心为， 圆心到直线的距离为，则， 解得或， 故选：. 11．已知一个圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的侧面积公式求出底面圆的半径，再求出圆锥的高，最后由圆锥的体积公式求值即可. 【详解】已知一个圆锥的母线长为3， 侧面积为，设底面圆的半径为， 则，解得， 则圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故选：C. 12．为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额（单位：元）都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（ ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 【答案】C 【详解】对于A，因为，故，故A错误； 对于B，因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 故中位数在中，故中位数大于，故B错误； 对于C，设顾客平均每次的消费金额的极差，则， 故，故C正确； 对于D，顾客平均每次的消费金额的平均数为： （元）， 故D错误. 13．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再利用复合函数单调性，结合二次函数、对数函数单调性求出递增区间. 函数中，，解得或， 函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为. 故选：D 14．若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项的正确性. 【详解】选项A和B，因为，所以函数在上单调递增， 已知，所以，故选项A错误，选项B正确， 选项C，因为，所以函数在上单调递增， 已知，所以，故选项C错误， 选项D，因为，所以函数在上单调递减， 已知，所以，故选项D错误， 故选：B. 15．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据真数大于零，结合二次根式的性质列出不等式组，利用对数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】函数， 对于函数，底数，即在上为增函数， 则，解得， 所以函数定义域为， 故选：. 16．若函数且的图像不经过第二象限，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的图象和性质判断即可. 【详解】若函数的图象不经过第二象限， 则根据指数函数的图像与性质可知，指数函数在上必须是增函数，故， 另外还需要把的图象向下平移至少1个单位长度，所以. 故选：D. 17．已知函数，若，则（   ） A．2 B．1 C．16 D．4 【答案】D 【分析】先将函数 化为同底对数形式，再根据对数的运算法则进行计算. 【详解】， 已知，可得：，即，所以， 故选：D. 18．设，那么m等于（ ） A． B．9 C．18 D．27 【答案】B 【分析】利用换底公式化简得到对数方程，求出即可. ， ，， 故选：B. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．在平面直角坐标系中，点，，且，则实数的值为__________. 【答案】或4 【分析】根据两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点，，且， 所以，即， 解得：或， 故答案为：或4. 20．已知球的半径为3cm，则其体积为________. 【答案】 【分析】根据球的体积公式求解即可. 【详解】因为球的半径为，所以其体积. 故答案为：. 21．已知一个直三棱柱的三视图及有关尺寸如图所示，则此三棱柱的表面积为________.    【答案】 【分析】根据三视图中的数据求出底面积与高，代棱柱体积公式计算即可. 【详解】由图可知，该几何体为放倒的直三棱柱，    该直三棱柱的上下底面为直角三角形，则底面积为：， 且直角三角形的斜边为，即底面三条棱长为：， 由图知直三棱柱的高为，故该三棱柱侧面积为：， 故该三棱柱的表面积为：. 故答案为： 22．平行线与之间的距离为__________ 【答案】 【分析】根据两平行线之间的距离公式求值即可. 【详解】直线等价于， 则平行线与之间的距离为， ， 故答案为：. 23．已知指数函数 是减函数，则 的取值范围是 __________（用区间表示）. 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】已知指数函数 是减函数， 则，解得， 因此 的取值范围是 . 故答案为：. 24．函数的值域是_____． 【答案】 【分析】根据复合函数值域求解即可求得结果. 易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知直线和直线． (1)当时，求a的值； (2)当时，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行的条件列式即可求解. （2）根据两直线垂直的条件列式即可求解. 【详解】（1）直线和直线． 因为，可得，解得或， ，解得且， 综上所述，． （2）直线和直线， 因为，所以，解得. 26．(本题10分)某学校为了了解高一学生的数学学习情况，随机抽取了100名学生的数学成绩（满分100分），将成绩分成5组：，已知第一组的频率为0.10，第二组的频率为0.20，第四组的频率为0.30，第五组的频率为0.15. (1)求第三组的频率； (2)估计这100名学生数学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)估计这100名学生数学成绩的70%分位数. 【答案】(1) (2)（分） (3)85 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可. （2）根据平均数公式求解即可. （3）根据分位数的概念求解即可. 【详解】（1）第三组频率. （2）平均数 （分）. （3）前三组频率之和为. 前四组频率之和为. 所以70%分位数位于第四组内. 设70%分位数为，则 . 27．(本题12分)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高.（结果保留）    (1)求这个陀螺的表面积； (2)求这个陀螺的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆柱和圆锥的表面积公式即可得解； （2）由圆柱和圆锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）由题意，底面直径，故底面半径， 圆柱高，圆锥高， 圆锥母线长， 圆锥侧面积：， 圆柱侧面积：， 圆柱下底面积：， 总表面积：. （2）圆柱体积：， 圆锥体积：， 总体积：. 28．(本题12分)已知直线与圆相交于两点． (1)求弦长； (2)求弦垂直平分线的方程． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据圆的方程确定圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式求值即可. （2）首先由直线方程确定直线的斜率，再由直线垂直的条件求出所求直线的斜率，最后由弦的垂直平分线过圆心列出点斜式方程即可. 【详解】（1）已知圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长. （2）已知直线的方程为，则， 垂直平分线与直线垂直， 所以垂直平分线的斜率满足，解得， 因为垂直平分线过圆心， 根据点斜式方程，垂直平分线的方程为， 化简为一般方程式为. 29．(本题14分)已知直线经过点． (1)求实数a的值； (2)解关于x的不等式； (3)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入直线方程中求解方程即可. （2）根据对数函数的单调性解不等式即可. （3）根据指数函数的单调性求值域即可. 【详解】（1）已知直线经过点， 则，解得. （2）由（1）可得，， 且在上为减函数， 由， 得， 则，由①得， 解得或， 由②得， 由③得，即， 解得， 所以该不等式组的解集为， 所以原不等式的解集为. （3）由（1）可得，， 所以，因为为减函数， 且的图像开口向上， 对称轴为， 所以在上单调递减，单调递增， 在上单调递增，单调递减， 所以当时，， 且，， 所以当时，， 即函数在上的值域为. 30．(本题14分)一种圆柱形饮料罐，底面直径为 8 厘米，高为 12 厘米. (1)求该饮料罐的表面积（包括上下底面）； (2)若要将 24 罐这样的饮料装在一个长方体纸箱中，怎样摆放才能使纸箱的表面积最小？此时纸箱的表面积是多少？ 【答案】(1)平方厘米. (2)按罐摆成一排，摆排，叠两层放置，长方体纸箱的表面积最小为平方厘米. 【分析】（）根据题意结合圆柱的表面积公式即可得解. （）长方体的长、宽、高尽可能接近时，此时长方体纸箱表面积最小，结合长方体的表面积公式即可得解. 【详解】（1）底面半径厘米，高为 12 厘米， 所以圆柱表面积为平方厘米. （2）要使长方体纸箱的表面积最小，就要让长方体的长、宽、高尽可能接近. 因为饮料罐底面半径为厘米，高为厘米， 所以可以将罐饮料，按罐摆成一排，摆排，叠两层放置， 此时长方体纸箱的长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 则此时长方体纸箱的表面积为平方厘米. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $