第五章 指数函数与对数函数（B卷·能力提升卷）-《数学 基础模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本卷为中职数学《基础模块下册》第五章指数函数与对数函数B卷（能力提升），紧扣教材核心考点，通过基础巩固与能力提升梯度设计，结合社会热点（如新冠疫情毒株观测）与科学情境（光照衰减、噪声污染），培养运算能力、模型意识与应用能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|根式与分数指数幂互化、指数函数图像与性质|基础概念辨析，如指数函数单调性判断| |填空题|6/24|函数定义域、单调性、最值|结合参数讨论，如含参指数函数单调区间| |解答题|6/72|函数模型应用、指数函数综合问题|30题以新冠疫情毒株数量为情境，构建指数函数模型求解，体现数学语言表达现实世界；29题综合考查奇函数性质与值域，培养推理意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列根式与分数指数幂的互化错误的是（    ） A． B． C． D． 2．化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．函数在区间的最大值与最小值之差为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 4．如图所示是指数函数①；②；③的图像，下列结论判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．设，，函数在区间上的最小值为，则a的取值范围为（ ） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 6．已知 且 ，则函数 与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．函数，则等于（        ） A． B． C． D． 8．已知，若，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，且，若，则（    ） A． B．6 C．8 D． 10．函数在同一直角坐标系中的图像如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 11．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系如图所示，假设其函数关系为指数函数，下列四个说法：①此指数函数的底数为；②在第个月时，野生水葫芦的面积会超过.③设野生水葫芦蔓延至所需的时间分别为、、，则有；④野生水葫芦从蔓延到至少需要个月；其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 12．指数函数是定义域上的增函数，则有（   ） A． B． C． D． 13．使函数为增函数的区间是（    ） A． B． C． D． 14．设，，则（   ） A． B． C． D． 15．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（    ）（附：） A．0.2 B．0.18 C．0.1 D．0.14 16．下列选项中正确的是（   ） A．函数不是指数函数 B．函数的定义域为 C． D．已知，，则 17．函数的定义域是（      ） A． B． C． D． 18．已知函数，且，则（   ） A．0 B．3 C． D．2 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．若，，则可用表示为________ 20．若函数，则__________. 21．若函数（且）有最大值，则的取值范围是___________. 22．已知函数．当时，的单调递减区间为___________； 当时，的单调递增区间为___________． 23．已知函数，若，则实数的取值范围是_______. 24．噪声污染问题越来越受到人们的重视.一般可以用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级.已知在距离燃油汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，则的最大值为_____. 声源 与声源的距离（单位：） 声压级（单位：） 燃油汽车 10 电动汽车 10 40 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知函数的图象经过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 26．(本题10分)已知函数（为常数） (1)若的图像过点，求的值； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围. 27．(本题12分)已知函数 (1)当时，求该函数的定义域； (2)如果恒成立，求实数a的取值范围． 28．(本题12分)已知函数， (1)当时，求函数的定义域； (2)当时，求解不等式； (3)若函数的定义域是，求实数的取值范围. 29．(本题14分)已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数. (1)求的解析式. (2)求的值. (3)求的值域. 30．(本题14分)自2020年1月以来，新冠肺炎疫情仍在世界许多国家肆虐，并且出现了传播能力强，传染速度更快的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．2022年8月，奥密克戎BA．5．1．3变异毒株再次入侵海南，为了更清楚了解该变异毒株，某科研机构对该变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： 1 2 3 4 5 6 … y（万个） … 10 … 50 … 250 … 若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择． (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．（参考数据：，） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列根式与分数指数幂的互化错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式与分数指数幂的互化与实数指数幂的运算法则可判断结果. 【详解】对A选项，，故正确； 对B选项，，故错误； 对C选项，，故正确； 对D选项，，故正确. 故选：B 2．化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂运算解答即可. 【详解】， 故选：. 3．函数在区间的最大值与最小值之差为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】讨论和时的单调性，求出最值，列出方程求出满足条件的的值. 【详解】当时，在区间上递增， 可得最大值是，最小值是， 即， 解得或，不符合题意，舍去. 当时，在区间上递减， 可得最大值是，最小值是， 即， 解得或，不符合题意，舍去. 故选：D. 4．如图所示是指数函数①；②；③的图像，下列结论判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由函数图像即可判断. 【详解】如图所示，指数函数①；②；③的图像， 令，直线与三条曲线交点的纵坐标分别是， 由函数图像可知.    故选：A. 5．设，，函数在区间上的最小值为，则a的取值范围为（ ） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【答案】B 【分析】对函数进行变形，结合函数单调性与零点存在性定理得到不等式，解出a的取值范围. ，故，因为为单调函数，由零点存在性定理得：，解得：或， 故选：B． 6．已知 且 ，则函数 与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和一元二次函数的图像和性质分析判断即可. 【详解】对于指数函数，当时，函数在定义域上单调递增，且恒过，满足条件的是A，C选项， 但此时对于，图像开口向上，对称轴，当时，，所以A，C选项均不满足题意； 对于指数函数，当时，函数在定义域上单调递减，且恒过，满足条件的是B，D选项， 但此时对于，图像开口向上，对称轴，当时，，所以只有D选项满足题意； 故选：D. 7．函数，则等于（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件整理出函数解析式即可得解. 【详解】函数. 令，所以即. 所以. 故选：. 8．已知，若，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据指数式和对数式互化法则得出，再将其代入中求解即可. 【详解】已知，则， 所以，， 因为，所以， 即，得，解得， 故选：A. 9．已知函数，且，若，则（    ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】根据题目条件列出等式，再进行计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 因为，所以，解得. 因为，所以，进而. 故选：C. 10．函数在同一直角坐标系中的图像如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性和对数函数的图象性质即可解答. 【详解】由图象可知，单调递增，， 图象单调递减，所以，， 过点作直线, 图象与直线交于，图像与直线交于， 由图象可知，，所以， 故选：C.    11．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系如图所示，假设其函数关系为指数函数，下列四个说法：①此指数函数的底数为；②在第个月时，野生水葫芦的面积会超过.③设野生水葫芦蔓延至所需的时间分别为、、，则有；④野生水葫芦从蔓延到至少需要个月；其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据题意，结合对数的运算、对数函数的图像和性质，及对数的应用，即可判断求解. 【详解】由题意，设函数解析式为且， 因为函数图像过， 所以，解得，故①说法正确； 所以函数解析式为， 当时，， 即在第个月时，野生水葫芦的面积为，会超过，故②说法正确； 设野生水葫芦蔓延至所需的时间分别为、、， 则， 所以， 所以， 因为， 所以.故③说法正确； 当时，，当时，， 所以， 因为， 所以野生水葫芦从蔓延到需要个月，不到个月， 故④说法错误； 故正确说法有①②③. 故选：A. 12．指数函数是定义域上的增函数，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数和对数函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为指数函数是定义域上的增函数， 所以，故选项D错误； 所以，故选项A错误； 所以对数函数在定义域上是增函数， 所以，故选项B错误； 所以，即，故选项C正确. 故选：C. 13．使函数为增函数的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，再结合二次函数的单调性与对数函数的单调性即可得出结果. 【详解】令则，令，解得：， 所以函数的定义域为， 而对于二次函数，开口向下，对称轴为， 所以二次函数在单调递增，在单调递减， 而函数在定义域内为增函数， 根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是. 故选：C. 14．设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数和对数函数的单调性判断大小即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以， 因为在上单调递减， 所以，即， 因为在上单调递增， 所以， 综上可得，. 故选：B. 15．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（    ）（附：） A．0.2 B．0.18 C．0.1 D．0.14 【答案】B 【分析】根据题意得到，再利用对数的运算法则即可得解. 【详解】依题意得，，即， 两边取对数，得，则. 故选：B. 16．下列选项中正确的是（   ） A．函数不是指数函数 B．函数的定义域为 C． D．已知，，则 【答案】C 【分析】根据指数函数、函数的定义域、幂运算和对数运算的运算性质依次判断即可求解. 【详解】对于A选项，函数，符合指数函数特征，是指数函数，故A选项错误； 对于B 选项，为使函数有意义，所以，解得，所以函数的定义域为，故B选项错误； 对于C 选项，，故C选项正确； 对于D选项，因为，，所以，故D选项错误. 故选：C. 17．函数的定义域是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的真数大于零以及算术平方根底数为非负，即可求解. 【详解】因为函数， 所以，且， 根据对数函数的单调性，由得到，即， 由得到， 故函数的定义域为，即， 故选：A. 18．已知函数，且，则（   ） A．0 B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】将代入函数的解析式中得出，再将代入解析式中求值即可. 【详解】已知函数， 因为，则 ， 所以，即， 所以， 故选：A. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．若，，则可用表示为________ 【答案】 【分析】根据换底公式以及对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 20．若函数，则__________. 【答案】/ 【分析】根据题意，结合分段函数求值，及指数、对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 21．若函数（且）有最大值，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据对数型复合函数单调性写出最大值满足的条件，确定的取值范围. 【详解】的是开口向下的二次函数，当时，取最大值，且的最大值为正数，即，解得或； 又因为函数（且）有最大值， 则外层函数为增函数，所以 ， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 22．已知函数．当时，的单调递减区间为___________； 当时，的单调递增区间为___________． 【答案】 ； 【详解】试题分析：当时，，，所以的单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为 考点：函数单调性 23．已知函数，若，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】分类讨论和的情况，结合指数函数与对数函数的单调性即可得解. 【详解】函数，， 当时，， 因为函数，，所以函数在上为增函数，则，解得，符合题意； 当时，， 因为函数，，所以函数在上为增函数，解得，符合题意； 综上所述，实数的取值范围是， 故答案为：. 24．噪声污染问题越来越受到人们的重视.一般可以用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级.已知在距离燃油汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，则的最大值为_____. 声源 与声源的距离（单位：） 声压级（单位：） 燃油汽车 10 电动汽车 10 40 【答案】100 【分析】根据声压级的定义公式，代入，值，再化简代数式即可求解. 【详解】因为声压级， 题目已知距离燃油汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，， 所以，即，故，得到， ，即，故， 将代入，得到， 所以，解得， 故的最大值为100. 故答案为：100. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知函数的图象经过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式中求解即可. （2）由对数函数的单调性，将对数不等式转换为一元二次不等式，求解即可. 【详解】（1）已知函数的图象经过点， 则，解得. （2）由（1）可知，， 因为在为减函数， 由不等式， 所以，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 26．(本题10分)已知函数（为常数） (1)若的图像过点，求的值； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数过定点以及函数的解析式求解即可. （2）利用函数的解析式以及复合函数的单调性，求解即可. 【详解】（1）因为函数图像过点， 所以，即，得； （2）令，则原函数 . 对于函数，因为底数，所以在上单调递增. 因为函数是二次函数，其图像开口向上，对称轴为， 所有在上单调递减，在上单调递增. 由于函数在上单调递增，要使在上单调递减， 需函数在上单调递减； 因此，对称轴需满足，解得. 27．(本题12分)已知函数 (1)当时，求该函数的定义域； (2)如果恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对数函数真数大于0即可求解； （2）转化条件为恒成立，结合二次不等式恒成立即可求解. 【详解】（1）当时，， 由，解得或， ∴函数的定义域为. （2）由恒成立得恒成立 当时，不恒成立，不满足条件； 当时，，解得； 综上，a的取值范围为 28．(本题12分)已知函数， (1)当时，求函数的定义域； (2)当时，求解不等式； (3)若函数的定义域是，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的真数大于零，列不等式可求解； （2）根据对数函数的单调性，解不等式即可求解； （3）由对数的真数大于零，转化为不等式恒成立，据此可求解. 【详解】（1）当时，要使函数有意义，则， 即，解得， 所以的定义域为； （2）当时，要使函数有意义，则 ，可化为，解得或， 由，即， 可得，即， 解得， 所以不等式的解集为； （3）若函数的定义域是，则不等式恒成立，则 ①当时，满足要求； ②当时，则，可化为， 解得， 综上所述，的取值范围为 29．(本题14分)已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数. (1)求的解析式. (2)求的值. (3)求的值域. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（）由待定系数法求指数函数解析式即可得解. （）利用奇函数的性质列出方程即可得解. （）由指数函数的取值范围即可推出函数的值域. 【详解】（1）设（且）. 因为，所以. 解得. 所以. （2）因为. 因为是奇函数. 所以，解得. 所以. 又因为，解得. 所以，. （3）. 因为. 所以. 所以的值域为. 30．(本题14分)自2020年1月以来，新冠肺炎疫情仍在世界许多国家肆虐，并且出现了传播能力强，传染速度更快的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．2022年8月，奥密克戎BA．5．1．3变异毒株再次入侵海南，为了更清楚了解该变异毒株，某科研机构对该变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： 1 2 3 4 5 6 … y（万个） … 10 … 50 … 250 … 若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择． (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．（参考数据：，） 【答案】(1)函数更合适，解析式为 (2)14 【分析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断； （2）设至少需要个单位时间，则，再结合对数函数的公式，即可求解． 【详解】（1）若选，将，和，代入可得， ，解得， 故， 将代入，，不符合题意， 若选，将，和，代入可得， ，解得，故， 将代入 可得，符合题意， 综上所述，选择函数更合适，解析式为. （2）设至少需要个单位时间， 则，即， 两边同时取对数可得，， 则， ∵，∴的最小值为14， 故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于十亿个． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $