专题24 抛物线（讲义）-2027年云南省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题24 抛物线 【复习目标】 1. 会借助几何直观感知抛物线的定义及有关概念，会根据条件求抛物线标准方程，知道利用抛物线标准方程分析抛物线的几何特征的过程； 2. 会用抛物线标准方程分析抛物线的几何特征，会用抛物线的图像和性质解决有关问题； 3. 会判断直线与圆锥曲线的位置关系，能运用圆锥曲线的几何性质求解有关问题. 【考点1 抛物线】 1.抛物线定义： 一般地，把平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线． 2. 抛物线的性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 【即时训练】 1．若动点到定点的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 【答案】A 【分析】根据题意结合抛物线的定义即可得解. 【详解】动点到定点的距离与到直线的距离相等，且定点不在直线上，满足抛物线的定义， 故选：. 2．抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的标准方程可直接得出的值. 【详解】在抛物线方程中，可得，即， 所以抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：B. 3．抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的标准方程即可求解准线方程. 【详解】抛物线方程为， 则，即，又焦点在轴的正半轴上， 所以准线方程为． 故选：D. 4．抛物线的焦点坐标及准线方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据抛物线方程求出的值，即可求解焦点坐标和准线方程. 【详解】因为抛物线方程为， 所以，，焦点在轴的正半轴上， 则焦点为，准线方程为． 故选：A. 5．若抛物线（）过点，则点到该抛物线的焦点的距离为是（   ） A．9 B．10 C．12 D． 【答案】B 【分析】由抛物线（）过点即可求其标准方程，再根据题意即可求解. 【详解】因为抛物线（）过点，即，解得. 此时抛物线的准线为，点到该抛物线的焦点的距离等于点到该抛物线的准线的距离，即. 故选：B. 6．抛物线的焦点坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，即可求解. 【详解】由得，所以抛物线的焦点在y轴正半轴上， 因为，解得， 所以焦点坐标为，即. 故选：B． 7．抛物线焦点到顶点的距离是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先求出它的焦点坐标和顶点坐标，再计算两者之间的距离. 【详解】因为抛物线方程，所以，解得. 因此，焦点坐标为，顶点坐标为. 焦点到顶点的距离为. 故选：B. 8．若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程为_____． 【答案】 【分析】根据焦点坐标设定抛物线方程，即可求解. 【详解】由抛物线焦点坐标为可知，焦点在轴负半轴上，且， 所以， 设，代入得． 故答案为：. 9．已知抛物线，则表示焦点（   ） A．到准线的距离 B．到准线距离的一半 C．到准线距离的两倍 D．到轴的距离 【答案】A 【分析】根据抛物线的概念求解. 【详解】由抛物线中参数的几何意义可知，表示焦点到准线的距离. 故选：A. 10．若抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且准线方程为，则其焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质即可得解. 【详解】抛物线的准线方程为，焦点在轴正半轴上，故其焦点坐标为. 故选：. 11．抛物线的开口方向为（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【答案】B 【分析】根据抛物线方程确定开口方向即可. 【详解】已知抛物线， 则其对称轴为轴，开口向右， 故选：B. 12．已知点M到抛物线的焦点F的距离为5，则点M到该抛物线准线的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义可求. 【详解】点M到抛物线的焦点F的距离为5， 由抛物线定义可知，点M到该抛物线准线的距离也为5. 故选： D. 13．如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的准线方程即可确定焦点坐标. 【详解】由于抛物线的准线是直线， 所以它的焦点为． 故选：D. 14．若以原点为顶点的抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线焦点坐标即可确定准线方程. 【详解】已知以原点为顶点的抛物线的焦点坐标为， 则其准线方程为. 故选：A. 15．已知抛物线，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出即可求解准线方程. 【详解】抛物线中，， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 16．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，可得的值及焦点坐标. 【详解】由题意，抛物线，则，， 又焦点在轴的正半轴上，则焦点坐标为， 故选：C. 17．过点作直线与抛物线只有一个公共点，满足条件的直线有（  ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直线与抛物线的位置关系判断交点个数即可解得. 【详解】由题，可知抛物线方程为，点在抛物线外部， 则与抛物线只有一个公共点的直线共有三条， 分别为两条直线与抛物线相切，一条直线与抛物线对称轴平行. 故选：C 18．直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【详解】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 19．若直线y＝x＋b经过抛物线的焦点，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求抛物线的焦点，将焦点代入直线可求解. 【详解】由抛物线方程可知：焦点为， 又因为直线经过焦点， 将代入可得. 故选：C 20．直线与抛物线交于两个不同的点，且中点的横坐标为，则的值为（    ） A．和 B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，利用两交点中点的横坐标可得结果. 【详解】解：由题可知，设直线与抛物线的两个不同的交点为， 联立直线与抛物线的方程为， 可得， 又知的中点横坐标为， 故可知. 故选：B. 21．过抛物线的焦点，且斜率为2的直线交抛物线于，两点. (1)求直线的方程. (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线方程得到焦点坐标，利用点斜式即可得出直线方程. （2）设出点的坐标，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 直线的方程为，即. （2）设两点坐标为， 联立方程组，可得， ， 抛物线中， 所以. 线段的长度为. 22．已知抛物线的顶点为原点，焦点坐标为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径，求此抛物线通径的长. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由焦点坐标求出，进而直接写出标准方程即可. （2）将焦点坐标的中横坐标代入抛物线方程，求得纵坐标，即可求出通径的长度. 【详解】（1）抛物线的顶点为原点，焦点坐标为， 设抛物线方程为， 所以， 所以抛物线的标准方程为. （2）抛物线方程，焦点坐标为 过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径， 将代入抛物线方程，得，解得，， ∴此抛物线的通径长为. 23．已知抛物线的准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点.求： (1)抛物线的标准方程； (2)的值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据抛物线准线求方程即可. （2）根据直线过焦点求出直线方程，再联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求出，套公式求焦点弦即可. 【详解】（1）设抛物线的标准方程为， 由题意得， 所以抛物线的标准方程为. （2）设，， 直线过焦点， 由题意得， 则消得，， 所以， 所以，. 24．已知抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆的左焦点 (1)求抛物线的标准方程； (2)若过点作直线交抛物线于A、B两点，使得点M是弦的中点，求直线的方程及弦AB的长. 【答案】(1) (2)直线方程：，弦长 【分析】（1）由椭圆方程求出左焦点结合已知条件即可求出抛物线的方程； （2）设抛物线过点的弦的直线方程为，，联立直线方程和抛物线方程，根据弦的中点列式求得k的值，即可求得直线的方程及弦AB的长. 【详解】（1）由得，所以，则， 所以椭圆的左焦点为，设抛物线的方程为， 因为抛物线的焦点为，所以，则抛物线的方程为. （2）设抛物线过点的弦的直线方程为，即，， 联立抛物线方程，消去y，得， 则，， 由为弦的中点，可得，解得，则成立， 则弦AB所在的直线方程为：，， 则弦AB的长为. 25．已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若，求点A的坐标； (2)若直线l的倾斜角为，求线段AB的长. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义和几何性质即可求解. （2）根据倾斜角与斜率的关系，设出直线l的方程，再与抛物线方程联立，根据抛物线的几何性质即可求解. 【详解】（1）因为抛物线方程为， 所以，其准线方程为，焦点. 设，， 由抛物线的定义可知，， 因为， 所以， 将其代入，解得， 所以点A的坐标为或. （2）因为直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为1. 因为直线l经过抛物线的焦点， 所以直线l的方程为. 将其与抛物线方程联立，得， 整理得， 由韦达定理可知，， 由抛物线的定义可知，. 所以线段AB的长是8. 1.（2026年云南）抛物线的焦点坐标是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出值即可得解. 【详解】抛物线，焦点在轴负半轴， ，所以焦点坐标为. 故选：. 2.（2025云南）已知直线l：经过抛物线C：的焦点F，且直线l与抛物线C相交于A、B两点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线过抛物线焦点坐标求出焦点坐标，然后可求抛物线标准方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合弦长公式可求. 【详解】（1）抛物线C：的焦点F为， 则，， 则抛物线方程为. （2）联立直线与抛物线方程，， 整理得，， 设点，， 则，， 直线，， 由弦长公式得 . 3.（2024云南）抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，然后求准线方程即可. 【详解】抛物线，可化为， 即，，， 则准线方程为； 故选：C. 4.（2024云南）已知双曲线与抛物线有一个公共焦点，且双曲线的离心率为，求双曲线的标准方程． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程，可求得双曲线的一个焦点，即可得到；再利用双曲线的离心率的计算公式，得到，再利用可得，进而得到双曲线的标准方程. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以双曲线的一个焦点为，所以； 又因为，所以，所以， 所以双曲线的标准方程为. 5.（2023云南）抛物线的对称轴方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴的公式求解即可. 【详解】， ，，， 对称轴方程为：. 故选：C. 6.（2023云南）已知抛物线的焦点坐标为，则a的值是（ ） A. B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的性质分析即可. 【详解】因为焦点坐标为， 所以可知焦点在x轴负半轴上， 又因为焦点坐标为， 所以, 即. 故选：C. 7.（2022云南）图形关于轴对称的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程与对称性即可得解. 【详解】A、的图形由的图像向下平移一个单位得到， 所以的图像既不关于轴对称，又不关于轴对称； B、为焦点在轴的抛物线方程，图像关于轴对称； C、为焦点在轴的抛物线方程，图像关于轴对称； D、为焦点在轴的抛物线方程，图像关于轴对称. 故选:C. 【答案】B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题24 抛物线 【复习目标】 1. 会借助几何直观感知抛物线的定义及有关概念，会根据条件求抛物线标准方程，知道利用抛物线标准方程分析抛物线的几何特征的过程； 2. 会用抛物线标准方程分析抛物线的几何特征，会用抛物线的图像和性质解决有关问题； 3. 会判断直线与圆锥曲线的位置关系，能运用圆锥曲线的几何性质求解有关问题. 【考点1 定义及标准方程】 1.抛物线定义： 一般地，把平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为 ．定点F称为抛物线的 ，定直线称为抛物线的 ． 2. 抛物线的标准方程 开口向右：（） 开口向左：（） 开口向上：（） 开口向下：（） 【即时训练】 【考点2 抛物线的性质】 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 【即时训练】 1．若动点到定点的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 2．抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 4．抛物线的焦点坐标及准线方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．若抛物线（）过点，则点到该抛物线的焦点的距离为是（   ） A．9 B．10 C．12 D． 6．抛物线的焦点坐标是（   ）． A． B． C． D． 7．抛物线焦点到顶点的距离是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 8．若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程为_____． 9．已知抛物线，则表示焦点（   ） A．到准线的距离 B．到准线距离的一半 C．到准线距离的两倍 D．到轴的距离 10．若抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且准线方程为，则其焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 11．抛物线的开口方向为（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 12．已知点M到抛物线的焦点F的距离为5，则点M到该抛物线准线的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 14．若以原点为顶点的抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（   ） A． B． C． D． 15．已知抛物线，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 16．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 17．过点作直线与抛物线只有一个公共点，满足条件的直线有（  ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 18．直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 19．若直线y＝x＋b经过抛物线的焦点，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 20．直线与抛物线交于两个不同的点，且中点的横坐标为，则的值为（    ） A．和 B． C． D． 21．过抛物线的焦点，且斜率为2的直线交抛物线于，两点. (1)求直线的方程. (2)求线段的长度. 22．已知抛物线的顶点为原点，焦点坐标为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径，求此抛物线通径的长. 23．已知抛物线的准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点.求： (1)抛物线的标准方程； (2)的值. 24．已知抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆的左焦点 (1)求抛物线的标准方程； (2)若过点作直线交抛物线于A、B两点，使得点M是弦的中点，求直线的方程及弦AB的长. 25．已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若，求点A的坐标； (2)若直线l的倾斜角为，求线段AB的长. 1.（2026年云南）抛物线的焦点坐标是（ ）. A. B. C. D. 2.（2025云南）已知直线l：经过抛物线C：的焦点F，且直线l与抛物线C相交于A、B两点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)求弦长． 3.（2024云南）抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 4.（2024云南）已知双曲线与抛物线有一个公共焦点，且双曲线的离心率为，求双曲线的标准方程． 5.（2023云南）抛物线的对称轴方程是（ ） A. B. C. D. 6.（2023云南）已知抛物线的焦点坐标为，则a的值是（ ） A. B. C. D. 12 7.（2022云南）图形关于轴对称的方程是（ ）． A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $