专题18 直线的方程 （讲义）-2027年云南省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题18 直线的方程 【复习目标】 1. 体会在直角坐标系中推导两点间的距离公式和线段的中点坐标公式的过程，能计算两点间的距离和线段的中点坐标； 2. 会借助几何直观认识直线的倾斜角，能根据条件计算直线的斜率； 3. 能求直线的点斜式、斜截式和一般式方程； 4. 能将直线方程的点斜式、斜截式和一般式进行相互转化. 【考点1 两个重要公式】 1.一般地，设点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为，且有. 2.在Rt△ABC中，根据勾股定理，有， 即A、B两点间的距离为 公式称为 ． 3.若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：. 公式称为线段AB的 . 【即时训练】 1．已知两点、，则（   ） A． B． C．3 D．5 2．已知点，，则 （    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知，，则线段BC的长度为（    ） A．5 B．8 C．9 D．25 4．已知的中点，则n的值为（   ） A．4 B．1 C．5 D． 5．点关于点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．已知点，则线段中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【考点2 直线的方程】 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的 ．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为． (2)斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的 ，常用小写字母k表示，即．当直线平行于x轴或者与x轴重合时k＝0；当直线的倾斜角为锐角时k>0；当直线的倾斜角为钝角时k<0；倾斜角为90°的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度． (3)经过两点，()的直线的斜率公式为． 2.点斜式： （1）设点为直线上异于点的任意一点，它与连线的斜率k是确定的，由直线的斜率公式，得，即． 方程是由直线上一点及斜率 k 确定的，因此称为 ． （2）当斜率k=0时，直线的方程为此时直线平行于轴(或与轴重合)，当斜率不存在时，直线的方程．此时直线平行于y轴(或与y轴重合)， 3.斜截式： （1）一般地，把直线与y轴交点(0，b)的纵坐标b称为直线在 y 轴上的截距，与轴交点的横坐标称为直线在轴上的截距． （2）截距不是距离，它是直线与y 轴(轴)交点的纵坐标(横坐标)，它的值可正可负可为零． （3）若直线的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则直线的点斜式方程为：y-b=k(x-0) ，即 y=k x+b．方程是由直线的斜率 k 及直线在 y 轴上的截距确定的，因此称为 ． 4.一般式： （1）直线的点斜式方程可化为k x-y+y0-kx0=0，直线的斜截式方程y=k x+b可化为k x-y+b=0. （2）当B≠0时，二元一次方程 Ax+By+C=0 可化为，它表示斜率为，在y 轴上截距为的直线．当B=0时，此时一定有A≠0时，元一次方程 Ax+By+C=0 可化为，它表示经过点(，0)且垂直于轴的直线． （3）二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)表示一条直线，方程称为 ． 【即时训练】 7．已知直线经过， 倾斜角为，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 9．经过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知直线的斜率为，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 11．经过，两点的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 12．过点的直线方程（    ） A． B． C． D． 13．过点且斜率为2的直线方程为（   ） A． B． C． D． 14．经过点且斜率为2的直线方程为（   ） A． B． C． D． 15．直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 16．直线的斜率为,在y轴上的截距为,则直线的斜截式方程为（   ） A． B． C． D． 17．直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．3 D．4 18．过点且斜率为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 19．经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 20．经过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 21．已知直线的方程为，则直线的斜率和在轴上的截距分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 22．如果，且，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．下图中直线的方程是，则下列结论中成立的是（    ）    A．且 B．且 C．且 D．且 24．直线的斜率为（   ） A． B．2 C．3 D． 25．直线的斜率与y轴上的截距分别是（   ） A． B． C． D． 26．已知直线的方程为，则下列各点中在该直线上的是（   ） A． B． C． D． 27．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 28．过点且斜率为3的直线方程是（   ） A． B． C． D． 29．直线的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 30．直线，当k变化时，所有直线都恒过点（    ） A． B． C． D． 1.（2024云南）过原点且倾斜角的余弦值等于的直线方程是（ ） A B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题18 直线的方程 【复习目标】 1. 体会在直角坐标系中推导两点间的距离公式和线段的中点坐标公式的过程，能计算两点间的距离和线段的中点坐标； 2. 会借助几何直观认识直线的倾斜角，能根据条件计算直线的斜率； 3. 能求直线的点斜式、斜截式和一般式方程； 4. 能将直线方程的点斜式、斜截式和一般式进行相互转化. 【考点1 两个重要公式】 1.一般地，设点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为，且有. 2.在Rt△ABC中，根据勾股定理，有， 即A、B两点间的距离为 公式称为两点间距离公式． 3.若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：. 公式称为线段AB的中点坐标公式. 【即时训练】 1．已知两点、，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由两点的距离公式即可得解. 【详解】由两点、， 知. 故选：B. 2．已知点，，则 （    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用两点间距离公式可求. 【详解】因为点，， 则； 故选：C. 3．已知，，则线段BC的长度为（    ） A．5 B．8 C．9 D．25 【答案】A 【分析】根据两点间的距离公式，即可解得. 【详解】因为，， 所以线段BC的长度为， 故选：A. 4．已知的中点，则n的值为（   ） A．4 B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】因为点的中点， 所以，解得. 故选：A. 5．点关于点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式求解即可； 【详解】设对称点的坐标为，则，解得， 故对称点坐标为， 故选：A 6．已知点，则线段中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式求值即可. 【详解】已知点， 则中点公式为，即. 故选：C. 【考点2 直线的方程】 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为． (2)斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即．当直线平行于x轴或者与x轴重合时k＝0；当直线的倾斜角为锐角时k>0；当直线的倾斜角为钝角时k<0；倾斜角为90°的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度． (3)经过两点，()的直线的斜率公式为． 2.点斜式： （1）设点为直线上异于点的任意一点，它与连线的斜率k是确定的，由直线的斜率公式，得，即． 方程是由直线上一点及斜率 k 确定的，因此称为直线的点斜式方程． （2）当斜率k=0时，直线的方程为此时直线平行于轴(或与轴重合)，当斜率不存在时，直线的方程．此时直线平行于y轴(或与y轴重合)， 3.斜截式： （1）一般地，把直线与y轴交点(0，b)的纵坐标b称为直线在 y 轴上的截距，与轴交点的横坐标称为直线在轴上的截距． （2）截距不是距离，它是直线与y 轴(轴)交点的纵坐标(横坐标)，它的值可正可负可为零． （3）若直线的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则直线的点斜式方程为：y-b=k(x-0) ，即 y=k x+b．方程是由直线的斜率 k 及直线在 y 轴上的截距确定的，因此称为直线的斜截式方程． 4.一般式： （1）直线的点斜式方程可化为k x-y+y0-kx0=0，直线的斜截式方程y=k x+b可化为k x-y+b=0. （2）当B≠0时，二元一次方程 Ax+By+C=0 可化为，它表示斜率为，在y 轴上截距为的直线．当B=0时，此时一定有A≠0时，元一次方程 Ax+By+C=0 可化为，它表示经过点(，0)且垂直于轴的直线． （3）二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)表示一条直线，方程称为直线的一般式方程． 【即时训练】 7．已知直线经过， 倾斜角为，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，得到斜率，再根据直线所过点的坐标，写出直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 因为直线经过， 所以直线方程为，即. 故选：D. 8．如图所示，直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据倾斜角的定义即可求解. 【详解】由图可知，直线l向上的方向与y轴正方向夹角为， 所以直线l向上的方向与x轴正方向夹角为， 所以由倾斜角的定义知直线的倾斜角为. 故选：B. 9．经过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倾斜角确定斜率，再由点和斜率写出点斜式即可. 【详解】已知倾斜角为， 则，因为经过点， 则代入点斜式方程得，化简得. 故选：A. 10．已知直线的斜率为，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的斜率定义直接求解直线的倾斜角即可. 【详解】设该直线的倾斜角为， 则依题意有， 所以. 故选：D. 11．经过，两点的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】因为，，两点横坐标相同， 所以经过这两点的直线的斜率不存在， 所以该直线的倾斜角为． 故选：C. 12．过点的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点求直线斜率，再代其中一点求出直线点斜式方程，整理成一般式方程即可. 【详解】直线斜率为， 又经过点，可得直线的点斜式方程：． 整理得：. 故选：A. 13．过点且斜率为2的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的点斜式方程和一般式方程代入求解即可 【详解】因为直线过点且斜率为2， 根据直线的点斜式方程可得：， 即. 故选：B. 14．经过点且斜率为2的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点斜式方程即可求解. 【详解】因为直线经过点且斜率为2， 所以直线的方程为，即. 故选：A． 15．直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜截式直线方程的斜率为，写出斜率即可. 【详解】直线斜率是. 故选：B. 16．直线的斜率为,在y轴上的截距为,则直线的斜截式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜截式方程直接得出答案. 【详解】由于直线的斜率为，在y轴上的截距为， 则直线的斜截式方程为. 故选：B. 17．直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】令即可求解直线在轴上的截距. 【详解】直线为， 令，则有，解得， 所以直线在轴上的截距为3. 故选：C. 18．过点且斜率为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出直线的点斜式方程，再化为一般式，即可求解. 【详解】因为直线过点且斜率为， 所以直线的点斜式方程为， 整理得. 故选：D. 19．经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角可得斜率，进而得到直线的点斜式方程. 【详解】由题意得所求直线的斜率. 所以直线方程为. 故选：B. 20．经过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可知直线的斜率与直线上一点的坐标，进而可得解. 【详解】因为倾斜角为. 所以. 因为直线过点. 所以直线方程为. 故选：C. 21．已知直线的方程为，则直线的斜率和在轴上的截距分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将直线方程转化为斜截式方程，求解斜率和截距即可. 【详解】由直线的方程为可得， 所以直线的斜率，在轴上的截距， 故选：D. 22．如果，且，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】将直线整理成斜截式,由直线的斜率和纵截距可判断象限. 【详解】直线的斜截式方程为, 所以,纵截距, 因为,, 所以, 所以,, 所以直线不经过第三象限. 故选:C. 23．下图中直线的方程是，则下列结论中成立的是（    ）    A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据直线的图像判断斜率和纵截距正负即可. 【详解】根据图像可知直线方程与y轴的交点为，在x轴上方，∴． 又∵直线的倾斜角为钝角，∴斜率． 故选：B. 24．直线的斜率为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合直线的斜截式方程，即可求解. 【详解】因为直线的斜截式方程为， 所以直线的斜率为2. 故选：B. 25．直线的斜率与y轴上的截距分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的斜截式求解即可. 【详解】直线可化为， ∴直线的斜率，在y轴上的截距， 故选：B． 26．已知直线的方程为，则下列各点中在该直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的方程的特点或者代点即可求解. 【详解】直线方程上的点的纵坐标始终为0，横坐标可为任意实数，所以在直线上； 对于B选项，代入直线方程，有左边，右边，所以点不在直线上； 对于C选项，代入直线方程，有左边，所以点不在直线上； 对于D选项，代入直线方程，有左边，所以点不在直线上. 故选：A. 27．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的斜截式即可得到斜率，进而求解. 【详解】直线的斜率为，故它的倾斜角为. 故选：C. 28．过点且斜率为3的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的点斜式方程即可得解. 【详解】由直线的点斜式方程可知， ，即. 故选：C. 29．直线的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据直线一般式转化为斜截式即可求解. 【详解】直线化为斜截式为. 即，. 故选：A. 30．直线，当k变化时，所有直线都恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所给的方程转化成以为变量的方程易得答案. 【详解】直线方程可化为， 令， ∴无论k为何值时，都过定点． 故选：C. 1.（2024云南）过原点且倾斜角的余弦值等于的直线方程是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角的余弦值求出倾斜角的正切值，再过原点易得答案. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意得，因为， 因为，所以， 所以，又直线过原点， 所以直线的方程为. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $