专题17 正余弦定理与解三角形（讲义）-2027年云南省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题17 正余弦定理与解三角形 【复习目标】 1. 知道正弦定理和余弦定理的推导过程，知道他们在解三角形中的作用； 2. 会用正弦定理和余弦定理解三角形； 3. 能通过数学建模，解决简单的与三角计算有关的实际问题。 【考点1 正弦定理】 1.在Δ ABC中，常用∠A、∠B、∠C表示三个角，用a、b、c分别表示这三个角的对边．根据已知条件求三角形的边和角的过程称为 ． 2. ：在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等． ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 3.适用范围：两角及一边 4.变形形式： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝（角化边） 【即时训练】 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，，则等于（    ） A． B． C．或 D． 6．在中，，是角，，所对的边，且，，，则等于（    ） A． B． C．或 D． 7．已知中，，，，则等于（    ） A．4 B． C． D． 8．已知在中，，，，则b等于（　　） A．2 B．1 C． D． 9．在中，角所对的边分别为．若，则（ ） A． B． C． D． 10．在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（ ） A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120° 【考点2 余弦定理】 1. ：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍. a＝b＋c－2bc·cos A； cos A＝； b＝c＋a－2ca·cos B； cos B＝； c＝a＋b－2ab·cos C； cos C＝ 2.适用范围：两边及一角、三边 【即时训练】 11．在中，已知，，则边c的长为 （       ） A．2 B． C．3 D． 12．已知在中，，则（    ） A．1 B． C． D． 13．已知中，，边，，则边的长度为（   ） A． B． C． D． 14．在△中，三边长分别为a，b，，则△中最大的角为（    ） A．90° B．60° C．120° D．150° 15．在中，，，所对的角分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 16．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 17．已知中，，，，则等于（   ） A．76 B． C．27 D． 18．在中，内角所对的边分别为，若，则（    ） A．7 B． C． D．6 19．如图，以A地为原点，以正东、正北方向分别为x轴﹑y轴的正方向建立平面直角坐标系.某人骑自行车从A地向正南方向出发2km后到达B地，然后朝西偏北45°方向继续前进了km到达C地，那么A、C两地间的距离是（    ）    A． B． C． D． 20．在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A． B．2 C．1或2 D．2或 【考点3 三角形的面积公式】 1．三角形常用面积公式 (1) S＝a·h(h表示底边上的高)； (2) S＝a b sin C＝ ．（三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半） 2．常用公式：A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， sin A＝sin(B＋C)；cos A＝－cos(B＋C)；tan A＝－tan(B＋C) 【即时训练】 21．已知等边三角形的边长为2，则它的面积为（   ） A．1 B． C． D．2 22．某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是.已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 23．已知的面积为，，则（   ） A．1 B． C． D．2 24．在中，若，，，则的面积为（      ） A． B． C． D．40 25．已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 26．在中，已知，，．求： (1)的面积； (2)的值． 27．在中，，，，求的面积. 28．在中，，，，求的值． 29．在中，已知，，. (1)求的大小； (2)求边的长； (3)求的面积. 30．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知. (1)求角B的大小； (2)求的面积S. 1.（2026云南）.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若则△ABC的面积是（ ）。 A. B.6 C. D.3 2.（2025云南）在中，已知，，，则A等于（    ） A． B． C． D． 3.（2024云南）在中，已知，，，则__________． 4.（2023云南）在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 5.（2022云南）在中，已知，，，则（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题17 正余弦定理与解三角形 【复习目标】 1. 知道正弦定理和余弦定理的推导过程，知道他们在解三角形中的作用； 2. 会用正弦定理和余弦定理解三角形； 3. 能通过数学建模，解决简单的与三角计算有关的实际问题。 【考点1 正弦定理】 1.在Δ ABC中，常用∠A、∠B、∠C表示三个角，用a、b、c分别表示这三个角的对边．根据已知条件求三角形的边和角的过程称为解三角形． 2.正弦定理：在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等． ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 3.适用范围：两角及一边 4.变形形式： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝（角化边） 【即时训练】 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意结合正弦定理即可得解. 【详解】在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，， 由正弦定理得， 故选：. 2．在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求得即可. 【详解】在中，. 由正弦定理，得：. 解得：. 故选：C. 3．在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三角形内角和与正弦定理求解即可； 【详解】因为在中，已知 所以， 又因为。 所以由正弦定理可得，所以． 故选：B 4．已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和公式与正弦定理求解即可. 【详解】由的内角， 可知， 由正弦定理知． 故选：C. 5．在中，，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 则， 因为， 所以或． 故选:C. 6．在中，，是角，，所对的边，且，，，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】由正弦定理可知，， 则，，， 因为，则等于或； 故选：C. 7．已知中，，，，则等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 由正弦定理，知， 所以. 故选：B. 8．已知在中，，，，则b等于（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得 . 故选：D 9．在中，角所对的边分别为．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理可得，所以或， 因，则，故为锐角，即. 10．在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（ ） A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120° 【答案】A 【详解】由正弦定理，代入已知条件 ，，， 可得， 由三角形"大边对大角"的性质， ， 因此 . 【考点2 余弦定理】 1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍. a＝b＋c－2bc·cos A； cos A＝； b＝c＋a－2ca·cos B； cos B＝； c＝a＋b－2ab·cos C； cos C＝ 2.适用范围：两边及一角、三边 【即时训练】 11．在中，已知，，则边c的长为 （       ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意知在中，，， 所以， 所以. 故选：B. 12．已知在中，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理运算求解. 【详解】由余弦定理得， 所以． 故选：D． 13．已知中，，边，，则边的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理即可求解. 【详解】在中，，边，， 由余弦定理， 所以. 故选：A. 14．在△中，三边长分别为a，b，，则△中最大的角为（    ） A．90° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】结合余弦定理求出最大角的余弦值即可求出角的大小. 【详解】由题意得△最大的边为，设其对应的角为， 则由余弦定理得. 为△的内角，，， △中最大的角为. 故选：C. 15．在中，，，所对的角分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可解得. 【详解】由余弦定理可得， ， 则， 故选：B 16．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】∵在中，，，， ∴. 故选：A. 17．已知中，，，，则等于（   ） A．76 B． C．27 D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】由余弦定理，得， 所以. 故选：B. 18．在中，内角所对的边分别为，若，则（    ） A．7 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为在中，内角所对的边分别为，， 由余弦定理可得：， 所以. 故选：C. 19．如图，以A地为原点，以正东、正北方向分别为x轴﹑y轴的正方向建立平面直角坐标系.某人骑自行车从A地向正南方向出发2km后到达B地，然后朝西偏北45°方向继续前进了km到达C地，那么A、C两地间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由余弦定理求解A、C两地间的距离即可. 【详解】根据题意，，，， 则由余弦定理可得， ， 所以. 故选:A. 20．在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A． B．2 C．1或2 D．2或 【答案】C 【分析】由余弦定理即可求. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 即， 化简得，解得或2. 故选：C. 【考点3 三角形的面积公式】 1．三角形常用面积公式 (1) S＝a·h(h表示底边上的高)； (2) S＝a b sin C＝a c sin B＝b c sin A．（三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半） 2．常用公式：A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， sin A＝sin(B＋C)；cos A＝－cos(B＋C)；tan A＝－tan(B＋C) 【即时训练】 21．已知等边三角形的边长为2，则它的面积为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式求值即可. 【详解】已知等边三角形的边长为2， 且等边三角形的每个角均为， 所以等边三角形的面积为. 故选：B. 22．某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是.已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】求出三角形空地的面积，即可求出这块三角形空地的改造费用. 【详解】由题意，三角形空地的面积为， 改造费用为50元， 这块三角形空地的改造费用为：元. 故选：C. 【点睛】本题主要考查的是正弦定理中的面积公式的应用，熟记公式是解决本题的关键，是基础题. 23．已知的面积为，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式列方程求解即可. 【详解】已知的面积为，， ， 即，解得. 故选：C. 24．在中，若，，，则的面积为（      ） A． B． C． D．40 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式，即可求解. 【详解】由题意知在中，，，， 所以由三角形面积公式得： . 故选：C. 25．已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为，所以或． 故选：D. 26．在中，已知，，．求： (1)的面积； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据余弦定理结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以的面积为. （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以， 所以， 所以的值为. 27．在中，，，，求的面积. 【答案】 【分析】根据三角形面积公式进行求解即可. 【详解】由题意得，. 28．在中，，，，求的值． 【答案】． 【分析】由三角形的面积公式即可求解. 【详解】根据三角形的面积公式可得 ． 29．在中，已知，，. (1)求的大小； (2)求边的长； (3)求的面积. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据特殊角的余弦值计算； （2）利用余弦定理即可得解； （3）根据三角形面积公式计算. 【详解】（1）在中，因为，而， 所以，即. （2）设，已知， 由余弦定理，得， 整理得，解得或， 因此或. （3）因为的面积为，，， 当时，； 当时：； 因此的面积为或. 30．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知. (1)求角B的大小； (2)求的面积S. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可求出B. （2）根据A、B角度，可求出角C，从而利用三角形面积公式可解. 【详解】（1）由正弦定理，得 ∴或 ∵，∴. （2）∵ ∴ ∴， . 1.（2026云南）.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若则△ABC的面积是（ ）。 A. B.6 C. D.3 【答案】D 【分析】根据正弦定理结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为，所以=， 故选：D. 2.（2025云南）在中，已知，，，则A等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理列方程求解即可. 【详解】已知，，， 由得，， 解得，因为在中，， 所以， 故选：D. 3.（2024云南）在中，已知，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为，，， 由余弦定理， 得， 即， 解得或. 因为在中，， 所以. 故答案为：. 4.（2023云南）在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求得即可. 【详解】在中，. 由正弦定理，得：. 解得： 故选：C. 5.（2022云南）在中，已知，，，则（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解角B的值. 【详解】因为，，， 所以在中，由正弦定理可得， 所以有， 即， 因为，所以，又， 所以角B为或. 故选:B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $