专题9 指数与指数函数（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 指数与指数函数 【复习目标】 1. 理解根式的概念，掌握根式的性质，进行根式与分数指数幂的互化； 2.掌握实数指数幂的运算法则； 3. 理解指数函数的概念，掌握其图像与性质； 4. 能运用指数函数的知识解决有关问题. 【考点1 指数幂的性质与运算】 1、根式 （1）定义：如果，那么.式子__________叫作根式，n叫作__________，a叫作__________. （2）根式的性质 ①为任意正整数，= __________; ②当为奇数时，，当为偶数时，; ③零的任何正整数次方根为零，负数没有偶次方根. 2、指数幂的性质 （1）零次幂：； （2）负数指数幂： ； （3）正分数指数幂： ； （4）负分数指数幂： ； 3、实数指数幂的运算法则 （） 【即时训练】 1．将写成根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 4．计算的值为（    ） A． B． C． D． 5．的值是（    ） A．2 B． C． D． 6．已知，则（   ） A．64 B．8 C．6 D．12 7．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 8．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．设函数 ，则（    ） A．8 B．9 C．5 D．4 10．（   ） A．4 B． C．2 D． 【考点2 指数函数的图像与性质】 函数 指数函数 底数a的范围 图像 定义域 值域 定点 性质 (1) 在R上是函数 (2) 当时，， 当时，. (1) 在R上是函数 (2) 当时，， 当时，. (1) 底数互为倒数的两个指数函数，图像关于y轴对称； (2) 底数的大小关系：“大大近，小小近”（y轴右侧第一象限内图像从上到下底数越来越小）. 【即时训练】 11．下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 12．已知函数，则（   ） A． B．3 C． D．2 13．函数的图象过定点（　　） A． B． C． D． 14．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 15．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 16．（    ） A．大于 B．小于 C．相等 D．不确定 17．设，则（    ） A． B． C． D． 18．下列函数在其定义域内是增函数的是（    ）． A． B． C． D． 19．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 20．函数在上的最大值为（   ） A． B． C．6 D．36 21．某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个，则1个这样的细胞第1次分裂后变为2个细胞，第2次分裂后就得到4个细胞，第3次分裂后就得到8个细胞，……，设第次分裂后就得到个细胞，写出与的关系式． 22．有一种放射性元素，最初的质量为，按每年衰减 (1)求两年后，这种放射性元素的质量； (2)求年后，这种放射性元素的质量（单位为：）与时间的函数表达式； (3)由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）．（精确到年，已知：，） 1.（2026·天津·真题T02）函数：，则（ ） A. e B. 2 C. 1 D. 0 2.（2025·天津·真题T09）_________． 3.（2024·天津·真题T09）已知函数，则（ ） A. B. 3 C. D. 4.（2023·天津·真题T02）若，则实数（ ） A. 5 B. 2 C. 4 D. 3 5.（2022·天津·真题T02）若，则实数（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 指数与指数函数 【复习目标】 1. 理解根式的概念，掌握根式的性质，进行根式与分数指数幂的互化； 2.掌握实数指数幂的运算法则； 3. 理解指数函数的概念，掌握其图像与性质； 4. 能运用指数函数的知识解决有关问题. 【考点1 指数幂的性质与运算】 1、根式 （1）定义：如果，那么.式子叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数. （2）根式的性质 ①为任意正整数，; ②当为奇数时，，当为偶数时，; ③零的任何正整数次方根为零，负数没有偶次方根. 2、指数幂的性质 （1）零次幂：； （2）负数指数幂： ； （3）正分数指数幂： ； （4）负分数指数幂： ； 3、实数指数幂的运算法则 （） 【即时训练】 1．将写成根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式指数幂与根式关系即可得结果. 【详解】. 故选：C 2．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式的运算性质、根式与分数指数幂的互化、指数的运算性质逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 3．若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【详解】 4．计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式、指数幂的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】. 故选：B. 5．的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则计算得解. 【详解】. 故选：B 6．已知，则（   ） A．64 B．8 C．6 D．12 【答案】B 【分析】由已知得，进而根据同底数幂的乘法计算即可. 【详解】 故选：B. 7．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质求解即可. 【详解】由指数幂的运算性质得，故A正确. 故选：A 8．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数的运算法则逐项判断即可. 【详解】正确；不正确； ，C不正确；，D不正确. 故选：A 9．设函数 ，则（    ） A．8 B．9 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，先求得，结合，代入计算，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以. 故选：B. 10．（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】， 故选：C 【考点2 指数函数的图像与性质】 函数 指数函数 底数a的范围 图像 定义域 R 值域 定点 性质 (1) 在R上是增函数 (2) 当时，， 当时，. (1) 在R上是减函数 (2) 当时，， 当时，. (1) 底数互为倒数的两个指数函数，图像关于y轴对称； (2) 底数的大小关系：“大大近，小小近”（y轴右侧第一象限内图像从上到下底数越来越小）. 【即时训练】 11．下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C 12．已知函数，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】根据函数解析式，对指数函数求值得答案. 【详解】由题设解析式，． 故选：C 13．函数的图象过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令得，再计算的值，可得出函数的图象所过定点的坐标. 【详解】令得，则， 故函数的图象恒过定点. 故选：D. 14．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质即可得出选项. 【详解】指数函数的定义域为. 故选：D. 15．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不等于，解出即可. 【详解】因为， 所以. 故选： 16．（    ） A．大于 B．小于 C．相等 D．不确定 【答案】A 【详解】因为在上单调递减，所以. 17．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数、指数函数的单调性，分别和，比较大小即可. 【详解】对数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 因为指数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 又因为，因此大小关系为：. 18．下列函数在其定义域内是增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，反比例函数的单调性可判断选项. 【详解】对于A，因为，所以为减函数，A不正确； 对于B，因为为增函数，所以为减函数，B不正确； 对于C，由反比例函数的单调性可知在区间和上分别递增，但在定义域内不是增函数，C不正确； 对于D，因为，所以在上为增函数， 又，所以为奇函数，所以在区间上也是增函数， 即在定义域内是增函数. 故选：D 19．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的值域即可求解． 【详解】因为指数函数，所以． 20．函数在上的最大值为（   ） A． B． C．6 D．36 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性求出最大值. 【详解】函数在上单调递增，当时，. 所以函数在上的最大值为6. 故选：C 21．某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个，则1个这样的细胞第1次分裂后变为2个细胞，第2次分裂后就得到4个细胞，第3次分裂后就得到8个细胞，……，设第次分裂后就得到个细胞，写出与的关系式． 【答案】 【分析】根据规律即可得出与的关系式. 【详解】第1次分裂后变为个细胞， 第2次分裂后变为个细胞， 第3次分裂后变为个细胞， 设第次分裂后就得到个细胞，则. 故答案为：. 22．有一种放射性元素，最初的质量为，按每年衰减 (1)求两年后，这种放射性元素的质量； (2)求年后，这种放射性元素的质量（单位为：）与时间的函数表达式； (3)由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）．（精确到年，已知：，） 【答案】(1)405 (2) (3)年. 【分析】(1)根据衰减率直接求解即可；(2)根据衰减规律归纳出函数表达式；(3)半衰期即为质量衰减为原来的一半，建立等式，利用换底公式求解. 【详解】（1）经过一年后，这种放射性元素的质量为， 经过两年后，这种放射性元素的质量为， 即两年后，这种放射性元素的质量为405 （2）由于经过一年后，这种放射性元素的质量为， 经过两年后，这种放射性元素的质量为， …… 所以经过年后，这种放射性元素的质量. （3）由题可知，即年. 1.（2026·天津·真题T02）函数：，则（ ） A. e B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】将代入函数解析式求值即可. 【详解】已知， 则， 故选：C. 2.（2025·天津·真题T09）_________． 【答案】3 【解析】 【分析】任何非零的数的0次幂为1，4可化为，再根据幂的乘方运算法则即可计算． 【详解】， 故答案为：3． 3.（2024·天津·真题T09）已知函数，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入函数解析式求解即可. 【详解】因为函数为， 所以. 故选：B 4.（2023·天津·真题T02）若，则实数（ ） A. 5 B. 2 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由数幂运算性质，计算得到答案. 【详解】已知，则, 故选：D. 5.（2022·天津·真题T02）若，则实数（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】结合指数幂的运算及指数函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $