专题9 几种常见的函数（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 几种常见的函数 【复习目标】 考纲中无具体描述，但技能高考都有考查一次函数、反比例函数、二次函数等几种常见的函数的概念和性质的。 【考点1 一次函数】 1. 定义：一般地，形如（其中、是常数，且 __________）的函数，叫做一次函数。当时，一次函数（）也叫做 __________。 2. 定义域与值域：一次函数的定义域是 __________，值域也是 __________。 3. 图像与性质：一次函数的图像是一条 __________，其斜率为，与轴的交点坐标为 __________。 （1）当时，函数在定义域内 __________（填“单调递增”或“单调递减”）； （2）当时，函数在定义域内 __________（填“单调递增”或“单调递减”）； （3）的几何意义：决定直线与轴的交点位置，时交点在轴 __________ 半轴，时在 __________ 半轴，时过 __________。 4. 待定系数法求一次函数解析式：已知两个不同的点坐标、，代入，列 __________ 求解和，即可得到解析式。 【即时训练】 一、单选题 1. 下列函数中，是一次函数且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一次函数（）是奇函数，且经过点，则该函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 当时，一次函数最小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题 4. 关于一次函数，下列说法正确的有（ ） A. 定义域为，值域为 B. 在上单调递减 C. 是非奇非偶函数 D. 当时，值域为 三、填空题 5. 函数是一次函数且单调递增，则的取值范围是 __________，若该函数为奇函数，且经过点，则其解析式为 __________. 6. 已知一次函数在上的值域为，则该函数解析式为 __________，其奇偶性为 __________. 【考点2 反比例函数】 1. 定义：一般地，形如（其中是常数，且 __________）的函数，叫做反比例函数，也可写成（）的形式。 2. 定义域与值域：反比例函数的定义域是 __________，值域是 __________。 3. 图像与性质：反比例函数的图像是 __________，有两个分支，关于 __________ 对称。 （1）当时，图像位于第 __________ 象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而 __________； （2）当时，图像位于第 __________ 象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而 __________； （3）反比例函数的图像 __________（填“经过”或“不经过”）原点，且与轴、轴都没有交点。 4. 待定系数法求反比例函数解析式：已知一个点坐标（），代入，求出 __________ 的值，即可得到解析式。 【即时训练】 一、单选题 1. 下列函数中，是反比例函数且定义域、值域均为的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数（）是奇函数，且在上单调递增，则其图像位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 3. 若反比例函数（）经过点，则其在上的单调性为（ ） A. 单调递增 B.单调递减 C.单调递增 D.单调递减 二、多选题 4. 关于反比例函数（），下列说法正确的有（ ） A. 定义域为，值域为 B. 一定是奇函数 C. 当时，在上单调递减 D. 图像关于直线对称 三、填空题 5. 反比例函数（），当时，其定义域为 __________，在上的单调性为 __________. 6. 已知反比例函数是奇函数，且经过点，则其解析式为 __________，在上的值域为 __________. 【考点3 二次函数】 1. 定义：一般地，形如（其中、、是常数，且 __________）的函数，叫做二次函数。 2. 三种解析式形式： （1）一般式：（）； （2）顶点式：（），其中 _________ 是二次函数的顶点坐标； （3）交点式：（），其中、是二次函数图像与 __________ 交点的横坐标。 3. 定义域与值域：二次函数的定义域是 __________；当时，值域是 __________；当时，值域是 __________。 4. 图像与性质：二次函数的图像是一条 __________，对称轴为直线 __________，顶点坐标为 __________。 （1）开口方向：当时，开口 __________；当时，开口 __________；越大，开口越 __________。 （2）单调性：① 当时，在对称轴左侧（），函数 __________；在对称轴右侧（），函数 __________； ② 当时，在对称轴左侧（），函数 __________；在对称轴右侧（），函数 __________。 （3）最值：当时，函数在顶点处取得最 __________ 值，为 __________；当时，函数在顶点处取得最 __________ 值，为 __________。 5. 待定系数法求二次函数解析式：根据已知条件选择合适的形式，代入点的坐标，列方程（组）求解、、（或、、）。 【即时训练】 一、单选题 1. 下列函数中，是二次函数且定义域为、值域为的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数（）经过点、、，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的对称轴为直线，则其在上的单调性和值域分别为（ ） A. 先增后减，值域 B. 先减后增，值域 C. 单调递增，值域 D. 单调递减，值域 二、多选题 4. 关于二次函数，下列说法正确的有（ ） A. 定义域为，对称轴为 B. 顶点坐标为，值域为 C. 是偶函数 D.在上单调递减，在上单调递增 三、填空题 5. 二次函数的图像与x轴的交点坐标为 __________，与y轴的交点坐标为 __________. 6. 已知二次函数是偶函数，且经过点、，则其解析式为 __________，值域为 __________. 1.（2025 年湖北省技能高考第 23 题）记表示不超过的最大整数，例如，，若函数的最小值为，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2.（2014 年湖北省高职统考第3题）若为偶函数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 3.（2010 年湖北省高职统考第3题）函数在定义域内是（ ） A. 减函数 B. 增函数 C. 非增非减函数 D. 既增又减函数 4.（2002 年湖北省高职统考第12题）当时，函数的值域是（ ） A. B. C. D. 5.（1998 年湖北省对口招生第5题）已知二次函数的图像关于轴对称，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6.（1995 年湖北省对口招生第19题）题目：已知二次函数图像的顶点是，且，则此二次函数为______________. 7.（1997 年湖北省对口招生第24题）已知函数. （1）求作它的图像（要求：标明图像与坐标轴的交点、顶点、对称轴，不列表描点，长度单位用 1cm 表示）； （2）求点关于图像对称轴的对称点的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 几种常见的函数 【复习目标】 考纲中无具体描述，但技能高考都有考查一次函数、反比例函数、二次函数等几种常见的函数的概念和性质的。 【考点1 一次函数】 1. 定义：一般地，形如（其中、是常数，且 ）的函数，叫做一次函数.当时，一次函数（）也叫做 正比例函数 . 2. 定义域与值域：一次函数的定义域是 ，值域也是 . 3. 图像与性质：一次函数的图像是一条 直线 ，其斜率为，与轴的交点坐标为 . （1）当时，函数在定义域内 单调递增 （填“单调递增”或“单调递减”）； （2）当时，函数在定义域内 单调递减 （填“单调递增”或“单调递减”）； （3）的几何意义：决定直线与轴的交点位置，时交点在轴 正 半轴，时在 负 半轴，时过 原点 . 4. 待定系数法求一次函数解析式：已知两个不同的点坐标、，代入，列 二元一次方程组 求解和，即可得到解析式. 【即时训练】 一、单选题 1. 下列函数中，是一次函数且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【考点】一次函数的定义、奇偶性 【答案】D 【解析】根据一次函数定义（），奇函数满足，即，得.A是二次函数，B是反比例函数，C是一次函数但（非奇非偶），D是一次函数且（奇函数），故选D. 2. 已知一次函数（）是奇函数，且经过点，则该函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【考点】一次函数的奇偶性、解析式的求法 【答案】A 【解析】根据一次函数定义（），奇函数满足，即，得.代入得，解析式为，故选A. 3. 当时，一次函数最小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【考点】一次函数的单调性与区间最值 【答案】B 【解析】一次函数中，故. 若（即），函数单调递增，最小值在处取得： ，解得（符合）. 若（即），函数单调递减，最小值在处取得： ，解得，与矛盾，舍去. 综上，，选 B. 二、多选题 4. 关于一次函数，下列说法正确的有（ ） A. 定义域为，值域为 B. 在上单调递减 C. 是非奇非偶函数 D. 当时，值域为 【考点】一次函数的定义域、值域、单调性、奇偶性 【答案】ABCD 【解析】A. 一次函数定义域、值域均为，正确； B. ，在上单调递减，正确； C. 不满足和，是非奇非偶函数，正确； D. 时，得，得，值域为，正确，故选ABCD. 三、填空题 5. 函数是一次函数且单调递增，则的取值范围是 __________，若该函数为奇函数，且经过点，则其解析式为 __________. 【考点】一次函数的单调性、奇偶性 【答案】； 【解析】一次函数单调递增，需满足，解得；奇函数满足，代入得，则；经过点，则，解得，故解析式为. 6. 已知一次函数在上的值域为，则该函数解析式为 __________，其奇偶性为 __________. 【考点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数的单调性 【答案】或；非奇非偶函数 【解析】设解析式为（），分两种情况：① ，单调递增，时，时，解得，，解析式为；② ，单调递减，时，时，解得，；两种解析式均是非奇非偶函数，故答案为（或）；非奇非偶函数. 【考点2 反比例函数】 1. 定义：一般地，形如（其中是常数，且 ）的函数，叫做反比例函数，也可写成（）的形式. 2. 定义域与值域：反比例函数的定义域是 ，值域是 . 3. 图像与性质：反比例函数的图像是 双曲线 ，有两个分支，关于 原点 对称. （1）当时，图像位于第 一、三 象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而 减小 ； （2）当时，图像位于第 二、四 象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而 增大 ； （3）反比例函数的图像 不经过（填“经过”或“不经过”）原点，且与轴、轴都没有交点. 4. 待定系数法求反比例函数解析式：已知一个点坐标（），代入，求出 的值，即可得到解析式. 【即时训练】 一、单选题 1. 下列函数中，是反比例函数且定义域、值域均为的是（ ） A. B. C. D. 【考点】反比例函数的定义 【答案】B 【解析】反比例函数定义为（），A：是正比例函数；B：是反比例函数，定义域、值域均为；C：不是反比例函数（定义域为，值域为）；D：不是反比例函数.故选B. 2. 已知反比例函数（）是奇函数，且在上单调递增，则其图像位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【考点】反比例函数的单调性、图像位置 【答案】C 【解析】反比例函数（）恒为奇函数；单调性由决定，时在上单调递减，时在上单调递增，故，图像位于第二、四象限，故选C. 3. 若反比例函数（）经过点，则其在上的单调性为（ ） A. 单调递增 B.单调递减 C.单调递增 D.单调递减 【考点】反比例函数的单调性 【答案】C 【解析】将代入，得，解得，解析式为；，在上单调递增，故选C. 二、多选题 4. 关于反比例函数（），下列说法正确的有（ ） A. 定义域为，值域为 B. 一定是奇函数 C. 当时，在上单调递减 D. 图像关于直线对称 【考点】反比例函数的定义域、图像对称性、单调性、图像特征 【答案】ABD 【解析】A：反比例函数中，，正确；B：满足，一定是奇函数，正确；C：时，在和上均单调递增，错误；D：反比例函数图像关于直线、对称，正确，故选ABD. 三、填空题 5. 反比例函数（），当时，其定义域为 __________，在上的单调性为 __________. 【考点】反比例函数的定义域、单调性 【答案】；单调递增 【解析】反比例函数（）的定义域恒为；时，在和上均单调递增，故答案为；单调递增. 6. 已知反比例函数是奇函数，且经过点，则其解析式为 __________，在上的值域为 __________. 【考点】反比例函数的单调性、待定系数法求解析式 【答案】； 【解析】反比例函数是奇函数，设解析式为，代入得，解得，解析式为；时，，值域为，故答案为；. 【考点3 二次函数】 1. 定义：一般地，形如（其中、、是常数，且 ）的函数，叫做二次函数. 2. 三种解析式形式： （1）一般式：（）； （2）顶点式：（），其中 是二次函数的顶点坐标； （3）交点式：（），其中、是二次函数图像与 交点的横坐标. 3. 定义域与值域：二次函数的定义域是 ；当时，值域是 ；当时，值域是 . 4. 图像与性质：二次函数的图像是一条 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 . （1）开口方向：当时，开口 向上 ；当时，开口 向下 ；越大，开口越 小 . （2）单调性：① 当时，在对称轴左侧（），函数 单调递减 ；在对称轴右侧（），函数 单调递增 ； ② 当时，在对称轴左侧（），函数 单调递增 ；在对称轴右侧（），函数 单调递减 . （3）最值：当时，函数在顶点处取得最 小 值，为 ；当时，函数在顶点处取得最 大 值，为 . 5. 待定系数法求二次函数解析式：根据已知条件选择合适的形式，代入点的坐标，列方程（组）求解、、（或、、）. 【即时训练】 一、单选题 1. 下列函数中，是二次函数且定义域为、值域为的是（ ） A. B. C. D. 【考点】二次函数的定义 【答案】B 【解析】二次函数定义为（），A是正比例函数，D是反比例函数；B中，值域为，C中，值域为，故选B. 2. 已知二次函数（）经过点、、，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 【考点】二次函数的解析式求法（待定系数法） 【答案】A 【解析】设解析式为，代入得；代入得，即；代入得，即；联立解得，，解析式为，故选A. 3. 二次函数的对称轴为直线，则其在上的单调性和值域分别为（ ） A. 先增后减，值域 B. 先减后增，值域 C. 单调递增，值域 D. 单调递减，值域 【考点】二次函数的单调性 【答案】B 【解析】二次函数，对称轴为，则，，开口向上，故在上单调递减，在上单调递增（先减后增），则在上，最小值为，最大值为，值域为，故选B. 二、多选题 4. 关于二次函数，下列说法正确的有（ ） A. 定义域为，对称轴为 B. 顶点坐标为，值域为 C. 是偶函数 D.在上单调递减，在上单调递增 【考点】二次函数的定义域、值域、对称轴、顶点坐标、单调性 【答案】ABD 【解析】A. 二次函数定义域为，对称轴，正确；B. 顶点纵坐标为，顶点坐标，，值域为，正确；C. 不满足和，是非奇非偶函数，错误， D.开口向上，对称轴，故单调递减，单调递增，正确；故选ABD. 三、填空题 5. 二次函数的图像与x轴的交点坐标为 __________，与y轴的交点坐标为 __________. 【考点】二次函数的图像与坐标轴的交点坐标求法 【答案】； 【解析】时，解得或，图像与x轴的交点坐标为；时，，图像与y轴的交点坐标为. 6. 已知二次函数是偶函数，且经过点、，则其解析式为 __________，值域为 __________. 【考点】待定系数法求二次函数解析式、值域的求法 【答案】； 【解析】偶函数满足，故，设解析式为，代入得；代入得，解得，解析式为；，开口向上，时，的最小值为3，值域为. 1.（2025 年湖北省技能高考第 23 题）记表示不超过的最大整数，例如，，若函数的最小值为，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【考点】二次函数的最值、取整函数（高斯函数）的定义. 【答案】A 【解析】先求二次函数的最小值. 配方得：因为，所以当时，取得最小值. 根据取整函数定义，不超过的最大整数是，即. 2.（2014 年湖北省高职统考第3题）若为偶函数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【考点】偶函数的定义与性质. 【答案】D 【解析】偶函数满足对任意成立，则一次项系数必须为 0，. 先展开函数：，因此：，解得. 3.（2010 年湖北省高职统考第3题）函数在定义域内是（ ） A. 减函数 B. 增函数 C. 非增非减函数 D. 既增又减函数 【考点】一次函数的单调性. 【答案】A 【解析】一次函数（）的单调性由斜率决定： 当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减. 本题中，因此在上是减函数. 4.（2002 年湖北省高职统考第12题）当时，函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【考点】二次函数在闭区间上的值域. 【答案】C 【解析】先配方：，函数的对称轴为，开口向上. 当时，函数取得最小值； 比较区间端点：时，；时，. 因此函数在上的最大值为，值域为. 5.（1998 年湖北省对口招生第5题）已知二次函数的图像关于轴对称，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【考点】二次函数的对称性. 【答案】B 【解析】二次函数的对称轴为. 图像关于轴对称，即对称轴为，因为（二次函数定义），所以，即. 6.（1995 年湖北省对口招生第19题）题目：已知二次函数图像的顶点是，且，则此二次函数为______________. 【考点】待定系数法求二次函数的解析式（顶点式）. 【答案】（或写成） 【解析】已知顶点为，设顶点式：，代入， 0，解得，则此二次函数为， 化为一般式为 . 7.（1997 年湖北省对口招生第24题）已知函数. （1）求作它的图像（要求：标明图像与坐标轴的交点、顶点、对称轴，不列表描点，长度单位用 1cm 表示）； （2）求点关于图像对称轴的对称点的坐标. 【考点】二次函数的图像与性质、对称点坐标计算. 【答案】（1）图略；（2）. 【解析】（1）图像绘制关键信息 对称轴：；顶点： 与轴交点：令，得，即； 与轴交点：令，即，乘以 2 得，解得或，即、. 绘制要点：开口向上，对称轴，顶点，过、、.图像略. （2）先求，点关于对称轴的对称点， 纵坐标不变，横坐标满足：，因此对称点为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $