专题4 一元二次不等式（讲义）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 一元二次不等式 【复习目标】 1. 理解 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 之间的联系. 2. 掌握一元二次不等式解法（基础核心）. 3. 给出一元二次不等式的解集，能反求参数 a、b、c 的值. 【考点1 一元二次不等式(不含参)】 1. 三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有_两相异__实根x1，x2(x1<x2) 有_两相等__实根x1＝x2＝－ _没有__实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|_x>x2或x<x1__} {x|x∈R且_x≠x1__} _R__ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|_x1<x<x2__} _∅__ _∅__ 2.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的_判别式__. (3)当_Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的_交点__确定一元二次不等式的解集． 【即时训练】 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 5．不等式的解集是（　　） A．R B．∅ C． D． 6．不等式的解集为（   ）； A． B． C． D． 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域是 （    ） A． B． C． D． 【考点2 .一元二次不等式（含参数）】 针对 含参数的一元二次不等式，核心在于 分类讨论。参数的位置不同（二次项系数、一次项系数、常数项），会导致不等式的类型、开口方向、根的个数或根的大小发生变化 分类讨论的标准（按优先级） 1. 讨论二次项系数 2. 当 a≠0 时，讨论判别式 Δ 3. 当Δ>0 且两根表达式含参数时，讨论两根大小 【即时训练】 1．已知0＜a＜1，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．当时，不等式的解集是（   ）． A． B． C． D．无法确定 4．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【考点3 由二次不等式的解集确定参数】 设一元二次不等式为ax2+bx+c>0(或≥,<,≤) 其解集已知（例如{x∣x<x1​ 或 x>x2​} 或 {{x∣x1​<x<x2​}）。 关键信息提取 1. 解集的端点 → 对应一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个实数根（即 x1​,x2​）。 2. 解集的形式 → 判断二次项系数 a 的符号： 解集为 “两根之外”（ x<x1​ 或x>x2​）→ 抛物线开口向上 → a>0。 解集为 “两根之间”（ x1​<x<x2​）→ 抛物线开口向下 → a<0。 3. 解集是否包含端点 → 决定原不等式是严格不等（>0 或0<0）还是含等号（≥0 或 ≤0），从而确定方程根处是否取等。 通用方法：韦达定理 【即时训练】 1．不等式的解集为，则的值为（    ）． A． B．7 C． D．3 2．关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C．12 D．14 3．已知不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 5．不等式的解集是，则b的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 6．关于的不等式的解集，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．“的解集是”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【考点4 分式不等式】 简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 【即时训练】 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．R 2．不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 3．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 4．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 5．若集合，，则 （　　） A． B． C． D． 1.（2024·河北对口升学·真题T23）若不等式的解集为，则________． 2.（2023·河北对口升学·真题T17）若不等式的解集为，则_______. 3.（2023·河北对口升学·真题T31）已知集合集合，若求a的取值范围. 4.（2022·河北对口升学·真题T19）不等式的解集为_______________.（用区间表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 一元二次不等式 【复习目标】 1. 理解 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 之间的联系. 2. 掌握一元二次不等式解法（基础核心）. 3. 给出一元二次不等式的解集，能反求参数 a、b、c 的值. 【考点1 一元二次不等式(不含参)】 1. 三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有_两相异__实根x1，x2(x1<x2) 有_两相等__实根x1＝x2＝－ _没有__实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|_x>x2或x<x1__} {x|x∈R且_x≠x1__} _R__ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|_x1<x<x2__} _∅__ _∅__ 2.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的_判别式__. (3)当_Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的_交点__确定一元二次不等式的解集． 【即时训练】 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】， 解得，故不等式的解集为. 故选：B. 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次不等式的解法即可得解. 【详解】对于， 令，解得或， 所以解，得或， 故不等式的解集为. 故选：C. 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，即. 故选：B. 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元二不等式的解法即可得解. 【详解】因为，所以， 即，解得：或. 故选：D. 5．不等式的解集是（　　） A．R B．∅ C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次函数的性质及一元二次不等式的解集公式进行求解. 【详解】可变形为. 因为方程中, 所以方程有两个实数解, 求得该方程的解分别是：,, 所以不等式的解集为, 即原不等式解集为. 故选：D. 6．不等式的解集为（   ）； A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式恒成立， 所以不等式的解集为. 故选：D. 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，再由交集的概念运算即可. 【详解】， 或， 故. 故选：A. 8．函数的定义域是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的意义，结合一元二次不等式的解集即可求解. 【详解】由题意得，要使函数有意义，则. 即，解得或. 即函数的定义域是. 故选：A. 【考点2 .一元二次不等式（含参数）】 针对 含参数的一元二次不等式，核心在于 分类讨论。参数的位置不同（二次项系数、一次项系数、常数项），会导致不等式的类型、开口方向、根的个数或根的大小发生变化 分类讨论的标准（按优先级） 1. 讨论二次项系数 2. 当 a≠0 时，讨论判别式 Δ 3. 当Δ>0 且两根表达式含参数时，讨论两根大小 【即时训练】 1．已知0＜a＜1，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出a与的大小，再由一元二次不等式的解法求解即可 【详解】∵，， ∴， 不等式， ∴或， ∴不等式的解集为. 故选：A． 2．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据含有参数的一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为， ∵，则解得， ∴不等式的解集为. 故选：C. 3．当时，不等式的解集是（   ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可确定解集. 【详解】由不等式， 得，因为， 所以， 所以不等式的解集是， 故选：A. 4．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解法求解． 原不等式可化为，而，故， 图象开口向下， 故原不等式的解集为 故选：C 【考点3 由二次不等式的解集确定参数】 设一元二次不等式为ax2+bx+c>0(或≥,<,≤) 其解集已知（例如{x∣x<x1​ 或 x>x2​} 或 {{x∣x1​<x<x2​}）。 关键信息提取 1. 解集的端点 → 对应一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个实数根（即 x1​,x2​）。 2. 解集的形式 → 判断二次项系数 a 的符号： 解集为 “两根之外”（ x<x1​ 或x>x2​）→ 抛物线开口向上 → a>0。 解集为 “两根之间”（ x1​<x<x2​）→ 抛物线开口向下 → a<0。 3. 解集是否包含端点 → 决定原不等式是严格不等（>0 或0<0）还是含等号（≥0 或 ≤0），从而确定方程根处是否取等。 通用方法：韦达定理 【即时训练】 1．不等式的解集为，则的值为（    ）． A． B．7 C． D．3 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解集，得到和是方程的两个实数根，结合韦达定理求得参数，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 即，二次函数开口向下，和是方程的两个实数根， 根据韦达定理，，， 得到，， 所以， 故选：A 2．关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解集判断方程的解，由韦达定理求出a与b的值，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 由题意知的两根为和， 由韦达定理得， ， 解得， 所以. 故选：A. 3．已知不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理求解. 【详解】由题意不等式的解集是， 所以是一元二次方程的两根， 由韦达定理可得，，解得. 故选：D. 4．不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】分情况讨论，解一元二次不等式即可. 【详解】当时，不等式为恒成立，满足题意； 当时，要想不等式成立，需满足， 解得， 故的取值范围为. 故选：C 5．不等式的解集是，则b的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集求解参数即可； 【详解】因为不等式的解集是， 所以，解得; 故选：C 6．关于的不等式的解集，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的值，再根据一元二次不等式求解即可. 【详解】因为不等式的解集， 所以是方程的两根， 可得，即， 所以不等式为，即，所以. 故则不等式的解集为. 故选：D. 7．“的解集是”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的解集是的的取值范围，结合充分性及必要性的定义逐项判断即可得解. 【详解】若的解集是， 则，解得； 选项，当时，可以推出的解集是，故充分性成立； 当的解集是，推不出，故必要性不成立， 所以是的解集是的充分不必要条件，故正确； 选项，推不出的解集是，故充分性不成立，故错误； 选项，推不出的解集是，故充分性不成立，故错误； 选项，是的解集是的充要条件，故错误， 故选：. 【考点4 分式不等式】 简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 【即时训练】 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．R 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式可化为， 由解得或， 又∵， ∴不等式的解集为. 故选：C. 2．不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据分式不等式的解法，结合一元二次不等式的解法求解. 【详解】不等式，即， ∴，即， ∴， ∴不等式的解集为． 故选：B． 3．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】把不等式同解变形即可求解. 【详解】不等式化为即等价于或， 解得或，所以不等式的解集是或. 故选：A 4．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式可化为， 即，可得， 则有，解得， ∴不等式的解集为. 故选：C. 5．若集合，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分母不为零及对数真数大于零求出集合，再根据交集运算求解即可. 【详解】由可得：，解得， 所以，则. 故选：B. 1.（2024·河北对口升学·真题T23）若不等式的解集为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系，列方程即可求得参数. 【详解】若不等式的解集为， 则是方程的根，且， 所以，且，解得， 故答案为：. 2.（2023·河北对口升学·真题T17）若不等式的解集为，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得方程的根，代入即可求解. 【详解】因为是不等式 的解集， 所以和是方程的两个根. 则， 解得. 所以. 故答案为：. 3.（2023·河北对口升学·真题T31）已知集合集合，若求a的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】由可知A、B有重合部分，然后利用集合端点值间的关系列不等式得答案. 【详解】， ， 因为，则， 所以或，且， 即或，且，所以. 故a的取值范围为：. 4.（2022·河北对口升学·真题T19）不等式的解集为_______________.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式变形，转换成解一元二次不等式，即可求解. 【详解】解不等式即为解， 或， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $