专项09 平面解析几何重难点-2026届高考考前数学高频考点专项训练（全国通用）

**基本信息** 以“基础-应用-综合”三阶逻辑构建解析几何体系，提炼“定义优先”“设而不求”等核心方法，强化数形结合与逻辑推理，适配新高考重思维轻运算趋势。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础核心|选择1-3题|斜率分类讨论、距离半径比较法|从直线/圆定义到方程，构建几何性质认知基础| |核心应用|选择4-8题、填空16-18题|定义法求曲线方程、韦达定理弦长公式|圆锥曲线定义→标准方程→几何性质，形成“方程-性质-运算”链条| |高阶综合|解答23-30题|特殊值探路法、参数消元技巧|轨迹方程→定点定值→向量综合，实现代数表达与几何意义转化|

专项09 平面解析几何重难点 分析维度 具体内容 核心考点 1. 直线与方程：直线的倾斜角、斜率、方程（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），两条直线的位置关系；2. 圆与方程：圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系；3. 椭圆：定义、标准方程、几何性质（离心率、焦点、顶点、对称轴），直线与椭圆的位置关系；4. 双曲线：定义、标准方程、几何性质（离心率、渐近线、焦点、顶点），直线与双曲线的位置关系；5. 抛物线：定义、标准方程、几何性质（焦点、准线、离心率），直线与抛物线的位置关系；6. 综合应用：轨迹方程求解、最值问题、定点定值问题、参数范围问题、向量与解析几何结合。 考查形式 1. 客观题（单选题+多选题）：5-10分，多为第6-11题，考查直线与圆的位置关系、椭圆/双曲线/抛物线的几何性质（离心率、渐近线等）、简单轨迹问题，难度低-中档；2. 解答题：12分，固定为中高档大题（多为第20或21题），命题模式固定：第一问求曲线方程（椭圆、双曲线、抛物线），第二问考查直线与曲线的位置关系（最值、定点、定值、参数范围）；3. 新高考特点：多选题增加曲线性质辨析、直线与圆的位置关系判断，解答题强化向量与解析几何的结合，弱化复杂运算，侧重逻辑推理和方法应用，偶尔结合函数、不等式考查综合最值。 命题特点 1. 基础题（送分）：直线方程求解、圆的方程与位置关系、椭圆/双曲线/抛物线的标准方程与简单几何性质（离心率、渐近线），直接套用公式即可得分；2. 中档题（核心得分）：直线与圆的综合、简单轨迹方程求解、直线与椭圆的基础位置关系（联立方程、求弦长），侧重方法应用和基础运算；3. 难题（高频）：直线与双曲线抛物线的综合、定点定值问题、最值与参数范围问题、复杂轨迹方程，难度中等偏上，占比高，是高考拉分重点；4. 命题趋势：整体稳定，重基础、重运算、重综合，强调“数形结合”“设而不求”思想，减少纯复杂计算，强化逻辑推理，向量、函数、不等式与解析几何的结合愈发紧密。 重难点突破 1. 重点：① 直线的斜率、方程与两条直线的位置关系（平行、垂直的充要条件）；② 圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系（判定、弦长计算）；③ 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、核心几何性质（离心率、渐近线、焦点、准线）；④ 直线与曲线位置关系的核心方法（联立方程、判别式、韦达定理）；2. 难点：① 轨迹方程的求解（直译法、定义法、相关点法、参数法）；② 直线与双曲线抛物线的位置关系（交点个数、弦长、中点弦问题）；③ 定点定值问题（消参、化简，证明与参数无关）；④ 最值与参数范围问题（结合函数、不等式、判别式求解）；⑤ 向量与解析几何的结合（将向量条件转化为代数方程）。 关联模块 1. 直接关联：平面向量（向量平行/垂直转化为代数关系、向量数量积应用）、函数（最值问题、参数范围）、不等式（参数范围、最值）；2. 间接关联：三角函数（直线倾斜角、参数方程）、数列（偶尔结合定点定值）、立体几何（空间解析几何基础铺垫）。 备考策略 1. 基础过关：熟记直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的核心公式（方程、几何性质），熟练掌握两条直线、直线与圆的位置关系判定方法；2. 方法强化：专项练习“设而不求”思想（联立方程、韦达定理应用），掌握轨迹方程的4种常用求解方法；重点练习直线与椭圆的综合题，规范解题步骤；3. 难点突破：总结定点定值问题的解题套路（消参化简、特殊值验证）；针对性练习最值与参数范围问题，掌握结合判别式、基本不等式、函数单调性的求解方法；强化向量与解析几何的转化训练；4. 实战训练：多练解答题，规范联立方程、韦达定理应用、弦长计算的步骤，避免计算失误；重点突破双曲线、抛物线的综合题，积累解题经验；5. 易错规避：重点练习离心率计算、渐近线方程书写，避免公式记错；注意直线斜率不存在的特殊情况，避免遗漏。 解题技巧 1. 直线与圆：判断位置关系用圆心到直线的距离与半径比较，求弦长用勾股定理（弦长=2√(r²-d²)）；2. 曲线方程求解：优先用定义法（椭圆、双曲线、抛物线的定义），其次用直译法、相关点法，复杂问题用参数法；3. 直线与曲线综合：联立方程后，优先用判别式判断交点个数，韦达定理表示两根之和、两根之积，避免求解具体交点坐标（设而不求）；4. 定点定值：先取特殊值（如直线过原点、斜率为1）求出定点/定值，再代入一般情况证明，简化运算；5. 最值与范围：优先用几何意义（如距离、斜率）求解，其次用判别式、基本不等式、函数单调性，注意变量取值范围限制；6. 向量结合：将向量平行垂直转化为坐标关系，向量数量积转化为代数表达式，融入联立方程中求解。 易错点汇总 1. 直线斜率不存在的情况遗漏（如垂直x轴的直线），导致解题不完整；2. 记错椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、离心率公式、渐近线方程（如双曲线渐近线符号错误）；3. 求解轨迹方程时，忽略变量的取值范围（如椭圆中x、y的范围），导致轨迹不完整；4. 联立方程后，计算韦达定理时出错，或忘记判别式的应用（如判断直线与曲线是否有交点）；5. 求弦长时，记错弦长公式，或未先判断直线与曲线的位置关系；6. 定点定值问题中，消参不彻底，无法证明与参数无关；7. 忽略双曲线的两支，导致参数范围求解错误；8. 向量与解析几何结合时，将向量条件转化为代数方程出错。 一、基础核心考点（送分题，必拿分） （一）直线与方程 1. 核心基础： - 倾斜角：直线与x轴正方向的夹角，范围[0°, 180°)，斜率k=tanα（α≠90°），α=90°时直线垂直x轴，斜率不存在。 - 斜率公式：过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，k=(y2-y1)/(x2-x1)（x1≠x2）。 2. 直线方程（5种形式，灵活选用）： - 点斜式：y-y0=k(x-x0)（斜率存在）； - 斜截式：y=kx+b（斜率存在，b为y轴截距）； - 两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（x1≠x2，y1≠y2）； - 截距式：x/a + y/b = 1（a≠0，b≠0，a、b分别为x、y轴截距）； - 一般式：Ax+By+C=0（A、B不同时为0）。 3. 两条直线的位置关系（设l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，斜率均存在）： - 平行：k1=k2且b1≠b2；垂直：k1k2=-1； - 斜率不存在时单独判断（如l1垂直x轴，l2平行x轴则垂直）。 （二）圆与方程 1. 圆的方程： - 标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²（圆心(a,b)，半径r>0）； - 一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F>0，圆心(-D/2,-E/2)，半径r=√(D²+E²-4F)/2）。 2. 直线与圆的位置关系（核心：圆心到直线的距离d与半径r比较）： - d<r：相交（弦长=2√(r²-d²)）；d=r：相切；d>r：相离。 3. 圆与圆的位置关系（圆心距d，两圆半径r1、r2）： - 外离：d>r1+r2；外切：d=r1+r2；相交：|r1-r2|<d<r1+r2；内切：d=|r1-r2|；内含：d<|r1-r2|。 （三）圆锥曲线基础（椭圆、双曲线、抛物线） 1. 核心共性：定义（距离关系）、标准方程、几何性质（焦点、离心率等），是后续综合题的基础。 2. 考法：客观题考查简单几何性质、方程求解，难度偏低，直接套用公式即可得分。 二、核心应用考点（中档题，核心得分区） （一）椭圆（高频必考） 1. 定义：平面内到两定点F1、F2（焦点）的距离和为常数2a（2a>|F1F2|=2c）的点的轨迹，2a为长轴长，2c为焦距。 2. 标准方程（分两种形式，焦点位置判断）： - 焦点在x轴：x²/a² + y²/b² = 1（a>b>0），其中b²=a²-c²； - 焦点在y轴：y²/a² + x²/b² = 1（a>b>0）。 3. 几何性质：离心率e=c/a（0<e<1，e越小椭圆越圆），顶点、对称轴、焦距，无渐近线。 （二）双曲线（高频必考） 1. 定义：平面内到两定点F1、F2（焦点）的距离差的绝对值为常数2a（0<2a<|F1F2|=2c）的点的轨迹。 2. 标准方程（分两种形式）： - 焦点在x轴：x²/a² - y²/b² = 1（a>0，b>0），其中b²=c²-a²； - 焦点在y轴：y²/a² - x²/b² = 1（a>0，b>0）。 3. 几何性质：离心率e=c/a（e>1，e越大双曲线开口越开阔），渐近线方程（x轴焦点：y=±(b/a)x；y轴焦点：y=±(a/b)x），顶点、焦距。 （三）抛物线（高频必考） 1. 定义：平面内到定点F（焦点）与定直线l（准线）的距离相等的点的轨迹（e=1）。 2. 标准方程（4种形式，焦点与准线对应）： - y²=2px（p>0）：焦点(p/2,0)，准线x=-p/2； - y²=-2px（p>0）：焦点(-p/2,0)，准线x=p/2； - x²=2py（p>0）：焦点(0,p/2)，准线y=-p/2； - x²=-2py（p>0）：焦点(0,-p/2)，准线y=p/2。 3. 几何性质：焦点、准线、离心率e=1，无渐近线，核心是“焦点到准线的距离为p”。 （四）直线与圆锥曲线的基础综合（解答题第一问核心） 1. 曲线方程求解：根据定义或已知条件，求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程（核心是求a、b、c、p）。 2. 直线与曲线位置关系基础：联立直线与曲线方程，消元得到一元二次方程，用判别式Δ判断交点个数（Δ>0相交、Δ=0相切、Δ<0相离）。 3. 弦长计算：联立方程后，利用韦达定理得x1+x2、x1x2，弦长公式=√(1+k²)·√[(x1+x2)²-4x1x2]（k为直线斜率）。 三、高阶综合考点（难题，高频拉分） （一）轨迹方程求解（高频） 1. 常用方法： - 直译法：直接根据已知条件列出等式，化简为标准轨迹方程； - 定义法：利用椭圆、双曲线、抛物线的定义，直接判断轨迹类型，求解参数； - 相关点法：设所求轨迹上的点为P(x,y)，关联已知点坐标，代入已知条件化简； - 参数法：设参数（如斜率k、角度θ），表示x、y，消参得到轨迹方程。 2. 关键：忽略变量取值范围，会导致轨迹不完整（如椭圆、双曲线的定义域限制）。 （二）直线与圆锥曲线综合（解答题第二问核心） 1. 定点定值问题：通过联立方程、韦达定理，消去参数（如直线斜率k），证明表达式与参数无关，或求出定点坐标（可先取特殊值验证）。 2. 最值与参数范围问题：结合函数、基本不等式、判别式求解，核心是将最值/范围转化为代数问题（如利用韦达定理构造函数，或用判别式求参数取值范围）。 3. 向量与解析几何结合：将向量平行、垂直、数量积等条件，转化为坐标关系（如向量垂直→x1x2+y1y2=0），融入联立方程中求解。 （三）复杂综合应用 1. 双曲线、抛物线的进阶综合：重点考查渐近线与直线的位置关系、抛物线的焦点弦性质，难度偏高。 2. 多曲线综合：椭圆与双曲线、抛物线的结合，考查定义的灵活应用和几何性质的综合分析。 四、高考考法总结与易错提醒 （一）考法总结 1. 客观题（5-10分）：侧重基础，考查直线与圆的位置关系、圆锥曲线的几何性质（离心率、渐近线等）、简单轨迹方程，难度低-中档； 2. 解答题（12分）：固定为中高档大题，第一问求曲线方程，第二问考查直线与曲线的综合（定点、定值、最值、参数范围），难度中等偏上； 3. 新高考趋势：弱化复杂运算，强化“设而不求”思想和逻辑推理，向量、函数、不等式与解析几何的结合愈发紧密，多选题增加性质辨析。 （二）易错提醒 1. 遗漏直线斜率不存在的特殊情况（如垂直x轴的直线），导致解题不完整； 2. 记错圆锥曲线的标准方程、离心率公式、渐近线方程（如双曲线渐近线符号错误）； 3. 求解轨迹方程时，忽略变量的取值范围，导致轨迹不完整； 4. 联立方程后，计算韦达定理出错，或忘记用判别式判断交点个数； 5. 求弦长时记错公式，或未先判断直线与曲线的位置关系； 6. 定点定值问题中，消参不彻底，无法证明与参数无关； 7. 忽略双曲线的两支，导致参数范围求解错误； 8. 向量与解析几何结合时，将向量条件转化为代数方程出错。 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的坐标，代入椭圆方程，化简求值. 【详解】过点作于点，因为，所以为的中点， 由题可知，所以， 又，所以，， 所以，， 设，则， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 用替换，化简得：， 即，因为， 所以. 2．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知F为双曲线的右焦点，A为左顶点，P为C上的点，且P位于第一象限，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程并与双曲线方程联立，解得点坐标，利用向量可证明，可得. 【详解】易知， 由可得直线的斜率为，其直线方程为， 如下图所示： 联立直线与双曲线方程可得， 整理可得， 解得或(舍)， 所以点的横坐标为，又点位于第一象限，所以； 则， 所以，即， 所以， 因此在中，，即. 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据圆与直线相切以及圆的标准方程求解即可. 【详解】圆配方. 因此，即，圆心为，半径. 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，即， 整理，解得或.结合圆的条件，因此直线与圆相切等价于. 因此是直线与圆相切的充要条件. 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若对数函数存在，则底数且； 若表示双曲线，则，即， 综上，若两者均存在，则或. 而2在上述区间内， 所以是对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件. 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由抛物线方程求导得切线斜率，写出两点处的切线方程；再利用两切线交点的坐标，推导出直线的方程；最后将焦点代入直线的方程，即可直接求出点的纵坐标． 【详解】设，，， 由，得，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 又，化简得， 同理得抛物线在点处的切线方程为， 又两切线相交于点，所以， 即点都在直线上，即直线的方程为， 因为点在直线上，代入得． 6．（2026·河北沧州·二模）已知，，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点，再应用两点间距离计算化简，再应用已知条件结合点到圆上点的距离得出参数范围. 【详解】设点，由题可知，， 化简得，所以点在以为圆心，2为半径的圆上. 因为圆上总存在点满足， 即圆与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径）， 即， 化简得，解得. 7．（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与直线平行，求得与之间的等量关系，再根据点在曲线上得到与之间的另一个等量关系，解方程组. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为其中一条与直线平行，且直线的斜率为， 所以2，即， 因为双曲线过点，所以，即， ，， 所以双曲线的实轴长． 8．（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可. 【详解】作抛物线的准线，则过椭圆的左焦点，过作交于， 因为椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，设， 因为，， 所以，， 又因为，所以， 在直角三角形中，， 所以，解得，所以. 9．（2026·河南·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线性质及双曲线的定义可得. 【详解】依题意，如图，因为是的中点，是的中点， 所以是的中位线，因为，所以， 因为，因此是等腰三角形， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以. 10．（2026·广西崇左·二模）已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上，代入点可得，即可得渐近线方程. 【详解】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上， 则，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】写出直线 方程，求出点与中点的坐标，再将点坐标代入双曲线方程，利用并令求解出，进而得到离心率. 【详解】记，则：，整理得， 则，因为为的中点，所以， 因为点B在双曲线E上，则，令，得， 化简得，又，则，故离心率. 二、多选题 12．（2026·河南开封·二模）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据圆与双曲线渐近线相切得到，结合离心率公式及可判断选项A、B；根据，求出，进而求出，判断选项C；根据，得到，，，进而得到点，坐标，求出直线方程，结合垂径定理及点到直线的距离可判断选项D. 【详解】双曲线：的渐近线方程为，即. 圆：的圆心为，半径为. 由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以. 对于A：，故A正确. 对于B：，所以渐近线方程为，故B正确. 对于C：，，因为，所以点的横坐标为， 代入双曲线方程，解得. 取，则，， 所以，故C错误. 对于D：若，则，，，，. 直线方程为，即. 圆心到直线的距离， 由垂径定理可得，，故D正确. 13．（2026·云南昆明·模拟预测）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 【答案】AC 【详解】将三点代入曲线中分别得，，，， 若在曲线上，不在曲线上，则，，， 此时为椭圆； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为双曲线； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为椭圆； 故AC正确，BD错误. 14．（2026·河北沧州·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 【答案】AB 【分析】根据双曲线方程即可求解离心率判断A；根据双曲线的定义及二次函数即可判断B；根据余弦定理及三角形面积公式即可判断C；根据弦长公式即可判断D． 【详解】由题可知，，，所以， 所以双曲线的离心率为，所以A选项正确； 由双曲线定义可知，不妨设，则， 所以因为，所以B选项正确； 对于C，由余弦定理得，故， 所以，所以C选项不正确； 对于D,设，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立的方程得， 则，， 所以， 解得或， 若的倾斜角为或，则,所以D选项不正确． 15．（2026·河南开封·二模）已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】利用点到直线的距离公式来判断A，利用的动点的轨迹是以为直径的圆，然后借助两圆位置关系来判断B，根据切线的性质求得两圆相交弦所在直线方程来判断C，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有，求得点，计算判断D. 【详解】对于A，原点到直线的距离为， 所以圆上动点到直线的距离的最大值为，故 A错误； 对于B，满足的动点的轨迹是以为直径的圆， 设线段的中点为，则，圆的半径为， 所以圆， ，因为，所以圆与圆相交，故B正确； 对于C，过点作圆的两条切线，切点分别为， 由切线性质可知四点共圆，该圆的方程为， 则直线的方程为两圆的相交弦， 所以，故C正确； 对于D，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有， 设，则， 化简可得， 因为，所以，即点 所以， 当且仅当三点共线且点在中间时等号成立， 所以的最小值是，故D正确． 三、填空题 16．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】解法一：依题意，圆心到直线的距离， 即，即， 依题意，使得成立，故且，解得， 因此，实数的取值范围是. 解法二：当变化时，圆扫过的图形是以原点为圆心，为半径的圆盘， 故若存在，使得直线与圆有公共点，即直线与圆有交点，得，解得， 因此，实数的取值范围是. 17．（2025·山东青岛·一模）直线与圆交于两点，，则___________． 【答案】 【分析】利用向量夹角公式求出，再利用圆的性质及点到直线距离公式求解. 【详解】由，得，而， 则，圆心到直线的距离， 因此，解得. 18．（2026·湖南长沙·一模）已知以原点为中心的椭圆、双曲线，与抛物线 有公共焦点 F，且三个曲线在第一象限交于同一点.若的离心率为2，则的离心率为________. 【答案】 【分析】设抛物线焦点的坐标，根据的离心率建立双曲线方程，再联立抛物线求出交点的坐标；再根据点在椭圆上和建立两个方程，最后通过换元化简方程，可得离心率. 【详解】因为抛物线开口向右，可设公共焦点，设双曲线方程为， 由，所以， 所以双曲线方程为， 联立抛物线方程， ，解得，（舍去）, 将代入，解得，（舍去）， 所以， 设椭圆的方程，离心率为，将代入得， 且， 设，则，由，可得， 代入椭圆方程化简得，， 解得，（舍去）， 代入得. 19．（2026·河北沧州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，的内切圆分别与，相切于点，，若，，则的离心率为__________. 【答案】 【分析】利用椭圆定义并结合题意求各边长，再根据余弦定理求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设内切圆与相切于点， 由椭圆定义可知，， 又，，，，， 得，，， 所以，，，， 由余弦定理得， 即，化简得. 20．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． 【答案】4 【详解】 已知抛物线的准线为，则的方程为：， 已知点在上，则， 以为圆心的圆与相切，设圆的半径为，则， 又圆与相切且截轴所得的弦长为， ，解得，即， ，解得． 21．（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 22．（2026·浙江·三模）抛物线上的A，B两点均位于第一象限，点在轴正半轴上，满足．且．若的面积为9，则点坐标为____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出并设出点的坐标，借助复数乘法与旋转关系确定坐标关系，再利用点在抛物线上列出方程组求解. 【详解】在中，，由的面积为9，得， 则，设，不妨令， ，所对复数分别为， 可视为绕点逆时针旋转而得，则， 因此，即，由点都在抛物线上， 得，两式相减得，整理得， 于是，整理得， 则，，， 所以，点坐标为. 四、解答题 23．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，，是上不同的两点（其中在第一象限），点.当，关于轴对称，且时，． (1)求的方程； (2)已知为轴上一点（点与不重合），，是上不同的两点（其中在第一象限），且，若，，三点共线，，求证：轴． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据，关于轴对称得到轴，结合得到点纵坐标，进而得到直线过焦点，结合勾股定理求解即可. （2）设直线，，与抛物线联立，取中点，求出，结合几何关系得到，进而得到，代入求得则，得到轴，即可得证. 【详解】（1）因为，关于轴对称，，所以轴，且点纵坐标为. 令，则，解得，于是直线过焦点． 在中，，， 则，解得， 故的方程为． （2）由题意得，与轴不垂直， 不妨设直线，，，，， 联立，整理得，则， 所以，． 取中点，连接， 则，， 由，，得， 又，则，所以， 即，则， 因为，则， 则，则轴，即轴． 24．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的长轴为4，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点的直线与交于不同的两点（在第一象限），过作平行于轴的直线交轴于点，取中点，作直线交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长，可得a值，根据离心率，可得c值，根据的关系，可得，即可得答案. （2）设，可得B、C、D点坐标，设直线AB的斜率为k，可得直线BD的方程，与椭圆联立，结合韦达定理，可得E点横坐标，代入直线方程，可得E点纵坐标，即可得直线AE的斜率，根据到角公式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）由椭圆的长轴为4，得，解得， 又离心率，所以， 则，所以椭圆的标准方程为. （2）设，则， 设直线AB的斜率为k，由题意且存在， 则直线BD的斜率， 则直线BD的方程为，整理得， 联立，得， 则，解得， 代入直线BD方程，可得， 则， 所以， 又是直线AB到直线AE的角， 则， 因为，所以 当且仅当，即时等号成立， 又，所以的最大值为. 25．（2026·山东滨州·二模）已知椭圆上顶点为，右焦点为，坐标原点为，且，，为椭圆上两个不同的点（均不与重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若为的垂心，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，进而可求得，可求椭圆方程； （2）由，可求得，设直线方程为：，利用根与系数的关系结合列式可求得的值. 【详解】（1）由题意，椭圆上顶点为，故， 又，故，从而 因此椭圆方程为：； （2）由（1）可知，故，， 因为为的垂心，所以且， 则必有，设直线方程为： 联立直线与椭圆：得： 令，解得：， 由韦达定理：， 则，故， 即： 整理得：， 将代入化简得：，解得或 当时，直线过点，不符合题意，舍去 当时，满足，符合题意. 故直线方程为：，即. 26．（15-16高二下·重庆·期末）椭圆（）的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求面积S的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设可得，，进而求出即可求解； （2）由题设结合圆的几何性质可得到直线的距离为，进而结合点到直线的距离公式可得，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式求出，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得，， 解得，，则， 所以椭圆的方程为. （2）由圆，圆心为，半径为， 则到直线的距离为， 则，即． 联立，得， 则， 设，，则，， ∴ ， 则， 当且仅当，即时，． 27．（2026·辽宁锦州·二模）已知动点到点的距离比它到轴的距离大2，设点的轨迹为，斜率为的直线过定点且与轨迹在轴右侧的部分交于A，B两点.满足. (1)求轨迹的方程； (2)求值. 【答案】(1)当时，；当时，， (2) 【分析】（1）由点到定点与到定直线的距离关系式，平方化简后按、分类，求得动点轨迹为抛物线及轴负半轴； （2）设直线方程与抛物线联立，由韦达定理得纵坐标和与积，再依据向量建立两点纵坐标关系，代入式子求出，最终换算得出直线斜率. 【详解】（1）设点坐标是，则根据题意可知， 化简可得. 当时，；当时，； （2）当时，不符合题意， 当时，设直线，，， 联立，得， 由韦达定理可得， 又因为，所以， ，解得， 所以. 28．（2026·宁夏银川·三模）已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由焦点，得抛物线的方程为；再根据焦点到直线的距离，求出，即可得到抛物线的方程； （2）①，设切点的坐标，根据抛物线方程求导得到切线斜率，得出过的切线方程；因为两条切线都过点，所以将坐标代入两个切线方程，得到坐标满足的共同关系式，即可推导出直线的方程； ②，先联立直线与抛物线的方程，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再用弦长公式计算的长度；然后求点到直线的距离，将面积表示为关于的函数，再求该函数的最小值. 【详解】（1）由抛物线的顶点为原点，焦点为，得抛物线的方程为； 到直线的距离为，，解得； 抛物线的方程为. （2）①设切点，且，. 由得，则； 过点的切线方程为，即； 切线过点，，整理得. 同理，可求得. ，两点都满足方程； 由两点确定一条直线可得，直线的方程为. ②联立直线与抛物线的方程，整理得； Δ，由韦达定理得 ； . 点到直线的距离; 的面积. ，当即时，取得最小值，即； 面积的最小值为. 29．（2026·河北·二模）已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为． (1)求的方程. (2)已知点，过点且斜率为的直线与交于两点，过点且斜率为的直线与交于两点，分别为的中点，且. （I）若与重合，求． （II）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（I）；（II）直线MN过定点. 【分析】（1）根据以及经过的点，即可求解， （2）根据点差法，即可求解（I），联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据中点坐标公式可得的坐标，进而求解直线方程，即可求解（II）. 【详解】（1）设，则，则的方程为. 因为经过点，所以，得. 故的方程为. （2）（I）设，由 得， 得，则，故. （II）直线.由，得. 由，得， 则， 因为，所以的坐标为. 同理可得的坐标为. 又 ， 所以直线MN的方程为. 因为， 所以直线MN过定点. 30．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的右顶点为，点为椭圆上的一点．设椭圆的左、右焦点分别为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点（异于椭圆的左、右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）设直线分别交轴于两点，求证：以为直径的圆与轴相交的弦长为定值． 【答案】(1)椭圆的标准方程为，离心率为 (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】（1）由题可得，求得的值，得到椭圆方程，利用离心率公式即可求解； （2）（i）由（1）知道点坐标，设直线方程，联立方程组，由韦达定理结合焦点弦长公式求得，点到直线的距离为高，从而求得三角形的面积表达式，结合函数单调性求解即可； （ii）当直线轴时，通过相似证明点在以MN为直径的圆上，从而得到以MN为直径的圆被x轴截得的弦是，得到弦长为2；当直线斜率存在时，设直线方程，然后联立方程组，整理得一元二次方程，由韦达定理得到两点坐标与斜率的关系式；然后用两点式写出直线直线方程，求得点坐标，证明向量，证得点在以MN为直径的圆上，从而得到以MN为直径的圆被x轴截得的弦是，得到弦长为2，从而证明以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 【详解】（1）由题意可知， 由，解得， ∴椭圆的方程：. 离心率为 （2）（i），，由于直线斜率不为，则设直线， 联立方程组，得： 所以 焦点弦长， 点到直线的距离， ∴， 令，所以在上单调递增，所以， 所以，当时等号成立， 所以，当时等号成立， 即面积的最大值为 （ii）， 当轴时，交点，关于轴对称，∴点关于原点对称，∴以为直径的圆圆心为，半径为 ∵，∴，则，∴， 又∵，∴圆与轴的截得的弦为， 当直线斜率存在时，设直线， 设， 联立方程组，整理得， 则，， ， 直线，令，则， 直线，令，则..， 则，， 则 即 即，同理可证， 即点在以MN为直径的圆上，又∵在轴上， ∴以MN为直径的圆被x轴截得的弦为，， 综上所述：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值2. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项09 平面解析几何重难点 分析维度 具体内容 核心考点 1. 直线与方程：直线的倾斜角、斜率、方程（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），两条直线的位置关系；2. 圆与方程：圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系；3. 椭圆：定义、标准方程、几何性质（离心率、焦点、顶点、对称轴），直线与椭圆的位置关系；4. 双曲线：定义、标准方程、几何性质（离心率、渐近线、焦点、顶点），直线与双曲线的位置关系；5. 抛物线：定义、标准方程、几何性质（焦点、准线、离心率），直线与抛物线的位置关系；6. 综合应用：轨迹方程求解、最值问题、定点定值问题、参数范围问题、向量与解析几何结合。 考查形式 1. 客观题（单选题+多选题）：5-10分，多为第6-11题，考查直线与圆的位置关系、椭圆/双曲线/抛物线的几何性质（离心率、渐近线等）、简单轨迹问题，难度低-中档；2. 解答题：12分，固定为中高档大题（多为第20或21题），命题模式固定：第一问求曲线方程（椭圆、双曲线、抛物线），第二问考查直线与曲线的位置关系（最值、定点、定值、参数范围）；3. 新高考特点：多选题增加曲线性质辨析、直线与圆的位置关系判断，解答题强化向量与解析几何的结合，弱化复杂运算，侧重逻辑推理和方法应用，偶尔结合函数、不等式考查综合最值。 命题特点 1. 基础题（送分）：直线方程求解、圆的方程与位置关系、椭圆/双曲线/抛物线的标准方程与简单几何性质（离心率、渐近线），直接套用公式即可得分；2. 中档题（核心得分）：直线与圆的综合、简单轨迹方程求解、直线与椭圆的基础位置关系（联立方程、求弦长），侧重方法应用和基础运算；3. 难题（高频）：直线与双曲线抛物线的综合、定点定值问题、最值与参数范围问题、复杂轨迹方程，难度中等偏上，占比高，是高考拉分重点；4. 命题趋势：整体稳定，重基础、重运算、重综合，强调“数形结合”“设而不求”思想，减少纯复杂计算，强化逻辑推理，向量、函数、不等式与解析几何的结合愈发紧密。 重难点突破 1. 重点：① 直线的斜率、方程与两条直线的位置关系（平行、垂直的充要条件）；② 圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系（判定、弦长计算）；③ 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、核心几何性质（离心率、渐近线、焦点、准线）；④ 直线与曲线位置关系的核心方法（联立方程、判别式、韦达定理）；2. 难点：① 轨迹方程的求解（直译法、定义法、相关点法、参数法）；② 直线与双曲线抛物线的位置关系（交点个数、弦长、中点弦问题）；③ 定点定值问题（消参、化简，证明与参数无关）；④ 最值与参数范围问题（结合函数、不等式、判别式求解）；⑤ 向量与解析几何的结合（将向量条件转化为代数方程）。 关联模块 1. 直接关联：平面向量（向量平行/垂直转化为代数关系、向量数量积应用）、函数（最值问题、参数范围）、不等式（参数范围、最值）；2. 间接关联：三角函数（直线倾斜角、参数方程）、数列（偶尔结合定点定值）、立体几何（空间解析几何基础铺垫）。 备考策略 1. 基础过关：熟记直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的核心公式（方程、几何性质），熟练掌握两条直线、直线与圆的位置关系判定方法；2. 方法强化：专项练习“设而不求”思想（联立方程、韦达定理应用），掌握轨迹方程的4种常用求解方法；重点练习直线与椭圆的综合题，规范解题步骤；3. 难点突破：总结定点定值问题的解题套路（消参化简、特殊值验证）；针对性练习最值与参数范围问题，掌握结合判别式、基本不等式、函数单调性的求解方法；强化向量与解析几何的转化训练；4. 实战训练：多练解答题，规范联立方程、韦达定理应用、弦长计算的步骤，避免计算失误；重点突破双曲线、抛物线的综合题，积累解题经验；5. 易错规避：重点练习离心率计算、渐近线方程书写，避免公式记错；注意直线斜率不存在的特殊情况，避免遗漏。 解题技巧 1. 直线与圆：判断位置关系用圆心到直线的距离与半径比较，求弦长用勾股定理（弦长=2√(r²-d²)）；2. 曲线方程求解：优先用定义法（椭圆、双曲线、抛物线的定义），其次用直译法、相关点法，复杂问题用参数法；3. 直线与曲线综合：联立方程后，优先用判别式判断交点个数，韦达定理表示两根之和、两根之积，避免求解具体交点坐标（设而不求）；4. 定点定值：先取特殊值（如直线过原点、斜率为1）求出定点/定值，再代入一般情况证明，简化运算；5. 最值与范围：优先用几何意义（如距离、斜率）求解，其次用判别式、基本不等式、函数单调性，注意变量取值范围限制；6. 向量结合：将向量平行垂直转化为坐标关系，向量数量积转化为代数表达式，融入联立方程中求解。 易错点汇总 1. 直线斜率不存在的情况遗漏（如垂直x轴的直线），导致解题不完整；2. 记错椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、离心率公式、渐近线方程（如双曲线渐近线符号错误）；3. 求解轨迹方程时，忽略变量的取值范围（如椭圆中x、y的范围），导致轨迹不完整；4. 联立方程后，计算韦达定理时出错，或忘记判别式的应用（如判断直线与曲线是否有交点）；5. 求弦长时，记错弦长公式，或未先判断直线与曲线的位置关系；6. 定点定值问题中，消参不彻底，无法证明与参数无关；7. 忽略双曲线的两支，导致参数范围求解错误；8. 向量与解析几何结合时，将向量条件转化为代数方程出错。 一、基础核心考点（送分题，必拿分） （一）直线与方程 1. 核心基础： - 倾斜角：直线与x轴正方向的夹角，范围[0°, 180°)，斜率k=tanα（α≠90°），α=90°时直线垂直x轴，斜率不存在。 - 斜率公式：过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，k=(y2-y1)/(x2-x1)（x1≠x2）。 2. 直线方程（5种形式，灵活选用）： - 点斜式：y-y0=k(x-x0)（斜率存在）； - 斜截式：y=kx+b（斜率存在，b为y轴截距）； - 两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（x1≠x2，y1≠y2）； - 截距式：x/a + y/b = 1（a≠0，b≠0，a、b分别为x、y轴截距）； - 一般式：Ax+By+C=0（A、B不同时为0）。 3. 两条直线的位置关系（设l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，斜率均存在）： - 平行：k1=k2且b1≠b2；垂直：k1k2=-1； - 斜率不存在时单独判断（如l1垂直x轴，l2平行x轴则垂直）。 （二）圆与方程 1. 圆的方程： - 标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²（圆心(a,b)，半径r>0）； - 一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F>0，圆心(-D/2,-E/2)，半径r=√(D²+E²-4F)/2）。 2. 直线与圆的位置关系（核心：圆心到直线的距离d与半径r比较）： - d<r：相交（弦长=2√(r²-d²)）；d=r：相切；d>r：相离。 3. 圆与圆的位置关系（圆心距d，两圆半径r1、r2）： - 外离：d>r1+r2；外切：d=r1+r2；相交：|r1-r2|<d<r1+r2；内切：d=|r1-r2|；内含：d<|r1-r2|。 （三）圆锥曲线基础（椭圆、双曲线、抛物线） 1. 核心共性：定义（距离关系）、标准方程、几何性质（焦点、离心率等），是后续综合题的基础。 2. 考法：客观题考查简单几何性质、方程求解，难度偏低，直接套用公式即可得分。 二、核心应用考点（中档题，核心得分区） （一）椭圆（高频必考） 1. 定义：平面内到两定点F1、F2（焦点）的距离和为常数2a（2a>|F1F2|=2c）的点的轨迹，2a为长轴长，2c为焦距。 2. 标准方程（分两种形式，焦点位置判断）： - 焦点在x轴：x²/a² + y²/b² = 1（a>b>0），其中b²=a²-c²； - 焦点在y轴：y²/a² + x²/b² = 1（a>b>0）。 3. 几何性质：离心率e=c/a（0<e<1，e越小椭圆越圆），顶点、对称轴、焦距，无渐近线。 （二）双曲线（高频必考） 1. 定义：平面内到两定点F1、F2（焦点）的距离差的绝对值为常数2a（0<2a<|F1F2|=2c）的点的轨迹。 2. 标准方程（分两种形式）： - 焦点在x轴：x²/a² - y²/b² = 1（a>0，b>0），其中b²=c²-a²； - 焦点在y轴：y²/a² - x²/b² = 1（a>0，b>0）。 3. 几何性质：离心率e=c/a（e>1，e越大双曲线开口越开阔），渐近线方程（x轴焦点：y=±(b/a)x；y轴焦点：y=±(a/b)x），顶点、焦距。 （三）抛物线（高频必考） 1. 定义：平面内到定点F（焦点）与定直线l（准线）的距离相等的点的轨迹（e=1）。 2. 标准方程（4种形式，焦点与准线对应）： - y²=2px（p>0）：焦点(p/2,0)，准线x=-p/2； - y²=-2px（p>0）：焦点(-p/2,0)，准线x=p/2； - x²=2py（p>0）：焦点(0,p/2)，准线y=-p/2； - x²=-2py（p>0）：焦点(0,-p/2)，准线y=p/2。 3. 几何性质：焦点、准线、离心率e=1，无渐近线，核心是“焦点到准线的距离为p”。 （四）直线与圆锥曲线的基础综合（解答题第一问核心） 1. 曲线方程求解：根据定义或已知条件，求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程（核心是求a、b、c、p）。 2. 直线与曲线位置关系基础：联立直线与曲线方程，消元得到一元二次方程，用判别式Δ判断交点个数（Δ>0相交、Δ=0相切、Δ<0相离）。 3. 弦长计算：联立方程后，利用韦达定理得x1+x2、x1x2，弦长公式=√(1+k²)·√[(x1+x2)²-4x1x2]（k为直线斜率）。 三、高阶综合考点（难题，高频拉分） （一）轨迹方程求解（高频） 1. 常用方法： - 直译法：直接根据已知条件列出等式，化简为标准轨迹方程； - 定义法：利用椭圆、双曲线、抛物线的定义，直接判断轨迹类型，求解参数； - 相关点法：设所求轨迹上的点为P(x,y)，关联已知点坐标，代入已知条件化简； - 参数法：设参数（如斜率k、角度θ），表示x、y，消参得到轨迹方程。 2. 关键：忽略变量取值范围，会导致轨迹不完整（如椭圆、双曲线的定义域限制）。 （二）直线与圆锥曲线综合（解答题第二问核心） 1. 定点定值问题：通过联立方程、韦达定理，消去参数（如直线斜率k），证明表达式与参数无关，或求出定点坐标（可先取特殊值验证）。 2. 最值与参数范围问题：结合函数、基本不等式、判别式求解，核心是将最值/范围转化为代数问题（如利用韦达定理构造函数，或用判别式求参数取值范围）。 3. 向量与解析几何结合：将向量平行、垂直、数量积等条件，转化为坐标关系（如向量垂直→x1x2+y1y2=0），融入联立方程中求解。 （三）复杂综合应用 1. 双曲线、抛物线的进阶综合：重点考查渐近线与直线的位置关系、抛物线的焦点弦性质，难度偏高。 2. 多曲线综合：椭圆与双曲线、抛物线的结合，考查定义的灵活应用和几何性质的综合分析。 四、高考考法总结与易错提醒 （一）考法总结 1. 客观题（5-10分）：侧重基础，考查直线与圆的位置关系、圆锥曲线的几何性质（离心率、渐近线等）、简单轨迹方程，难度低-中档； 2. 解答题（12分）：固定为中高档大题，第一问求曲线方程，第二问考查直线与曲线的综合（定点、定值、最值、参数范围），难度中等偏上； 3. 新高考趋势：弱化复杂运算，强化“设而不求”思想和逻辑推理，向量、函数、不等式与解析几何的结合愈发紧密，多选题增加性质辨析。 （二）易错提醒 1. 遗漏直线斜率不存在的特殊情况（如垂直x轴的直线），导致解题不完整； 2. 记错圆锥曲线的标准方程、离心率公式、渐近线方程（如双曲线渐近线符号错误）； 3. 求解轨迹方程时，忽略变量的取值范围，导致轨迹不完整； 4. 联立方程后，计算韦达定理出错，或忘记用判别式判断交点个数； 5. 求弦长时记错公式，或未先判断直线与曲线的位置关系； 6. 定点定值问题中，消参不彻底，无法证明与参数无关； 7. 忽略双曲线的两支，导致参数范围求解错误； 8. 向量与解析几何结合时，将向量条件转化为代数方程出错。 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知F为双曲线的右焦点，A为左顶点，P为C上的点，且P位于第一象限，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北沧州·二模）已知，，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河南·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·广西崇左·二模）已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 二、多选题 12．（2026·河南开封·二模）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 13．（2026·云南昆明·模拟预测）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 14．（2026·河北沧州·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 15．（2026·河南开封·二模）已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 三、填空题 16．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 17．（2025·山东青岛·一模）直线与圆交于两点，，则___________． 18．（2026·湖南长沙·一模）已知以原点为中心的椭圆、双曲线，与抛物线 有公共焦点 F，且三个曲线在第一象限交于同一点.若的离心率为2，则的离心率为________. 19．（2026·河北沧州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，的内切圆分别与，相切于点，，若，，则的离心率为__________. 20．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． 21．（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 22．（2026·浙江·三模）抛物线上的A，B两点均位于第一象限，点在轴正半轴上，满足．且．若的面积为9，则点坐标为____________． 四、解答题 23．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，，是上不同的两点（其中在第一象限），点.当，关于轴对称，且时，． (1)求的方程； (2)已知为轴上一点（点与不重合），，是上不同的两点（其中在第一象限），且，若，，三点共线，，求证：轴． 24．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的长轴为4，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点的直线与交于不同的两点（在第一象限），过作平行于轴的直线交轴于点，取中点，作直线交于点，求的最大值． 25．（2026·山东滨州·二模）已知椭圆上顶点为，右焦点为，坐标原点为，且，，为椭圆上两个不同的点（均不与重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若为的垂心，求直线的方程. 26．（15-16高二下·重庆·期末）椭圆（）的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求面积S的最大值. 27．（2026·辽宁锦州·二模）已知动点到点的距离比它到轴的距离大2，设点的轨迹为，斜率为的直线过定点且与轨迹在轴右侧的部分交于A，B两点.满足. (1)求轨迹的方程； (2)求值. 28．（2026·宁夏银川·三模）已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 29．（2026·河北·二模）已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为． (1)求的方程. (2)已知点，过点且斜率为的直线与交于两点，过点且斜率为的直线与交于两点，分别为的中点，且. （I）若与重合，求． （II）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 30．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的右顶点为，点为椭圆上的一点．设椭圆的左、右焦点分别为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点（异于椭圆的左、右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）设直线分别交轴于两点，求证：以为直径的圆与轴相交的弦长为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $