第十二章 平面图形的认识（复习讲义）数学新教材青岛版七年级下册

该初中数学复习讲义通过知识点分层梳理与多样化工具构建平面图形认识的知识体系，用表格对比锐角、直角、钝角三角形高的位置及交点特性，系统呈现三角形（概念、分类、三线、内角和等）、多边形（内角和、外角和、对角线）、圆（定义、弦弧、点与圆位置关系）等核心内容，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于情境化题型设计与分层能力培养，如“三角形内角和定理应用”中台球反弹问题，结合生活场景培养几何直观；“多边形对角线条数探究”通过归纳n边形公式发展推理意识。基础巩固与能力提升练习分层设置，例题配变式训练，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学，提升学生空间观念与应用意识。

第十二章 平面图形的认识（复习讲义） 知识点01 三角形的概念 1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形． 2. 基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角． 3. 表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示． 知识点02 三角形的分类 1. 等腰三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2. 三角形的分类 （1）按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2）按角分类 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 知识点03 三角形的三边关系 1. 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． 3. 三角形具有稳定性． 知识点04 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．三角形的重心在三角形内部． 知识点05 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部． 知识点06 三角形的高 1. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高． 2. 三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 知识点07 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°.． 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点08 直角三角形的性质及判定 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°． 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 知识点09 三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 知识点10 多边形 1. 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点． 2. 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等．下图中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF．三角形ABC可以记作“△ABC”． 图1 3. 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角． 4. 多边形的外角与相邻的内角互为补角．如下图，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180°． 5. 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线．如下图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线． 6. 和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形． 7. n边形内角和等于(n-2)×180°．正多边形的每个内角的度数为(n≥3)． 8. 在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 知识点11 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点12 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点13 圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】（25-26七年级下·广东佛山·月考）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【变式】下列说法中错误的是（   ） A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段 B．任意一个三角形的内角和都是 C．三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和等边三角形 D．直角三角形的两个锐角互余 题型二 三角形内角和定理的应用 【例2】（25-26七年级下·湖北武汉·月考）一个长方形台球的桌面如图所示，一个球在桌面的点滚向桌边，碰到上的点后反弹滚向桌边，碰到上的点反弹滚向点．已知，在碰撞中始终满足． (1)在图1中，判断路线，有何位置关系？请直接写出结论___________； (2)如图2，当球碰撞到上的点时反弹滚向桌边上的点，再反弹滚向点． ①在图2中，画出球经过方向击出，经过两次碰撞反弹的路线； ②（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 【变式】（25-26七年级下·四川达州·月考）如图，已知，，，则等于_____． 题型三 直角三角形的两个锐角互余 【例3】（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 【变式】（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，线段、交于点，为线段上一点（不与点、重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．若为钝角，，则的度数为___________． 题型四 锐角互余的三角形是直角三角形 【例4】如图所示，，则下列结论中：①；②与互相垂直；③线段的长度是点到的距离；④，其中正确的个数为（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式】（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求的度数． 题型五 三角形的外角的定性质 【例5】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，将一副三角板放置在和之间，点G在上，点N在上，点G，F，M在一条直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 题型六 构成三角形的条件 【例6】．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知是等腰三角形，，则边_________． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 确定第三边的取值范围 【例7】（25-26七年级下·河南郑州·期中）阅读理解： 例：已知：，求：m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决问题： (1)若，求x、y的值； (2)已知a，b，c是的三边长且满足，若c是中最短边的边长，且c为整数，请直接写出________，________，________． (3)根据平方的非负性，请你尝试确定：当m取何值时，代数式取到最值，最值为多少？ 【变式】（25-26八年级上·广西玉林·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 题型八 三角形三边关系的应用 【例8】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的三边长为，，， (1)若，，写出的范围，并化简：． (2)若是等腰三角形，且，求这个等腰三角形的周长． 【变式】（25-26七年级下·四川成都·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 题型九 三角形角平分线的定义 【例9】（25-26七年级下·四川·期中）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，是角平分线，，交于点E，点F是上一点且，那么平分吗？ 解：∵ 是的角平分线（已知）， ∴______． ∵ （已知）， ∴ ____________（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）． ∵（已知）， ∴ （ ）， （ ）， ∴ （等量代换）， ∴ 平分． 【变式】（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 题型十 画三角形的高 【例10】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高，边上的中线； (2)若的周长比的周长长4.5，则比长____________； (3)的面积为____________． 题型十一 重心的概念 【例11】（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【变式】（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 【例12】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【变式】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）【背景材料】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．不同类型的三角形，其高线具有不同的特点．锐角三角形三条边上的高均在三角形内部且交于一点，交点位于三角形内部；直角三角形两条边上的高与直角边重合，第三条边上的高在三角形内部，且三条高交于一点，交点位于直角三角形的直角顶点． (1)【提出问题】仿照上面的方式写出钝角三角形的高具有的特点； (2)【解决问题】在中，为边的高，若，，求的度数． 题型十三 根据三角形中线求长度 【例13】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 【变式】（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 题型十四 根据三角形中线求面积 【例14】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【变式】（25-26七年级下·重庆·月考）如图，已知中，，，为边上一点，，，为上一点，过点作于点，于点，则的值为_____________． 题型十五 多边形对角线的条数问题 【例15】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【变式】（24-25七年级上·全国·单元复习）观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 题型十六 对角线分成的三角形个数问题 【例16】按要求完成下列各题： (1)完成表格中未填部分． 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 ____ 三角形个数 1 2 3 4 ____ 内角和 _____ ____ (2)根据表中规律，n边形的内角和是______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 【变式】（25-26七年级上·河南郑州·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 题型十七 多边形内角和问题 【例17】如图，四边形中，点M、N分别在、上，将沿翻折，得，若，，，，则的度数为 _______． 【变式】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知：，点E在直线之间，连接． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若平分平分交于点P，求的值； (3)如图，在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若．求的度数． 题型十八 正多边形的内角问题 【例18】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 【变式】（24-25七年级下·河南南阳·期末）项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是____________； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为____________，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 1．下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）．（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形    D．正六边形    E．正八边形 2．公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为____________． 【任务二：创作密铺】 七（1）班数学“智慧小组”提出：同时用“正方形+正八边形”的密铺方案， 数学“挑战小组”提出：同时用“正方形＋正六边形”的密铺方案； 请你思考并判断哪个小组方案可行，可进行如下验证： 验证方案： 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程____________，可以找到方程的正整数解为____________； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程____________，发现方程____________（填：有或无）正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：________________________． 【任务三：应用密铺】 某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形或正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请你设计两种共顶点组合密铺方案，并画出示意图． 方案1：用两种正多边形（只画一种情况）， 方案2：用三种正多边形． 题型十九 复杂图形的内角和 【例19】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，等于（    ） A． B． C． D． 题型二十 正多边形的外角问题 【例20】（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是 ____． 【变式】（24-25七年级下·河南南阳·月考）如图，小刚从点出发，沿直线前进3米后左转，再沿直线前进3米，又向左转，…．照这样走下去，他第一次回到出发地点时，走的路程一共是______米． 题型二十一 多边形内角和与外角和综合 【例21】已知一个多边形的内角和比外角和大，求这个多边形的边数． 【变式】求多边形的边数 (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 题型二十二 多边形外角和的实际应用 【例22】（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，有四条直线两两相交，则的值是（    ） A．360 B．450 C．540 D．630 题型二十三 圆的基本概念辨析 【例23】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 【变式】（25-26七年级上·山东青岛·周测）以下说法正确的有（    ） ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧； ②各边都相等的多边形是正多边形； ③顶点在圆上的角叫做圆心角； ④用度、分、秒表示为； ⑤线段，则点C是线段的中点； ⑥两点之间的线段叫做两点之间的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·河南郑州·期中）小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）以下列各线段长为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在五边形中，，平分，平分，则的度数是（） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是_____． 5．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，点在边上，连接．当，且时，那么我们称是的“分割线”．若是的“分割线”，则______． 7．（25-26七年级下·山东济南·月考）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 8．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 9．（25-26七年级下·北京·期中）已知：如图，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的大小． 10．（25-26七年级下·山东淄博·期中）探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 能力提升进阶练 1．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②④ D．③④ 3．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点P，，有下列结论：①若，则；②；③；④若，则．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________． 5．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点O在直线上方，连接、，若，分别平分，，平分，平分且交的反向延长线于点Q．若时，则的度数为_______． 6．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一个动点，点是线段上一点且满足，平分角．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________．（填序号） 7．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，直线分别交直线，于点，．，分别平分，，，分别平分，，已知． (1)求证：； (2)直接写出的度数． 8．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知中，，点是的边上一点，射线交于点，当时，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转后停止． (1)求的度数； (2)若秒后射线与平行，求此时的值； (3)若秒后射线与边或垂直，求此时的值． 9．（25-26七年级下·云南昆明·期中）【问题情境】自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理． 【学科融合】如图1，光的反射遵循反射定律，入射光线经过镜面反射后形成反射光线，是法线，垂直于镜面，其中入射角等于反射角． 【实验探究】如图2，，是两个平面镜，入射光线经过两次反射后，形成反射光线，，且是两次反射法线的交点． (1)若，则__________° (2)试判断入射光线与反射光线是否平行，并说明理由． 10．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）杭州风景如画，苏堤、白堤纵横交错，断桥、三潭印月相映成趣．在这些优美的景观布局中，蕴含着丰富的几何图形与位置关系．某数学实践小组在游览时发现，景观栈道、桥梁结构与观景路线中常常出现三角形与平行线的组合．请结合下列图形与情境，运用所学知识解决下列问题：如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在线段上有一点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 平面图形的认识（复习讲义） 知识点01 三角形的概念 1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形． 2. 基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角． 3. 表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示． 知识点02 三角形的分类 1. 等腰三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2. 三角形的分类 （1）按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2）按角分类 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 知识点03 三角形的三边关系 1. 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． 3. 三角形具有稳定性． 知识点04 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．三角形的重心在三角形内部． 知识点05 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部． 知识点06 三角形的高 1. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高． 2. 三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 知识点07 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°.． 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点08 直角三角形的性质及判定 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°． 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 知识点09 三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 知识点10 多边形 1. 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点． 2. 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等．下图中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF．三角形ABC可以记作“△ABC”． 图1 3. 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角． 4. 多边形的外角与相邻的内角互为补角．如下图，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180°． 5. 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线．如下图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线． 6. 和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形． 7. n边形内角和等于(n-2)×180°．正多边形的每个内角的度数为(n≥3)． 8. 在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 知识点11 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点12 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点13 圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】（25-26七年级下·广东佛山·月考）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【思路引导】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 【变式】下列说法中错误的是（   ） A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段 B．任意一个三角形的内角和都是 C．三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和等边三角形 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【思路引导】根据三角形相关线段的定义、三角形内角和定理、三角形分类以及直角三角形的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段， A选项说法正确，不符合题意； B．根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都是，即B选项说法正确，不符合题意； C．三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等边三角形是按边分类得到的三角形，不属于按角的分类，即C选项说法错误，符合题意； D．直角三角形的两个锐角和为，即两锐角互余，即D选项说法正确，不符合题意． 题型二 三角形内角和定理的应用 【例2】（25-26七年级下·湖北武汉·月考）一个长方形台球的桌面如图所示，一个球在桌面的点滚向桌边，碰到上的点后反弹滚向桌边，碰到上的点反弹滚向点．已知，在碰撞中始终满足． (1)在图1中，判断路线，有何位置关系？请直接写出结论___________； (2)如图2，当球碰撞到上的点时反弹滚向桌边上的点，再反弹滚向点． ①在图2中，画出球经过方向击出，经过两次碰撞反弹的路线； ②（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②成立，理由见解析 【思路引导】（1）推导出，得到，进而推导出，则，即可解答； （2）①根据题意作图即可；②由图得到，推导出，进而求出，则，即可解答． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵， ∴ ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，即为两次碰撞反弹的路线； ②成立，理由如下： 由图可知， ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴． 【变式】（25-26七年级下·四川达州·月考）如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【思路引导】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ． 题型三 直角三角形的两个锐角互余 【例3】（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）先由已知的和邻补角利用同角的补角相等得到，从而判定；再结合的条件，分别运用两直线平行的性质，得到和，通过等量代换推出；最后利用平分得到，代换即可得； （2）代入第一问结论求，由且得，可得，最后在中用内角和定理即可算出． 【规范解答】（1）证明： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式】（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，线段、交于点，为线段上一点（不与点、重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．若为钝角，，则的度数为___________． 【答案】 【思路引导】延长交于点，由平行线的性质可得，结合可得，由垂线的性质可得，结合三角形内角和为，求出即可． 【规范解答】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 题型四 锐角互余的三角形是直角三角形 【例4】如图所示，，则下列结论中：①；②与互相垂直；③线段的长度是点到的距离；④，其中正确的个数为（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路引导】根据垂线定义可判断①②；根据点到直线距离的定义可判断③；根据直角三角形的性质和余角的性质可判断④． 【规范解答】解：①∵，∴，故①正确； ②∵，∴与不互相垂直，故②错误； ③线段的长度是点到的距离，故③正确； ④∵∴，故④正确． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了垂直的定义，余角的性质，点到直线的距离，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别． 【变式】（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 由角平分线的定义先求出的度数，再求出和的度数，即可得答案． 【规范解答】解：，平分， ； ， ， ， ， ． 题型五 三角形的外角的定性质 【例5】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，将一副三角板放置在和之间，点G在上，点N在上，点G，F，M在一条直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】延长交于点P，根据平行线的性质可求得，再根据外角的性质求解即可． 【规范解答】解：延长交于点P， ， ， ， ． 【变式】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用角平分线和三角形内角和，推导出． （2）先证，然后根据求出，再根据三角形的外角性质得到关系式，求解． 【规范解答】（1）解： ， ， 平分，平分， ，， ， ． （2）解： 平分，平分， ，， ， ，即， ， ，解得， 设，， ∴，， 解得． 题型六 构成三角形的条件 【例6】．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知是等腰三角形，，则边_________． 【答案】8 【思路引导】本题根据等腰三角形的定义分类讨论的可能取值，再利用三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合条件的结果即可得到答案． 【规范解答】解：是等腰三角形，分两种情况讨论： ① 当时，三角形三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去； ② 当时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形． 故． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查三角形的分类及三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据三角形的分类和三角形的三边关系逐个判断每个说法的正确性． 【规范解答】解：三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形， 说法（1）错误的将等边三角形与等腰三角形并列作为分类，表述不够严谨，通常按边分类为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特殊形式）．故说法错误； ∵三角形三边关系为两边之和一定大于第三边， ∴说法（2）错误． ∵等边三角形的三边都相等，满足等腰三角形“至少有两边相等”的定义， ∴说法（3）正确． ∵等腰三角形的定义就是有两边相等的三角形， ∴说法（4）正确． 综上，正确的说法有2个． 故选：B． 题型七 确定第三边的取值范围 【例7】（25-26七年级下·河南郑州·期中）阅读理解： 例：已知：，求：m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决问题： (1)若，求x、y的值； (2)已知a，b，c是的三边长且满足，若c是中最短边的边长，且c为整数，请直接写出________，________，________． (3)根据平方的非负性，请你尝试确定：当m取何值时，代数式取到最值，最值为多少？ 【答案】(1)， (2)，，或 (3)当时，代数式取得最大值，最值为 【思路引导】本题考查了完全平方式的非负性，解方程，三角形三边之间的关系； （1）根据阅读材料的方法进行运算，即可求得结果； （2）根据阅读材料的方法进行运算，求出a、b的值，再根据三角形三边关系确定c的值即可； （3）将式子化为，然后根据偶次方的非负性解答即可． 【规范解答】（1）解：， ∴，， 解得：，； （2）解： ， ∴，， 解得，， ∴，即， 又∵c是中最短边的边长，且c为整数， ∴或， 故答案为：，，或； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 即时，代数式取得最大值，最值为． 【变式】（25-26八年级上·广西玉林·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长． 【规范解答】解：设第三边长为x， 则，即， 又∵x为整数， ∴x最大为6， ∴三角形的周长最大值为， 故选：A． 题型八 三角形三边关系的应用 【例8】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的三边长为，，， (1)若，，写出的范围，并化简：． (2)若是等腰三角形，且，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)；3 (2)等腰三角形的周长为17 【思路引导】本题考查了三角形三边关系、绝对值化简及非负数的性质在等腰三角形中的应用，解题的关键是熟练运用三角形三边关系、配方法及分类讨论思想． （1）利用三角形三边关系求出的取值范围，再根据绝对值的性质化简式子； （2）用配方法求出、的值，再结合等腰三角形的性质和三边关系求周长． 【规范解答】（1）解：根据三角形三边关系，得： ， ． ， ，， ． （2）解：， ， ． ，， ，， ，， 是等腰三角形， 分两种情况①当腰长为时，三边长为，，， ，能构成三角形， 周长为； ②当腰长为时，三边长为，，， ，不能构成三角形，舍去． 综上，这个等腰三角形的周长为17． 【变式】（25-26七年级下·四川成都·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据例题用配方法，得出，即可求解； （2）将已知等式用完全平方公式因式分解得出，根据非负数的性质求得，再根据三角形的三边关系，即可求解； （3）利用作差法得出，即可求解． 【规范解答】（1）解： 当，即时，的最小值为 （2）解：∵ ∴，即 ∵ ∴ ∵ ∴ （3）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ 题型九 三角形角平分线的定义 【例9】（25-26七年级下·四川·期中）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，是角平分线，，交于点E，点F是上一点且，那么平分吗？ 解：∵ 是的角平分线（已知）， ∴______． ∵ （已知）， ∴ ____________（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）． ∵（已知）， ∴ （ ）， （ ）， ∴ （等量代换）， ∴ 平分． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【思路引导】先根据角平分线定义得；再由平行线性质得；结合已知条件，利用内错角相等判定两直线平行；再由平行线性质得同位角相等，等量代换后证得EF平分． 【规范解答】证明：∵是角平分线（已知）， ∴ ， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， ∵ （已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， ∴ （等量代换）． ∴平分． 故答案为：； ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【变式】（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 【答案】 【思路引导】先分别过点、作直线，，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想即可解答． 【规范解答】解：如图，分别过点、作直线，， ． ， ， ， ． 平分，平分， ，， 同理可得，， 以此类推，，，，． 题型十 画三角形的高 【例10】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【思路引导】（1）过点A作交延长线于点F，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，再由三角形面积公式得到，即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度； （4）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， 即图形中面积相等的两个三角形为和． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高，边上的中线； (2)若的周长比的周长长4.5，则比长____________； (3)的面积为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4.5 (3)4 【思路引导】本题考查了三角形的高与中线的定义，三角形周长差的转化，三角形面积的计算，掌握中线将三角形分成面积相等的两部分，周长差可通过消去相等线段转化为边长差是解题的关键． （1）根据三角形高的定义，从点向边作垂线得到，根据中线定义找到的中点，连接得到中线； （2）利用中线的性质，，结合周长差的表达式，消去公共边和相等线段，得到与的差； （3）先计算的面积，再利用中线将三角形分成面积相等的两部分，得到的面积． 【规范解答】（1）解：如图所示，线段、线段即为所求． （2）解：∵是的中线， ∴． ∵的周长比的周长长， ∴， ． （3）解：∵，是的中线， ∴． 题型十一 重心的概念 【例11】（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【思路引导】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【规范解答】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 【答案】10 【思路引导】此题主要考查了三角形重心的定义，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键． 依题意得点O是的重心，则，，，根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，，由，得，进而得，再由，得，由此得，据此即可得出的面积． 【规范解答】解：依题意得：点O是的重心， ∴，，均为的中线， ∴，，， 根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，， ∵，， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 【例12】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【答案】4 【思路引导】连接，利用，结合，即可解答． 【规范解答】解：如图，连接， 则， ， ， 又∵，，即， ． 【变式】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）【背景材料】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．不同类型的三角形，其高线具有不同的特点．锐角三角形三条边上的高均在三角形内部且交于一点，交点位于三角形内部；直角三角形两条边上的高与直角边重合，第三条边上的高在三角形内部，且三条高交于一点，交点位于直角三角形的直角顶点． (1)【提出问题】仿照上面的方式写出钝角三角形的高具有的特点； (2)【解决问题】在中，为边的高，若，，求的度数． 【答案】(1)钝角三角形两条边上的高均在三角形外部，第三条边上的高在三角形内部，且三条高交于一点，交点位于三角形外部． (2)或 【思路引导】（1）画钝角三角形，并作出三条高即可得出其特点； （2）分高在内部和高在外部两种情况求解． 【规范解答】（1）解：如图，钝角中， 分别为边上的高，相交于， 所以钝角三角形两条边上的高均在三角形外部，第三条边上的高在三角形内部， 且三条高交于一点，交点位于三角形外部； （2）解：情况一：如图，高在内部， 为边的高， ， 又， ， ， ； 情况二：如图，高在外部， 为边的高， ， 又， ，， ， ； 综上，的度数为或． 题型十三 根据三角形中线求长度 【例13】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 【答案】 【思路引导】（1）根据题意可得，结合是的中线，可得，再求周长即可； （2）根据三角形中线平分三角形的面积求解． 【规范解答】解：（1） 的周长为， ，即， 解得， 又是的中线， 是的中点，， 的周长； （2） ， ， 又点E为线段的中点， ． 【变式】（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5 (2)不能等于12，理由见解析 【思路引导】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）解：不能等于12，理由如下： 假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 题型十四 根据三角形中线求面积 【例14】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【答案】D 【思路引导】根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【规范解答】解：∵是边上的中线，的面积等于20， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 【变式】（25-26七年级下·重庆·月考）如图，已知中，，，为边上一点，，，为上一点，过点作于点，于点，则的值为_____________． 【答案】 【思路引导】根据，可知，再根据即可求解． 【规范解答】解：已知中， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型十五 多边形对角线的条数问题 【例15】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【思路引导】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【规范解答】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 【变式】（24-25七年级上·全国·单元复习）观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 【答案】(1)2；5；9；14 (2)； (3) (4)54条 【思路引导】本题考查的是多边形的对角线的数量的探究； （1）根据多边形的边数计算多边形的对角线的数量即可； （2）根据从1个顶点出发的对角线的数量，可得答案； （3）由（1）的计数总结规律，再归纳即可； （4）利用（3）的规律，把代入计算即可． 【规范解答】（1）解：一个四边形有条对角线； 一个五边形有条对角线； 一个六边形有条对角线； 一个七边形有条对角线； （2）解：由（1）归纳总结可得： 由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线； （3）解：由（1）归纳总结可得： 一个n边形有条对角线． （4）解：当时， 一个十二边形有条对角线． 题型十六 对角线分成的三角形个数问题 【例16】按要求完成下列各题： (1)完成表格中未填部分． 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 ____ 三角形个数 1 2 3 4 ____ 内角和 _____ ____ (2)根据表中规律，n边形的内角和是______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)没有内角和为的多边形，理由见解析 【思路引导】（1）根据题意补全表格即可； （2）根据表中规律求解即可； （3）根据题意得到，然后求解判断即可． 【规范解答】（1）解：如图， 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 4 三角形个数 1 2 3 4 5 内角和 （2）解：根据表中规律，n边形的内角和是； （3）解：没有内角和为的多边形，理由如下： 根据题意得， 解得，不是正整数， ∴没有内角和为的多边形． 【变式】（25-26七年级上·河南郑州·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【思路引导】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【规范解答】解：如下图，共有10种， 故选：B． 题型十七 多边形内角和问题 【例17】如图，四边形中，点M、N分别在、上，将沿翻折，得，若，，，，则的度数为 _______． 【答案】 【思路引导】利用平行线的性质得出，，再利用翻折变换的性质得出，，进而求出的度数以及得出的度数． 【规范解答】解：∵，，，， ， ∵将沿翻折得， ， ， ． 【变式】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知：，点E在直线之间，连接． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若平分平分交于点P，求的值； (3)如图，在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若．求的度数． 【答案】(1) (2)2 (3) 【思路引导】（1）过点E作，根据平行线的性质求解即可； （2）过点E作，过点F作，得到，，代入计算即可； （3）结合（2）的计算得到，根据角平分线的定义，三角形内角和定理，四边形内角和定理得到，最后在中运用三角形内角和定理列式即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵，即， 在中，， ∴， 解得，， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在四边形中，，且，即， ∴， 解得，， ∴， 在中，． 题型十八 正多边形的内角问题 【例18】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 【答案】 【思路引导】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【规范解答】解：如图， 由多边形内角和、外角和定理可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为． 【变式】（24-25七年级下·河南南阳·期末）项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是____________； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为____________，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 1．下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）．（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形    D．正六边形    E．正八边形 2．公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为____________． 【任务二：创作密铺】 七（1）班数学“智慧小组”提出：同时用“正方形+正八边形”的密铺方案， 数学“挑战小组”提出：同时用“正方形＋正六边形”的密铺方案； 请你思考并判断哪个小组方案可行，可进行如下验证： 验证方案： 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程____________，可以找到方程的正整数解为____________； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程____________，发现方程____________（填：有或无）正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：________________________． 【任务三：应用密铺】 某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形或正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请你设计两种共顶点组合密铺方案，并画出示意图． 方案1：用两种正多边形（只画一种情况）， 方案2：用三种正多边形． 【答案】[知识储备] 1．；2．；[任务一：寻找密铺] 1．；2．；[任务二：创作密铺] 1．，；2．，无；结论：“智慧小组”方案；[任务三：应用密铺]方案1：见解析；方案2：见解析 【思路引导】本题考查多边形的内角和、正多边形的性质、平面镶嵌、二（三）元一次方程的解，熟练掌握相关知识并灵活运用是解答的关键． [知识储备] 1．根据正多边形的性质及内角和公式求解即可；2．根据周角为可得答案； [任务一：寻找密铺] 1．根据各正多边形性质和内角，结合镶嵌知识逐个判断即可；2．根据五边形的内角和求解即可； [任务二：创作密铺]1．根据两个正多边形的内角，可得方程，进而可得解为；2．根据两个正多边形的内角，可得方程，进而分析方程无解；进而可得结论； [任务三：应用密铺]方案1：分正三角形和正方形、正三角形和正六边形讨论求解即可；方案2：根据镶嵌原理和三个正多边形的内角度数列方程讨论求解即可． 【规范解答】解：[知识储备] 1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合． [任务一：寻找密铺] 1．A、正三角形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面； E．正八边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； 故答案为：ABD； 2．∵五边形的内角和为，， ∴； [任务二：创作密铺] 由于正方形的每个内角为，正八边形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程，可以找到方程的正整数解为； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程，发现方程无正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：“智慧小组”方案； [任务三：应用密铺] 方案1：①设正三角形x个，正方形y个，则， ∵x、y为正整数， ∴， 故可由3个正三角形和2个正方形组合密铺，如图： ②设正三角形m个，正六边形n个，则， ∵m、n为正整数， ∴或， 故可由2个正三角形和2个正六边形组合密铺或4个正三角形和1个正六边形组合密铺； 方案二：设正三角形a个，正方形b个，正六边形c个，则， ∵a、b、c为正整数， ∴， 故可由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，如图： 题型十九 复杂图形的内角和 【例19】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【规范解答】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【规范解答】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【考点剖析】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 题型二十 正多边形的外角问题 【例20】（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是 ____． 【答案】36 【思路引导】本题考查了正多边形的外角问题，三角形内角和定理，熟练掌握正多边形的外角公式是解题的关键．先求得正多边形的外角，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【规范解答】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·河南南阳·月考）如图，小刚从点出发，沿直线前进3米后左转，再沿直线前进3米，又向左转，…．照这样走下去，他第一次回到出发地点时，走的路程一共是______米． 【答案】45 【思路引导】本题主要考查了正多边形外角和定理，由题意得，小刚所走的路线刚好构成一个正多边形，且这个正多边形的一个外角的度数为，根据正多边形外角和为360度可求出正多边形的边数，再根据每次前进3米即可求出路程． 【规范解答】解：由题意得，小刚所走的路线刚好构成一个正多边形，且这个正多边形的一个外角的度数为， ∴这个正多边形的边数为， ∴小刚走的路程一共是米， 故答案为：45． 题型二十一 多边形内角和与外角和综合 【例21】已知一个多边形的内角和比外角和大，求这个多边形的边数． 【答案】边数为 【思路引导】设边数为，根据一个多边形的内角和比外角和大列方程即可求解． 【规范解答】解：设这个多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和为，边形内角和为，该多边形内角和比外角和大， ∴列方程得： 整理得 解得， ∴这个多边形的边数为． 【变式】求多边形的边数 (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 【答案】(1)此多边形的边数为11 (2)8 【思路引导】（1）先设此多边形的边数为n，再根据多边形内角和定理得，求出解即可； （2）设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，再根据内角和相邻外角的和为得出方程，求出解，然后用除以一个外角的度数可得边数． 【规范解答】（1）解：设此多边形的边数为n，则 ， 解得． 所以此多边形的边数为11； （2）解：设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，依题意得， 解得． ， 故这个多边形的边数是8． 题型二十二 多边形外角和的实际应用 【例22】（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【规范解答】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 【变式】如图，有四条直线两两相交，则的值是（    ） A．360 B．450 C．540 D．630 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的外角和、对顶角相等、利用邻补角互补求角度，由图形可得，，再结合，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 题型二十三 圆的基本概念辨析 【例23】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 【答案】②③ 【思路引导】本题主要考查了圆的定义和性质，解题的关键是掌握圆的定义和性质． 根据圆的定义和性质进行解答即可． 【规范解答】解：能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是： ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； 故答案为：②③． 【变式】（25-26七年级上·山东青岛·周测）以下说法正确的有（    ） ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧； ②各边都相等的多边形是正多边形； ③顶点在圆上的角叫做圆心角； ④用度、分、秒表示为； ⑤线段，则点C是线段的中点； ⑥两点之间的线段叫做两点之间的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路引导】本题考查圆的认识，正多边形的定义，度、分、秒的换算，中点和线段的定义等，根据相关知识逐个判断即可． 【规范解答】解：①圆上任意两点间的部分叫做圆弧，说法正确，符合题意； ②各边都相等，各角都相等的多边形叫正多边形，原说法错误，不符合题意； ③顶点在圆上的角叫做圆周角，原说法错误，不符合题意； ④，，所以用度、分、秒表示为，说法正确，符合题意； ⑤当点C在线段上，且时，点C是线段的中点，原说法错误，不符合题意； ⑥两点之间的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意． 综上所述，正确的有①④，一共2个． 故选：A． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·河南郑州·期中）小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据所选木条为最长边确定不等关系，结合三角形三边关系求出第三边的取值范围，再匹配选项得到结果． 【规范解答】解：设所选木条长度为 ∵是三角形的最长边，已有两边长为和 ∴ 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得 ， 即 因此的取值范围为 结合选项可知，只有满足该范围． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）以下列各线段长为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：A、， ∴长度为的线段能组成三角形，选项A符合题意； B、， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项B不符合题意； C、 ， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项 C不符合题意； D、 ， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项D不符合题意． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在五边形中，，平分，平分，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先根据五边形内角和求出的度数，再利用角平分线性质求出的度数，最后在中求解． 【规范解答】解：∵五边形的内角和等于，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴的度数是． 4．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是_____． 【答案】/70度 【思路引导】先确定三角尺中与角互余的角；再利用对顶角相等求得，进一步利用三角形内角和求得的度数，从而得到的度数． 【规范解答】解：如图，三角尺中与互余的角：， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【答案】26 【思路引导】先计算的长度，由中线的定义得，进而即可求解． 【规范解答】解： 的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，点在边上，连接．当，且时，那么我们称是的“分割线”．若是的“分割线”，则______． 【答案】 【思路引导】由题意可得，设，则，所以，然后通过三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：∵是的“分割线”， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 7．（25-26七年级下·山东济南·月考）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【思路引导】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【规范解答】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 8．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据垂直的定义，过点作； （2）根据三角形的高的定义，过点作，线段即为所求； （3）根据点到直线的距离的定义可知：线段的长度是点到直线的距离． 【规范解答】（1）解：下图直线即为所求， （2）解：下图线段即为所求， （3）解：线段的长度是点到直线的距离． 9．（25-26七年级下·北京·期中）已知：如图，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据同角的补角相等可得，进而可以证明结论； （2）根据平行线的性质和角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理可得的度数，再根据垂直定义即可求出的大小． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·山东淄博·期中）探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【答案】(1)2 (2)2，5，9 (3) (4)共握54次手 【思路引导】（1）按照题干的分析方法完成即可； （2）按照题干的分析方法完成即可； （3）按照题干的分析方法完成即可； （4）利用前面（3）的结论即可完成． 【规范解答】（1）解：由题意得：（条）； （2）解：图②，从每一个顶点出发可以作2条对角线，可以作10条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 图③，从每一个顶点出发可以作3条对角线，可以作18条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 故答案分别为：2；5；9； （3）解：对于n边形（），从每一个顶点出发可以作条对角线，可以作条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； （4）解：12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，相当于十二边形的对角线条数问题，由（3）知，每不相邻的人都握一次手，共握手（次）． 能力提升进阶练 1．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】过点作，得到，求出，以及，再根据即可得到答案． 【规范解答】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②④ D．③④ 【答案】C 【思路引导】利用平行线的判定和性质，角的和差以及三角形内角和定理逐项进行判断． 【规范解答】解：①如图1所示，过点作，    ∵， ∴， ∴， 即， 故①错误； ②如图2所示，过点作，    ∵， ∴， ∴， 即， 故②正确； ③如图3所示，过点作，    ∵， ∴， ∴， 即， 故③错误； ④如图4所示，反向延长交于点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 故④正确； 综上，正确的选项为②④． 3．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点P，，有下列结论：①若，则；②；③；④若，则．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】由角平分线的定义可得，，结合题意证明出，可判断③；再由平行线的性质即可判断①；求出，即可判断②；根据角平分线的定义及平行线的性质即可判断④． 【规范解答】解：∵平分，平分 ∴，， ∵， ∴， ∴，故③正确； ①若，则， ∴，故①正确； ②∵，，， ∴， ∴，即，故②正确； ④∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________． 【答案】12 【思路引导】利用配方法把已知式子化为平方和的形式，利用非负数的性质求出a、b的值．然后根据等腰三角形的定义进行分类计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ①当a为腰时，，不能构成三角形； ②当b为腰时，该三角形的周长为：． 故答案为：12． 5．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点O在直线上方，连接、，若，分别平分，，平分，平分且交的反向延长线于点Q．若时，则的度数为_______． 【答案】/度 【思路引导】通过角平分线的条件可推导出和的度数均为，再利用四边形内角和为得到，结合，求解二元一次方程组，解得的度数． 【规范解答】解：平分，平分， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 在四边形中，，， ， 又， 解得． 6．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一个动点，点是线段上一点且满足，平分角．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________．（填序号） 【答案】①③④ 【思路引导】根据内错角相等，两直线平行，可得，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故①正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故③正确；根据两直线平行可得：，根据两直线平行可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故②错误；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故④正确． 【规范解答】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， ， 又， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 平分， ∴， 故③正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， ∴ 故②错误； 平分， ， ∵平分， ， ， 故④正确； ∴其中结论正确的是①③④． 7．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，直线分别交直线，于点，．，分别平分，，，分别平分，，已知． (1)求证：； (2)直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）设，根据角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理可得进而得出，即可得证； （2）根据（1）可得，根据角平分线的定义可得，则，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【规范解答】（1）证明：设， ∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知中，，点是的边上一点，射线交于点，当时，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转后停止． (1)求的度数； (2)若秒后射线与平行，求此时的值； (3)若秒后射线与边或垂直，求此时的值． 【答案】(1) (2)的值为24秒 (3)的值为6秒或18秒 【思路引导】（1）利用三角形内角和定理和平行线的性质即可求解； （2）利用平行线的性质求得，即可求得旋转角，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，分别求得旋转角，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即绕点顺时针旋转， ∴（秒）； （3）解：①当时，如图， ∵， ∴，即绕点顺时针旋转， ∴（秒）； ②当时，如图， ∵， ∴， 此时绕点顺时针旋转， ∴（秒）， 综上，的值为6秒或18秒． 9．（25-26七年级下·云南昆明·期中）【问题情境】自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理． 【学科融合】如图1，光的反射遵循反射定律，入射光线经过镜面反射后形成反射光线，是法线，垂直于镜面，其中入射角等于反射角． 【实验探究】如图2，，是两个平面镜，入射光线经过两次反射后，形成反射光线，，且是两次反射法线的交点． (1)若，则__________° (2)试判断入射光线与反射光线是否平行，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)；理由见解析 【思路引导】（1）要求就是要求，那么放在中来看，只要知道即可，而，问题就迎刃而解了； （2）这一问利用两个平角的和减去四个小角得到同旁内角（）互补，从而说明两直线平行． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： ∵，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ 10．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）杭州风景如画，苏堤、白堤纵横交错，断桥、三潭印月相映成趣．在这些优美的景观布局中，蕴含着丰富的几何图形与位置关系．某数学实践小组在游览时发现，景观栈道、桥梁结构与观景路线中常常出现三角形与平行线的组合．请结合下列图形与情境，运用所学知识解决下列问题：如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在线段上有一点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键． （1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线，结合平行线性质即可． （3）画出图形，结合三角形的内角和定理及平行线的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：如图1，过点作直线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作直线， 由（1）得，， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）解：，理由如下： 如图3， 在中，， ， ， ， ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $