第十一章 因式分解（单元自测·基础卷）数学新教材青岛版七年级下册

**基本信息** 2025-2026学年七年级下册数学第十一章因式分解单元卷，基础通关定位，60分钟120分，融合基础巩固与创新应用，适配单元复习，体现数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解概念、方法辨析|结合代数式求值（如第3题）、几何情境（第8题）考查应用| |填空题|5/15|配方法、代数式关系|设置阴影面积计算（第15题），体现几何直观| |解答题|8/75|配方法应用、新定义“神秘数”、规律探究|含密码翻译（第10题）、劳动基地面积（第15题）等情境，通过“神秘数”（第21题）、两位数乘法规律（第22题）培养推理与创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十一章 因式分解·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 2．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 4．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B． C． D． 5．分解因式后得，则n等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 9．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 10．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知，，则的值为______． 12．若，则表示的多项式是_____． 13．已知，则的值为______． 14．已知，则______． 15．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则________ ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）计算： (1)； (2)（用乘法公式计算）． 17．（本题8分）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：． (1)运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)试说明多项式的值总是一个正数； (3)当________，多项式有最小值，且最小值为________． 18．（本题8分）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 19．（本题9分）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 20．（本题8分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 21．（本题10分）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 22．（本题12分）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为，个位数字为． ①请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 23．（本题12分）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十一章 因式分解·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 2．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 4．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B． C． D． 5．分解因式后得，则n等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 9．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 10．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知，，则的值为______． 12．若，则表示的多项式是_____． 13．已知，则的值为______． 14．已知，则______． 15．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则________ ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）计算： (1)； (2)（用乘法公式计算）． 17．（本题8分）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：． (1)运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)试说明多项式的值总是一个正数； (3)当________，多项式有最小值，且最小值为________． 18．（本题8分）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 19．（本题9分）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 20．（本题8分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 21．（本题10分）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 22．（本题12分）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为，个位数字为． ①请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 23．（本题12分）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十一章 因式分解·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【思路引导】利用平方差公式分解原式，再代入已知条件逐步化简即可得到结果． 【规范解答】解：∵， ∴ ． 2．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：对于选项A：是整式的乘法运算，右边是多项式和的形式，不是乘积，不属于因式分解； 对于选项B：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解； 对于选项C：，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义； 对于选项D：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解． 3．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【思路引导】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ ． 4．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：、，结果含有因式，不符合题意； 、，结果含有因式，不符合题意； 、，结果含有因式，不符合题意； 、，结果不含有因式，符合题意； 5．分解因式后得，则n等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【思路引导】将分解后的因式利用平方差公式展开，和原式对比对应系数，即可计算得到的值． 【规范解答】解： ， ， 又 ，多项式相等对应系数相等， 可得 ， 所以或 由选项可得A符合题意． 6．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题采用作差法比较大小，对作差的算式利用完全平方公式化简，再根据平方数的非负性即可判断与的大小关系． 【规范解答】解： ∵任何实数的平方都满足， ∴ ， 即． 7．下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】因式分解要求变形结果是几个整式的乘积，且分解正确、分解彻底，根据要求逐项判断即可． 【规范解答】解：因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式， A、等式右边不是乘积形式，不符合题意； B、，既是因式分解，分解结果也正确，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，是整式乘法，不符合题意； D、，是因式分解，但分解错误，不符合题意． 8．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为 ，根据用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，超出台面部分的面积为，得到，进而得到，再根据地砖与台面的边长均为整数结合，可得，解方程组即可解答． 【规范解答】解：设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为 ， 根据题意，得，则， ∵地砖与台面的边长均为整数，且， ∴， 解得， 则， ∴台面与这种型号的地砖边长相差． 9．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【规范解答】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 10．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 【答案】C 【思路引导】先提取公因式，再利用平方差因式分解，然后结合已知密码手册即可得解． 【规范解答】解：原式 ， 由题可知，对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， 则结果呈现的密码信息可能是“我爱中国”． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知，，则的值为______． 【答案】30 【思路引导】先对所求代数式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可求解． 【规范解答】解：． 12．若，则表示的多项式是_____． 【答案】 / 【思路引导】先将等式右侧的多项式利用平方差公式因式分解，即可求出多项式． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 13．已知，则的值为______． 【答案】 【思路引导】由，得，然后根据偶次方、算术平方根非负性求出，，然后代入即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． 14．已知，则______． 【答案】 9 【思路引导】利用平方差公式对原式分解变形，再代入已知条件化简整理，即可得到结果． 【规范解答】解： ， 将代入得， ∴原式． 15．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则________ ． 【答案】5 【思路引导】根据，得到，进行求解即可． 【规范解答】解：由图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）计算： (1)； (2)（用乘法公式计算）． 【答案】(1)12mn (2)1 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 17．（本题8分）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：． (1)运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)试说明多项式的值总是一个正数； (3)当________，多项式有最小值，且最小值为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)； 【思路引导】本题主要考查因式分解的应用，灵活运用配方法、平方差公式、完全平方公式是解答本题的关键． （1）先仿照例子进行即可解答； （2）先仿照例子把原式变形为，然后根据平方的非负性即可解答； （3）先仿照例子把原式变形为，然后根据平方的非负性即可解答． 【规范解答】（1）解： （2）解： ， 即多项式的值总是一个正数； （3）解： ∵，且当时，取得最小值，为0， ∴当，多项式有最小值，且最小值为． 故答案为：； 18．（本题8分）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 【答案】(1)B (2)①；② 【思路引导】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可； ②利用平方差公式将原式变形即可求解． 【规范解答】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以. （2）解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的值为3； ② ． 19．（本题9分）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)1 【思路引导】本题考查配方法，涉及公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据公式可直接得出答案； （2）根据题目要求配方得，利用平方的非负性即可求解； （3）根据题目要求配方可得，利用平方的非负性即可求解． 【规范解答】（1）解：． （2）解：由题意得，， 则，， 故． （3）解：， ， ， 即的最小值为1． 20．（本题8分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据例题用配方法，得出，即可求解； （2）将已知等式用完全平方公式因式分解得出，根据非负数的性质求得，再根据三角形的三边关系，即可求解； （3）利用作差法得出，即可求解． 【规范解答】（1）解： 当，即时，的最小值为 （2）解：∵ ∴，即 ∵ ∴ ∵ ∴ （3）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ 21．（本题10分）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)见解析 (3)960是神秘数， (4)阴影部分面积的和为5000 【思路引导】（1）计算：用平方差公式；求48对应的两个连续奇数：设为和，则，得，对应； （2） 设两个连续奇数为和，则，是8的倍数，故神秘数一定是8的倍数； （3） 判断是否是8的倍数即可； （4）阴影面积和为，用平方差公式展开得，计算求解即可． 【规范解答】（1）解： ． 设 ， 则，解得， 则，， 即． （2）解：设两个连续奇数为和，则 ， 是8的倍数， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （3）解：设，解得， 则， ∴，960是神秘数． （4）解：阴影面积和 ． 答：阴影面积为5000． 22．（本题12分）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为，个位数字为． ①请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 【答案】(1)，； (2)①运算规律：，证明见解析； ②这个两位数的最大值为． 【思路引导】（1）根据题中的运算规律计算即可得解； （2）①根据题意得这两个两位数分别为，，从而得到运算规律为，分别计算等式两边即可证明； ②由①得，可得新的两位数为，，进而得到，然后计算出，再进一步分析求解即可． 【规范解答】（1）解：依题意得：， ； （2）解：①其中一个数的十位数字为，个位数字为， 另一个数的十位数字为，个位数字为， 根据题意得，这个运算规律为， 证明如下：左边, , 右边， 左边右边； ②由①得， 分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘， ， ， ， ， , , ， ， 依题意得，为小于的正整数， 为整数， 能被整除， 即这个两位数的最大值为． 23．（本题12分）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 【答案】(1)； (2)当时，代数式有最大值； (3) 【思路引导】本题考查配方法的综合应用，涵盖因式分解、代数式最值求解、完全平方数的整数解探究，核心是通过配方法将代数式转化为完全平方式，结合平方差公式、非负数性质或整数因数分解求解． （1）通过配方法构造平方差形式，再利用平方差公式完成因式分解； （2）先提取二次项系数，对括号内式子配方后，结合二次项系数的正负判断最值的存在条件与取值； （3）通过设完全平方数为整数平方的形式，配方后转化为整数因数分解问题，枚举所有可能的因数对求出整数，再计算乘积． 【规范解答】（1）解：； （2）解：， ， 当即时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：设(为非负整数)， 配方得：， 两边乘4得：，即， 、为整数， 和均为整数，且为的整数因数对，且， 的整数因数对为：、、、，分情况求解： ①当，两式相加得，解得； ②当，两式相加得，解得； ③当，两式相加得，解得； ④当，两式相加得，解得； 所有整数为5、2、、，它们的积为． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十一章因式分解·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 6 1 8 9 10 A 9 D 9 D B B 9 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.30 12.-4a-3b/-3b-4a 13.-5 14.9 15.5 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(本题8分)(1)解：(3mn+1)2-(3mn-1)2 =(3mn+1+3mn-1)(3mn+1-3mn+1) =6mn×2 =12mn: (2)解：1232-124×122 =1232-(123+1)(123-1) =1232-(1232-1) =1232-1232+1 =1 17.(本题8分)(1)解：x2-6x-7 =x2-6x+9-9-7 =(x-3)2-16 =(x-3)2-42 1/6 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =(x-3+4)(x-3-4) =(x+1)(x-7) (2)解：x2-8x+17 =x2-8x+16+1 =(x-4)2+1≥1， 即多项式x2-8x+17的值总是一个正数； (3)解：x2+6x-2 =x2+6x+9-11 =(x+3)2-11 :(x+3)2≥0，且当x=-3时，(x+3)2取得最小值，为0， .当x=-3,多项式x2+6x-2有最小值，且最小值为-11. 故答案为：一3；-11 18.(本题8分)(1)解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2-b2,拼成的图2是长为 (a+b),宽为(a-b)的长方形，因此面积为(a+b)(a-b), 所以a2-b2=(a+b)(a-b) (2)解：①x2-4y2=12, ∴.(x+2y)(x-2y)=12, 又，x+2y=4, ∴.x-2y=12÷4=3, 答：x-2y的值为3： ②(1-字)(1-寺)(1-京)…(1-0) =(1-)(1+)(1-)(1+)…(1-)(1+) =×是×号×等×…×器×器 =×器 =器 19.(本题9分)(1)解：x2+8x+16=(x+4)2. (2)解：由题意得， 2/6 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m2+n2-8m+6n+25=m2-8m+16+n2+6n+9=(m-4)2+(n+3)2=0, 则m=4,n=-3, 故m-n=4-(-3)=7. (3)解：x2-6x+10=(x2-6x+9)+1=(x-3)2+1, :(x-3)2≥0， :x2-6x+10=(x-3)2+1≥1， 即x2-6x+10的最小值为1. 20.(本题8分)(1)解：x2-4x-7=(x2-4x+4)-11=(x-2)2-11 当(x-2)2=0,即x=2时，x2-4x-7的最小值为-11 (2)解：：a2+b2-6a-10b+34=0 ∴.(a2-6a+9)+(b2-10b+25)=0,即(a-3)2+(b-5)2=0 (a-3)2≥0，(b-5)2≥0 ∴.a=3,b=5 .b-a<c<b+a .2<c<8 (3)解：P=3m2+4n+19,Q=m2-n2+12m-4, .P-Q=3m2+4n+19-（m2-n2+12m-4) =3m2+4n+19-m2+n2-12m+4 =2m2-12m+n2+4n+23 =2(m2-6m+9)+(n2+4n+4)+1 =2(m-3)2+(n+2)2+1 :2(m-3)220,(n+2)220 ∴.P-Q20+0+1=1>0 :.P>Q 21.(本题10分)(1)解：112-92=(11+9(11-9)=20×2=40. 设48=(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-10(2n+1-2n+1)=8m, 3/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则8n=48,解得n=6, 则2n+1=13,2n-1=11, 即48=132-112. (2)解：设两个连续奇数为2n+1和2n-1,则 (2n+1)2-(2n-1)2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8m, :8n是8的倍数， .“神秘数”一定是8的倍数。 (3)解：设960=8n,解得n=120, 则2n+1=241,2n-1=239 .960=2412-2392,960是神秘数. (4)解：阴影面积和=(32-12)+(72-52)+(112-92)+…+（992-972) =(3+1)3-1)+(7+5)7-5)+…+(99+9799-97) =4×2+12×2+20×2+·+196×2 =2×(4+12+20+·+196 =2×4+196X25 2 =5000. 答：阴影面积为5000. 22.(本题12分)(1)解：依题意得：42×48=4×5×100+2×8=2016， 652=6×7×100+5×5=4225: (2)解：①：其中一个数的十位数字为a,个位数字为b(a>0,b>0), ·另一个数的十位数字为a,个位数字为10-b, 根据题意得，这个运算规律为(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b), 证明如下：左边=100a2+10ab+100a+10b-10ab-b2, =100a2+100a+10b-b2 右边=100a2+100a+10b-b2, ·左边=右边； ②油①得n=100a2+100a+10b-b2, :分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘， ÷m=(10b+a)[10(10-b)+a], 4/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =(10b+a)(100-10b+a), =1000b+100a-100b2-10ab+10ab+a2, =1000b+100a-100b2+a2, ÷m-n=（1000b+100a-100b2+a2)-（100a2+100a+10b-b2), =1000b+100a-100b2+a2-100a2-100a-10b+b2, =-99a2-99b2+990b, =-99(a2+b2-10b), 依题意得a,b为小于10的正整数， ÷a2+b2-10b为整数 ·m-n能被99整除， 即这个两位数的最大值为99. 23.(本题12分)(1)解： a2+2a-8=(a2+2a+1-1-8=(a+1-9=(a+1)2-32-(a+1+3a+1-3)=(a+4(a-2): (2)解： -2x2-8x+5=-2(x2+4w+5=-2x2+4x+4)-4+5=-2[0x+2)2-4+5=-2x+2)2+8+5 “-2<0, :当(x+2=0即x=-2时，代数式有最大值，最大值为13： (3)解：设m2+m-5=k2(k为非负整数)， 配方得：(m+)2=k2+孕， 两边乘4得：(2m+1)2-4k2=21,即2m+1-2k2m+1+2k)=21, :m、k为整数， :2m+1-2k和2m+1+2k均为整数，且为21的整数因数对，且2m+1-2k≤2m+1+2k, 21的整数因数对为：（1,21)、(3,7)八、(-21，-1)、(-7，一3)，分情况求解： 2m+1-2k=1 ①当2m+1+2k=21,两式相加得22m+1)=22,解得m=5: (2m+1-2k=3 ②当2m+1+2k=7,两式相加得22m+0=10,解得m=2: 2m+1-2k=-21 ③当 2m+1+2k=-1，两式相加得2(2m+1)=-22,解得m=-6: 5/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∫2m+1-2k=-7 ④当{2m+1+2k=-3，两式相加得22m+1)=-10,解得m=-3: 所有整数m为5、2、-6、-3，它们的积为5×2×(-6×(-3=180. 6/6