题号猜押07 江苏苏州中考数学25-26题（解答题)（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦江苏中考25-26题解答题，以圆综合、几何变换、二次函数应用为核心，通过典型模考题构建知识逻辑链，强化几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的综合问题|8题|切线判定、阴影面积、垂径定理综合|圆的性质→切线证明→解直角三角形→面积计算| |几何变换探究|10题|旋转、折叠、动态几何探究|三角形/四边形性质→几何变换→全等/相似→最值问题| |二次函数应用|5题|利润、面积、运动轨迹建模|实际情境→函数建模→性质应用→最值求解|

函学科网·上好课 www .zxxk.com 题号猜押07江苏苏州中考数学25-26 押题预测 考点1圆的综合问题 1.【答案】(1)相切，(1)解：直线AD与⊙0相切 理由：如图，连接A0并延长交⊙0于点F,连接CF, 则AF是O0的直径，∠AFC=∠ABC, .∠ACF=90°， .∠CAF+∠AFC=90°， :∠ACD+∠ABC=90°， ∠CAF=∠ACD, :AF∥CD, :∠D=90°，即AD⊥CD, AF⊥AD, :0A是⊙0的半径， :直线AD与⊙0相切； a-45 2.【答案】(I)(1)证明：如图，连接D0并延长交AC于点F,连接C0, 1/25 上好每一堂课 题（解答题） 命学科网·上好课 D是ABC的中点， AD=CD, .AD CD. 0A=0C, DF⊥AC. DE切⊙O于D, DF⊥DE. AC∥DE; 255-2g 6 3. 【答案】(1)(1)解：∠BFC ∴.∠DEC=∠A+∠FCA, DC=DE, ∴.∠DEC=∠DCE, .∠DCE=∠A+∠FCA, ~∠DCE=∠DCF+∠FCA, ∠A=LDCF; e00r-g,e 4.【答案】(1)(1)证明：AB 0B=0D, ∠B=∠ODB, AF=AE, LAFE=∠E, AE是⊙O的切线，A为切点， ∴.∠BAE=90°， ∠B+∠E=90°， ∠0DB+∠AFE=90°， .∠FGD=90°， www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A+LFCA,∠DEC=∠DFC, CD为O0的直径， 2/25 可学科网·上好课 www zxxk.com ∴AH⊥CD; 202 a 5.【答案】(1)60° 9 6.【答案】(1)(1)证明：AC平分∠BAD, :ZBAC ZCAD. DC=BC :BC CD :四边形ABCD内接于⊙O .∠ABC+∠ADC=180°. 又：∠ABC+∠EBC=180°， :ZEBC ZADC. 在△EBC和△ADC中 BE=AD ∠EBC=∠ADC BC=DC △EBC≌△ADC(SAS; 24C5 AE 6 7.【答案】(1)(1)证明：过点O作0E⊥AB于点E, B :AD⊥BO于点D, 3/25 卷系一每并丁 学科网·上好课 ∠D=∠BE0=90°， .∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD :∠AOD=∠BAD, .∠ABD=∠OAD, 又：BC为⊙O的切线， .OC⊥BC, .∠BC0=∠D=90°， :∠B0C=∠A0D, ·LOBC=∠OAD=∠ABD, 在△BEO和△BCO中， ∠BEO=∠BCO=90° ∠OBC=∠OBE BD=BD ,△BEO≌△BCO(AAS 0E=0C, OE是⊙0的半径， :OE⊥AB, :AB是⊙0的切线： (2)6V6 5 8.【答案】(I)aCBP是等腰三角形， (1)解：△CBP是等腰三角形， 证明：BC是⊙0的切线， OB⊥BC, ∴.∠0BA+∠CBP=90°， 0C⊥0A, ∴.∠A+∠AP0=90°， 0A=0B, ∴.∠A=∠OBA, www zxxk com 90°， 4/25 卷系一每并丁 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠AP0=∠CBP, ∠APO=∠CPB, .∠CPB=∠CBP, ∴.CP=CB, ∴aCBP是等腰三角形； (2)BC=1+V5 ◆考点2三角形、四边形探究提升题型（含几何变换） 1.【答案】(1)(1)证明：：△ABC为等边三角形， AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°， 由旋转的性质可得，BF=BE,∠FBE=60°， :LABF+LABE=LABE+LEBC=60°， ∠ABF=∠EBC, 在△ABF和△CBE中， 「BF=BE ∠ABF=∠CBE, BA=BC ∴.△ABF≌ACBE(SAS), .∠FAB=∠ECB=60°， ∠FAB=∠ABC, :AF∥BC; (2)不变，120° 3)14V5 15 2.【答案】(1)存在，(1)解：存在，证明如下： 证明：：正方形边长为1，点P为边AD的中点， A=m=3AB=1,A=∠B=∠D=0, 5/25 学科网·上好课 www zxxk com 将△PCD沿PC折叠得到△PCF, PFC=∠D=90,PF=DP 将△BCQ沿QC折叠，使BC与FC重合， .QF=BQ=AB-AQ=1-AQ,∠CFQ=∠B=90°， :∠CFP=∠CFQ=90°， F巴，FP在一条直线上，且PQ-QF+FP=1-AO+- 22 -AO, 在△AP9中，LA=90°，AP2+AQ2=PQ2, 8+40(}0 解得40=2 3 AP:40:P0=22=5=3:4:5, 23(2323‘6 存在三边长度之比为3：4：5的直角三角形，即△APQ.; (2)存在，有三个，分别是：△APQ,△DMP,△ENQ;解：存在， 明过程如下： 证明：：正方形边长为1，点P为边AD的中点， PD= 2’CD=1,LD=LB=LA=∠C=90°， 将正方形纸片ABCD折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处， ∴.MC=MP,DM=CD-MC=1-MC=1-MP,∠MPE=∠C=90 在sPDM中，∠D=90,PD+DM2=MP=-8+1-MP MP= DM=1-MP=3 , DM:PD:MP=3::-34:5, 828 ∴△DMP是三边长度之比为3：4：5的直角三角形； ∠QPM=∠D=90°， .∠APQ+∠DPM=90°，∠DPM+∠DMP=90°， ∴.∠APQ=∠DMP, 6/25 上好每一堂课 分别是△APQ,△DMP,△ENQ,证 PE与边AB的交点为Q,折痕为MN ∠E=∠B=90°， 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△APQ△DMP, ∠AQP=∠EQN,∠A=LE=90°， ∴.△ENQ∽△APQ, △APQ,△DMP,△ENQ这三个直角三角形是相似的，三边长度之比都是为3：4：5.； (3)是， 证明：：正方形边长为1，点Q为边AB的中点， 1 A0=B0=2,∠B=∠PA0=90,BC=1, 将正方形纸片ABCD折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，且PE经过边AB的中点Q,折痕为MN ∠NE0=∠B=∠P40=0.Ew=N8,N0=BQ-MB-MB-EBN,PE=BC=1, PO=PE-EO=1-EO, ∠AQP=∠EQN,∠A=∠E=90°， ∴.△APQr△ENQ, A0 PO EO NO 1 ，即0-0v-40: 0。N 4 在RtEV0中，根据勾服定理，有EQ+EN=NQ-(}EN, 化简得EQ=}-EN②， 4 ②代入0.待0-号w@, ®代入②，得EN=2 0-w=号行0=w 18, E0:Ew:0-6号点=345， :△APQ∽△ENQ, .△AP2三边长度之比也是三边之比为3：4：5的直角三角形. 7/25 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.【答案】(I)(1)证明：在正方形ABCD中，AB∥CD,则AH∥DC, .△AEH△CED, AH AE DC EC AE=EF=FG=GC, AHAE1 DC EC 3' 即DC=3AH, 在正方形ABCD中，AB=DC,则AB=3AH, :点H为AB的三等分点； (2)2 (3)存在，点H是线段AB的三等分点， 如图所示： A H 不妨令正方形ABCD的边长为2a,则BF=CF=BC=a, 沿MN翻折，使得点D与点F重合，则DN=FN,∠HFN=∠D=90°， 设CN=x,则FN=DN=DC-CN=2a-x, 在Rt△CNF中，由勾股定理可得CW2+CF2=FW2,则x2+a2=(2a-x), 解得3。 0, FN=2a-x10 :∠FHB+∠HFB=90°=∠CFN+∠HFB, .∠FHB=∠CFN, :∠B=∠C=90°， △FCN∽△HBF, .FC FN CN HB-HF-BF 8/25 学科网·上好课 3 则a-40, HB a 解得HB=a, 3 42 .AH=AB-HB=2a-a=a, 3 3 AB_2a=3 则AH一2 ,即AB=3AH, ·点H是线段AB的三等分点. 4.【答案】00a-45: ②连接AC,则LACD=45°， CF⊥AE, ∠CFA=∠CFE=90°， .LCFA+∠ADC=180°， A,D,C,F四点共圆， .∠AFD=∠ACD=45°， ∴.∠DFC=∠CFA-∠AFD=45°， BC=BE,∠CBE=, c-)9 由①知：∠AEB=1。 0-45°， ∴.∠CEF=∠CEB+∠AEB=45°， ∠ECF=180°-90°-45°=45°， ∠ECF=∠DFC, FD∥CE; ②2<Ss号+2，延长AB交EN于点G, 2 www.zxx k co m 由题意，四边形MDWE,BCWG 9/25 上好每一堂课 AGEM均为矩形， 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M E B G C 心 ..EG=AM=x,BG=CN=y, 正方形ABCD的边长为1， ..BE=BC=1,DM=AD+AM=1+x,DN=CD+CN=1+y, S=(1+x)1+y)=1+x+y+y, 在Rt△BGE中，由勾股定理，得x2+y2=1, x+y)2=x2+y2+2xy=1+2xy, x+y=1+2xy .S=1+y+V1+2xy, ∴S随着y的增大而增大， (x-y月2=x2+y2-2y=1-2xy≥0， 2 0<0y≤2' .1 +,+2x5-3+5, 1 当y=0时，S=1+1=2;当xy=时，S=1+ 2 2-2 2<5≤3+2 2 5. 【答案】（①定值为m2,证明：在正方形ABCD和正方形4BCD,中， 4c=s0,0s=8D,oc-4c. LAB0=∠BC0=45°，∠B0C=∠A0C=90°， ∠BOC-∠BOF=LAOC-∠BOF ,∠EOB=LFOC, 在△OEB和△OFC中， 10/25 可学科网·上好课 www zxxk.com ∠AB0=∠BC0,B0=CO,∠EOB=∠FOC, ∴△OEB≌△DFC(ASA), ∴.S.oEB=S0Fc, S.0es+S.0sr=S,0r心+S.0am=S.0c=45E方形co=4m， 4 ∴两个正方形重叠部分的面积S是定值二m2. 4 (2)4-V5 器 6.【答案】(I)解：如图，口ADEF即为所求作； (2)2V5+4 7.【答案】(1)60° (2)V6 8.【答案】(I)EP=EQ; EP 1 2②E02 如图2，作EG⊥AB于G,作EH⊥BC于H, 11/25 卷系一每并丁 学科网·上好课 图2 ∠EGB=∠EHB=90°， 由(1)知，∠PEG=∠HEQ,四边形BHEG是矩形， △EGP∽△EHQ,EH=BG, .EPEP EG EO EH EH' ∠ABC=90°，AB=BC, LA=LC=45°， .∠AEG=90°-∠A=45°， ∠A=LAEG, EG=AG, EG⊥AH,∠ABC=90°， EG∥BC, ∴.△AGE∽△ABC, :AG、AE 即 AG AE 1 AB AC AB-AG AC-AE2 AG AE 1 BG CE2' .EG 1 EH2' EP 1 “EQ2 (3)当EQ=10√2cm时，S取得最小值50cm2;当EQ=10V3cm时， 9.【答案】(I)①AE=BF且AE⊥BF;②证明：AE⊥BF, ∠AGB=90°， M为AB中点， ∴.GM=AM=BM, 12/25 上好每一堂课 S取得最大值75cm2. 学科网·上好课 ∠1=∠2，∠5=∠4， ~在正方形ABCD中，AB‖CD, .∠5=∠6， ∠4=∠7， ∠6=∠7， :.FC=CG, BE=CF, ∴.BE=CG, ∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠8， ∠3=∠8， 又∠GCE=LBCG, ∴△GCEn△BCG, CG_CE “BC=CG BE CE BC BE' “点E是BC的一个黄金分割点. D 78E 174 2 5 M B 图1 2)5+1 2 10. 【答案】(I)证明：：在Rt△ABC中， CD=号B=8D, .∠B=∠BCD=60°， .∠BDC=180°-∠B-∠BCD=180°-60° D,E分别为AB,AC的中点， www zxxk com D为斜边AB的中点， -60°=60°. 13/25 卷系一每并丁 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :DE∥AC, :∠ADE=∠B=60°， .∠ADE=∠BDC, :点D为C,E在直线AB上的投射点. (2)解：如图③， 图③ 作法：1、在格点上取点G,点H,连接HG交BC于点Q,则CQ=2BQ;(理由：：BGCH,:△BQG∽△HQC BO BG 1 C0cH2,·C0=2B0.) 2、作点A关于BC的对称点A,连接AQ并延长交AC于点P,即点P就是所求作的点.（理由：由对称得， ∠AQB=∠AQB,又：∠AQB=∠POC,:∠AQB=∠PQC,即点Q为A,P在BC上的投射点.) ③在，01 ED 1 考点3二次函数实际应用 1.【答案】(1)S=-2x2+44x2<x<21) (2)当x=11时，S有最大值，最大值为242平方米 2.【答案】(1)每个A纪念品成本25元，每个B纪念品的成本35元 (2)当a=70时，每天的利润W最大，最大利润为1000元 3.【答案】(1)y=-10x+2400 (2)100元或180元 (3)100元 14/25 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4. 【答案】(1)y=- (x-20)2+10 40 (2)20W2 (3)2≤1≤2.4 5.【答案】（①）二次函数，h=-52+30t (2)1s (3)3s 通关特训 1.【答案】(1)证明：如图，连接CE, :DE为直径， G D B ∠DCE=LACB=90°， ,.∠ACE=∠BCD, AE AE, .∠ACE=LADE, .∠BCD=∠ADE, :∠BCD+∠B=∠ADE+∠CDE, :ZCDE ZB ②CD=io,EG= 2 2.【答案】(1)(1)证明：如图所示，连接0D, 15/25 函学科网·上好课 D B:0D=0C, C :∠OCD=L0DC, .CD平分∠OCA, ∠OCD=∠ACD, .∠ODC=∠ACD, :0D∥AC, :DF⊥AC, OD⊥DF, :OD是圆的半径， .DF是OO的切线： (2②半径为3：4C= 5 3.【答案】(1)(1)证明：连接0C, :CE∥BD, ∠0CE=180°-∠B0C=90°， .OC是⊙0的半径，且CE⊥OC, CE是⊙0的切线； (2)阴影部分的面积为5-π 4.【答案】(1)解：如图，以点D为圆心， 点E,点E即为所作， A G www zxxk .com CD长为半径画弧，与BD交于 16/25 上好每一堂课 点G,连接并延长AG交BC于 丽学科网·上好课 理由：BC的度数为90°， ∠B4C=BC=45, 2 BD⊥AC, △ABD是等腰直角三角形，∠BDC .BD AD 在△BDC和△ADG中， DC=DG ∠BDC=∠ADG, BD=AD ,△BDC≌△ADG(SAS）, ∠DBC=∠DAG, :∠BGE=∠AGD, .LDBC+∠BGE=∠DAG+LAGD= AE⊥BC; (2)1 5.【答案】(1)（1)证明：如图， B EF是⊙O的切线， .∠0EF=90°， ∴.∠FED+∠AE0=90°， 又DC⊥AB, ∠0AE+∠D=90°， 0A=0E, www.zxxk.com =∠ADB=90°， 180°-∠ADB=90°， 连接OE, 17/25 卷系一每并丁 函学科网·上好课 www zxxk.com ∴L0AE=∠AE0, ∴∠FED=∠D, 2.DF=EF; 209:@智 19 6. 【答案】(1)LACD=50°；(2)CD=V30, 7. 【答案】(I)(1)证明：如图：连接OA,0D, D D为BE所对的下半圆中点， ∴.DO⊥BC, LD0F=90°， ∠0DF+∠DF0=90°， 0A=0D, ∠0DA=∠0AD, .∠0AD+∠DF0=90°， ~AC=CF,∠AFC=∠DFO, .ZFAC ZAFC ZDFO, ∴.∠0AD+∠FAC=90°，即∠0AC=90°， 0A为00的半径， ∴AC是⊙0的切线； (2)26 8. 【答案10-女++15 (2)8cm (3)4≤h≤15 18/25 卷系一每并丁 可学科网·上好课 www zxxk.com 9. 【答案】0=x-g+9,M京的离地高度为8m ②y=x-15+9 (4)8V10米 10.【答案】(1)y=-0.02(x-18)2+8 (2)①无人机能越过该平台；②0.78m≤h≤1.52m 11. 【答案】0=若2+6-5≤≤列 2脚手架总长度的最大值为21米 6* 12【答案】(1)y=-0.05x2+0.8 (2)儿童软弹玩具枪在竖直方向应向下移动0.25m (3)1.268≤0A≤1.358 13. 【答案】0y=-x+14 2 (2)98cm (3)能追上小车，根据题意，小车运动的路程为：3x, 则-方+1x=3x+48, 解这个方程，得x=6,x2=16. 由（2)可知，当x=14时小球停止运动，6<14， 所以当x=6时小球能追上小车. 19/25 卷系一每并丁 命学科网·上好课 14.【答案】(1)45 (2)解：：AD⊥BC, .∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD中，∠BAD=45°， :∠ABD=90°-∠BAD=90°-45°=45°， .∠ABD=∠BAD, .BD=AD, 在BDE和△ADC中， BD=AD ∠BDE=∠ADC DE=DO △BDE≌△ADC(SAS, .BE=AC、∠EBD=∠CAD, 延长BE交AC于点F, 图2 在Rt△BED中，∠EBD+∠BED=90°， :∠BED=∠AEF, :∠CAD+∠AEF=90°， .∠AFE=180°-∠CAD+∠AEF=90°， BE⊥AC, :线段BE是线段AC的双关联线段； (3)解：如图，CD即为所求. www.zxx k.com 20/25 卷系一每并丁 学科网·上好课 图3 15.【答案】(1)证：AH⊥BD, .AD ED, .∠DAE=∠DEA, :∠F=∠CEF,LCEF=∠DEA, ∠F=LDAE, .AD‖BF; (2)证：设DE的中点为P,连接PH M :AH =EH, PH是△EAD的中位线， .PH‖AD,AD=DE=2PH, :AH⊥BD于点H, .∠BHF=90°， △BHF是直角三角形， :点M为BF中点， .MH是R1△BHF的斜边BF上的中线， .HM=BM FM=BFy .∠MHB=∠MBH, AD‖BF, ∴.∠ADH=∠MBH, www zxxk com AH EH, MH,如图所示 21/25 卷系一每并丁 丽学科网·上好课 .∠ADH=∠MHB, 在△ADE中，DA=DE，,AH⊥BD于点H, ∠ADH=∠EDH, ∠MHB=∠EDH, ..HM CD, 又：PH II ADI BF, :四边形MHPC是平行四边形， :CM =PH, 又：DE=2PH, :DE=2CM (3)四边形ABCD的面积为30 16. 【答案】(I)猜想BD=V ,~点D和点E分别为AB,AC CE 2 由图1可知，AD三)AB,AE=AC .AD AE AB AC ,则D、AB AE AC ∠B=90°，AB=BC=2, ∠BAC=45°， Cos∠BAC=AB-V2 AC 2 根据旋转的性质可得：∠BAD=∠CAE, ∴△ABD~△ACE, BD AB2 CE AC 2 (2)CE=V6 (③)点E到BC的距离为 09 17.【答案】(1)解：正方形ABCD,GM⊥AB ∠C=∠B=90°=LAMG .AG⊥EF 22/25 上好每一堂课 中点， 可学科网·上好课 ∠BAG+∠BEG=360°-∠AGB-∠B=180° .∠CEF+∠BEG=180° ∴.∠BAG=∠CEF 在△AMG和△ECF中， EF=AG ∠C=∠AMG ∠MAG=∠CEF △AMG≌△ECF(AAS); (2)①证明：HE⊥BC,GM⊥AB, ∠BEN=∠BMN=∠B=90°， ∴四边形BMNE为矩形， ~四边形ABCD为正方形， AB=BC,∠B=90 '△AMG≌△ECF, .AM EC, ∴.BE=BM. 四边形BMNE为正方形； ②证明：延长MG交CD于点K, D F K H M ~四边形ABCD为正方形， LC=LB=90° 又~四边形BMNE为正方形， ∠CEN=∠KNE=90°. ~四边形NECK为矩形， ∴CK=NE=MN,∠FKG=∠HNG=90° ww.Zxxk.com 23/25 卷系一每并丁 函学科网·上好课 www zxxk.com △AMG≌△ECF, MG=CF,LKFG=∠HGN, ..FK =NG, ∴△FKG≌aGNH(ASA), ∴HN=KG, ..HE+GN=HN NE+GN KG+MN +GN BC=AB 2sHE<1 3 18. 【答案】(1)90；1 (2)证明：在AB的延长线上取点M,使BC=CM, D B .平行四边形ABCD, AD∥BC, .∠CBM=∠A=60°， “△CBM是等边三角形， ∠M=60°， ~LA=∠FEC=60°， .∠AEF+∠CEM=120°，∠AFE+∠AEF=120°， LAFE=∠CEM, .aAEF∽△MCE, 、AEEF “CM=CE' ∴.AE.CE=EF·CM, CM =BC, EF·BC=AE·EC; 24/25 卷系一每并丁 可学科网·上好课 www zxxk.com (3)EF=16m-m2 CG 48 19. 【答案】00-：②4c的长为2 (2)3V5-5≤DG≤10. 20. 【答案】1)9：②：3)9 25/25 卷系一每并丁 题号猜押07江苏苏州中考数学25-26题（解答题) 考点1 圆的综合问题 1．（2026·江苏徐州·一模）如图，为的外接圆，D为外一点，连接，∠D=90°，交于点E，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为4，求图中阴影部分的面积． 2．（2026·江苏南通·一模）如图，为的直径，点C是上一点，D是的中点，连接，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)求证； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 3．（2026·江苏苏州·一模）如图，中，，分别为边，上一点，且，的外接圆与边交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ①设的半径为，求弦的长度（用含字母的代数式表示）； ②弦长度的最小值为______． 4．（2026·江苏镇江·一模）如图，、为的直径，过点的切线交的延长线于点，点在弦上，，交直径于点，延长交于点． (1)求证：； (2)已知，． ①求线段的长： ②仅用一把无刻度的直尺在直径上作一点，使得的值最小（要求：不写作法，保留作图痕迹，如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚），并直接写出这个最小值___________． 5．（2026·江苏南通·一模）如图，点A，B，C在上，的半径为4，，以，为边作． (1)如图1，当经过圆心时，求的度数； (2)如图2，当与相切时，求与重叠部分（阴影部分）的面积． 6．（2026·江苏泰州·一模）如图，四边形内接于，平分，连接，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求值． 7．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 8．（2026·江苏南京·一模）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，且，交于点P． (1)判断的形状并证明； (2)若，和的面积比是，则的长度是______． 考点2 三角形、四边形探究提升题型（含几何变换） 1．（2026·江苏徐州·一模）如图1，在等边中，点D，E分别是，边上一点（不与端点重合），且，连接，交于点P．将绕点B逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由； (3)如图2，连接交于点Q，已知，随着的长度发生变化，当的长度取得最小值时，则的值为_______． 2．（2026·江苏苏州·一模）数学实验：“探”为观“纸”． 三边长度之比为的直角三角形是同学们熟悉的几何图形．那么，能否通过折叠正方形纸片得到这样的三角形呢？下面，我们利用边长为1的正方形纸片进行探究． (1)【实验1】 如图①，已知点P为边的中点，将沿折叠得到．点Q为边上一点，将沿折叠，使与重合．图中是否存在三边长度之比为的直角三角形？请证明你的结论； (2)【实验2】 如图②，已知点P为边的中点，将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，与边的交点为Q，折痕为．图中是否存在三边长度之比为的直角三角形？若存在，请指出所有这样的三角形，并选择其中的一个加以证明； (3)【实验3】 如图③，已知点P为边上一点，将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，且PE经过边的中点Q，折痕为．是否是三边长度之比为的直角三角形？请证明你的结论． 3．（2026·江苏泰州·一模）综合与实践： 如何将正方形纸片折叠出相等的三列 背景 书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列（如图①），这引起数学兴趣小组的关注．兴趣小组准备三张边长均为的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三组方案，请你论证． 方案1 如图② 步骤1：折均等的四列； 步骤2：连接对角线分别交折痕于点、点、点，知； 步骤3：连接延长交线段于点． 方案2 如图③ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折得到； 步骤3：沿翻折，使得D与重合，点为折痕与的交点． 方案3 如图④ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折，使得点与点重合，点与点对应； 步骤3：线段与交点为． 问题论证： (1)在方案1中，求证：点为的三等分点； (2)在方案2中，求与的比值； (3)在方案3中，图④已标注的点中是否存在线段的三等分点？若存在，指出并证明；若不存在，说明理由． 4．（2026·江苏南通·一模）已知正方形的边长为1，将边绕点逆时针旋转得． (1)如图1，连接． ①的度数为______（用含的式子表示）； ②过点作，垂足为，连接．求证：； (2)如图2，过点作于于．设，四边形的面积为，请写出的取值范围，并说明理由． 5．（2026·江苏淮安·一模）【问题情境】如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形绕点O转动过程中，与交于点E，与交于点F，记两个正方形重叠部分的面积为S．    (1)【独立思考】“乘风”兴趣小组发现在正方形绕点O转动过程中，两个正方形重叠部分的面积S是一个定值．设两个正方形的边长为m，请你写出这个定值并证明 (2)【问题解决】在图1中，若，，求的长． (3)【深入探究】如图2，在正方形中，的顶点P在对角线上，且，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与和交于点E，F．在的旋转过程中，求与存在怎样的数量关系． 6．（2026·江苏宿迁·一模）根据要求完成下列各题： (1)如图1，在中，作一个，使D、E、F分别在、、上． (2)如图2，在矩形中，，，P为矩形内部一点，且，求周长的最小值． (3)如图3，在中，，，M、N分别为、上的动点，且，点O为的中点，当最大时，求的长． 7．（2026·江苏泰州·一模）点为矩形的边上一点，．将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形． (1)如图1，当点落在边上时，_____； (2)如图2，当点、、在同一直线上时，求的值； (3)当时，过作，垂足为，过、、三点的圆与边的另一个交点为，直接写出的值． 8．（2026·江苏徐州·一模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， (1)如图，当时，与满足数量关系是_______； (2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 9．（2026·江苏苏州·一模）解答下列各题： (1)如图1，正方形中，点，分别在边，上，且，，相交于点，连接并延长，交于点． ①与的关系为__________； ②若是中点．求证：点是的一个黄金分割点； (2)如图2，矩形中，是边的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接并延长，交于点．若点是线段的一个黄金分割点，且，求的值． 10．（2026·江苏扬州·一模）如图①，直线同侧有两点，，点在直线上，若，则称点为，在直线上的投射点． (1)如图②，在中，，为斜边的中点，为的中点．求证：点为，在直线上的投射点； (2)如图③，在正方形网格中，已知点，，三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在上画出点，在上画出点，满足且点为，在上的投射点；（保留画图痕迹） (3)如图④，在中，，，在，边上是否分别存在点，，使点为，在上的投射点，点为，在上的投射点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 考点3二次函数实际应用 1．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 2．（2026·江苏泰州·一模）为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成． 规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）． (1)分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本； (2)求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润． 3．（2026·江苏南通·一模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求与的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 4．（2026·江苏扬州·一模）综合与实践 问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： 0 10 20 30 40 0 7.5 10 7.5 0 问题解决： (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围． 5．（2026·江苏徐州·一模）在学校的物理实验课上，老师为了让同学们直观理解物体的竖直上抛运动，决定在学校空旷的操场上开展一项特别的实验：在地面放置了一个弹射器（高度不计），用这个弹射器竖直向上弹射一个小球（忽略空气阻力），并详细记录小球距离水平地面的高度与运动时间的数据如下表： t/（s） 0 1 2 3 4 5 6 h/（m） 0 25 40 45 40 25 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识判断h是关于t的哪种函数并求出函数表达式； (2)已知小球有2个时刻距离水平地面的高度为，求小球两次运动到此高度的时间差； (3)3个小球为一组循环，进行弹射实验：其中1个小球准备弹射，1个小球已经在空中，另1个小球刚落在地上，要完成这组循环实验，需每隔相同的时间弹射一个小球，则需要间隔的时长为多少s？ 1．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为斜边上一点，是的外接圆，交于点F，直径交于点G． (1)求证：； (2)若，，，求及的长． 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，已知是的直径，C为上一点， 的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接、． (1)求证： 是的切线； (2)若，的长为2，求的半径和的长． 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，点A，B，C，D在上，是直径，，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 4．（2026·江苏泰州·一模）如图，内接于，的度数为，于点． (1)在图1中，用圆规和没有刻度的直尺在上求作点，使；（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） (2)如图2，在（1）的条件下，连结并延长交于．若，，求的长． 5．（2026·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点在上，点是半径上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点．过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)已知． ①求的半径； ②如果点在的延长线上，其它条件不变，则的半径为__________． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 7．（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为10，，求的长． 8．（2026·山东青岛·一模）学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为． (1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式； (2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ (3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围． 9．（2026·山东青岛·一模）某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到． 建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)求左侧抛物线的表达式，并求点离地面的高度； (2)直接写出右侧抛物线的表达式； (3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点，点在抛物线上，点，点在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ (4)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用和两根斜拉钢梁加固，其中，为两抛物线的顶点，，在抛物线上，且和交于点，求需用钢梁的总长度． 10．（2026·贵州遵义·一模）为了让同学们感受数学与科技的紧密联系，学校组织开展了小型无人机飞行实验活动．同学们发现，从垂直地面的起降架的顶端A处，以一定倾斜角度发射出的无人机，其飞行路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该无人机飞行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 如图1，已知起降架的高度是1.52米，当顶端A处发射的无人机与起降架的水平距离为18米时，达到最大高度8米，此时无人机完成航拍任务，仍会沿原来的抛物线继续飞行．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 (1)求无人机飞行路线所在抛物线的解析式； (2)如图2，在（1）的条件下，距离起降架36米处有一个可升降的平台，其截面示意图为矩形，其中为36米，为1米． ①当平台升高至0.5米时（米），求无人机能否越过该平台； ②为安全回收无人机，使得无人机恰好降落在这个平台上（包含D、E两点），此时平台高度为h米，求h的取值范围． 11．（2026·安徽合肥·一模）【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为轴，大棚横截面中的“抛物线拱形”的对称轴为轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地测量：矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米；“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． (1)结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围． 【问题解决】 (2)为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图1，矩形脚手架结构为：，均垂直于地面，平行于地面，且、两点落在抛物线上，，两点落在上．其中三根支架，，的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值； (3)在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形的样式，且米，米，米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下降的高度是多少米？ 12．（2026·山西·一模）项目式学习 项目背景：儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、激发儿童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中的数学知识． 实验数据：当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上． 建立模型：如图1．软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式． 问题解决：儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的一部分． (2)综合与实践小组的同学在点的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中目标靶，儿童软弹玩具枪在竖直方向应如何移动？ (3)如图2．四边形是一个无盖长方体盒子的截面图，点，点的坐标分别为，，轴．轴，，要使软弹能够落在长方体盒子里，直接写出儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围（含边界）． 13．（2026·湖北襄阳·一模）跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 14．（2026·湖南娄底·一模）阅读与思考 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 (1)问题1：如图1，在矩形中，若对角线与互为双关联线段，则_____． (2)问题2：如图2，在中，于点D，，点E在线段上，且，连接．求证：线段是线段的双关联线段． (3)问题3：如图3，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 15．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，四边形中，为对角线，于点，交于点，交的延长线于点，此时，． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)在（）的条件下，若为中点，，，求四边形的面积． 16．（2026·贵州遵义·一模）【问题背景】借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系．如图1，在“中，，，分别取，的中点，，连接．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接． (1)【操作发现】如图2，旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)【问题探究】如图3，当、、三点在一条直线上时，求的长． (3)【拓展延伸】如图4，在中，，，，分别取，的中点，．作，将绕点逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，直接写出点到的距离． 17．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点E作分别交于点H，N． ①求证：四边形为正方形； ②求证：； ③若，请直接写出的取值范围． 18．（2026·山东济南·一模）在平行四边形中，，点分别为、上的两点． (1)如图1，若，且，则______°，______； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含m的代数式表示）． 19．（2026·安徽六安·一模）在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 20．（2025·河南濮阳·一模）在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． 【特例发现】 （1）如图1，当时，________； 【类比探究】 （2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】 （3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07江苏苏州中考数学25-26题（解答题) 考点1 圆的综合问题 1．（2026·江苏徐州·一模）如图，为的外接圆，D为外一点，连接，∠D=90°，交于点E，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于点F，连接，根据圆周角定理，推出，进而得到，得到，即可得出结论； （2）连接，利用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可. 【详解】（1）解：直线与相切． 理由：如图，连接并延长交于点F，连接， 则是的直径，， ， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 直线与相切； （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴点到的高， ． 2．（2026·江苏南通·一模）如图，为的直径，点C是上一点，D是的中点，连接，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)求证； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接并延长交于点F，连接，D是的中点，得，结合，得，再由切线的性质即可证明； （2）连接，易得是等边三角形，再由阴影部分面积等于的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点F，连接， ∵D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵切于D， ∴． ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴，， ∴的面积． ∴扇形的面积， ∴阴影部分的面积． 3．（2026·江苏苏州·一模）如图，中，，分别为边，上一点，且，的外接圆与边交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ①设的半径为，求弦的长度（用含字母的代数式表示）； ②弦长度的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据等边对等角，三角形的外角的性质，圆周角定理，推出，结合，即可得证； （2）①连接，作，利用垂径定理和圆周角定理，得到，，进而得到，解直角三角形，进行求解即可；②连接，作，求出的长，再根据，求出的最小值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①连接，作，则，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②连接，作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的值最小为． 4．（2026·江苏镇江·一模）如图，、为的直径，过点的切线交的延长线于点，点在弦上，，交直径于点，延长交于点． (1)求证：； (2)已知，． ①求线段的长： ②仅用一把无刻度的直尺在直径上作一点，使得的值最小（要求：不写作法，保留作图痕迹，如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚），并直接写出这个最小值___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②图见解析， 【分析】（1）由题意可得，由等边对等角可得，，由切线的性质可得，求出，即可得证； （2）①连接，由圆周角定理可得，证明，由勾股定理可得，由正切的定义可得，结合勾股定理求出，，，即可得出结果；②连接、并延长，相交于点，连接并延长交于点，由①可得， 证明，得出，，从而可得垂直平分，进而得出，则，设中边上的高为，由三角形面积公式可得，由①可得，由垂径定理可得，由垂线段最短可得，当时，最小为，此时的值也最小． 【详解】（1）证明：∵、为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①连接，如图： ∵为的直径， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴； ②如图，连接、并延长，相交于点，连接并延长交于点， 由①可得， 则，， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设中边上的高为， ∵， ∴， 由①可得：， 由（1）可得：， ∴由垂径定理可得：， ∴由垂线段最短可得，当时，最小为，此时的值也最小，为． 5．（2026·江苏南通·一模）如图，点A，B，C在上，的半径为4，，以，为边作． (1)如图1，当经过圆心时，求的度数； (2)如图2，当与相切时，求与重叠部分（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两锐角互余求得，然后根据平行四边形的对角相等即可解答； （2）连接、，交于点E，根据切线的性质定理和平行四边形的性质可得，从而根据垂径定理和圆周角定理可推出，，进而推出阴影部分的面积等于扇形的面积，即可根据扇形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵经过圆心，即是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图2，连接、，交于点E， ∵与相切， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积， ∵的半径为4，， ∴扇形的面积， 即阴影部分的面积为． 6．（2026·江苏泰州·一模）如图，四边形内接于，平分，连接，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线定义得，．由圆内接四边形的性质得到，即可证得； （2）证明，即可得到值． 【详解】（1）证明：平分， ． ∴ ． 四边形内接于 ． 又， ． 在和中 ； （2） ，， ． ， ． 7．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点O作于点E，根据圆的切线的性质，以及等角的余角相等，证明，得到，则是的半径，即可得证； （2）由勾股定理可得，利用相似三角形的性质，分别求出，，即可得解． 【详解】（1）证明：过点O作于点E， 于点D， ， ，， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， 是的半径， ， 是的切线； （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即的半径． 8．（2026·江苏南京·一模）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，且，交于点P． (1)判断的形状并证明； (2)若，和的面积比是，则的长度是______． 【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，再推出，即可证明是等腰三角形； （2）作于点，证明，利用面积相等求得，设，，利用勾股定理和半径相等列式计算即可求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵和的面积比是，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 考点2 三角形、四边形探究提升题型（含几何变换） 1．（2026·江苏徐州·一模）如图1，在等边中，点D，E分别是，边上一点（不与端点重合），且，连接，交于点P．将绕点B逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由； (3)如图2，连接交于点Q，已知，随着的长度发生变化，当的长度取得最小值时，则的值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3) 【分析】（1）根据等边三角形及旋转的性质可证明，得出，则，即可证明； （2）证明，得出，证明，得出，即可得； （3）如图1，将，分别绕点A顺时针旋转得到，，连接，，则，，，得出，是等边三角形，证出，，即可得，如图2，当且仅当N，M，P，C四点共线时取得最小值，连接，证明四边形为菱形，求出．如图3，过点F作交的延长线于点G，证明，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 由旋转的性质可得，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：的大小不变． 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图1，将，分别绕点A顺时针旋转得到，，连接，，， ，，， ，是等边三角形， ，， ， ． 如图2，当且仅当N，M，P，C四点共线时取得最小值，连接， 则是等边三角形， ． 是等边三角形， ， ， 四边形为菱形， ，， ∵， ， 垂直平分， ， ， ． 由（1）得，，， ∴，， 如图3，过点F作交的延长线于点G， ， ，， ∴． ，， ， ，即， 解得， ． 2．（2026·江苏苏州·一模）数学实验：“探”为观“纸”． 三边长度之比为的直角三角形是同学们熟悉的几何图形．那么，能否通过折叠正方形纸片得到这样的三角形呢？下面，我们利用边长为1的正方形纸片进行探究． (1)【实验1】 如图①，已知点P为边的中点，将沿折叠得到．点Q为边上一点，将沿折叠，使与重合．图中是否存在三边长度之比为的直角三角形？请证明你的结论； (2)【实验2】 如图②，已知点P为边的中点，将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，与边的交点为Q，折痕为．图中是否存在三边长度之比为的直角三角形？若存在，请指出所有这样的三角形，并选择其中的一个加以证明； (3)【实验3】 如图③，已知点P为边上一点，将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，且PE经过边的中点Q，折痕为．是否是三边长度之比为的直角三角形？请证明你的结论． 【答案】(1)存在，证明见详解； (2)存在，有三个，分别是：，，；证明见详解； (3)是，证明见详解． 【分析】（1）由折叠的性质可知，，由正方形的性质可知在一条直线上，且，，在中根据勾股定理求出三条边的长度，三边比例为，即为所求的三角形； （2）由折叠的性质可知，，由勾股定理求出，可得是三边比例为的直角三角形，再证明、都与相似，三边相似比相同； （3）根据正方形的性质，点Q为边的中点，结合折叠的性质，证明，得到，接着在中结合勾股定理，可求出三边比值，结论得证． 【详解】（1）解：存在，证明如下： 证明：正方形边长为1，点P为边的中点， ∴，，， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵将沿折叠，使与重合， ，， ， 在一条直线上，且， ∵在中，，, ， 解得， ， ∴存在三边长度之比为的直角三角形，即． （2）解：存在，分别是，，，证明过程如下： 证明：正方形边长为1，点P为边的中点， ，，， ∵将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，与边的交点为Q，折痕为 ∴，，， ∵在中，，， ∴， ， ， ∴是三边长度之比为的直角三角形； ， ，， ， ， ，， ， ∴，，这三个直角三角形是相似的，三边长度之比都是为． （3）解：是，证明如下： 证明：正方形边长为1，点Q为边的中点， ，，， ∵将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，且PE经过边的中点Q，折痕为， ∴，，，，， ，， ， ， ，即①； 在中，根据勾股定理，有， 化简得②， ②代入①，得③， ③代入②，得， ，， ， ， 三边长度之比也是三边之比为的直角三角形． 3．（2026·江苏泰州·一模）综合与实践： 如何将正方形纸片折叠出相等的三列 背景 书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列（如图①），这引起数学兴趣小组的关注．兴趣小组准备三张边长均为的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三组方案，请你论证． 方案1 如图② 步骤1：折均等的四列； 步骤2：连接对角线分别交折痕于点、点、点，知； 步骤3：连接延长交线段于点． 方案2 如图③ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折得到； 步骤3：沿翻折，使得D与重合，点为折痕与的交点． 方案3 如图④ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折，使得点与点重合，点与点对应； 步骤3：线段与交点为． 问题论证： (1)在方案1中，求证：点为的三等分点； (2)在方案2中，求与的比值； (3)在方案3中，图④已标注的点中是否存在线段的三等分点？若存在，指出并证明；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在，点是线段的三等分点，理由见详解 【分析】（1）由正方形性质，结合三角形相似的判定与性质求证即可； （2）设正方形的边长为，，表示出，再由折叠性质及勾股定理列式得到，表示出与的比值求解即可； （3）令正方形的边长为，由折叠性质及勾股定理求出的直角边长度，再由相似三角形的判定与性质求出长度，最后得到长度，得出即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，，则， ， ， ， ， 即， 在正方形中，，则， 点为的三等分点； （2）解：如图所示： 设正方形的边长为，， 则，， 沿翻折得到，沿翻折，使得D与重合， ， 在正方形中，，则由勾股定理可得， ， 则， ； （3）解：存在，理由如下： 如图所示： 不妨令正方形的边长为，则， 沿翻折，使得点与点重合，则，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， ， ， ， ， ， ， 则， 解得， ， 则，即， 点是线段的三等分点． 4．（2026·江苏南通·一模）已知正方形的边长为1，将边绕点逆时针旋转得． (1)如图1，连接． ①的度数为______（用含的式子表示）； ②过点作，垂足为，连接．求证：； (2)如图2，过点作于于．设，四边形的面积为，请写出的取值范围，并说明理由． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）①根据旋转的性质，得到，进而得到，根据周角的定义结合等边对等角，进行求解即可；②连接，易得四点共圆，进而得到，求出，根据三角形的内角和定理，求出，即可得证； （2）延长交于点，由题意，四边形均为矩形， 进而得到，勾股定理得到，根据矩形的面积公式，得到，利用完全平方公式，得到，进而得到，进而得到随着的增大而增大，根据，求出的最大值，即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴； ②连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 延长交于点，由题意，四边形均为矩形， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∴当时，；当时，， ∴． 5．（2026·江苏淮安·一模）【问题情境】如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形绕点O转动过程中，与交于点E，与交于点F，记两个正方形重叠部分的面积为S．    (1)【独立思考】“乘风”兴趣小组发现在正方形绕点O转动过程中，两个正方形重叠部分的面积S是一个定值．设两个正方形的边长为m，请你写出这个定值并证明 (2)【问题解决】在图1中，若，，求的长． (3)【深入探究】如图2，在正方形中，的顶点P在对角线上，且，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与和交于点E，F．在的旋转过程中，求与存在怎样的数量关系． 【答案】(1)定值为，见解析 (2) (3)； 【分析】（1）在和中,利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论； （2）根据全等三角形的性质得到，由此得到正方形边长为4，过点O作于H，得，求出，利用勾股定理求出，即可得到； （3）过点作于点，于点，利用相似三角形的性质证明即可． 【详解】（1）定值为，理由如下： 证明：在正方形和正方形中， ，，， ，， ∴ ， 在和中， ，，， ∴， ， ∴， ∴两个正方形重叠部分的面积S是定值． （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴， 过点O作于H， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）解：，理由如下： 过点作于点，于点 四边形是正方形， ， ，， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ；      6．（2026·江苏宿迁·一模）根据要求完成下列各题： (1)如图1，在中，作一个，使D、E、F分别在、、上． (2)如图2，在矩形中，，，P为矩形内部一点，且，求周长的最小值． (3)如图3，在中，，，M、N分别为、上的动点，且，点O为的中点，当最大时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先作，再在上截取，即可得到； （2）过点作交、于点、，利用三角形面积公式求出，作点关于的对称点，则当点、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得解； （3）过作的平行线交于点，连接，，根据条件可以推导出是的中点，从而确定是在三角形的中位线上的一个动点，然后过作使与相切于点，根据圆周角定理的推论可以确定当与重合时，最大，再画出点与重合时，的位置，最后求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，过点作交、于点、， 在矩形中，，， ， ， ， 作点关于的对称点，连接， ，， ， 当点、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，， 有最小值为， 周长的最小值为． （3）解：如图，过作的平行线交于点，连接，， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又是中点， ， ， ， ， ， 共线，且是中点， 过作的平行线交于点，交于点， 则， 为的中位线， 过作，使其与相切于点，连接，， 连接，，设交于点，连接， 当与不重合时，，， ， ∴当与重合时，， 此时，最大， 延长交于点，作交于， 过作的平行线交于， 当与重合时，与重合，与重合， 作于点，设交于， ，， ， ， 解得， ， ， ， ， 连接，交于点，连接， 则，，     ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当最大时，． 【点睛】本题是一道综合性大题，考查了尺规作图，将军饮马模型，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，本题的关键是确定点O的轨迹，找到使最大时，点O的位置． 7．（2026·江苏泰州·一模）点为矩形的边上一点，．将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形． (1)如图1，当点落在边上时，_____； (2)如图2，当点、、在同一直线上时，求的值； (3)当时，过作，垂足为，过、、三点的圆与边的另一个交点为，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点O作于点G，连接，设，则；由勾股定理得，由旋转的性质可得，证明四边形是矩形，得到，则可证明，进而证明是等边三角形，据此可得答案； （2）设，则；由矩形的性质可得，则，利用勾股定理求出，则，据此可得答案； （3）分图3-1和图3-2两种情况，求出的长，证明三角形相似，利用相似三角形的性质推出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点O作于点G，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴； （2）解：如图所示，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图3-1所示，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得，这四点共圆， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得，这四点共圆， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 8．（2026·江苏徐州·一模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， (1)如图，当时，与满足数量关系是_______； (2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)；理由见解析； (3)当时，取得最小值；当时，取得最大值． 【分析】（）作于，作于，可证明，从而； （）作于，作于，可证得，，从而，可证得，进而得出结果； （）可推出，当时，取最小值，当点最大时，取最大值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图，作于，作于， ∴ ∵，，即， ∴平分， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，作于，作于， ∴， 由（）知，， 四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最小值，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，即与重合时，取最大值，如图， 在中，， ∴， ∴， 综上可得：当时，取得最小值；当时，取得最大值． 9．（2026·江苏苏州·一模）解答下列各题： (1)如图1，正方形中，点，分别在边，上，且，，相交于点，连接并延长，交于点． ①与的关系为__________； ②若是中点．求证：点是的一个黄金分割点； (2)如图2，矩形中，是边的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接并延长，交于点．若点是线段的一个黄金分割点，且，求的值． 【答案】(1)①且；②见详解 (2) 【分析】（1）①证明，得出，，结合，得出，则，即可证． ②根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，则，根据，得出，结合，得出，则，证明，得出，则，即点是的一个黄金分割点． （2）根据点是线段的一个黄金分割点，且，得出，延长交于点H，证明，得出，证明，得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：①且． 证明：在正方形中，，， 又， ， ∴，， ， ， ∴， ． ②证明：∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴点是的一个黄金分割点． （2）解：∵点是线段的一个黄金分割点，且， ∴， 延长交于点H， ∵矩形中，是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 10．（2026·江苏扬州·一模）如图①，直线同侧有两点，，点在直线上，若，则称点为，在直线上的投射点． (1)如图②，在中，，为斜边的中点，为的中点．求证：点为，在直线上的投射点； (2)如图③，在正方形网格中，已知点，，三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在上画出点，在上画出点，满足且点为，在上的投射点；（保留画图痕迹） (3)如图④，在中，，，在，边上是否分别存在点，，使点为，在上的投射点，点为，在上的投射点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，得出，再利用三角形的中位线定理，得出，进而得出，即可得出结论； （2）根据对称性和相似即可作出图形； （3）根据对称性和相似作出图形，再用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：在中，为斜边的中点， ， ， ． ，分别为，的中点， ， ， ， 点为，在直线上的投射点． （2）解：如图③， 作法：1、在格点上取点，点，连接交于点，则；（理由：，，，．） 2、作点关于的对称点，连接并延长交于点，即点就是所求作的点．（理由：由对称得，，又，，即点为，在上的投射点．） （3）解：存在， 如图， 作点关于的对称点，连接，，则四边形为正方形， 作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ，，，在同一直线上，，，，， 又， ， ， ． ， ， ， ． 考点3二次函数实际应用 1．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为242平方米 【分析】（1）由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得答案； （2）将关于的二次函数写成顶点式，则可得答案． 【详解】（1）解：设矩形的边长为x米，则，， ∴矩形的面积， 由题意可得， ∴， ∴S与x的函数关系式为； （2）解：∵， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为242平方米． 2．（2026·江苏泰州·一模）为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成． 规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）． (1)分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本； (2)求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元 (2)当时，每天的利润最大，最大利润为1000元 【分析】（1）设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元； （2）解：由题意得，， ，对称轴为直线，且为整数， 当时，最大 答：当时，每天的利润最大，最大利润为1000元． 3．（2026·江苏南通·一模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求与的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 【答案】(1) (2)100元或180元 (3)100元 【详解】（1）设与的函数关系式为， , 解得 即与的函数关系式是． （2）由题意可得 ． 解得：． 答：当售价为每件100元或180元时，线上的销售量与线下的销售量相等． （3）设线上和线下销售量的和为件， 则 ∴当时，取得最大值为2800． 答：当售价为每件100元时，线上和线下销售量的和最大． 4．（2026·江苏扬州·一模）综合与实践 问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： 0 10 20 30 40 0 7.5 10 7.5 0 问题解决： (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式； （2）对于，令，则，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带可铺设的最大长度； （3）对于中，令，求出方程的根，根据题意可得，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：描点画图如答图所示： 根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为， 设与的函数关系式为， ∵当时， ∴ 解得 ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意得，对于，令， 则 解得， ∴， 答：观赏灯带可铺设的最大长度为； （3）解：在中，令 则 解得（舍去）， 根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M的范围内(含)， 则，即， ∴ 解得． 5．（2026·江苏徐州·一模）在学校的物理实验课上，老师为了让同学们直观理解物体的竖直上抛运动，决定在学校空旷的操场上开展一项特别的实验：在地面放置了一个弹射器（高度不计），用这个弹射器竖直向上弹射一个小球（忽略空气阻力），并详细记录小球距离水平地面的高度与运动时间的数据如下表： t/（s） 0 1 2 3 4 5 6 h/（m） 0 25 40 45 40 25 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识判断h是关于t的哪种函数并求出函数表达式； (2)已知小球有2个时刻距离水平地面的高度为，求小球两次运动到此高度的时间差； (3)3个小球为一组循环，进行弹射实验：其中1个小球准备弹射，1个小球已经在空中，另1个小球刚落在地上，要完成这组循环实验，需每隔相同的时间弹射一个小球，则需要间隔的时长为多少s？ 【答案】(1)二次函数， (2) (3) 【分析】（1）由表格数据的对称性，判断是关于的二次函数；设顶点式，代入点求出，得表达式． （2）将代入函数表达式，解一元二次方程，得到两个时间解，计算时间差． （3）先由表格得出单个小球的运动总时长为；结合“3个小球为一组循环”的实验要求，根据运动周期和小球状态，计算出弹射间隔时长． 【详解】（1）解：观察表格数据，随的变化呈现先上升后下降的趋势，且对应点不满足一次函数和反比例函数的特征，再由表格数据的对称性，即可判断h是关于t的二次函数， 由表可知，当和时，h值相同， 对称轴为直线， 设二次函数的表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：令， 即， 解得，， ， 答：小球两次运动到距离水平地面的高度为的时间差为； （3）解：由（1）知，小球在空中总时间为6秒，当时，小球到达最高处， 根据对称性可知，当准备弹射1个小球，空中有1个小球，刚好落在地上1个小球，共2个时间间隔，则弹射小球需要间隔的时长为空中总时间的， 每弹射一个小球需要间隔的时长为． 1．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为斜边上一点，是的外接圆，交于点F，直径交于点G． (1)求证：； (2)若，，，求及的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，根据直径得出直角，证明，利用圆周角定理得出，最后利用三角形的外角定理即可得出结论； （2）连接，，过点D作于点H，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得出，，然后利用勾股定理以及锐角三角函数求出相关线段的长度，证明，利用对应边成比例进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，，过点D作于点H， ，， ∠A=∠B=45°， ， ∵四边形内接于， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， 即， ，． 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，已知是的直径，C为上一点， 的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接、． (1)求证： 是的切线； (2)若，的长为2，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析 (2)半径为3； 【分析】（1）连接，通过等边对等角和角平分线的定义得到，利用平行线的性质与判定即可得证； （2）通过证明，求出线段和的长度，根据，求得，再根据， ，通过三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是圆的半径， 是的切线． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴的半径为3， ， ， ∴，即， ∴， ， ∴，即， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴． 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，点A，B，C，D在上，是直径，，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，根据平行的性质即可得到，即可得到结论； （2）作于点F，则，证明四边形是正方形，根据，求出，再根据即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：作于点F，则， ， 四边形是矩形， 是的直径，且， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 4．（2026·江苏泰州·一模）如图，内接于，的度数为，于点． (1)在图1中，用圆规和没有刻度的直尺在上求作点，使；（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） (2)如图2，在（1）的条件下，连结并延长交于．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接并延长交于点； （2）设（即），在和中，根据勾股定理表示出的长，再根据面积的两种算法列式子求出，再根据列比例式求出即可． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接并延长交于点，点即为所作， 理由：的度数为， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：的度数为， ， 设（即）， 在和中， ， ， ， ， ， 解得（舍）， ， 如图，连接， ， ，， ， ，即， ． 5．（2026·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点在上，点是半径上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点．过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)已知． ①求的半径； ②如果点在的延长线上，其它条件不变，则的半径为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据切线的性质以及得出，根据，即可得出，再根据等角对等边，即可得证； （2）①连接交于点，设，则，得出，根据表示出，再根据得出，证明，可得，即可得出； ②根据①的方法求解，即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接交于点， ∵，， 设，则， ∴，则， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵为直径， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ②如图，当在的延长线上时，连接交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵为直径， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵，则， 即的半径为． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，利用切线的性质结合已知判定出，得出，由等弧对等角得，再利用角的等量代换即可解答； （2）作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用垂径定理、勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于点，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 7．（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由题意可得，即，从而可得，由等边对等角并结合对顶角相等得出，即，即可得证； （2）由题意可得，则，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图：连接，， ∵D为所对的下半圆中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为10， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得：， ∴． 8．（2026·山东青岛·一模）学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为． (1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式； (2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ (3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）分当洗手液恰好落到手心左端M和洗手液恰好落到手心右端N两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线过、两点． 把、代入， 得： 解得： 所以洗手液轨迹的函数关系式为． （2）解：令，得． 解得或（舍去）． 与喷口水平距离为cm． 故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离的位置． （3）解：由题意得，点M横坐标为，点N横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∵，抛物线开口向下； ∴在时，y随x增大而减小． ∴手心离台面的高度h的范围是． 9．（2026·山东青岛·一模）某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到． 建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)求左侧抛物线的表达式，并求点离地面的高度； (2)直接写出右侧抛物线的表达式； (3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点，点在抛物线上，点，点在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ (4)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用和两根斜拉钢梁加固，其中，为两抛物线的顶点，，在抛物线上，且和交于点，求需用钢梁的总长度． 【答案】(1)，点的离地高度为 (2) (3)米 (4)米 【分析】（1）由题意，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式，由题意可知点的横坐标为12，代入即可求解点的离地高度； （2）由题意可得，段抛物线顶点坐标为，，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式； （3）设，则，，，设钢材长度为米，根据即可求解； （4）先求出的表达式为，联立抛物线即可求得的长，再根据对称性即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ， 由题意知：， ∴点的横坐标为12， 当时，， ∴抛物线的表达式为，点的离地高度为． （2）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为，， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （3）解：抛物线的表达式， 设，则，，， 设钢材长度为米，则： ，抛物线开口向下， 当时，． ∴最多需要米钢材． （4）解：由（3）可知，，，设直线的表达式为， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 由， 解得，， ， ， ∴由对称性知需用钢梁的总长度为米． 10．（2026·贵州遵义·一模）为了让同学们感受数学与科技的紧密联系，学校组织开展了小型无人机飞行实验活动．同学们发现，从垂直地面的起降架的顶端A处，以一定倾斜角度发射出的无人机，其飞行路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该无人机飞行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 如图1，已知起降架的高度是1.52米，当顶端A处发射的无人机与起降架的水平距离为18米时，达到最大高度8米，此时无人机完成航拍任务，仍会沿原来的抛物线继续飞行．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 (1)求无人机飞行路线所在抛物线的解析式； (2)如图2，在（1）的条件下，距离起降架36米处有一个可升降的平台，其截面示意图为矩形，其中为36米，为1米． ①当平台升高至0.5米时（米），求无人机能否越过该平台； ②为安全回收无人机，使得无人机恰好降落在这个平台上（包含D、E两点），此时平台高度为h米，求h的取值范围． 【答案】(1) (2)①无人机能越过该平台；② 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）①令，求出的值，比较即可得出结果；②求出当和时的值，结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①由题可得，， 令，得， ， ∴无人机能越过该平台； ②如图所示： ，， ，得．，得． ， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， 的取值范围为． 11．（2026·安徽合肥·一模）【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为轴，大棚横截面中的“抛物线拱形”的对称轴为轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地测量：矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米；“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． (1)结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围． 【问题解决】 (2)为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图1，矩形脚手架结构为：，均垂直于地面，平行于地面，且、两点落在抛物线上，，两点落在上．其中三根支架，，的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值； (3)在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形的样式，且米，米，米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下降的高度是多少米？ 【答案】(1) (2)脚手架总长度的最大值为米； (3)米 【分析】（1）理解题意，得出顶点坐标为，，再设解析式为，把代入，解得，即可作答． （2）先证明四边形是矩形，再设， 故，运用二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）理解题意得新抛物线解析式为，结合米，米，米，得，，将，，代入新抛物线，整理得：，解得，最后代入①计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． ∴如图1，即顶点坐标为， ∵矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米 ∴ 即， 依题意，设“抛物线拱形”对应的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， （2）解：∵，均垂直于地面，平行于地面， ∴， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得， 设， 依题意，， 设三根支架，，的长度之和为， 即， ∵ ∴当时，有最大值， 把代入，得 即脚手架总长度的最大值为米； （3）解：设抛物线下降高度为米， ∴新抛物线解析式为， 设， ∵米， 得， ∵米，米 ∴，， 将，，代入新抛物线， 得：， 消去展开整理得：， 解得， 将代入①得：， 答：抛物线应下降的高度为米 12．（2026·山西·一模）项目式学习 项目背景：儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、激发儿童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中的数学知识． 实验数据：当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上． 建立模型：如图1．软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式． 问题解决：儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的一部分． (2)综合与实践小组的同学在点的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中目标靶，儿童软弹玩具枪在竖直方向应如何移动？ (3)如图2．四边形是一个无盖长方体盒子的截面图，点，点的坐标分别为，，轴．轴，，要使软弹能够落在长方体盒子里，直接写出儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围（含边界）． 【答案】(1) (2)儿童软弹玩具枪在竖直方向应向下移动 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点与落地点求出抛物线的表达式； （2）设平移后的函数表达式，将点代入，求出的值，根据结果描述平移过程； （3）设，则抛物线的表达式为，由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，分别求出对应的的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题意可知，点是抛物线的顶点， ∴，，即， 将，代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设平移后的函数表达式， 将点代入，得， 解得， ∴儿童软弹玩具枪在竖直方向应该向下平移； （3）解：设，则抛物线的表达式为， 由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， 将点代入，得， 解得， 将点代入，得， 解得， ∴要使软弹能够落在长方体盒子里，儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围为． 13．（2026·湖北襄阳·一模）跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能追上小车，见解析 【分析】（1）根据数据特征判断函数类型，利用距离与时间为点的坐标得二次函数关系式； （2）根据二次函数有最大值，求出顶点式即可求解； （3）通过分析黑色小球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为经过，， 则， 解得, 则y与x的函数关系式． （2）由（1）可知， 所以当时，y 取最大值，最大值为98． 答：小球在水平木板上滚动的最大距离是cm． （3）根据题意，小车运动的路程为：， 则，     解这个方程，得，．     由（2）可知，当时小球停止运动，， 所以当时小球能追上小车． 14．（2026·湖南娄底·一模）阅读与思考 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 (1)问题1：如图1，在矩形中，若对角线与互为双关联线段，则_____． (2)问题2：如图2，在中，于点D，，点E在线段上，且，连接．求证：线段是线段的双关联线段． (3)问题3：如图3，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【答案】(1)45 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据双关联线段的定义得到且，进而证得矩形是正方形，从而得到，利用求解即可； （2）易证明，进而得到、，延长交于点，根据易得到，利用三角形内角和定理得到，从而得出结论； （3）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，过点、作直线，此时；以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，此时，即线段是相应线段的双关联线段． 【详解】（1）解：与互为双关联线段， ，且， 矩形是正方形， 、， ； （2）解：， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 延长交于点， 在中，， ， ， ， ， 线段是线段的双关联线段； （3）解：如图，即为所求． 15．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，四边形中，为对角线，于点，交于点，交的延长线于点，此时，． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)在（）的条件下，若为中点，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)四边形的面积为． 【分析】（1）由垂直平分线性质、等边对等角可推得，结合对顶角相等推得，再由内错角相等两直线平行即可得证； （2）设的中点为，连接、，则是的中位线，由此得，，证明得，由此判定四边形是平行四边形得，据此可得出结论； （3）连接，过点作于点，先求出，，，证明得，设，则，设，，则，，再由勾股定理求出、的值，得到、的值，进而得，再根据梯形的面积公式得，继而得，则，据此可得四边形的面积． 【详解】（1）证：，， ， ， ，， ， ； （2）证：设的中点为，连接、，如图所示： ， 是的中位线， ，， 于点， ， 是直角三角形， 点为中点， 是的斜边上的中线， ， ， ， ， ， 在中，，于点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 又， ； （3）解：连接，过点作于点，如图所示： 在（）的条件下，即有为中点，， ， ，， ， ， 点为中点， ， ， ， ， ， ， 设，则，设，，其中，， ，， 于点， 和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 由及，，解得，， ，， 于点， ， ， 四边形是梯形， ， ， ， ， ， 即四边形的面积为． 16．（2026·贵州遵义·一模）【问题背景】借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系．如图1，在“中，，，分别取，的中点，，连接．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接． (1)【操作发现】如图2，旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)【问题探究】如图3，当、、三点在一条直线上时，求的长． (3)【拓展延伸】如图4，在中，，，，分别取，的中点，．作，将绕点逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，直接写出点到的距离． 【答案】(1)猜想，证明见解析 (2) (3)点到的距离为． 【分析】（1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出即可． 【详解】（1）解：猜想，证明如下： ∵点D和点E分别为中点， ∴由图1可知，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：由图1可知点D和点E为分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴当所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； （3）解：令相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵边平分线段，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴． 即点到的距离为． 17．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点E作分别交于点H，N． ①求证：四边形为正方形； ②求证：； ③若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析；③ 【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到，根据等角的补角相等得到，根据即可证明； （2）①根据，得到，根据正方形的性质得到，根据得到，进而得到，即可证明四边形为正方形； ②延长交于点K，根据正方形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，证明，得到，即可证明； ③取中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，延长交于P，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质得到，进而得到，证明，得到，可知，根据得到，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵四边形为正方形， ∴ ∵， ∴， ∴． ∴四边形为正方形； ②证明：延长交于点K， ∵四边形为正方形， ∴． 又∵四边形为正方形， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③解：取中点O，连接， ∵ ∴ 延长交于P， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴ ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 18．（2026·山东济南·一模）在平行四边形中，，点分别为、上的两点． (1)如图1，若，且，则______°，______； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用证明，进一步即可求出答案； （2）在的延长线上取点M，使，证明，即可求解； （3）延长至N，使，证明，得到，再由，得到，由此可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ （2）证明：在的延长线上取点M，使， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长至N，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（2026·安徽六安·一模）在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 【答案】(1)①；②的长为； (2)． 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，结合矩形的性质推导出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质推导出，再运用相似的性质即可求解； ②连接，，根据折叠求出，，根据矩形性质求出，，，再根据勾股定理求出的值，最后设，根据，列出方程求解即可； （2）由（定值），将的运动转化为“圆上的动点”问题，根据当点在一条直线上时，最小求解，根据当点与点重合时，最大求解． 【详解】（1）①如图，过点作，交于点，交于点． ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ②如图，连接，． ∵点关于直线对称， ∴，． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∴． ∴． 设，则． 由，得． 解得． ∴的长为． （2）当点在上移动时，点在以点为圆心，的长为半径的圆弧上． 如图，当点在一条直线上时，最小． ∴． 如图，当点与点重合时，最大． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴的长度范围是． 20．（2025·河南濮阳·一模）在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． 【特例发现】 （1）如图1，当时，________； 【类比探究】 （2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】 （3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）延长交于，等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，即可求解； （2）连接、，结合矩形的性质和相似三角形的判定方法得， ，由相似三角形的性质得即可求解； （3）设，，，则，，相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，求出的值，由勾股定理得，再判定，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ， ，， 四边形、是正方形， 是正方形的对角线， 是正方形的对角线， 、、三点共线， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为． （2）解：连接、， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ∵，， ∴，， ， ， ． （3）解：，， 设，，，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 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