第六节第2课时直线与双曲线的位置关系课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦双曲线专题，覆盖直线与双曲线位置关系、中点弦问题、综合应用三大核心考点，依据高考评价体系分析近三年真题，明确位置关系判断（占比35%）、中点弦方程求解（占比30%）等高频考点，归纳选择、填空、解答题典型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题演练+方法提炼+素养渗透”，如以2023全国乙卷中点弦问题为例，通过点差法推导斜率与中点坐标关系，培养数学思维中的推理能力，总结“联立方程-判别式分析-弦长公式”解题模板。结合2024新课标卷综合题，强化数学语言表达，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第2课时　直线与双曲线的位置关系 第六节 双曲线 【例1】　(2026·茂名模拟)(多选题)已知双曲线C:4x2-y2=1,直线l:y=kx+1(k>0),则下列说法正确的是(　　) A.若k=2,则l与C仅有一个公共点 B.若k=2,则l与C仅有一个公共点 C.若l与C有两个公共点,则2<k<2 D.若l与C没有公共点,则k>2 考点一 直线与双曲线的位置关系 双曲线C的方程为4x2-y2=1,其渐近线方程为y=±2x,因为直线l:y=kx+1(k>0)过定点(0,1),当k=2时,直线l与双曲线C有且只有一个公共点,故A正确;联立消去y得(4-k2)x2-2kx-2=0,当直线l与双曲线C相切时,方程只有一个实数根,4-k2≠0,且Δ=(-2k)2+8(4-k2)=0,解得k=±2,所以当k=2时,直线l与双曲线C有且只有一个 解析 公共点,故B正确;若l与C有两个公共点,则解得0<k<2或2<k<2,故C错误;若l与C没有公共点,则解得k>2,故D正确.故选ABD. 解析 解决直线与双曲线的位置关系相关的问题,有时利用数形结合思想,有时利用方程思想.根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷. 【训练1】　(1)过双曲线C:x2-=1左焦点F和点A(0,2)的直线l与双曲线C的交点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 由题意得双曲线C:x2-=1左焦点为F(-2,0),则直线l的斜率为k==,故直线l的方程为y=x+2,而双曲线的渐近线方程为y=±x,故直线l与y=x平行,且l过双曲线的左焦点,故直线l与双曲线C的交点个数是1,故选B. 解析 (2)已知点F是双曲线C:x2-y2=1的一个焦点,直线l:y=kx,则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 由双曲线C:x2-y2=1,可设F(,0),且渐近线方程 为y=±x,若点F到直线l的距离d=>1,得k<-1, 或k>1,如图,由双曲线性质可知,直线l与双曲线C 没有公共点;反之,若直线l与双曲线C没有公共点, 因为直线l过原点,由图可知,k≤-1,或k≥1,则k2≥1⇒2k2≥k2+1⇒ 解析 ≥1⇒≥1,即点F到直线l的距离大于或等于1,所以,“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的充分不必要条件.故选A. 解析 【例2】　(1)(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是(　　) A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 考点二 中点弦问题 解法一:选项中的点均位于双曲线两支之间,故点A,B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称,设线段AB 的中点坐标为(x0,y0),则|kAB|=9||<3,即|y0|>3|x0|,结合选项可知选D. 解析 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由点A,B在双曲线上,得 两式作差,得-=,即(x1-x2)(x1+x2)= ,整理得=9,即=kAB·=9,因此 解析 kAB=9·.由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x,如图.对于A 选项,因为kAB=9×=9>3,所以直线AB 与双曲线无交点,不符合题意;对于B 选项,因为kAB=9×=-<-3,所以直线AB 与双曲线无交点,不符合题意;对于C 选项,kAB=9×=3,此时直线AB 即为渐近线y=3x,与双曲线不可能有两个交点,不符合题意;对于D 选项,因为kAB=9×=<3,所以直线AB 与双曲线有两个交点,满足题意.故选D. 解析 (2)已知双曲线方程是x2-=1,过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1,P2两点,并使P为P1P2的中点,则此直线方程是_______________. 由题得2x2-y2=2,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),所以两式相减得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,由题得x1+x2=4,y1+y2=2,所以8(x1-x2)-2(y1-y2)=0,因为x1≠x2,所以=k=4,所以直线的方程为y-1=4(x-2),即y=4x-7. 解析 y=4x-7 解决中点弦问题的两种方法 1.根与系数的关系法:联立直线与曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. 2.点差法:设出交点坐标,利用交点在曲线上,将交点坐标代入曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. 【训练2】　已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且线段AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 由已知条件易得直线l的斜率k==1,设双曲线E的方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,x1+x2=-24,y1+y2= -30,得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为-=1.故选B. 解析 双曲线的常用结论及应用 设双曲线-=1(a>0,b>0),左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),则 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a. (3)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,则=,其中θ为∠F1PF2. (4)双曲线周角定理的推广:已知A,B为双曲线-=1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,P为双曲线上异于A,B的任一点,若直线PA,PB的斜率存在且不为零,则kPA·kPB=(焦点在x轴)或(焦点在y轴). 【典例】　已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过原点O的直线交C于A,B两点(点B在右支上),双曲线右支上一点P(异于点B)满足=0,直线PA交x轴于点D,若∠ADO=∠AOD,则双曲线C的离心率为(　　) A.　　　B.2　　　C.　　　D.3 如图,=0,所以BA⊥BP,令kAB=k,因为∠ADO =∠AOD,所以kAP=-kAB=-k,又BA⊥BP,所以kPB=-, 依题意,kPB·kPA=,所以-·(-k)=.所以=1,所 以双曲线C的离心率为e====.故选A. 解析 【微练】　已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上, ∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为_____________. 2 解法一:不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2,在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==,所以|PF1|·|PF2|=8,所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=2. 解法二:由已知得,b2=2,θ=∠F1PF2=60°,所以=== 2. 解析 【例3】　在平面直角坐标系中,F1,F2分别为双曲线C:3x2-y2=a2(a>0)的左、右焦点,过F2的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点.当l与x轴垂直时,△ABF1的面积为12. (1)求双曲线C的标准方程; 考点三 直线与双曲线的综合问题 双曲线3x2-y2=a2可化为-=1.当l与x轴垂直时,=|F1F2|· |AB|=×=4a2=12,解得a2=3,所以双曲线的标准方程为x2-=1. 解 (2)当l与x轴不垂直时,作线段AB的垂直平分线,交x轴于点D.试判断是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由. 由(1)知F2(2,0),所以可设直线l的方程为x=ty+2(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), M为线段AB的中点,联立双曲线C与直线l的方程,得消去x,得(3t2-1)y2+12ty+9=0,因此y1+y2=,y1y2=.进而可得 解 x1+x2=,所以线段AB中点M的坐标为.所以线段AB的垂直平分线的方程为y+=-t,则D,|DF2|= =,|AB|===.所以|DF2|=|AB|,即为定值1. 解 当涉及有关弦长问题时,通常有以下两种处理方法 1.距离公式法:当弦的两端点坐标易求时,可直接求出交点坐标,再利用两点间距离公式求弦长. 2.弦长公式法:当弦的两端点坐标不易求时,可利用弦长公式求解,即若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,则|AB|=|x1-x2|=·|y1-y2|. 【训练3】　已知双曲线C的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(2,). (1)求双曲线C的标准方程; 因为双曲线的离心率为,故该双曲线为等轴双曲线,设方程为x2-y2 =λ(λ≠0),代入点(2,),得4-2=2=λ,故双曲线C的标准方程为-=1. 解 (2)设双曲线的两条渐近线分别为l1,l2,已知直线l:y=2x+m交l1,l2于A,B两点,若直线l与轨迹C有且只有一个公共点,求△AOB的面积. 在直线方程y=2x+m中,令y=0,得D,故S△AOB=·|OD|·|yA-yB|,联立整理得3x2+4mx+m2+2=0,由题意得Δ=16m2- 解 12(m2+2)=4m2-24=0,故m2=6,联立解得yA=-m;联立得yB=,因此S△AOB=·|OD|·|yA-yB|===2. 解析 1.(2025·北京高考)双曲线x2-4y2=4的离心率为(　　) A. B. C. D. 由x2-4y2=4得,-y2=1,所以a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5,即a=2,c=,所以e==,故选B. 解析 2.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(　　) A.4 B.3 C.2 D. 解法一:根据焦点坐标可知c=4,根据焦点在y轴上,可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则所以离心率e==2. 解析 解法二:根据双曲线的定义,得2a=|-|=|6-10|=4,则a=2,根据焦点坐标可知c=4,所以离心率e===2. 解析 3.(2023·全国甲卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=(　　) A. B. C. D. 根据双曲线的离心率e==,得c=a,即c2=5a2,即a2+b2=5a2,所以b2=4a2,=4,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,易知渐近线y=2x与圆相交,则圆心(2,3)到渐近线y=2x的距离d==,所以|AB|=2=2=.故选D. 解析 4.(2024·新课标Ⅰ卷)(多选题)设计一条美丽的丝带,其造 型 可以看作图中的曲线C的一部分,已知C过坐标原点O, 且C上的点满足:横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直 线x=a(a<0)的距离之积为4,则(　　) A.a=-2 B.点(2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤ 因为坐标原点O在曲线C上,所以2×|a|=4,又a<0,所以a=-2,所以A正确.因为点(2,0)到点F(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离之积为(2-2)(2+2)=4,所以点(2,0)在曲线C上,所以B正确.设P(x,y)(x>0,y>0)是曲线C在第一象限的点,则有(x+2)= 4,所以y2=-(x-2)2,令f(x)=-(x-2)2,则f'(x)=--2(x-2),因为f(2)=1,且f'(2)<0,所以函数f(x)在x=2附近单调递减,即必定存在一小 解析 区间(2-ε,2+ε)使得f(x)单调递减,所以在区间(2-ε,2)上均有f(x)>1,所以P(x,y)的纵坐标的最大值一定大于1,所以C错误.因为点(x0,y0)在C上,所以x0>-2且(x0+2)=4,得=-(x0-2)2≤,所以y0≤|y0|≤=,所以D正确.综上,选ABD. 解析 5.(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为_________. 由|AB|=10及双曲线的对称性得|AF2|==5,因为|AF1|=13,所以2a=|AF1|-|AF2|=13-5=8,2c=|F1F2|===12,所以a=4,c=6,则C的离心率e===. 解析 6.(2024·北京高考)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为________________. 由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,直线y=k(x-3)过定点(3,0).因为点(3,0)在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐近线平行,所以k=±. 解析 (答案不唯一) $