第五节　空间向量及空间位置关系课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量及空间位置关系”专题，依据高考评价体系梳理了空间直角坐标系、向量运算、位置关系向量表示等核心考点，明确空间向量基本定理、数量积应用等高频考查要求，通过考点权重分析和常考题型归纳，构建系统复习框架。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧结合，如以2025年全国一卷正三棱柱题为例，用向量法证明平行垂直，培养逻辑推理和数学建模素养。归纳数量积求夹角、长度、垂直的解题模板，提示四点共面等易错点，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第五节 第七章 立体几何与空间向量 空间向量及空间位置关系 【目标要求】　1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;探索并得出空间两点间的距离公式.2.掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示.4.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.5.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理. 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中,具有_____________和_____________的量 相等向量 方向_____________且模_____________的向量 相反向量 方向_____________且模_____________的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相________或_________的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 大小 方向 相同 相等 相反 相等 平行 重合 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使_____________. (2)共面向量基本定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在________的有序实数对(x,y),使p=________. (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=_____________.其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底. a=λb 唯一 xa+yb xa+yb+zc 3.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作<a,b>,其范围是_____________,若<a,b>=,则称a与b_____________,记作a⊥b. (2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b=_______________.0·a=0. [0,π] 互相垂直 |a||b|cos<a,b> (3)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b=λ(a·b),λ∈R; ②a·b=b·a(交换律); ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 向量表示 坐标表示 线性运算 a±b _______________________ 数量积 a·b _______________________ 共线 a=λb(b≠0,λ∈R) _______________________ (a1±b1,a2±b2,a3±b3) a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 垂直 a·b=0(a≠0,b≠0) __________________ 模 |a|= __________________ 夹角 cos<a,b>=(a≠0,b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0 5.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_______________,则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量. 平行或重合 6.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2 l1∥l2 u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔_______________ 直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,l⊄α l∥α u⊥n⇔_______________ l⊥α u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn 平面α,β的法向量分别为n1,n2 α∥β n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2 α⊥β n1⊥n2⇔_______________ u1·u2=0 u·n=0 n1·n2=0 1.四点共面:在空间中P,A,B,C四点共面⇔=x+y+z(其中x+y+z=1),O为空间中任意一点. 2.在利用=x+y证明MN∥平面ABC时,必须说明M点或N点不在平面ABC内. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若a·b<0,则<a,b>是钝角.(　　) (2)空间向量a=(1,1,1)是一个单位向量.(　　) 单位向量指模长为1的向量,显然a=(1,1,1)⇒|a|=≠1,错误. 解析 (3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　　) (4)若两平面的法向量平行,则不重合的两平面平行.(　　) 2.(人A选一P15T3改编)如图,在三棱锥O-ABC中,=,=,若=a,=b,=c,则=(　　) A.a-b-c B.a-b-c C.a-b-c D.a-b-c =++=--+=-(-)-+=--=a-b-c. 解析 3.若平面α的法向量为u=(-1,2,4),平面β的法向量为v=(m,-1,-2),直线l的方向向量为t=(n,-2,-4),则(　　) A.若α∥β,则m=1 B.若l⊥α,则n=2 C.若n=-20,则l∥α D.若m=-10,则α⊥β 对于A,由α∥β,得u∥v,则==,解得m=,故A错误;对于B,由l⊥α,得t∥u,则==,解得n=1,故B错误;对于C,由n=-20,得t=(-20,-2,-4), t·u=20-4-16=0,t⊥u,则l∥α或l⊂α,故C错误;对于D,由m=-10,得v= (-10,-1,-2),u·v=10-2-8=0,u⊥v,则α⊥β,故D正确.故选D. 解析 4.已知点M在z轴上,且点M到点A(1,0,2)与到点B(1,-3,1)的距离相等,则点M的坐标是_____________. 设点M(0,0,m).因为点M到点A(1,0,2)与到点B(1,-3,1)的距离相等,所以=,解得m=-3,所以点M的坐标为(0,0,-3). 解析 (0,0,-3) 5.(北师大选一P106T8改编)如图,已知PA⊥平面ABC,垂足为点A,∠ABC=,PA=AB=BC=6,则|++|=_________. 因为|++|2=+++2+2+2=|PA|2+|AB|2+|BC|2+2|AB||BC|cos<,>=62+62+62+2×6×6×=4×62,所以|++|=12. 解析 12 (1)已知四面体O-ABC,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　) A. B. C. D. 考点一 空间向量的线性运算………………自练自悟 解法一:如图所示,连接AG1并延长,交BC于点E,则 点E为BC的中点,=(+)=(-2+), 则==(-2+),由题设,=3= 3(-),则==(+)==(++),所以x=y=z=. 解析 解法二:因为G1是△ABC的重心,所以++=0,所以+++++=0,从而=(++).因为G是OG1上一点,且OG=3GG1,所以=,从而=(++),所以x=y=z=. 解析 (2)已知A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若=,则C的坐标是(　　) A. B. C. 　 D. 设点C的坐标为(x,y,z),则=(x,y,z).又=(-3,-2,-4),=,所以x=-,y=-,z=-.故选A. 解析 (3)已知空间向量a=(4,-3,2)与b=(2,x,y)共线,则x+y=(　　) A.-1 B. C.- D.1 因为空间向量a=(4,-3,2)与b=(2,x,y)共线,所以==,解得x=-,y=1,所以x+y=-+1=-.故选C. 解析 (4)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.用 ,,表示,则=___________________. =+=+=(+)+=++. 解析 ++ 进行向量的线性运算,有以下几个关键点 1.结合图形,以图形为指导是解题的关键,明确图形中各线段的几何关系. 2.正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义. 3.平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立. 如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k,=k(0≤k≤1). (1)向量是否与向量,共面? 考点二 共线、共面向量定理的应用 因为=k,=k,所以=++=k++k= k(+)+=k(+)+=k+=-k=-k(+)=(1-k)-k,所以由共面向量定理知向量,共面. 解 (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行? 当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内.当0<k≤1时, MN不在平面ABB1A1内,又由(1)知,共面,所以MN∥平面ABB1A1. 解 P,A,B三点共线 空间四点M,P,A,B共面 =λ且同过点P =x+y 对空间任一点O, =+t 对空间任一点O, =+x+y 对空间任一点O, =x+(1-x)· 对空间任一点O, =x+y+(1-x-y) 【训练1】　(1)已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若=6-4+λ,则λ=(　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 =6-4+λ,即-=6-4+λ,整理得=6-3+λ,由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得6-3+λ=1,解得λ=-2. 解析 (2)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ=_________. 由题意,可设a=xb+yc,故(2,-1,3)=x(-1,4,-2)+y(7,5,λ)=(-x+7y,4x+5y,-2x+λy),即解得λ=. 解析 【例2】　如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,求: (1)的值; 考点三 空间向量数量积的应用 设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,且<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,可得==c-a,=-a,所以=·(-a)=-a·c+a2 =-+=. 解 (2)线段EG的长; 由=++=+(-)+(-)=-++=-a+b+c,则||2=(-a+b+c)2=(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c)=,所以||=,即EG的长为. 解 (3)异面直线EG与AC所成角的大小. 由=-a+b+c,则=·b=-a·b+b2+c ·b=,所以cos<,>===.因为0°≤<,>≤ 180°,所以异面直线EG与AC所成的角为45°. 解 空间向量数量积的3个应用 求夹角 设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,进而可求两向量所在直线所成的角 求长度 (距离) 利用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂 直问题 利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 【训练2】　(多选题)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为1,且两两之间的夹角都是60°,则下列说法中正确的是(　　) A.AC1= B.AC1⊥DB1 C.向量与的夹角是120° D.BD1与AC所成角的余弦值为 因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,其中以顶点A为端点的三条棱长均为1,且彼此夹角都是60°,所以===1,===1×1×cos 60°=.对于A,因为=+ +,所以||2=(++)2=+++2+2+2=1+1+1+3×2×=6,所以||=|++ |=,故A正确;对于B,因为=+-,且=( 解析 ++)·(+-)=1+-++1-++-1=2≠0,即AC1⊥DB1不成立,故B错误;对于C,=+=-+,所以||= ==1,所以cos<,>== ==-,所以向量的夹角是120°,故C正确;对于D,因为=+-,=+,所以= 解析 (+-)·(+)=+++--=1,而||== =,||===,所以cos<,>= ==,故D错误.故选AC. 解析 【例3】　(1)(2025·全国一卷)(多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC中点,则(　　) A.AD⊥A1C B.B1C1⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D 考点四 向量法证明平行与垂直 解法一:如图①,对于A,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1 ⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,则AA1⊥AD,则 =0,因为△ABC是正三角形,D为BC中点,则AD⊥BC,则 =0,又=++,所以=( ++)·=++=≠0,则 AD⊥A1C不成立,故A错误;对于B,因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1 解析 ⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,则AA1⊥BC,因为△ABC是正三角形,D为BC中点,则AD⊥BC,又AA1∩AD=A,AA1,AD⊂平面AA1D,所以BC⊥平面AA1D,故B正确;对于D,因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1∥ AA1,又AA1⊂平面AA1D,CC1⊄平面AA1D,所以CC1∥平面AA1D,故D正确;对于C,因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1∥AB,假设AD∥A1B1,则AD∥AB,这与AD∩AB=A矛盾,所以AD∥A1B1不成立,故C错误;故选BD. 解析 解法二:如图②,建立空间直角坐标系,设该正三棱 柱的底边为2,高为h,则D(0,0,0),A(,0,0),A1(,0, h),C(0,-1,0),C1(0,-1,h),B(0,1,0),B1(0,1,h),对于A, =(-,0,0),=(-,-1,-h),则=(-)× (-)+0=3≠0,则AD⊥A1C不成立,故A错误;对于 BD,=(0,-2,0),=(0,0,h),=(0,0,h),=(-,0,0),设平面AA1D 解析 的法向量为n=(x,y,z),则得x=z=0,令y=1,则n=(0,1,0),所以=(0,-2,0)=-2n,·n=0,则BC⊥平面AA1D,CC1∥平面AA1D,故BD正确;对于C,=(-,0,0),=(-,1,0),则≠,显然AD∥A1B1不成立,故C错误;故选BD. 解析 (2)如图,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形, PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点,求证: ①MN∥平面PAD; 由题意,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别 为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.设PA=AD=a(a>0),AB=b(b>0),则有A(0,0,0), P(0,0,a),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).因为M,N分别为 AB,PC的中点,所以M,N,所以=,又=(0,0,a),=(0,a,0),所以=+.又MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD. 证明 ②平面PMC⊥平面PDC. 结合①知,M,=(b,a,-a),=,=(0,a,-a).设平面PMC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则令z1=b,则x1=2a,y1=-b,得n1=(2a,-b,b).设平面PDC的法向量为n2=(x2,y2, z2),则得x2=0,令z2=1,则y2=1,得n2=(0,1,1).因为n1·n2=0-b+b=0,所以n1⊥n2,故平面PMC⊥平面PDC. 证明 运用向量知识判定空间位置关系时,离不开立体几何的相关定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外. 【训练3】　如图,正方形ABCD的边长为2,四边形BDEF是平行四边形,BD与AC交于点G,O为GC的中点,FO=,且FO⊥平面ABCD. (1)求证:AE∥平面BCF; 如图,取BC的中点H,连接OH,则OH∥BD,又四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,所以OH⊥AC,故以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),C(-1,0,0),D(1,-2,0),F(0,0,),B(1,2,0).所以=(-2,-2,0),=(1,0,),=(-1,-2,). 证明 (1)设平面BCF的法向量为n=(x,y,z).则取z=1,得n=(-,,1)是平面BCF的一个法向量.又四边形BDEF为平行四边形,所以==(-1,-2,),所以=+=+=(-2,-2,0)+(-1,-2,)=(-3,-4,),因为·n=3-4+=0,所以⊥n,又AE⊄平面BCF,所以AE∥平面BCF. 证明 (2)求证:CF⊥平面AEF. 因为=(-3,0,),=-3+3=0,=-3+3=0,所以⊥,⊥,即CF⊥AF,CF⊥AE.又AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,所以CF⊥平面AEF. 证明 $